指數(shù)與指數(shù)函數(shù) （含新定義解答題）解析版-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第05講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（分層精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2024下?全國(guó)?高一開學(xué)考試）下列運(yùn)算中，正確的是（）

A..（-3）3+8§=1B.片.必=。3（。>0）

C.3晦2=9D.[-V+lg—=-—

⑶1009

【答案】A

【分析】AB選項(xiàng)，根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算出答案；CD選項(xiàng)，根據(jù)指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則

進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】A選項(xiàng)，y（一3）3+8上=-3+Q3）3=一3+4=1,A正確；

B選項(xiàng)，.第=a"aQ=髀9>0），B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng),3幅2=2,C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，[g]+lg-X-=^_炮100=：—2=：,D錯(cuò)誤.

故選：A

2.（2024上?江西景德鎮(zhèn)?高一統(tǒng)考期末）當(dāng)a>0且分1時(shí)，函數(shù)/（"="毋3+2（）23恒過

定點(diǎn)（）

A.（2022,2023）B.（2023,2024）C.（2024,2025）D.（2025,2026）

【答案】B

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】當(dāng)x=2023時(shí)，/（2023）=。2°/3-2023+2023=2024,與。無關(guān)，

則函數(shù)/（X）恒過定點(diǎn)（2023,2024）.

故選：B.

4"

3.（2024上?廣東茂名?高一統(tǒng)考期末）若m-2〃=1,則刀=

B&

C.D.y/2

22

【答案】C

【分析】利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化與運(yùn)算法則即可得解.

【詳解】因?yàn)?〃-2〃=1,則2〃一〃2=-1,

故選：C.

V_1_3T

4.(2024下?山東濟(jì)南?高三濟(jì)南一中校聯(lián)考開學(xué)考試)函數(shù)/(x)=W^-的圖象大致為()

【答案】A

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可得到選項(xiàng).

V_i_3T3'+3T

【詳解】由函數(shù)〃”=關(guān)「，〃_x)=V^-=/(x),令Y-i?o,解得尤N±l,

則其定義域?yàn)閧x1xw±l},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以函數(shù)在定義內(nèi)為偶函數(shù)，排除C,D選項(xiàng)，因?yàn)?(0)=3二=一2,觀察選項(xiàng)可知，選

—1

A.

故選：A

5.(2024下,江蘇南通?高三海安高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試)設(shè)acR.若函數(shù)/(彳)=(。-1廠為

指數(shù)函數(shù)，且/(2)>/(3),則q的取值范圍是()

A.l<a<2B.2<a<3

C.a<2D.。<2且awl

【答案】A

【分析】借助指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分類討論即可得.

【詳解】由函數(shù)/5)=(。-1)工為指數(shù)函數(shù)，故。>1且。力2,

當(dāng)。>2時(shí)，函數(shù)/'(x)=(aT),單調(diào)遞增，有/(2)<7(3),不符合題意，故舍去；

當(dāng)1<。<2時(shí)，函數(shù)〃x)=(。-以單調(diào)遞減,有/(2)>〃3),符合題意，故正確.

故選：A.

6.(2024下?安徽蕪湖?高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知。>0且。片1,若

,、ax,x<2

函數(shù)/x=心、°。在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

\(3-a)x+2,x>2

A.(1,+8)B.(1,3)C.(1,2)D.(1,2]

【答案】D

【分析】若滿足條件，則每一段上都為增函數(shù)，且在分界點(diǎn)處的函數(shù)值前一段的函數(shù)值不大

于后一段的函數(shù)值，求解即可.

/、ax,x<2

【詳解】：函數(shù)7(x)="3_a)x+2x>2在R上單調(diào)遞增，

a>1

<3-tz>0,:A<a<2f

?6—2〃+2

二實(shí)數(shù)。的取值范圍為(1,2],

故選：D.

7.(2024上?江蘇無錫?高一江蘇省天一中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)/'(X)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)

x<o時(shí)，f{x)=r-]-,則/(力<。的解集為()

O

A.(-3,O)U(O,3)B.(-3,3)

C.(0，―3)。(0,3)D.(F,-3)U(3,4W)

【答案】C

【分析】先由奇偶性求出Ax)的解析式，再由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解不等式得解.

