條件概率專項練習-2025屆高三數學一輪復習

2024-2025學年度高三一輪復習37--條件概率專項練習

一、單選題

1.（2024?河北?模擬預測）若事件A,B發(fā)生的概率分別為尸（A）,尸⑻，（P（A）＞O,P（B）＞O）,

則“尸（3⑶=P（3）”是“尸（A|B）=P（A）”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分且必要D.既不充分又不必要

11o

2.（24-25高三上?浙江?階段練習）若P（A）=-,P（A|B）=-,P（B|A）=-,則P（A+B）=（）

A2「11-13-3

A.—B.—C.—D.一

515155

3.（24-25高三上?上海?期中）已知事件A與8相互獨立，且0＜P（A）P（3）＜1,則下列選項

不一定成立的是（）

A.P（AB）=（1-P（A））P（B）；B.P（AB）=P（A）+P（B）；

C.P（AB）=P0）P（耳;D.P（A|B）P（B|A）=P（AnB）.

4.（24-25高三上?廣東湛江?期中）已知某條線路上有A,2兩輛相鄰班次的BRT（快速公交

13

車），若A準點到站的概率為耳，在B準點到站的前提下A準點到站的概率為:，在A準點

7

到站的前提下5不準點到站的概率為7,則B準點到站的概率為（）

16

A.—B.-C.—D.-

164168

5.（24-25高三上?安徽?階段練習）某次跳水比賽甲、乙、丙、丁、戊5名跳水運動員進入

跳水比賽決賽，現(xiàn)采用抽簽法決定決賽跳水順序，在“運動員甲不是第一個出場，運動員乙

不是最后一個出場”的前提下，“運動員丙第一個出場”的概率為（）

A.—B.-C.-D.—

135413

6.（24-25高三上?北京?階段練習）高二某班共有50名學生，其中女生有30名，“三好學生”

人數是全班人數的g,且“三好學生”中女生占一半，現(xiàn)從該班學生中任選1人參加座談會,

則在已知沒有選上女生的條件下，選上的學生是“三好學生”的概率為（）

7.（24-25高三上?甘肅白銀?階段練習）質監(jiān)部門對某種建筑構件的抗壓能力進行檢測，對

3

此建筑構件實施打擊，該構件有A5兩個易損部位，每次打擊后，A部位損壞的概率為歷，

B部位損壞的概率為：，則在第一次打擊后就有部位損壞（只考慮兩個易損部分）的條

2

件下，兩個部位都損壞的概率是（）

3「5-17

A.—B.—C.—D.—

13132020

8.（2024.全國.模擬預測）學業(yè)成績是否優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長有關.據調查，某校大約

