四川省內(nèi)江市某校2024-2025學年高三年級上冊期中考試數(shù)學試題

四川省內(nèi)江市威遠中學校2024-2025學年高三上學期期中考

試數(shù)學試題

學校：姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/=｛_4,-2,0,2,4｝，2=次|/+2》-3<0｝，則圖中陰影部分表示的集合為

()

A-{-4,2,4}B-{-4,-2,4}C-{-2,0}D-{-4,-2,0}

2.2024年巴黎奧運會中國代表隊獲得金牌榜第一，獎牌榜第二的優(yōu)異成績?首金是中國組

合黃雨婷和盛李豪在10米氣步槍混合團體賽中獲得，兩人在決賽中14次射擊環(huán)數(shù)如圖，則

()

射擊成績圖

S19

S<8

^1

A167

06

.

S5

O4

.3

61

1。2

11

。

10

99

9.8

9.7

.6

.9

-盛李豪黃雨婷

A.盛李豪的平均射擊環(huán)數(shù)超過］0.6

B.黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的第go百分位數(shù)為10.65

試卷第11頁，共33頁

C.盛李豪射擊環(huán)數(shù)的標準差小于黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的標準差

D.黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的極差小于盛李豪射擊環(huán)數(shù)的極差

3.天上有三顆星星，地上有四個孩子.每個孩子向一顆星星許愿，如果一顆星星只收到一

個孩子的愿望，那么該愿望成真，若一顆星星收到至少兩個孩子的愿望，那么向這顆星星

許愿的所有孩子的愿望都無法成真，則至少有兩個孩子愿望成真的概率是（）

A.11B.7-C.4-D.2-

9993

4.已知sin（a-萬）=2cos（a+P）,tan（cz-尸）=g,則他“'tan'（）

4774

A.-B.-C.-D.-

7465

5.己知函數(shù)一-若正實數(shù)“，"滿足/S）+/（26T）=°,則的最小

''e，+l2ab

值為（）

A.—B,7C.5+372D.4+2收

2

6.已知函數(shù)vH/ix?的圖象與函數(shù)^=優(yōu)（a>0且awl）的圖象關(guān)于直線N=x對

稱，記ga）=〃X）"（X）+"2）-l].若ySg^X^在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)"

_2_

的取值范圍是（）

A.2+co）B.（O,l）u（l,2）cD.

7.己知正項等差數(shù)列購六的前“項和為則"2%+g=%”是“｛瘋｝為等差數(shù)

歹的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

試卷第21頁，共33頁

c.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.設(shè)定義在R上的函數(shù)/(x)與g(x)的導函數(shù)分別為f'(無)和g，(x)，若

/(x+2)-g(l-x)=2>/(x)=g'(x+l)，且g(x+l)為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的

是()

A.y(x)是奇函數(shù)

B.函數(shù)g，(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱

C.點(2后,2)(其中左eZ)是函數(shù)的對稱中心

D-2之023g⑻=。

k=\

二、多選題

9.已知復數(shù)z=-l+3i,3是z的共軌復數(shù)，貝U()

A-|z+3-2i|=V5

B.z的虛部是3i

C.二在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限

D.復數(shù)亍是方程/+2x+8=0的一個根

/(X)

10.函數(shù)"X)=2cos(。尤+夕)(。>0,|<?|<|)相鄰兩個最高點之間的距離為兀,(||，0)為

的對稱中心，將函數(shù)“X)的圖象向左平移色后得到函數(shù)'=g(x)的圖象，貝U()

試卷第31頁，共33頁

A.g⑴在（0強上存在極值點

方程g（）=--）所有根的和為與

B.x

C.若爾加為偶函數(shù),則正數(shù)"'的最小值為展

D.若gf）在（為）上無零點，則正數(shù)”的取值范圍為畤U[5,爭

11.已知函數(shù)/（X）=（x-l）lnx-ax-a（a70）在區(qū)間（0,+oo）上有兩個不同的零點小，x2

且王<工2,則下列選項正確的是（)

A.。的取值范圍是（0,1）B.x{x2-1

.(演+1)&+1)>44

CD.In%1+2a<\nx2<]nxx+2a+—

三、填空題

12.已知雙曲線cW—E=i(a>ob>o）的一條漸近線的方程為x+2y=°,則C的離心

滔b2I

率的值為.