【詳解】函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(無)=2'-：，

O

則當(dāng)x>0時(shí)，—x<0,有〃尤)=_/(一尤)=_(2一，-3=：-2一*,顯然"0)=0,

OO

x<0x>0

不等式〃X)<。轉(zhuǎn)化1八或，11?，解得x<-3或0<x<3,

2----<U---------<0

〔8〔82X

所以不等式y(tǒng)(x)<0的解集為(―,-3)5。,3).

故選：C

8.(2024上嚀夏石嘴山?高一石嘴山市第三中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)〃力=4兇-岸工+國(guó)，

則不等式/(%+2)>/(2x-1)的解集為()

A-（T3）B.1/JC..3,jD.［-pj）

【答案】B

【分析】探討函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，再利用性質(zhì)求解不等式即得.

【詳解】函數(shù)/（x）=4W-Jd+l+|x|的定義域?yàn)镽，/（一元）=4臼一J（-尤了+1+1_尤|=f（x）,

即函數(shù)Ax）是R上的偶函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，=4'-+%=4'--=L—,

Vx+l+x

函數(shù)y=V7T1+X在［0,+8）上單調(diào)遞增,則y=j,+x在［0,+8）上單調(diào)遞減，

1

y=—rv=-在。+8）上單調(diào)遞增，又y=4、在［0,+8）上單調(diào)遞增，

yjx+1+X

因此fM在［0,+8）上單調(diào)遞增，而不等式/（%+2）>f（2x-l）o/（|x+2|）>f（|2x-l|）,

于是|x+2|>|2x-l|,兩邊平方得3/一8犬-3<0,解得-；<無<3,

所以所求不等式的解集為（-，3）.

故選：B

二、多選題

9.（2024上?河南漠河?高一濠河高中?？茧A段練習(xí)）已知°-4+“后=3,下列各式中正確

的是（）

A.。24+。-26=7B./陰+〃-3"=］8

3

22D.對(duì)+=2小

?a+a=y[5a二毋F尸

【答案】ABCD

【分析】利用完全平方，立方和展開式，指數(shù)運(yùn)算計(jì)算得出結(jié)果.

【詳解】A：+才2*=（才有+a啰）2一2°一百+4=9_2=7,故A正確;

B：/有+a-3有=（晨召+。有）卜-2有_晨屈后+/有）=3x（7-1）=18,故B正確;

招W（小A/3V/不4__

一七飛+a有+20TF=43+2=#,故C正確;

有]3世還V叵立、

a2H-------忑=a2+a2=a2+a2cT^+a^—a22=y/5x（3—1）=2^/5

cT1如?混l人）

,故D正確;

故選:ABCD.

10.（2024上?黑龍江牡丹江?高一牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎?1=［；1,則3，+3>

的值可以為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】CD

【分析】先由等式得到x+y=2,再應(yīng)用基本不等式求得3,+3,的范圍，結(jié)合選

項(xiàng)判斷即可.

【詳解】由2A得：21=27,解得無-2=-y,即x+y=2,

由于3*>0,3，>0,3*+3,22斤斤=2底方=6，當(dāng)且僅當(dāng)3*=3，（即x=y=l）時(shí)取得

等號(hào).

故選：CD.

三、填空題

11.（2024上,江西?高二校聯(lián)考期末）（石+1『+（6-1『=.

【答案】112

【分析】根據(jù)完全平方式的特征即可求解.

［詳解］（括+11+（岔一I?=［（括+1『+（岔一1）1-2（75+l）2（^5-1）2=122-2x42=112,

故答案為：112

12.（2024上?山西長(zhǎng)治?高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)〃x）=e「eT,則不等式

/（%-3）>/（1-^）的解集為.

【答案】（2,+8）

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式/（%-3）>/（1-力，由此求得不等式的解集.

【詳解】?."=€，在R上單調(diào)遞增，y=b在R上單調(diào)遞減，.?"（x）=e=eT在R上單調(diào)遞

增，

則由/（無一3）>/（1-x）得x—3>l—x,解得x>2,即不等式的解集為（2,+8）.

故答案為：（2,+4

四、解答題

13.（2024上?湖南婁底?高一?？计谀┮阎笙铝懈魇降闹?

ClICt-J

(l)a+a~1;

3_3

(2)a，+〃萬-3.

a2+a~2-2

【答案］⑴7

(2)-

3

【分析】(1)由完全平方公式以及分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算即可得解.

