四川省2025屆高三年級上冊一?？荚嚁?shù)學(xué)試題（解析版）

數(shù)學(xué)

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、班級、考場/座位號用0.5毫米黑色簽字筆填

寫清楚，考生考試條碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“條碼粘貼處”.

2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后

再填涂其他答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)

域答題的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.

3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)符合題目要求.

1.已知i為虛數(shù)單位,則（1+1）+2（1T）的值為（）

A.4B.2C.0D.4i

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則及虛數(shù)單位的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】因?yàn)椋╨+i）2+2（1—i）=l+2i+i2+2—2i=2

故選：B.

2.已知集合4={尤卜1?%<2},B={x|-?<x<?+l}（貝I"a=l”是“ARB”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可求出結(jié)果.

【詳解】當(dāng)。=1時(shí)，B={x|-1<%<2},此時(shí)A=5，即可以推出人口5,

—（2<1

若Au5,所以《；、,得到。之1,所以Au5推不出。=1,

—[a+l>2—

即“a=1”是“A屋5”的充分不必要條件，

故選：A.

22

3.若雙曲線E：0—2=1（?！?］〉0）的一條漸近線的斜率為若，則E的離心率為（）

A.141B.2C.73D.72

【答案】B

【解析】

【分析】先求出雙曲線的漸近線方程為_y=±2%,結(jié)合條件得到2=也，即可求解.

aa

22〃〃

【詳解】因?yàn)殡p曲線「一與=1的漸近線方程為y=±—x,由題知2=石，

abaa

所以離心率e=￡=Jl+J=A/1+3=2，

axa'

故選：B.

4.如圖，在VABC中，點(diǎn)。，E分別在AB，AC邊上，且5￡）=。4，AE=3EC，點(diǎn)產(chǎn)為OE中

點(diǎn)，則=（）

1333

A.——BA+-BCD.-BA+-BC

88428884

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用向量的中線公式，得到3歹=；（3。+3石），再利用向量的線性運(yùn)

算，即可求解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸為OE中點(diǎn)，所以3歹=：（3。+3￡）,又BD=DA，AE=3EC，

一1一一1-1--1.1一1——1一一3-3--

所以5尸=］（5。+鹿）=1癡+5（5。+］04）=］癡+55。+豆（癡一3。）=&胡+耳5。

A

a

B^------------------

故選：C.

5.一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去200天的日銷售量(單位：kg),將全部數(shù)據(jù)按

區(qū)間［50,60),［60,70),…，［90,100］分成5組,得到如圖所示的頻率分布直方圖：

根據(jù)圖中信息判斷，下列說法中不恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)是()

A.圖中。的值為0.005

B.這200天中有140天的日銷售量不低于80kg

C.這200天銷售量的中位數(shù)的估計(jì)值為85kg

D.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能85%地滿足顧客的需要(在100天中，大約有85天可以滿足顧客

的需求)，則每天的蘋果進(jìn)貨量應(yīng)為91kg

【答案】D

【解析】

【分析】選項(xiàng)A,利用頻率分布直方圖的性質(zhì)，即可求解；選項(xiàng)B,利用頻率分布直方圖，得到不低于80

kg的頻率為0.7,即可求解；選項(xiàng)C,設(shè)中位數(shù)為了,根據(jù)條件，建立方程(％-80)x0.4=02,即可求

解；選項(xiàng)D,將問題轉(zhuǎn)化成求第85%分位數(shù)，即可判斷出正誤.

【詳解】對于選項(xiàng)A,由圖知(a+a+0.02+0.04+0.03)x10=1,解得。=0.005,所以選項(xiàng)A正確，

對于選項(xiàng)B,由圖知日銷售量不低于80kg的頻率為0.7,由0.7x200=140,所以選項(xiàng)B正確，

對于選項(xiàng)C,設(shè)中位數(shù)為x,由(％—80)x04=0.5—0.2—0.05—0.05,解得x=85,所選項(xiàng)C正確，

對于選項(xiàng)D,設(shè)第85%分位數(shù)為則有(100—a)x0.03=0.15,得到。=95,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：D.

6.函數(shù)/(x)=；cosm(e*—ef,1?-4,4)的圖象大致為()

【解析】

【分析】根據(jù)條件，得到/⑴為奇函數(shù)，從而可排除選項(xiàng)A和B,再結(jié)合C0S71X與e-e-'在xe”4

上的正負(fù)值，即可求解.

