七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊同步學(xué)與練（蘇科版）-專題02 三角形（五種模型）專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

專題02三角形（五種模型）專項(xiàng)訓(xùn)練題型一：“8”字模型題型二：飛鏢模型題型三：“A”字模型題型四：“老鷹捉小雞”模型題型五：（雙）角平分線模型題型一、“8”字模型三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°對(duì)頂角相等一．填空題（共6小題）1．（2022春?江都區(qū)月考）如圖所示，，則的度數(shù)為．2．（2022春?東臺(tái)市月考）的度數(shù)．3．（2022春?漣水縣校級(jí)月考）如圖，的度數(shù)為4．（2022春?宜興市校級(jí)月考）如圖，．5．（2022春?蘇州月考）如圖，．6．（2023春?廣陵區(qū)期中）如圖所示，求度．二．解答題（共2小題）7．（2022春?靖江市校級(jí)月考）已知，如圖，線段、相交于點(diǎn)，連結(jié)、，和的平分線和相交于點(diǎn)．試問與、之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由．8．（2023春?靖江市期末）小明在學(xué)習(xí)過程中，對(duì)一個(gè)問題做如下探究．如圖，在中，射線交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，直線與射線交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，，，，則；（2）如圖2，若，，，則；（3）如圖3，若，，則探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（4）如圖4，在（3）的條件下，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（此時(shí)在外部），或在線段的延長線運(yùn)動(dòng)（此時(shí)在內(nèi)部），請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中選擇其中的一種情況畫出示意圖，探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．題型二、飛鏢模型三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等子與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.一．選擇題（共2小題）1．（2021春?鹽湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，，，，的度數(shù)是A． B． C． D．2．（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，中，，為延長線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，，則為A． B． C． D．二．填空題（共1小題）3．（2023春?高新區(qū)校級(jí)期中）如圖，作于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若，，則，．三．解答題（共4小題）4．（2022春?衡山縣期末）中，，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，點(diǎn)是一動(dòng)點(diǎn)．令，，．（1）若點(diǎn)在線段上，如圖（1）所示，且，則；（2）若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則、、之間的關(guān)系為；（3）若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊的延長線上，如圖（3）所示，則、、之間有何關(guān)系？猜想并說明理由；（4）若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到形外，如圖（4）所示，則、、之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．5．（2022春?樂平市期末）在中，兩條高、所在的直線相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)為銳角時(shí)，如圖1，求證：．（2）當(dāng)為鈍角時(shí)，如圖2，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形（用三角尺），并回答（1）中結(jié)論是否成立？不需證明．6．（2021秋?安寧市校級(jí)期中）如圖，求證：．7．（2020春?錫山區(qū)期中）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個(gè)簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點(diǎn)、，若，則；②如圖3，平分，平分，若，，求的度數(shù)；③如圖4，，的10等分線相交于點(diǎn)、、，若，，求的度數(shù)．題型三、“A”字模型三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.一．選擇題（共1小題）1．（2023春?吳江區(qū)月考）已知如圖，為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于A． B． C． D．二．填空題（共4小題）2．（2023春?常熟市期末）如圖，在中，點(diǎn)、分別是，的中點(diǎn)，若的面積為2，則四邊形的面積是．3．（2023春?天寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，在中，，和的平分線交于點(diǎn)，得，和的平分線交于點(diǎn)，得，，和的平分線交于點(diǎn)，得，和的平分線交于點(diǎn)，得，則度．4．（2023春?江陰市期中）如圖所示，中，、為，上的兩點(diǎn)，且，，若面積為30，則四邊形的面積為．5．（2023春?南京期末）如圖，四邊形中，與的角平分線相交于點(diǎn)，若，，則．三．解答題（共3小題）6．（2023春?丹陽市校級(jí)期末）【問題背景】中，是角平分線，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．【初步探索】如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的平分線交于點(diǎn)．（1）若，，則；（2）若，則；（用含的代數(shù)式表示）【變式拓展】當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，連接，設(shè)，．（1）如圖2，的平分線交于點(diǎn)．①當(dāng)，時(shí)，；②用、的代數(shù)式表示；（2）如圖3，的平分線與相交于點(diǎn)，與的平分線所在的直線相交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），直接寫出點(diǎn)在不同位置時(shí)與之間的數(shù)量關(guān)系．（用含、的代數(shù)式表示）7．（2023春?南京期末）如圖，、、、是邊上的點(diǎn)，，．求證：．8．（2023春?南京期中）如圖，在和中，．點(diǎn)與位于線段所在直線的兩側(cè)，分別延長、至點(diǎn)、．【特殊化思考】若時(shí)，請(qǐng)嘗試探究：（1）當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系為；（2）當(dāng)在外部時(shí)，請(qǐng)直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系為；（3）若平分，平分．無論點(diǎn)在內(nèi)部（如圖③還是外部（如圖④時(shí)，都有，請(qǐng)選擇一幅圖進(jìn)行證明；說明：選擇圖③證明得3分，選擇圖④證明得4分．【一般化探究】若時(shí)，請(qǐng)嘗試探究：（4）若射線、分別是，的等分線為大于2的正整數(shù)），且，．當(dāng)時(shí)，直接寫出與需滿足的條件：．