(2)由完全平方公式、立方和公式以及分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算即可得解.

?］(---V

【詳解】由題意〃一所以2

(1)"Cl5_1?_Cl5-_Jq,Q+〃T=+a^—2=3—2=7.

\7

(2)由題Cl意ICt—-3J-

1-1+Q5,Q5+QT］-3/、

所以M+a2-3=(人J=3X(7_1)—3=15=J_.

a2+a2-2-(?+?->)2-4~72-4-芯-1

14.(2024下?吉林長(zhǎng)春?高一長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=優(yōu)(。>0且aW1)

3

在［-M］上的最大值與最小值之差為：

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

⑵若g(x)=/(x)-f(-x),當(dāng)。>1時(shí)，解不等式g(x2+2x)+g(x-4)>0.

【答案】(1)。=2或g

(2)(-OO,-4)U(1,+OO)

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，結(jié)合條件，即可求解；

(2)首先求函數(shù)g(x)的解析式，再根據(jù)函數(shù)g(x)的性質(zhì)，化解不等式，即可求解.

【詳解】⑴當(dāng)時(shí)，f［x}^a,/Wmin=1.

13

則Q——二］，解得〃=2

a2

當(dāng)。<a<l時(shí)，〃尤)f(x)^=a,

131

貝U__=-,解得4=彳

aa22

綜上得：a=2或!

(2)當(dāng)a>l時(shí)，由(1)知。=2,

g(x)=2「2一、為奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，

g(x2+2x)+g(x-4)>0gpg(x2+2x)>-g(x-4)=g(4-x),

.-.x2+2x>4-x>得x>l或x<-4,

所以，不等式g(Y+2x)+g(x-4)>0的解集為(一S,T)U(1,+8).

B能力提升

1.（2024?四川?校聯(lián)考一模）函數(shù)〃x）=).

【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)/（X）為偶函數(shù)，排除C,D,再結(jié)合x＞0,利用/（x）的函數(shù)

值的符號(hào)，即可求解.

【詳解】由函數(shù)=可得其定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

且,（一尤，+3"=,（-/+3x）=-3x）=/（x），

乙II乙乙I-1

可知/（尤）為偶函數(shù)，其函數(shù)〃尤）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可排除c,D；

當(dāng)尤＞0時(shí)，可得士~-＞0,

2,+1

若0cx〈若時(shí)，尤3_3%＜0,則/'（X）＜0；

若時(shí)，可得尤3-3彳＞0,貝Uf（x）＞0,此時(shí)B不符題意.

故選：A

2.（2024上?四川宜賓?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)丁=優(yōu)+1-2（。＞0,。中1）的圖象恒過定點(diǎn)A,且

一21

點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程如+：9+1=。，其中相＞0,n＞0,則一+一的最小值為（）

mn

A.7B.6C.3+2及D.2+72

【答案】C

【分析】先利用必過定點(diǎn)確定A的坐標(biāo)，后利用基本不等式'1'的代換處理即可.

【詳解】在丁=。向一2(。>0,。*1)中，當(dāng)產(chǎn)一1時(shí)，y=T,故4-1,一1),

將代入直線方程中，化簡(jiǎn)得m+〃=1,

故(加+〃)(2+工)=2+1+?+生23+2、叵互=3+2加，

mnmn\mn

7i

當(dāng)且僅當(dāng)'〃，=2,產(chǎn)時(shí)取等，即三+上的最小值為3+2后.

mn

故選：C

3.(2024上?陜西西安?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(尤)=2,一2一,+也+2(。eR),若〃2)=5,

則/(-2)=()

A.-1B.1C.-5D.5

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)8(尤)=/(0一2=2，一2一￡+以，證明其為偶函數(shù)，據(jù)此可得解.

【詳解】設(shè)g(x)=/(x)—2=2"-2T+辦，

則8(—尤)=2"—2'—依=—g(%),

所以g(x)+g(T)=0,即“X)-2+/(T)-2=0,

所以〃x)+/(—x)=4.

因?yàn)?2)=5,所以1(—2)=4—5=—1.