13.已知曲線y=lnx+2與y=in(x+a)的公切線為>=H+lTn2,則實數(shù)a=一.

14.若lnx-a對恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為一

四、解答題

15-V48C的內(nèi)角4Bc的對邊分別為服bc,已知2a_6=2ccos8,

試卷第41頁，共33頁

⑴求角C；

⑵若"=1,點”滿足赤=2麗，且號4=9,求V為8。的面積.

16.已知橢圓C：江+片=1(”6＞°)的離心率為交，且過點伍網(wǎng).

a2b22

(1)求C的標準方程；

(2)過C的左焦點且斜率為M左40)的直線/與。交于42兩點，。為坐標原點，當△0/2

的面積為又時，求人的值.

3

17.甲、乙兩人進行象棋比賽，賽前每人有3面小紅旗.一局比賽后輸者需給贏者一面小紅

旗；若是平局就不需要給紅旗，當其中一方無小紅旗時，比賽結(jié)束，有6面小紅旗者最終

獲勝.根據(jù)以往兩人的比賽結(jié)果可知，在一局比賽中甲勝的概率為0.5，乙勝的概率為04

(1)設(shè)第一局比賽后甲的紅旗個數(shù)為P，求y的分布列和數(shù)學期望；

A.A.

(2)求比賽共進行五局且甲獲勝的概率；

(3)若比賽一共進行五局且第一局是乙勝，求此條件下甲最終獲勝的概率(結(jié)果保留兩位有

效數(shù)字).

18.三角函數(shù)是解決數(shù)學問題的重要工具.三倍角公式是三角學中的重要公式之一，某數(shù)學

學習小組研究得到了以下的三倍角公式：①sin30=3sin0-4si/0；②

cos30=4cos3。-3cos。?根據(jù)以上研究結(jié)論，回答：

(1)在①和②中任選一個進行證明；

(2)已知函數(shù)/3=工3-3辦+。2有三個零點斗,了2，三且王＜尤2＜尤3?

(i)求°的取值范圍；

試卷第51頁，共33頁

2

(ii)若再苫2退=-1，證明：x?-Xj-x3-

19.定義：從數(shù)列｛氏｝中隨機抽取加項按照項數(shù)從小到大的順序依次記為氣，心，…,火.

(kt<k2<-<kmy將它們組成一個項數(shù)為加的新數(shù)列也｝，其中4=%(』,2,…,加)，若

數(shù)列低｝為遞增數(shù)列，則稱數(shù)列也,｝是數(shù)列｛%｝的“加項遞增衍生列”；

｛%｝,,"=1,3,5｛bn｝｛an｝

⑴已知數(shù)列滿足%=4"，數(shù)列是的“3項遞增衍生列”，寫出所

22,〃=2,4,6

有滿足條件的也“｝；

(2)已知數(shù)列｛.“｝是項數(shù)為加的等比數(shù)列，其中加23,若數(shù)列也.｝為1，16,81,求證：數(shù)

列他,｝不是數(shù)列｛%｝的“3項遞增衍生列”；

(3)已知首項為1的等差數(shù)列｛叫的項數(shù)為14,且gq=105,數(shù)列低｝是數(shù)列｛叫的“加

;=1

項遞增衍生列”，其中1WH7V14.若在數(shù)列｛a｝中任意抽取3項，且均不構(gòu)成等差數(shù)列，

求m的最大值.