有40%的學生學業(yè)成績優(yōu)秀，大約有20%的學生日均體育鍛煉時長超過1.5h,且其中日均

體育鍛煉時長超過L5h的學生學業(yè)成績的優(yōu)秀率約為50%.現(xiàn)從日均體育鍛煉時長不超過

L5h的學生中任意調查一名學生，則他的學業(yè)成績優(yōu)秀的概率約為（）

A.-B.-C.-D.-

8828

二、多選題

9.（24-25高三上?江蘇南通?期中）隨機事件A,B滿足P（A）=：,尸（8）=:，尸（A忸）=（,則

下列說法正確的是（）

A.事件A與與才8互斥B.事件A與B相互獨立

C.P（A+B）=P（B）D.P（B\A）=P（A）

10.（2024高三.全國.專題練習）現(xiàn)有一顆質地均勻的骰子，將其先后拘擲兩次，A表示事

件“第一次擲出點數為2”，B表示事件“第二次擲出點數為4”，C表示事件“兩次擲出點數之

和是8”，。表示事件“兩次擲出點數之差的絕對值為0”，則（）

A.事件B與事件?；コ釨.事件A與事件。相互獨立

C.P（n|C）＞P（C|D）D.P（B|C）＜P（C|A）

11.（2024?浙江?一模）現(xiàn)有一個抽獎活動，主持人將獎品放在編號為1、2、3的箱子中，甲

從中選擇了1號箱子，但暫時未打開箱子，主持人此時打開了另一個箱子（主持人知道獎品

在哪個箱子，他只打開甲選擇之外的一個空箱子）.記4（7=1,2,3）表示第，號箱子有獎品，

約0=2,3）表示主持人打開第/號箱子.則下列說法正確的是（）

A.尸（圖4）=；

B.尸（R四）=）

C.若再給甲一次選擇的機會，則甲換號后中獎概率增大

D.若再給甲一次選擇的機會，則甲換號后中獎概率不變

三、填空題

12.（2024.全國.模擬預測）已知隨機事件A,凡若尸（臺⑶],尸曰忸）=,尸⑻=5；則

尸（田=.

13.（24-25高三上?天津西青?期中）已知甲、乙、丙三人參加射擊比賽，甲、乙、丙三人射

擊一次命中的概率分別為:，（，；，且每個人射擊相互獨立，若每人各射擊一次，則至少

有一人命中的概率為；在三人中恰有兩人命中的前提下，甲命中的概率為.

14.（24-25高三上?河北滄州?階段練習）中國是瓷器的故鄉(xiāng)，瓷器的發(fā)明是中華民族對世界

文明的偉大貢獻,瓷器傳承著中國文化，有很高的欣賞和收藏價值.現(xiàn)有一批同規(guī)格的瓷器，

由甲、乙、丙三家瓷廠生產，其中甲、乙、丙瓷廠分別生產300件、300件、400件，而且

甲、乙、丙瓷廠的次品率依次為4%、3%、3%.現(xiàn)從這批瓷器中任取一件，若取到的是次

品，則其來自甲廠的概率為.（結果保留兩位小數）

四、解答題

15.（24-25高三上?遼寧?期中）甲乙兩人進行〃（"22,〃eN*）場羽毛球比賽，甲每場比賽獲

勝的概率為P,乙每場比賽獲勝的概率為1-。，記事件A為“"比賽中既有甲獲勝也有乙獲

勝”，事件8為“〃比賽中甲至多獲勝一場”

（1）若p=；,〃=3,求尸（AB）和尸（B|A）；

（2）若P=g,證明：事件A,B獨立的充要條件為〃=3.

16.（24-25高三上?廣西?期中）某校A、3兩家餐廳，某同學每天都會在這兩家餐廳中選擇

3

一家用餐，已知該同學第一天選擇A餐廳的概率是若在前一天選擇A餐廳的條件下，后

2

一天繼續(xù)選擇A餐廳的概率為彳，而在前一天選擇B餐廳的條件下，后一天繼續(xù)選擇B餐廳

的概率為也如此往復.

（1）求該同學第一天和第二天都選擇A餐廳的概率;

（2）求該同學第二天選擇A餐廳的概率；

（3）記該同學第"天選擇A餐廳的概率為P”,求數列｛夕,｝的通項公式.

17.（23-24高二下?江蘇南京.階段練習）甲、乙兩人進行象棋比賽，賽前每人有3面小紅旗.

一局比賽后輸者需給贏者一面小紅旗；若是平局就不需要給紅旗，當其中一方無小紅旗時，

比賽結束，有6面小紅旗者最終獲勝.根據以往兩人的比賽結果可知，在一局比賽中甲勝的

概率為0.5,乙勝的概率為0.4.

（1）設第一局比賽后甲的紅旗個數為X,求X的分布列和數學期望；

（2）求比賽共進行五局且甲獲勝的概率；

（3）若比賽一共進行五局且第一局是乙勝，求此條件下甲最終獲勝的概率（結果保留兩位有

效數字）.