故選：A

4.(2024下?河南?高一校聯(lián)考開學(xué)考試)己知函數(shù)〃x)滿足f(x)=〃x+4),當(dāng)xe[-l,3)

時(shí)，f(x)=T+a,且〃2023)=4,則當(dāng)xe[-7,-3)時(shí)，不等式〃x)>1的解集為.

【答案】[-7,-5)U(<-3)

【分析】首先確定函數(shù)的周期，再利用周期，求xe[-7,-5)和xe[-5,-3)的解析式，再解不

等式.

【詳解】由〃x)=/(x+4)知,函數(shù)〃x)是周期函數(shù)，周期為4,

17

f(2023)=/(-1)=-+a=4,得

所以當(dāng)xe[-l,3)時(shí)，/(尤)=2，；，

設(shè)xe[-7,-5),x+8e[l,3),

則〃尤)=〃尤+8)=2-8+；>不得x>—8,即xe[-7,-5),

當(dāng)xw[—5,-3),x+4e[-l,l),

7Q

則〃無)=〃尤+4)=2田+；>三得x>T,即x?T,-3),

Q

綜上可知不等式/(x)>；的解集為[-7,-5)U(Y,-3).

故答案為：[-7,-5)U(T-3)

5.(2024上?重慶?高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校?？计谀?若/(x)滿足以下條件：①

/(x+y)=/(x)-/(y)；②〃尤)的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱；③對(duì)于不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)a,6,

有"⑷-〃6)](a-6)>0成立，則〃尤)的解析式可能為〃力=.

【答案】3慟(答案不唯一)

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，圖象關(guān)于尤=0對(duì)稱，和對(duì)于不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)6,有

成立共同得出即可.

【詳解】設(shè)f(x)=3也

因?yàn)椤▁+y)=L=3心期=/(x)-/(y),故滿足①;

圖象為：

故滿足②；

設(shè)a>6>0,則”6>0,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知7(3>0,故

"(a)-/S)](a-6)>。，所以滿足③；當(dāng)0<。<6,則a-6<0,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知

f(a)-f(b)<0,故羽(a-6)>0,也滿足③.

故答案為：3同(答案不唯一).

C綜合素養(yǎng)

6.(2024上?廣東茂名?高一統(tǒng)考期末)若函數(shù)/(x)滿足：對(duì)于任意正數(shù)%,n,都有

/(m)>0,/(z?)>0,且/(?+/(〃)</O+"),則稱函數(shù)/(元)為"速增函數(shù)

(1)試判斷函數(shù)工(X)=/與力⑴=log2(x+1)是否為"速增函數(shù)"；

⑵若函數(shù)g(元)=2-1+242"-1)為"速增函數(shù)〃，求“的取值范圍.

【答案】(I"。)一?是"速增函數(shù)"，力(x)=log2(x+l)不是“速增函數(shù)”

⑵卜”11

【分析】(1)根據(jù)"速增函數(shù)"的定義，利用作差法可判斷函數(shù)力(x)=Y；根據(jù)"速增函數(shù)"

的定義，通過舉反例可判斷函數(shù)力(X)=log?(X+1).

(2)先根據(jù)"速增函數(shù)"的定義將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題；再利用指數(shù)運(yùn)算法則和指

數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】(1)對(duì)于函數(shù)力(彳)=舄

當(dāng)機(jī)>0,w>0時(shí)，=m'>O,yj(?)=n3>0；

因?yàn)楣?〃z)+/(〃)一工(m+ri)=m3+n3—(m+n)3=—3nm2—3nzm<0,

所以工(%)+工(〃)<10+〃),

故根據(jù)"速增函數(shù)"的定義可得：工⑶=丁是“速增函數(shù)J

對(duì)于函數(shù)力(x)=log2(x+l),

當(dāng)加="=1時(shí),有f2(m)+f2(n)=2>log23=f2{m+ri),

故根據(jù)"速增函數(shù)"的定義可得：力(X)=log2(X+1)不是“速增函數(shù)J

(2)因?yàn)間(x)=2X-l+2a(2T-l)是"速增函數(shù)"，

根據(jù)"速增函數(shù)"的定義可得：

當(dāng)〃>0時(shí)，8(〃)=2"-1+24(2一'-1)>0恒成立；

當(dāng)幾>0,根>0時(shí)，g(〃)+go)<g(〃+m)恒成立.