題型四、“老鷹捉小雞”模型三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.一．選擇題（共4小題）1．（2023春?濱湖區(qū)期中）如圖，把紙片沿折疊，當(dāng)落在四邊形內(nèi)時(shí)，則與之間有始終不變的關(guān)系是A． B． C． D．2．（2023春?巨野縣期末）如圖，在三角形紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在外，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．3．（2023春?定陶區(qū)期末）如圖，把三角形紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形外部時(shí)，則與、之間的數(shù)量關(guān)系是A． B． C． D．4．（2023秋?紹興期中）如圖，將一張三角形紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在外的處，折痕為．如果，，，那么下列式子中正確的是A． B． C． D．二．填空題（共1小題）5．（2023春?東方校級(jí)月考）三角形紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在內(nèi)（如圖），則的度數(shù)為度．三．解答題（共1小題）6．（2023春?襄汾縣期末）如圖，在中，，比大．點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)、分別在線段、上．將折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕分別為和，點(diǎn)、都在射線上．（1），，．（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)、都落在的延長線上時(shí)，與有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在線段上，點(diǎn)落在的延長線時(shí)，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．

題型五、（雙）角平分線模型1.雙內(nèi)角平分線2.雙外角平分線3.內(nèi)角平分線+外角平分線三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.一．選擇題（共1小題）1．（2023?惠陽區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，中，，，、的平分線、交于點(diǎn)．過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，則的周長為A．12 B．13 C．14 D．15二．填空題（共1小題）2．（2023春?揭東區(qū)月考）如圖，在中，和的平分線交于點(diǎn)，若，則．三．解答題（共8小題）3．（2023春?上蔡縣期末）問題情境：如圖1，中，平分，平分．（1）探索發(fā)現(xiàn)：若，則的度數(shù)為；若，則的度數(shù)為．（2）猜想證明：試判斷與的關(guān)系，并說明理由．（3）結(jié)論應(yīng)用：如圖2，在四邊形中，平分，且與四邊形的外角的平分線交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為．4．（2023春?德化縣期末）如圖，在四邊形中，，分別平分和，與相交于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)．（1）已知，求的度數(shù)；（2）若，，，試探究，，三者之間的等量關(guān)系．5．（2023春?南京期末）【初步認(rèn)識(shí)】（1）如圖①，在中，，分別平分，．求證：；【繼續(xù)探索】（2）如圖②，在中，平分，平分外角．求證：；（3）如圖③，、分別平分外角，．則與的數(shù)量關(guān)系是；（4）如圖④，中的兩內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，兩外角平分線交于點(diǎn)，一內(nèi)角平分線與一外角平分線交于點(diǎn)．設(shè)，，，則，，之間的關(guān)系是．6．（2023春?邗江區(qū)校級(jí)期末）如圖1，的外角平分線、交于點(diǎn)．（1）若，則的度數(shù)為．（2）過點(diǎn)作直線，交射線，于點(diǎn)、，并將直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．①如圖2，當(dāng)直線與線段沒有交點(diǎn)時(shí)，若設(shè)，，試探索與，之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)直線與線段有交點(diǎn)時(shí)，試問①中與，之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫出三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系．7．（2023春?商水縣期末）【基本模型】（1）如圖1，在中，平分，平分外角，試說明．【變式應(yīng)用】（2）如圖2，，，分別是射線，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與的平分線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)的過程中，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，，作的平分線，是射線上的一定點(diǎn)，是直線上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，設(shè)的平分線與的鄰補(bǔ)角的平分線的交點(diǎn)為，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．8．（2023春?鄒平市期末）如圖，在中，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，求證：．9．（2023春?高港區(qū)期中）如圖，已知，，兩點(diǎn)分別是、上的兩動(dòng)點(diǎn)，，分別平分和，射線的反向延長線與射線相交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，作的角平分線交射線于點(diǎn)，求的度數(shù)；（3）如圖3，、為線段和上的兩定點(diǎn)，若將沿翻折，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在的內(nèi)部，且滿足，，請(qǐng)求出與，的