18.（2024高三?全國?專題練習）甲、乙兩位乒乓球愛好者進行一次對抗賽，第一個球的發(fā)

球權通過擲硬幣確定，從第二個球開始，上一個球誰贏誰發(fā)球.由歷史數據可知，甲發(fā)球甲

31

贏的概率為了，乙發(fā)球甲贏的概率為

⑴求第1個球甲贏的概率B；

⑵求第〃個球甲贏的概率P“；

⑶定義第“個球甲贏的期望E”=吵”，求f耳.

i=\

19.（24-25高三上?廣東惠州?期中）若數列｛4,｝（1<〃<憶"€河,0江）滿足見€｛0,1｝,則稱

數列｛%｝為上項0-1數列，由所有七項0-1數列組成集合"…

⑴若｛凡｝是12項0—1數列，當且僅當〃=3p（peN*,pW4）時，4=0,求數列｛（T）"%｝的

所有項的和；

⑵從集合此中任意取出兩個數列｛??｝,｛&?｝，記X=￡>-可.

k

①求隨機變量X的分布列，并證明：￡（x）>|；

②若用某軟件產生22）項0T數列，記事件4=，，第一次產生數字1，，，3="第二次產生

數字產,且°〈尸（A）<1，0〈尸⑻<1若尸（砌）（砸），比較P（A⑻與尸（即）的大小

參考答案:

1.C

,,、P（AB）/,、P（AB）

【分析】轉化P（用力=才/，P（A|B）=方研根據充分性必要性的定義，以及條件

概率公式，分析即得解.

若所以尸（AB）=尸（A）.P（B）,

【詳解】因為尸（1A）=P（B）,所以尸國力=

所以「心黯二

反之由「（A|B）=P（A）能推出尸國A）=尸（3）,

所以“P（B|A）=「⑻”是"P（A|B）=尸（A）”的充分且必要條件.

故選：C

2.D

【分析】利用條件概率公式和并事件概率性質求解即可.

1o17?

【詳解】由尸（A）=§,P（B|A）=j,可知，P（AB）=P（A）P（B|A）=-x-=^,

/?\1/、P（AB）22

又尸（砌）=丁所以尸（B）=網砸J=/x3=1,

1223

所以「（4+2）=尸（4）+尸（2）—尸（A2）=g+y—石=M.

故選：D

3.B

【分析】根據相互獨立事件的乘法公式和條件概率公式，結合對立事件的定義逐一判斷即可.

【詳解】因為A與B相互獨立，所以A與石、口與3、口與不也相互獨立，

A選項，P（AnB）=P（A）P（B）=（l-P（A））F（B）,故A一定成立；

B選項,P（Au3）=P（A）+P（3）-P（AB）,

而尸（AB）=尸（A）尸（3）＞0,所以尸（ADB）HP（A）+P（3）,故B不成立;

c選項,P(AUB)=I-P(AUB)=I-P(AS)-P(AJB)-P(AB)=P(AB)=P(A)P(B),

故C一定成立;

D選項，尸（4忸）尸（叫力=黯.播=丑黑普=P（AC2）,

故D一定成立.

故選：B.

4.B

【分析】根據已知條件以及條件概率列方程，從而求得B準點到站的概率.

【詳解】設事件A為“A準點到站”，事件8為“B準點到站”，

依題意，尸（A）=],尸（A⑻=（瓦4）=記，

/_\P（AB\7/一\7

而P（硒=尤）=而，解得可叫=欣，

ffi3P（A）=P（ABuAB）=P（AB）+P（AB）=1,

則人幽=得，而“的=%）=：,解得

故選：B

5.A

【分析】先甲最后一個出場或甲在中間出場分類討論求出方法數，再求出此時運動員丙第一

個出場的方法數，然后由概率公式計算.

【詳解「'運動員甲不是第一個出場，運動員乙不是最后一個出場”可分為甲最后一個出場或

甲在中間出場，

方法數為A：+C；C；A；=78,

在“運動員甲不是第一個出場，運動員乙不是最后一個出場”的前提下，“運動員丙第一個出

場”,

即“運動員丙第一個出場，運動員乙不是最后一個出場”，方法數為C；A；=18,

1QQ

因此所求概率為P=^l=].

故選：A.

6.D

【分析】分別計算“三好學生”人數，女“三好學生”與男“三好學生”人數，再利用條件概率計

算公式即可得出結論.

【詳解】“三好學生”人數是全班人數的g,“三好學生”人數是gx50=10人，男生人數為

20人,

；?“三好學生”中女生占一半，，女，三好學生，，與男“三好學生，，各是5人.