試卷第61頁，共33頁

參考答案:

題號12345678910

答案ACCDDDCCACAC

題號11

答案BCD

1.A

【分析】先求出3={尤［-3<x<l}，由圖知道陰影部分表示A中把B中去掉后剩下元素組成

的集合，寫出結(jié)果即可.

【詳解】S=|X|X2+2X-3<0}={X|-3<X<1},由圖知道陰影部分表示4={-4,-2,0,2,4}

中把5={x|-3<x<1）中去掉后剩下元素組成的集合.

即圖中陰影部分表示的集合為A=b4,2,4}.

故選：A.

2.C

【分析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)可直接判斷選項A,利用第go百分位數(shù)的解法直接判斷選項B,根

據(jù)圖表的分散程度即可判斷選項C,根據(jù)極差的求法直接判斷選項D.

【詳解】由題知，盛李豪的射擊環(huán)數(shù)只有兩次是log環(huán)，5次10.6環(huán)，

其余都是10.6環(huán)以下，所以盛李豪平均射擊環(huán)數(shù)低于io.6,故A錯誤；

由于14x0.8=11.2,故第80百分位數(shù)是從小到大排列的第12個數(shù)10.7,故B錯誤；

由于黃雨婷的射擊環(huán)數(shù)更分散，故標準差更大，故C正確；

黃雨婷射擊環(huán)數(shù)的極差為10.8.9.7=1.1，

盛李豪的射擊環(huán)數(shù)極差為10,8_10.3=0.5,故D錯誤.

故選：C

3.C

【分析】利用古典概型的概率公式，結(jié)合排列組合知識求解.

答案第11頁，共22頁

【詳解】四個孩子向三顆星星許愿，一共有3,=81種可能的許愿方式?

由于四個人選三顆星星，那么至少有一顆星星被兩個人選，這兩個人愿望無法實現(xiàn)，至多

只能實現(xiàn)兩個人的愿望，

所以至少有兩個孩子愿望成真，只能是有兩顆星星各有一個人選，一顆星星有兩個人選，

可以先從四個孩子中選出兩個孩子，讓他們共同選一顆星星，其余兩個人再選另外兩顆星,

有C；C；A；=36種情況，

所以所求概率為尸

故選：C.

4.D

【分析】由兩角差的正弦公式、兩角和的余弦公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式中的商關(guān)

系、兩角差的正切公式進行求解即可.

【詳解】由sin（a一夕）=2cos（a+夕）=>sinacos0-cosasin夕=2cosacos夕一2sinasin°

sinacos（3-cosasin（3_2cosacos-2sinasinf3

-Z*-=>tana-tan/?=2-2tanextan/?,

cosacos（3cosacos夕

由tan（a一夕）=工n一電!=J_=>tanatan/?=2（tana-tan夕）一1,

21+tan?tan/?2

于是有tana-tanB=2-2[2(tana-tan夕)一1]ntana-tan/?=—,

故選：D

5.D

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，據(jù)此可得〃+26=1，再由基本不等式求最值即可.

【詳解】因為小)="彳，所以函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,

11e'+l—l111、

又/（-%）=-----------------=--------------=-t（X）'

e-x+l-2l+ex22ex+l

答案第21頁，共22頁

所以〃X)為奇函數(shù)，且易知“X)在R上單調(diào)遞減，

又/⑷+/(26-1)=0,即/(?)=-fQb-1)=/(I-2b)

所以a=l-26，即4+26=1，

2+2=2+如竺=4+2+網(wǎng)上4+2夜，當且僅當2=2即〃=迪匚6=U時等號

abababab7’7

成立，

故選：D

6.D

【分析】求出函數(shù)的解析式代入將函數(shù)g(x)表示出來，對。進行分類討論，利用復

合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】：函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)歹=優(yōu)(口＞0且OH1)的圖象關(guān)于直線V=X對稱，

?*,y=與y="互為反函數(shù),

???/(x)=log“x，

2

g(x)=/(x)[/(x)+/(2)-1]=(logax)+(loga2-l)logaX，

令t=log“x,函數(shù)可化為仲)=d+(log“2一對稱軸為直線幽lT°g“工.