【詳解】因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又

1

f(-%)=—cos(-TLX),(e——COS7LX-

4

即/(x)=—COS7LX.(e*-er)為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)A和B錯(cuò)誤,

77兀I7?7兀

又當(dāng)X二一時(shí)，COS7LX=COS—=0,當(dāng)一,4時(shí),(―,4?1),此時(shí)COS7LT>0,

2212)

又易知當(dāng)尤>0時(shí)，ex—}*>0,所以時(shí)，/(x)>0,結(jié)合圖象可知選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正

確，

故選：D.

7.已知正四棱錐P-A5CD的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且該球的體積為36兀，若正四棱錐尸-A5CD的

高與底面正方形的邊長相等，則該正四棱錐的底面邊長為()

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)正四棱錐及球的特征、體積公式結(jié)合勾股定理計(jì)算即可.

如圖所示，設(shè)尸在底面的投影為G,易知正四棱錐P-ABCD的外接球球心在PG上,

不妨設(shè)球半徑丫,OG=h,AB=2a,

4o

該球的體積為36兀，即一兀/=36兀=>〃=3=OA=QP,

3

又正四棱錐夕-A8CD的高與底面正方形的邊長相等，

則AG=42a,PG=2a,AG2+OG2=r2=(PG-，

即卜2"獷=9=「=i.

22

I2a+/z=9\2a=4

故選：c

8.已知Q,/?,C￡(0,4),且滿足1=cos?3，be2b=1,ln(c+l)=cosc,則()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

【答案】A

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=xe2x(x>0),g(x)=V^-ln(x+l)(%>0),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合二倍

角公式及余弦函數(shù)圖象計(jì)算即可.

令/(x)=xe"(x>0),g(x)=4-ln(x+l)(x>0),

則/(%)=2-x>0,g，(x)='廠/)、>0-

所以f(%),g(%)均單調(diào)遞增，

又/H=1〉L/(0)=0,所以8

g⑼=0(g(x)n?)ln(x+l),

.+12ar~

田------=cos—=>A/q=cosa，即。為y[~X=cosx的零點(diǎn),

22

而ln(c+l)=cosc,即c為ln(x+l)=cosx的零點(diǎn)，

作出y=?,y=ln(x+l),y=cosx大致圖象如上，易知,

0R◎6兀11,

因?yàn)镴———<—=cos—<cos—a>—9綜上c>a>b.

V222622

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于比大小問題，通常利用構(gòu)造函數(shù)的方法，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，還可以通過數(shù)

形結(jié)合的方法比較大小.

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.己知函數(shù)/'(x)=sinox+Gcos0X(0>O)最小正周期為兀，則()

A./(司的最大值為2

B.”力在上單調(diào)遞增

\36J

C./(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)[丑]中心對稱

D./(尤)的圖象可由y=2cos2x的圖象向右平移￡個(gè)單位得到

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用輔助角公式及周期公式可得函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)的值域、單調(diào)性、對稱性及圖象變換一

一判定選項(xiàng)即可.

【詳解】易知/(x)=sin<?x+J§cosox=2sin|ox+巴],其最小正周期為7=空=兀，

I3JCD

所以g=2,即/(x)=2sin[2x+1],顯然/(x)W2,故A正確；

717r71

令2%+—￡---\-2kn,—+2kii=>XG--—+H,-+^7teZ),

3221212')

(兀兀7C兀/、

顯然區(qū)間一不：不是區(qū)間-^+配石+也(keZ)的子區(qū)間，故B錯(cuò)誤;

V36JL1212_

7171

令1=———2犬+—=0,則是"％)的一個(gè)對稱中心，故C正確;

63

TT

將y=2cos2x的圖象向右平移一個(gè)單位得到

故D正確.

故選：ACD

22

10.已知橢圓E:?+g=l的左頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳，過點(diǎn)片的直線與橢圓相交于RQ

兩點(diǎn)，則()

A.陽閭=1

B.|P2|<4

C.當(dāng)斗產(chǎn),。不共線時(shí)，△丹PQ的周長為8

D.設(shè)點(diǎn)p到直線x=-4的距離為d,則1=2|。4|

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓方程、焦點(diǎn)弦性質(zhì)和橢圓定義可知ABC正誤；設(shè)PG。,小)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)在

橢圓上可化簡求得D正確.