，現(xiàn)從該班學生中任選1人參加座談會，則在已知沒有選上女生的條件下，

選上的學生是“三好學生”的概率=』=L

204

故選：D.

7.A

【分析】求得第一次打擊后就有部位損壞的概率和兩個部位都損壞的概率，再由條件概率公

式代入即可求解.

【詳解】解題分析記事件E：第一次打擊后就有部位損壞，事件GA,B兩個部位都損壞，

則尸（0=1-11-2][1-"，尸（￡町=2><!=』，

V'I10大2J2010220

由條件概率公式可得P（川=g

故選：A

8.D

【分析】解法一：先求出日均體育鍛煉時長不超過L5h且學業(yè)成績優(yōu)秀的學生，再結合條

件概率公式求解即可；

解法二：設該校總人數為1000人，分析可得日均體育鍛煉時長不超過L5h的學生有800

人，其中學業(yè)成績優(yōu)秀的有300人，進而結合古典概型的概率公式求解即可.

【詳解】解法一：日均體育鍛煉時長不超過L5h且學業(yè)成績優(yōu)秀的學生有

40%-20%x50%=30%.

記“該學生日均體育鍛煉時長不超過L5h”為事件A，“該學生學業(yè)成績優(yōu)秀”為事件B,

則p（4）=l—0.2=0.8,尸（AB）=0.3,

,,、P(AB)0.33

所以P(BA)=--~~—=—=-.

v1'P(A)0.88

解法二：不妨設該?？側藬禐?000人，則學業(yè)成績優(yōu)秀的有1000x40%=400（人）,

日均體育鍛煉時長超過L5h的有1000x20%=200（人），

且其中學業(yè)成績優(yōu)秀的有200x50%=100（人），

因此日均體育鍛煉時長不超過L5h的學生有1000-200=800（人），

其中學業(yè)成績優(yōu)秀的有400-100=300（人），

因此，從日均體育鍛煉時長不超過L5h的學生中任意調查一名學生，

3

他的學業(yè)成績優(yōu)秀的概率約為就8-

800

故選：D.

9.ABC

【分析】根據互斥事件的定義，結合獨立事件的定義、條件概率的公式逐一判斷即可.

【詳解】因為A片與一定互斥，所以A對;

P(AB)_P(AB)_1,

P(川8)=p(Ag)=-x-=P(A)P(B),…

P(B)123獨立，B對.

3

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=工+工一［=工=1-?=P(分),C對.

23633

P(麗)P(B)-P(AB)/(B)(1-P(A))=P(B)=；MP(A),D錯,

P(B\A)=

P(A)-~l-P(A)—-—l-P(A)-

故選：ABC

10.BC

【分析】由互斥事件的定義即可判斷A,由相互獨立事件的定義即可判斷B,結合條件概率

的計算公式代入計算，即可判斷CD

【詳解】事件B與事件?？梢酝瑫r發(fā)生，即第一次、第二次均擲出4點，

故事件B與事件。不互斥，A錯誤.

又尸⑷=3尸⑻=＞尸(C)丁，尸3)=卜(如$=尸(A)尸⑷，

從而事件A與事件。相互獨立，B正確.

1

1

/1

又n0C36-p(qo)=餡『羊=%p(必c)>p(c⑼成立,c正確.

\--55-

366

則?網C＞尸C|A,D錯誤.

故選：BC

11.BC

【分析】根據給定條件，利用古典概率公式，結合條件概率和全概率公式及逐項判斷即可.

【詳解】對于A,甲選擇1號箱，獎品在2號箱里，主持人打開3號箱的概率為1,即

產(員14)=1,A錯誤;

對于B,尸（4）=尸（&）=尸（A）=g,P（B3IA）=Pmi4）=1-尸（鳥14）=0,

則尸（員）=尸（A）尸（414）+尸（4）尸（為14）+尸（4）尸（BJ4）=g，+i+o）=g，

11

-y——

因此P⑷4）=3J（A）P⑶A）=一J,B正確；

13

P（B3）P（B3）13

2

對于CD,若繼續(xù)選擇1號箱，獲得獎品的概率為:，主持人打開了無獎品的箱子，

若換號，選擇剩下的那個箱子，獲得獎品的概率為：，甲換號后中獎概率增大，C正確，D

錯誤.