2

當"＞1時，feloga|,loga2，〃x)T°g廠為增函數(shù)，若"g(x)在區(qū)間1,2上是增

函數(shù)，貝心⑺在log“2：上為增函數(shù)，

1一10&2《嚏J,解得0＜。4工，不合題意，舍去.

2a22

答案第31頁，共22頁

當0<°<1時，feloga2,loga|,/(*)=唾尸為減函數(shù)，若>=g(x)在區(qū)間1,2上是

增函數(shù),則'⑹在1□

2,log”一。上為減函數(shù),

?log/

>log—,解得0<aV—.

a22

綜上得,的取值范圍是0,；

故選：D.

7.C

【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公式為

右2%+%=%，則3%+d=q+2d，故d=2%>。，

故S“=+

故后=師，故底一質(zhì)=在即｛后｝為等差數(shù)列，

故“2%+%=%”是“底為等差數(shù)列”的充分條件?

若｛瘋｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為4,則底=石+("1)4,

故s”=(-4+”4),

答案第41頁，共22頁

=4(2■-3山+2nd),其中〃22.

因為初"0為等差數(shù)列，故"'也應(yīng)該符合上式，故％=4(2苑-4),

故4=直，故S.=〃2Q/故%=2?%—%=3%，

a3=32%—22%=5%，故2%+電=5%=a3，

故“2%+出=%”是“｛卮｝為等差數(shù)列”的必要條件.

綜上，“2%+%=?”是“｛后｝為等差數(shù)列”的充要條件，

故選：C.

8.C

【分析】對于A,由g(x+I)為奇函數(shù)，可得g(x)的圖象關(guān)于(1,0)中心對稱，由

/,(x)=g,(x+l)＞可得/(x)=g(x+l)+2,再求得了⑼=2，即可判斷;對于B,對

g(17)=_g(x+l)兩邊求導,即可判斷；對于C,結(jié)合g(x)的對稱性及/(x)=g(x+l)+2,

可得了(X)的一個對稱中心為(0,2)及/(X)的圖象關(guān)于X=1對稱，即可判斷；對于D,由已

42023

知可得的周期為,再由￡g(左)=5O5[g⑴+g(2)+g(3)+g(4)]+g(l)+g(2)+g⑶求解

k=\

即可判斷.

【詳解】解：對于A,因為g(x+l)為奇函數(shù)，所以g(l-x)=_g(x+l)，

所以g(x)的圖象關(guān)于(1,0)中心對稱；

答案第51頁，共22頁

又因為r(x)=g(x+1),所以/(1)+.=8卜+1)+仇。,6€1<，

又因為/(x+2)-g(l-x)=21所以/(x)-g(3-x)=2，

所以g(3-x)+2+a=g(x+l)+b,

令x=1，得g(2)+a+2=g(2)+b，

所以a+2=b,

所以g(3-x)=g(x+l)'