22

對于A,由題意知：a=2,6=君，,-,c=Va-^=b，用用|=2c=2,A錯(cuò)誤;

對于B,?.?尸。為橢圓。的焦點(diǎn)弦，二|尸。歸2"=4,B正確；

對于C,\PF1\+\PF2\=\QFl\+\QF2\=2a=4,

???巴尸。的周長為|PQ|+|P閭+|Q閭=|「耳|+|%|+|Q周+|Q閭=8,c正確;

對于D,作垂直于直線I=-4,垂足為四，

設(shè)POo，%)，則1=忸冽=1/+4|,

2x

耳(一1,0),\PFX\=J(x()+1)2+=J(XO+1)+3--|%0=J~0+2x0+4=

卜+2

.?.2|P周=%+4|,.?"=2歸行|,D正確.

故選：BCD.

11.已知函數(shù)/(x)=(x—l)e=x,則下列說法正確的是()

A./(%)的極小值一定小于—1

B.函數(shù)y=/(/(x))有6個(gè)互不相同的零點(diǎn)

C.若對于任意的XCR,f(x)>ax-l,則。的值為—1

D.過點(diǎn)(0,-2)有且僅有1條直線與曲線y=/(x)相切

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合隱零點(diǎn)判定極小值點(diǎn)的范圍，計(jì)算即可；對于B項(xiàng)，

利用數(shù)形結(jié)合的思想結(jié)合A的結(jié)論即可判定；對于C項(xiàng)，含參討論結(jié)合端點(diǎn)效應(yīng)計(jì)算即可；對于D項(xiàng)，利

用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值即可.

【詳解】對于A,易知/'(x)=xe*-l,令g(x)=xe*—lng'(x)=(x+l)e”,

易知(—8,—1)上g(X)單調(diào)遞減，(—1,+")上g(x)單調(diào)遞增，

而x<0時(shí)g(X)<0恒成立，

且g1>21-1(“式嶺―1>0,

所以lx。使得g(xo)=/e*>-1=0,

則在(-co,/)上/(尤)單調(diào)遞減，在(為,+8)上/(%)單調(diào)遞增,

即x=x0時(shí)，/(%)取得極小值，極小值為/(/)</(0)=—1，故A正確;

對于B,由上知在(-8,%)上〃龍)單調(diào)遞減，在(%，+a)上/(%)單調(diào)遞增，

9

且〃T=l——>0,〃2)=e2—l>0,/(x)>/(x0),

e

則叫e(-l,x0),x2e(x0,2),使得/(%)=〃％)=0,

又知;■?？诠ぁā?)=3—W>2

e

則/(%)=%,顯然存在兩個(gè)不同的根，且/("=%2也存在兩個(gè)不同的根，

即函數(shù)y=/(/(x))有4個(gè)互不相同零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對于C,若對于任意的xeR,f(x)>ax-l,

即(x—l)e*—(a+l)x+l20,

4-/i(x)=(x-l)el-(a+l)x+l=>/z,(x)=xeA-(a+1),

若a>—1,貝函(0)=—a—1<0,

x

根據(jù)上證y=xe的性質(zhì)知3%3>0,使得〃'(七)=0,

即(。，七)上人(%)單調(diào)遞減，此時(shí)網(wǎng)％)<〃(0)=0,不符合題意，

若a=—1,則有外外在(—8,0)上單調(diào)遞減，(0,+")上單調(diào)遞增，

gp/i(%)>/z(O)=O,符合題意，

若。<一1,此時(shí)/z'(0)=-a—l>0,

則區(qū)間(-1,0)上一定存在子區(qū)間使得可對單調(diào)遞增，

而〃(o)=o,則人(九)含有小于零的值，不符合題意，故c正確；

對于D,設(shè)過(0,—2)與曲線y=/(x)相切的切線切點(diǎn)為(a,7(a)),

則/(〃)+2=/'(〃)=(〃_]/"一〃+2=a2ca-a,

整理得(〃2—.+l)e"—2=0,

令根(a)=(々2+—2n根'(a)=(^a2+ajea,

可得(—1,0)上加(。)單調(diào)遞減,(―8,—1),(。,+。)上m(a)單調(diào)遞增，

即a=—1時(shí)m(a)取得極大值/n(-l)=--2<0,

m(l)=e-2>0,則裕e(0,l)使得》!(4)=0,且〃z(a)=0的根唯一，故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于A項(xiàng)，利用隱零點(diǎn)判定極小值點(diǎn)的范圍，結(jié)合單調(diào)性即可判定；對于B項(xiàng)，利用

數(shù)形結(jié)合的思想結(jié)合A的結(jié)論即可判定；對于C項(xiàng)，利用端點(diǎn)效應(yīng)含參討論即可；對于D項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)

的幾何意義轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值即可.本題需要多積累一

些常用函數(shù)的圖象與性質(zhì)可提高做題速度，

如：y=xe”型.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.