由當(dāng)〃>0時(shí)，g(〃)=2"-1+2。(2一"-1)>0恒成立可

得：(2"-1)(2"-2。)>0對(duì)一切正數(shù)n恒成立.

又因?yàn)楫?dāng)〃>0時(shí)，

所以2a<2"對(duì)一切正數(shù)n恒成立，

所以2a<1,即

2

由當(dāng)〃>0,相>0時(shí)，8（"）+8（%）<8（"+加）恒成立，可得：g（"+〃?）-[g（"）+gO）]>0,

即2m+n-2m-T+l+2a（2-m-"-2-m-2-n+1）>0對(duì)一切正數(shù)"J"恒成立.

因?yàn)?"+"一2"—2"+]+2。（2一2"一2一一2一"+]）

=2"（2m-l）-（2m-l）+2a（2-m-1）（2-n-1）

=（2m-1）（2"-1）+2a-2-m-"（2"-1）（2"-1）

（2m-l）（2n-l）（2m+n+2a）

Qtn+n

所以（2"，_1）（2"-1）（2"+"+2a）>0,

又因?yàn)楫?dāng)〃>0,根>0時(shí)，（2"-l）（2w-l）>0,

所以2"*"+2a>0,

由2吁"+24>0對(duì)一切正數(shù)〃恒成立，可得2a+lN0,即

2

綜上可知，a的取值范圍是.

7.（2024上,山東臨沂?高一山東省臨沂第一中學(xué)期末）臨沂一中校本部19、20班數(shù)學(xué)小組

在探究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)通過函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，還無法準(zhǔn)確地描述出函數(shù)

的圖象，例如函數(shù)y=ln無和y=Y,雖然它們都是增函數(shù)，但是圖像上卻有很大的差異.通

過觀察圖像和閱讀數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念.已知定義：設(shè)連續(xù)函數(shù)

f（x）的定義域?yàn)椋踑,可，如果對(duì)于［a,可內(nèi)任意兩數(shù)為,三，都有了（土產(chǎn)）4八斗）?。ㄓ?）,

則稱〃x）為［a,3上的凹函數(shù)；若氏"三后」區(qū)無2）,則〃尤）為凸函數(shù).對(duì)于函數(shù)的

凹凸性，通過查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若/（x）是區(qū)

間［a,6］上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的占=尤2=---=xne［a,6］,有不等式

〃占+%+■??+%）<恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)為=%=…=%時(shí)等號(hào)成立）.

nn

小組成員通過詢問數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)對(duì)他們研究的建議，得到了如下評(píng)注：在運(yùn)用琴生不等式

求多元最值問題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù).小組成員選擇了反比例型函數(shù)/（X）=J—和對(duì)數(shù)函數(shù)

g（x）=log“x,研究函數(shù)的凹凸性.

⑴設(shè)玉，％2,…，Zn>2,且玉+々+?..+%”=1,求W=■;----+-----+???+------的取小值.

1一玉1-X11-Xn

111、〃

（2）設(shè)？公…,G為大于或等于1的實(shí)數(shù)，證明R+R+…+」（提示：可

彳+i馬+15+1

設(shè)q=e&）

⑶若。>1,且當(dāng)xe（O,l］時(shí)，不等式g（如2+*v0恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】（1）3

n-l

⑵證明見解析

（3）—l<m<0.

【分析】(1)先證明/(尤)=一一在(0,1)為凹函數(shù)，再利用琴生不等式求解；

(2)證明/＜同=/在[0,+◎?yàn)榘己瘮?shù)再結(jié)合琴生不等式得證；

(3)分離參數(shù)，求函數(shù)最值得解.

【詳解】(1)記函數(shù)/(同=乙，首先證明其凹凸性：

\—X

]]

占e(0,1),則=j'f+------1

1-------

2

_1T1+1_%________2_[(1—西)+(1—%)]—4(I—%)。一%)_[(I-%)-。-.)]_____

2(1—%)(1—%2)1—%+1—%22(1—玉)(1—%)(1—$+1—%2)2(1—%)(1—%2)(1—X]+1—%2)

所以〃%)=—―在(0,1)為凹函數(shù).

1-X

由琴生不等式，得力―斗]"6小)+…+小“),

\nJn

1

i(、一

即工工+-^+...+』^>^L-

1-X21-xJ

n

%xxn