所以/(x)=g(x+l)+2>

所以g(x)關(guān)于x=2對稱，

所以/(0)=g(3)+2=g(D+2=2，

所以〃x)一定不是奇函數(shù)，故A錯誤；

對于B,因為g(i-x)=-g(x+l)，

兩邊求導得g，Q+x)-g，(l-x)=O,

即g,(l+x)=g,(l-x)，

所以g，(x)的圖象關(guān)于X=1對稱，故錯誤；

對于C,由A可知，g(x)關(guān)于x=2對稱，

又因為g(x+l)為奇函數(shù),/(x)=g(x+l)+2,

所以/(x)的一個對稱中心為(°，2)，

又因為f(x+2)-g(l-x)=2，

答案第61頁，共22頁

所以〃x+2)=/(-x)，

所以/(%)的圖象關(guān)于x=l對稱，

則點(2左,2)(其中左EZ)是函數(shù)/(%)的對稱中心，故正確；

對于D,因為g(l)=O，g(x)關(guān)于x=2對稱，

所以g(3)=0，

又因為g(x)的圖象關(guān)于(1,0)中心對稱，

所以g(x)的周期為4，

所以g(2)+g(4)=g(2)+g(0)=0，

故g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=0，

2023

所以Xg住)=505[g(l)+g⑵+g⑶+g(4)]+g(l)+g⑵+8⑶=g(l)+g⑵+8⑶=g⑵

k=l

而g(2)的值不確定，故錯誤.

故選：C.

【點睛】結(jié)論點睛：如果函數(shù)"X)滿足]/(a+x)=/(。一X),則函數(shù)”X)的周期

[f(b+x)=-f(b-x)

T=4\a-b\.

9.AC

【分析】利用復數(shù)的定義、模長公式、幾何意義、共輾復數(shù)定義與方程的解法一一判定選

項即可.

【詳解】由題意可知z+3-2i=2+i，所以|z+3-2i|=6，故A正確；

答案第71頁，共22頁

易知Z的虛部是3，故B錯誤;

z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為位于第二象限，故C正確；

對于*2+2無+8=0nx=±扃=-1土訪，

2

顯然彳=_1_3i不符合題意，故D錯誤?

故選：AC

10.AC

【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)“X）及gQ）的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)逐項

分析判斷得解.

【詳解】依題意，—=71,解得°=2,由）=0,得次網(wǎng)%=左+—壯，

CD12122

而，則左=0,夕=一（/（x）=2cos（2x-y）,g（x）=2cos[2（x+-—f-j]~cos（2x-—）,

對于A,當工￡（0,2）時，2x--^——）,顯然當2x-四=0時，函數(shù)g（“）取得極大值，

126636

A正確；

對于B,由gg）=0,得函數(shù)、=g（x）的圖象關(guān)于點q,o）對稱，直線y=過點

q,o）,

因此直線了=-?與＞=g（x）的圖象交點關(guān)于點（1,0）對稱，共有2"+1，"eN個交點，

即方程8。）=3右-§）共有2"亙個根，所有根的和為怨兀，不存在”使得言1兀=?,

答案第81頁，共22頁

B錯誤;

對于C,函數(shù)g（x+加）=2cos（2x+2加-烏）是偶函數(shù)，貝!!2㈣-工/左1kxe

66

"7=紅+'佑ez,因此當勺=°時，正數(shù)加取得最小值M,c正確；

21212

對于D,函數(shù)g(Zx)=2cos(2x-馬，當xe(今一)時，Zx--^(——,

263263626

由g4x)在(")上無零點，得(孚1野))仁階q,E+R#eZ,

232362622

兀元7172>3*-14

------>ku—2左+—>3左一1

362,keZ,解得；左+顯然,3

則L42±''eZ,，左￡Z,

兀既I-34

------<kuH—2左+—>0

I2623

即-左＜g,后eZ,于是，LI2,所以正數(shù)"的取值范圍為（?！渡舰迫ǔ继朷,D

錯誤.

故選：AC

11.BCD

【分析】先令"幻=°,參變分離化簡，得a=3lnx,我們將題中函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)

X+1

化為，函數(shù)交點問題，然后求得。的取值范圍；利用圖像可知兩個零點的大小關(guān)系，然后

去驗證兩個關(guān)系即可；然后利用兩個的關(guān)系，利用基本不等式判斷G+l）（x,+l）＞4；假設(shè)

4a

InX]+2.vlnx?＜lnX]+2°+H正確，利用零點與的關(guān)系消兀，然后利用不等式性質(zhì)以及

構(gòu)造函數(shù)證明即可.