12.已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P。,2),則cos2a=.

3

【答案】-1

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)的定義先計(jì)算cos再利用二倍角公式計(jì)算即可.

11

【詳解】由題意可知3夕=不覆=石，

3

所以cos2a=2cos2a-l=,

3

故答案為：—-

13.已知數(shù)列｛即｝滿足q=5，。2”=2。a+1,2a“+i=a〃+a“+2("cN*),設(shè)｛冊｝的前九項(xiàng)和為S“，則

【答案】n2

【解析】

【分析】根據(jù)題意2a“+i=4+a,+2可得數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)出公差及首項(xiàng)，再結(jié)合出“=24+1與

〃3=q+2d=5,從而可求解.

9aa

【詳解】由=%+〃n+2所以n+l~n=4+2-4+1，所以數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列,

并設(shè)其公差為d,首項(xiàng)為%,又因?yàn)椋?=2%+1,

即q+(2〃—1)(/=2[q+("—l)d]+l,解得d=6+1,

因?yàn)椤?=q+2d=5,所以q=1,1=1,

所以S”-n-\——------x2=/.

2

故答案為:".

14.條件概率與條件期望是現(xiàn)代概率體系中的重要概念，近年來，條件概率和條件期望已被廣泛的應(yīng)用到日

常生產(chǎn)生活中.定義：設(shè)x,y是離散型隨機(jī)變量，則x在給定事件y=y條件下的期望為E(x|y=y)=

",?￡P(guān)(X=xt,y=y)、

￡x/P(X=xN=y)=Z%.,'HT—、、，其中旨,x,---,X?｝為X的所有可能取值集合，

pi=2

z=li=l\y)

p(X=x,F=y)表示事件“X=x”與事件“y=y”都發(fā)生的概率.某商場進(jìn)行促銷活動(dòng)，凡在該商場

每消費(fèi)500元，可有2次抽獎(jiǎng)機(jī)會，每次獲獎(jiǎng)的概率均為0(0<P<1),某人在該商場消費(fèi)了1000元，共

獲得4次抽獎(jiǎng)機(jī)會.設(shè)J表示第一次抽中獎(jiǎng)品時(shí)的抽取次數(shù)，〃表示第二次抽中獎(jiǎng)品時(shí)的抽取次數(shù).則

Eg〃=4)=.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知4可取L2,3,然后再分別算出相應(yīng)的P(X=x,F=y)概率值，再結(jié)合

：)=’)從而可求解.

【詳解】由題意可知J可取L2,3,

所以。(4=1,77=4)=2?！??)2°=02(1一2)2,p(4=2,〃=4)=(l—p)p(l—p)p=p2(]—p)2,

P(J=3,〃=4)=(l—p)(l—p)07P=/(

又因?yàn)槭?〃=4)=C；(1_p)2p2=3p2(l-p)2,

P（J=1,7=4）P^=2,〃=4）P^=3,7=4）

所以E?〃=4）=1.------------------'Z'------；-----------rJ,------------------

P（77=4）P（7/=4）P（7=4）

=lx—+2x—+3x—=2.

333

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于本題主要是根據(jù)題中所給條件分別求出不同情況下的概率P（X=x,F=y）,然

后再結(jié)合定義中的公式求出其期望值.

四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知VA3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且siYAusin25+sin2C+sin3sinC

（1）求角A；

（2）若/B4C的平分線交邊3C于點(diǎn)。，且AO=4,b=5,求VABC的面積.

【答案】（1）—

3

（2）25百

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理化角為邊結(jié)合余弦定理計(jì)算即可；

（2）利用余弦定理先計(jì)算8與cosC,再根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算sinB,利用正弦定理得c,由面積公式

計(jì)算即可.