故選：BC

12.-

3

【分析】利用條件概率、獨立事件的乘法公式結合事件的關系與運算計算即可.

【詳解】由題意可得，P（而）=P（8）P（，忸）=（xg=R,

而P（B）=P[BA+BA）=尸（8A）+尸（函），

1

P(AB)11

又尸（卻A）=P⑷”（）一=

尸但A)9一1

5

1

3-

85

9-7-

【分析】根據對立事件結合獨立事件概率求法求至少有一人命中的概率，記“三人中恰有兩

人命中”為事件“甲命中”為事件N,求P（M）,P（MN）,結合條件概率公式運算求解.

11-11-|8

【詳解】記“至少有一人命中”為事件A,所以尸（A）=l-1

29

記“三人中恰有兩人命中”為事件M,“甲命中”為事件N,

x1ki二+1LI」12127

貝”（M）=gx一X-=-----,

332323318

1111

P（MN）=Ixlx1-2+1

23323-318

所以尸（N也卜溜=5

7

故答案為：!;y.

14.0.36

【分析】先由古典概率計算抽到各廠產品的概率，再由全概率計算抽到次品的概率，最后由

條件概率計算即可；

【詳解】設8表示事件：取得次品.A,表示事件：該產品由第，家工廠生產（，=1,2,3）.第

z?家工廠（z=l,2,3）分別表示甲、乙、丙瓷廠.

尸⑷-一射一二尸（4）-一期一P（AU―則_二

'"300+300+40010*''300+300+40010;…300+300+4005'

尸（對4）=4%,尸4）=3%,尸4）=3%,

332

P（8）=P（A）P（例4）+P（4）P（冽4）+尸⑷尸（川4）=7x4%+歷x3%+、x3%=0.033

故取到的是次品，則其來自甲廠的概率為

3

三義4%

-------?0.36-

0.033

故答案為：0.36.

4?

15.（1）P（AB）=-,P（B|A）=-.

⑵證明見解析

【分析】（1）根據二項分布可求P（AB），根據條件概率的概率公式可求尸（A3）和P（31A）；

（2）當〃=3時，根據獨立事件的概率公式可判斷事件A,8獨立，而當事件A,8獨立時,

根據獨立事件的概率公式結合數列的單調性可證明〃=3.

【詳解】（1）表示“甲乙比賽3場，甲勝一場輸兩場”，

故P（AB）=C；xgx1|j=：而尸（A）=C；

2

3

(2)若〃=3,貝IJ尸（A）=C；

尸⑷心叫

D1=3

2

而P（AB）=C；xgx故尸（AB）=尸（A）P（B）,

18

所以AB獨立,

若A,2獨立，則尸（A）=i_2xC：xg]1

2"-1

而P（B）=C：x

而尸（AB）=C；

所以"G[=（"+l）G[{I-41整理得到：熱=1一（F，

化簡得到：券=1,設4=券，則%芥，

3

故當〃N2時，a〃<〃〃-1,而％=2,%=萬,%=1,

n+1

故尹=1有且只有一個正整數解〃=3,

綜上，事件A,3獨立的充要條件為〃=3.

16.⑴色

25

【分析】（1）利用獨立事件同時發(fā)生的概率公式計算即可；

（2）利用條件概率公式計算即得；

（3）利用全概率公式列式，再利用構造法證明即得.

【詳解】（1）該同學第一天和第二天都選擇A餐廳的概率為[x|=卷;

（2）設4表示第1天選擇A餐廳,為表示第2天選擇A餐廳，則A表示第1天選擇選擇B餐

廳，

根據題意得尸（4）=1,尸閭尸⑷A）=Q（4囪）=1-；=；,

JJJJ乙乙

所以p（4）=尸⑷尸⑷A）+P閭尸（414）=在1+淑；=4.