答案第91頁，共22頁

【詳解】令/(x)=(x-l)lnx-ax-a=O=>Q=-----Inx，

x+1

令g(x)=——Inx，

x+1

由題可知，g(xj=g(z)=",g,(x)=2xlnx+x：-l.

x(x+l)

2X=

人,/、2x]nx+x-1八4B1

令g(x)=-(,、2=0'侍'

x(x+l)

顯然，當%￡曾0,1。時，g'(x)<。,所以g(x)=￡inx單調(diào)遞減;

當xefl,Hco(J時，g'(x)>0,所以8口卜舒也尤單調(diào)遞曾

g"，得g(x)=flnx示意圖

所以a>0都符合題意，故A錯誤;

由示意圖可知項目圖2，

顯然g[g]=Llng=Ulnx=g(x),

yAy上+]AAil

X

當人丫?/>U0且人Y?W干11.時，易知X取兩個互為倒數(shù)的數(shù)時，函數(shù)值相等,

答案第101頁，共22頁

因為g(xJ=g(X2)=a，所以和乙互為倒數(shù)，即再々=1,故B正確;

(再+l)(x2+1)=x[x2+(^+x2)+l>xxx2+2Jr/?+1=4，

等且僅當西=、2=1時等號成立，

因為為目圖它所以(石+1)&+1)〉4,故C正確；

因為*“2-1,要證出西+2a<In/<ln%i+2。+1,

、42

即證-In%+2。vIn/<-In/+2。+§nQ<Inz<。+§，

因為g(xJ=g(X2)=a,所以a=±linz，

x2+1

即證&--Inx2<lnx2<—―-lnx2+—,

x2+1x2+13

我們分別證明生一-lnx2<lnx2,lnx2<—-lnx2+—，

x2+1x2+13

證明^2—Ljnx2<Inx2：

x2+1

因為lv%，

JQ—1X—1

所以In%>0,0<x2-l<x2+l=>^——<1=>———lnx2<lnx2,

x2+1x2+1

證明In/<—~-lnx2+—：

x2+13

要證lnx2<jWln%+g,即證31nx2<%+1,

答案第111頁，共22頁

不妨設(shè)〃（x）=x+l_31nMx>l）,得〃3=1_J

顯然,當xe(l,3)時,喇°,此時〃邕丫°單調(diào)遞減；

當xe(3,+的時，,此時單調(diào)遞曾

故〃(x"/z(3)=4-31n3>0，故x+1-31nx>0，即x+l>31nx，

所以證得"nZ<%+1,即證得in.<^—^lnx2+-,

x2+l3

4

即得kiX]+2a<In無2<In》]+2a+§,故選項D正確.

故選：BCD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：零點問題解決的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，有變量的式子，我們經(jīng)常參變分離，

然后將零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，畫圖判斷即可；對于選擇題中的一些選項，

我們可以假設(shè)正確，然后驗證即可；題中存在多個變量，我們經(jīng)常需要找到變量之間的關(guān)

系，然后消元，變成一個變量，然后解決即可.

12.嶼_

2

【分析】由已知可得2=1,進而可求雙曲線的離心率.

a2

22的一條漸近線的方程為八°

【詳解】因為雙曲線C:\-4=1(4>06>0)12

所以(=；，所以雙曲線的離心率為"小布=日?

故答案為：巨

2

答案第121頁，共22頁

13.]

【分析】設(shè)切點坐標為“'必-幻，求得切線方程y=lx+lnt+l,根據(jù)題意，求得,=

t2

得到切線方程為尸2x+17n2,再設(shè)切點為(九ln(m+a)),結(jié)合切點在切線上和=

m+a

列出方程組，即可求解.