【小問1詳解】

因?yàn)閟in2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，

所以/=/+<2+6。,則）2+，—=2/?CCOSA=—be，

所以cosA=一'，

2

因?yàn)锳e（O,兀），所以A=g；

【小問2詳解】

根據(jù)題意及余弦定理有AQ2+AC2—2AD.ADCOS/DAC=CD2=21，

m+AC?—A》A/21

所以cosC=

2CDAC

則sinC=—,sinB=sin（7r-A-C）=sinAcosC+cosAsinC=

~L4

ArAB

根據(jù)正弦定理有—=——nAB=20,

sinBsinC

所以SABC=(AB-ACsinA=256.

16.如圖，在三棱錐P—ABC中，上4,平面ABC,AC±BC.

(1)求證；平面B4CJ_平面P6C；

(2)若AC=5,BC=12,三棱錐P—ABC的體積為100,求二面角A—尸3—C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

24百

65

【解析】

【分析】(1)由Q4_L平面ABC得到PAL5C,再結(jié)合可證明平面PAC,從而可

求解；

(2)由題意知求出K4=10,建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間面面夾角向量方法，從而可求解.

【小問1詳解】

證明：由題意得上4,平面ABC,因?yàn)锽Cu平面ABC,所以

又因?yàn)锳CLBC,PA,ACu平面B4C,所以5CL平面PAC,

又因?yàn)?Cu平面PCS,所以平面平面PBC.

【小問2詳解】

因?yàn)锳C=5,BC=12,AC1BC,所以S.ABC=3義12義5=30,

又因?yàn)槿忮FP—ABC體積為100,即100=1xPAx30,得Q4=10,

3

由題意可得以A原點(diǎn)，分別以平行于BC,及AC,A尸所在直線為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖，

Z1

則A（0,0,0）,5（12,5,0）C（0,5,0）,P（0,0,10）,

所以AP=（0,0,10）,CB=（12,0,0）,PB=（12,5,-10）,

設(shè)平面APB的一個(gè)法向量為n=（x,y,z）,

n-PB-12x+5y-10z=0

則.,令x=—5,得y=12,z=o,則"=（—5,12,0）,

n-AP=lOz=0

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為m=（a,b,c）,

m-PB=12〃+5Z?-10c=0

則《令Z?=2,得Q=0,c=1,則加=（0,2,1）,

m-CB=12a=0

則cos°=卜。sg昉卜湍=荔24君

設(shè)二面角A—c為e,

65

所以銳二面角A-PB-C的余弦值為生叵.

65

17.已知函數(shù)/（%）=疝1工一依2+1.

（1）若/（尤）在（0,+"）上單調(diào)遞減，求。的取值范圍；

（2）若a＜0,證明：/（%）＞0.

【答案】（1）3，+°°]

（2）證明見解析

【解析】

【分析】⑴根據(jù)題意可得尸（“40在區(qū)間（0,+e）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)8（%）=叵坦（》＞0）,求得其

2%

最大值，即可得到結(jié)果;

(2)根據(jù)題意要證/(x)>0等價(jià)于證明In%-取+工>0,構(gòu)造函數(shù)/z(x)=ln%-ox+』(x>0),利用

JCX

導(dǎo)數(shù)求出其最小值Mx).>0,從而可求解.

\/min

【小問1詳解】

由/(%)=xln%—依2+1,則/1%)=lnx+l-2(2r,

因?yàn)?(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以/'(x)=InX+1-2以<0在(0,+8)上恒成立，

“…lnx+1

所以lnx+l-2ov<0,即。之------，

2x

構(gòu)造函數(shù)g(x)=^i(x〉o),所以,z2(lnx+l)=_21nx,

2'g"47~^T

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)xe(l,4<o)時(shí)，g'(x)<0,

所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=l時(shí)/(%)取得極大值也是最大值，即g(x)111ax=g6=g,所以讓；，

所以。的取值范圍為

【小問2詳解】

由題意得/(x)=xlnX-依2+1的定義域?yàn)?0,+8),

當(dāng)avO時(shí)，要證/(力>0,即證：xlnx-ax2+l>0，等價(jià)于證明lnx-Q%+—>0

x

構(gòu)造函數(shù)M%)=lnx-辦+—(%>0),即證人(%)1n>0；

JC

2

所以/(%)=1_q_與二_°F—1,令T(X)=_^2+X_1(X〉0),

XXX

因?yàn)楹瘮?shù)T(x)的對稱軸為x=：<0,所以T(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，