JJJN乙J

（3）設4表示第〃天選擇A餐廳，則匕=P（A）,P（4）=1-匕，

根據題意得尸（AJ4）=1，尸（AJ4）=1J=：

由全概率公式得，

p（A+J=尸（4）尸（4」A）+P（4）P（4JA）=m匕+萬（1一匕）=一而匕+],

即"$匕+1整理得加-尚亮,高，

又6Vm,°，

所以是以2為首項，-士為公比的等比數列，

所以匕

〃1155I10J

5

所以匕=+一.

11

17.（1）分布列見解析，期望為3.1

（2）0.225

（3）0.48

【分析】（1）求出X的可能取值和相應的概率，得到分布列，計算出數學期望;

（2）分兩種情況，計算出概率相加得到概率；

（3）設出事件，利用條件概率公式得到答案.

【詳解】（1）X的可能取值為2,3,4,

其中尸（X=2）=0.4,P（X=3）=0.1,P（X=4）=0.5,

所以分布列為

X234

P0.40.10.5

數學期望為磁=2x04+3x0.1+4x0.5=3.1

(2)比賽共進行五局且甲獲勝，則前4場甲贏2場，平局2場，最后一場甲贏,

或前3場甲贏2場，輸1場，第4場和第5場最后一場甲均贏，

故概率為Cjx0.52x0.1x0.5+Cfx0.52x0.4x0.5=0.225,

(3)設比賽一共進行五局且甲最終獲勝為事件A,

比賽一共進行五局且第一局是乙勝為事件B,

故尸(AS)=0.4X05=0.025,

事件3包含三種情況，一共進行五局，甲后4局獲勝，

第2場，第3場和第4場中乙勝1場，平局2場，第5場乙勝，

第2場或第3場甲勝，剩余3場乙勝，

P(3)=0.4x0.54+C；0.12x0.43+C；0.5x0.44=0.05252,

故比賽一共進行五局且第一局是乙勝，此條件下甲最終獲勝的概率為

尸(必需二燃不。48

18.(1)Pi=—

140

4

⑵?！?+-

9

220+99，711

T'729145820

【分析】(1)設第1個球的發(fā)球人為甲為事件4,第1個球的發(fā)球人為乙為事件綜，第1

31

個球甲贏為事件4,由條件概率公式可得P(A|4)="P(4|B0)=M，進而由全概率公式求

解即可；

(2)先利用全概率公式找到P?與Pe的遞推關系式,進而得到數列|凡是首項為三，

IyJ360

公比為工的等比數列，結合等比數列的通項公式求出P,.;

(3)結合題意寫出E”的表達式，進而利用分組求和法、錯位相減法求心

【詳解】（1）設第1個球的發(fā)球人為甲為事件4,第1個球的發(fā)球人為乙為事件穌,

第1個球甲贏為事件A,

由題知，P（4）=尸（綜）=/,尸（川人）="尸（A回）=『

由全概率公式知，PI=P（A）=尸（4）尸⑷4）+尸（練）尸（A網）K+；xg=*,

19

.??第1個球甲贏的概率四=的.

（2）設事件4：第〃個球甲贏，事件紇：第〃個球乙贏，

由題知，當〃22時，尸⑷4T）=1,P⑷紇_J=g,尸（紇_i）=l-P"T，Pi=,,

由全概率公式知，當心2時，PA=P（A）=P（AJ4JP（4T）+P（4I為（與_J

31Z1、111

=4P"T+g（1_P”T）=與P"T+5'

419411

Pl——，

9409360

,數列1p“-4是首項為2,公比為目的等比數列,

IyJ36020

411riiv-1

irnY4

?■-A=l8XUj+9-

：4n

(3)由(2)知，E=np=x?+~9'

nn1

，的前"項和為1，

①一②得,

11丫

+1+1

_12o[I20JJ〃rnY_11_iLxfnY__nxrnY

=18X18120；=而一162I20J18120)'

20

.110220+99n/11Y

-n-7291458X|<2oJ'

易知數列[募，的前n項和為2"(；+D,

..-HO220+99〃.f[丫2〃(〃+l)

R,-7291458Xl2oJ+-9-,