【詳解】由函數(shù)、=1"+2,可得y=J",

X

設(shè)切點坐標為億111"“，可得V憶尸，則切線方程為y_(in/+2)=l(xT),

即y=L+lnf+l,與公切線了=區(qū)+1一山2重合，可得hU+l=l-ln2

可得t=L所以切線方程為k2x+In2

2

對于函數(shù)y=E(x+a),可得y=L,設(shè)切點為(九In(相+a))'則以V，

x+a

In(加+。)=2加+1-In211

口m=——，4=1

則1，解得2

-------=2

、冽+Q

故答案為：1

1

14.—,+oo

e

【分析】通過變形將條件化為辦卜八，+恒成立，構(gòu)造函數(shù)〃(

(e^+l)>lnx1)x)=x(ee**+l

答案第131頁，共22頁

定其單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為皿，再利用導數(shù)研究夕(%)=皿的單調(diào)性及最值計算即可.

XX

【詳解】兩邊同乘以“后移項,得辦e"xN(x+l)lnx-G'即+1)2上工卜111，+1),

令〃(x)=x(e"+iy貝【J有九(ax)N〃(lnx)=xex+e“+1，

由xeiO,Hco?知〃，@)>0,所以〃⑺在我啟上單調(diào)遞增.

因為〃(叼>*(1門)，所以"Nlnx,所以丑皿，

X

令(p(x)=(x>0)=>d(X)=--,

XX

顯然當0c<e時，9於力③0,當x>e時,。曾x)00,

所以9於1在(。⑼上遞增，在(e,+8)上遞減，

所以"('Lx=W(e)=L所以4之1.

Qe

故答案為：p+c0^-

15.(1)C=-

3

(2)盤

4

【分析】(1)利用正弦定理及正弦和角公式可得cosC='，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍可得

2

結(jié)果.

答案第141頁，共22頁

(2)利用線性運算表示8,根據(jù)口4可求出",根據(jù)面積公式求解.

【詳解】⑴V2a-b=2ccosB,

..由正弦7E理侍，2sinZ-sin8=2sinCcos3'

,?2sin(5+C)-sin5=2sinCcos5，

**2sinBcosC+2cos5sinC-sin5=2sinCcosB'

**2sin5cosC-sinS=0'

???3G10,n0,

Asin5>0,

.1

??cosC——,

2

?CG(0,71)，

:.c=~.

3

(2)

A

---?■,――---?y.---?j.\I?y---?

由題意得，CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-(CB-CA]=-CA+-CB,

—33、,3--------3

???|西=衿+汐=以|西2+4阿+疝.而=乎

答案第151頁，共22頁

2

PI+4|函2+4五在=7,即從3a2回成《曲，

〃+26—3=o,解得6=1或6=-3（舍去），

?..V/8C的面積為J^sinc二工xlxlx"=E-

2224

16.⑴二+J；

168

⑵后=±「

【分析】（）依據(jù)題給條件列方程求得〃/,的值，進而求得的標準方程；

1￡1、UC

（2）先設(shè)直線/的方程為P=Mx+2&）,與橢圓方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法列出關(guān)

于△0/3的面積的方程，解之即可求得左的值.

【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c,由題意得，

c_V2卜=4

“一21b=2叵168

,a2=b2+c2＞解得c=2VT‘'的標準方程為

46,1

----1----=1

（2）由（1）得，橢圓C的左焦點為尸卜2虛,0）,

設(shè)直線/的方程為〉=后打+2吟,令/（西,%），

22（2^2+1）x2+8V2/c2x+16A-2-16=0

土+2一1

聯(lián)立168,整理得

y=左（1+2行）

答案第161頁，共22頁

8岳21642-16

??x+x=-，x；x2=

122F+12k2+1

西一七|=］（網(wǎng)+%）2—4%毛=，

?,$△0"=；x|O司x|x一刃=力冏.上一引=8萬臥護7116,

2k2+13

解得后=±「

17.（1）分布列見解析，期望為3.1

(2)0.225

(3)0.48

【分析】（1）求出廠的可能取值和相應(yīng)的概率，得到分布列，計算出數(shù)學期望;

（2）分兩種情況，計算出概率相加得到概率；

（3）設(shè)出事件，利用條件概率公式得到答案.