且T(0)=—1<0,T(l)=-a>0,所以存在/e(O,l),使T(%)=—麗+/—1=0,

所以當(dāng)xe(O,Xo)時(shí)，7(%)<0,即

當(dāng)xe(xo，+oo)時(shí)，T(九)>0,即〃'(尤)>0,

所以可力在(0,尤0)上單調(diào)遞減，在(％,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=/時(shí)，h(x)有極小值也是最小值MHmin=/7(xo)=lnx-ax+—(0<x<1),

00xo0

2

又因?yàn)?ax；+x—1=0,得—=1—x,所以M%)=InxH1(0<x<1),

000xo0

r\1。。

令j7(x)=lnx+——1(0<X<1),則"(％)=----1=，2<0在一￡(。/)上恒成立，

所以夕(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以p(x)>p(l)=0,即M%0)>0，

所以即證/2(%需>0,所以可證/(%)>0.

18.甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，據(jù)以往訓(xùn)練數(shù)據(jù)，甲每次投籃命中的概率為2,乙每次投籃命中

3

的概率為各次投籃互不影響、現(xiàn)甲、乙兩人開展多輪次的定點(diǎn)投籃活動(dòng)，每輪次各投2個(gè)球，每投進(jìn)

2

一個(gè)球記1分，未投進(jìn)記-1分.

(1)求甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于。的概率；

(2)記甲、乙每輪投籃得分之和為X.

①求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②若X>0,則稱該輪次為一個(gè)“成功輪次”.在連續(xù)〃(“N8)輪次的投籃活動(dòng)中，記“成功輪次”為

Y,當(dāng)〃為何值時(shí)，P(F=8)的值最大？

【答案】⑴-

9

2

(2)①分布列見解析，E(X)=—；②〃=17或18或19

3

【解析】

【分析】(1)將問題轉(zhuǎn)化成甲在一輪投籃中至多命中一次，再利用對立事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概

率公式，即可求解；

(2)①由題知X可能取值為-4,-2,0,2,4,根據(jù)條件，求出相應(yīng)的概率，即可求出分布列，再利用期望

=k)>P(n=

公式，即可求解；②根據(jù)條件，得到￥B(n,4g),再由｛fP與(n“_^-+1)即可求解.

【小問1詳解】

甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于0,即甲在一輪投籃中至多命中一次，

所以甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于0的概率為尸=1-(2)2=f.

【小問2詳解】

①由題知X可能取值為-4,-2,0,2,4,

(1121

pX=-4)=-xix-x-=—,P(X=-2)=—X—xC^(1)+Cx|x|x

332236336

21113

P(X=0)=-x-x-x-+C?,-x-CU-)2+-X—X-X—=,

3322-3322332236

22,1,,211,12,1,1

P(X=2)=-x-xa(-)2+^x-x-x(-)2==-,P(X=4)=(-)2(-)2=-,

3329

所以X的分布列為

X-4-2024

111311

r

3663639

1113112

數(shù)學(xué)期望石(X)=(_4)x—+(_2)x_+0x,+2x_+4x_=_.

36636393

1144

②由①知尸(X>0)=§+g=§,由題知丫B(n,g),所以

P(y=k)=C：c|y(l—：)'T(0<k<n,k^N),

P(n-k)>P(n=k-l)

由<

P(n-k)>P(n=左+1)'

得至Ijc：(I)*(1-^)n-k>C：T(B)I(1_且c：(~)k(1->C[1(1)^+1(1-I

n\

4x----------->5x

4C：>5C『

整理得到《即《

5C；；4C：+In\n\

5x>4x

k!(n-k)](左+1)!(〃一女一1)!

4x(n-k+l)>5k4〃一5,4n+4

得到《所以-------<k<--------

5x(A;+1)>4(〃一左)'99

4〃-54〃+477

由題有％=8,所以-------<X<--------，得到17V/V——，又〃GN*，所以〃=17或18或19.

994

4

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在第(2)中的②問，根據(jù)條件得到P(X>0)=5,從而得到

4P(n=k)>P(n-k-V)

YB(n,§),再將問題轉(zhuǎn)化成求解不等式<,即可求解.

P(n=k)>P(n=左+1)

19.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線與C相交于點(diǎn)A,B,VA06面積的

最小值為:（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)耳,（〃eN*）：瑪?shù)淖鴺?biāo)為（7,0）,直線A￡,

BF”與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為4,紇，直線ABn與X軸