【詳解】（1）X的可能取值為2,3,4,

其中尸(X=2)=0.4,尸(X=3)=0.1，尸(X=4)=0.5,

所以分布列為

"234

F0.40.10.5

數(shù)學期望為EX=2xO.4+3xO,l+4x0.5=3.1

（2）比賽共進行五局且甲獲勝，則前4場甲贏2場，平局2場，最后一場甲贏,

或前3場甲贏2場，輸1場，第4場和第5場最后一場甲均贏，

故概率為c；x0.52X0.1X0.5+C1X0.52x0.4x0.5=0.225，

（3）設(shè)比賽一共進行五局且甲最終獲勝為事件A，

比賽一共進行五局且第一局是乙勝為事件,

DR

答案第171頁，共22頁

故P(/8)=0.4X0.54=0.025,

事件B包含三種情況，一共進行五局，甲后4局獲勝，

第2場，第3場和第4場中乙勝1場，平局2場，第5場乙勝,

第2場或第3場甲勝，剩余3場乙勝，

尸⑶=0.4x0.54+C；0.Fx0.43+C；0.5x0.44=0.05252，

故比賽一共進行五局且第一局是乙勝，此條件下甲最終獲勝的概率為

RO.48

18.(1)證明見解析;

(2)(i)io,4?；(ii)證明見解析；

【分析】(1)轉(zhuǎn)化為兩角和的公式求解；

(2)⑴/1x)=3x2-3。，分和。＞0，根據(jù)函數(shù)〃x)=x3-3ax+/有三個零點求

解;

(ii)設(shè)/(x)=x3—3ax+/=卜_七)(%_工2)卜_七)，由/⑼=a2=-x1%=1，0<a<4>

得至b=1,利用零點存在定理得到方程/_3尤+1=0的三個根均在(-2,2)內(nèi)，將方程

-一3x+l=。變形為，=3三一4.隹Y，令2=sinoJa；O＜一］,再利用三倍角公式求解.

22。2I22J

【詳解】(1)若選①，證明如下:

sin30=sin(2。+。)=sin20cos0+cos26sin。=2sin0cos20+(1-2sin26)sin0

=2sin0(1-sin20)+(1-2sin20)sin0=3sin0-4sin30

若選②，證明如下：

cos3。=cos(2。+。)=cos20cos0-sin20sin0=^2cos26-l)cos。-2sin20cos0

答案第181頁，共22頁

=2cos3。-cos。一2(1-cos?。)cos0=4cos%-3cos0?

(2)(i)解：/r(x)=3x2-3a9

當QVO時,/，(工)20恒成立,所以/(%)在(—oo^+oo)上單調(diào)遞增，至多有一個零點;

當。>0時，令/(%)=0，得'=±五；

令得—?<x<?，

令/'(工)>0，得或％>右，

所以/(x)在卜右，夜)上單調(diào)遞減，在卜8,一夜),(6,+8)上單調(diào)遞增.

/W八-C)>o+2°6>00<”4

若有三個零點，則J，即一2c解得

7(6)<0

當0<a<4時，a+A>4a,

且/(〃+4)=(Q+4)3-3a(〃+4)+/=(Q+4)(/+5〃+16)+/>0,

所以〃x)在(五。+4)上有唯一一個零點,

同理<-y/~a,g^-2y/a^=-2ay/~a+a2=aja^4a-2^<0,

所以〃x)在卜26,一夜)上有唯一一個零點.

又“X)在卜夜,上有唯一一個零點，所以〃x)有三個零點,

答案第191頁，共22頁

綜上可知。的取值范圍為（0,4）?

32

(ii)證明:/(x)=x-3ax+a=(x-x2)(x-x3),

2

則/(0)=a=-xtx2x3=1,

又0<a<4，所以a=「

此時〃一2)=T(0J(T)=3)0