數(shù)列-2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編（解析版）

與集12撤列

五年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)五年考情(2020-2024)命題趨勢(shì)

2023天津甲乙n卷

考點(diǎn)01等差等比

2022乙卷

數(shù)列應(yīng)用等差等比數(shù)列及求和在高考

2020北京卷

中主要考查基本量的基本運(yùn)

算，是常規(guī)求和方法發(fā)的基本

2024甲天津卷

應(yīng)用。包括：錯(cuò)位相減求和，

2023III甲乙卷

奇偶性求和，列項(xiàng)求和等。

考點(diǎn)02數(shù)列求和2022甲卷

2021III乙卷

2020浙江III卷

2024北京

2023北京

考點(diǎn)數(shù)列情景類

03情景化與新定義是高考的一

2021北京I卷

問題

個(gè)新的考點(diǎn)，一般采用學(xué)過的

2020II卷

知識(shí)去解決新定義問寇，因加

以重視，是高考的一個(gè)方向，

2024I北京卷并且作為壓軸題的可能性比

考點(diǎn)04數(shù)列新定義

2023北京卷較大，難度大。

問題

2024II卷知識(shí)的綜合是未來(lái)高考的一

考點(diǎn)05數(shù)列與其他2023北京天津乙II卷個(gè)重要方向，主要是數(shù)列與統(tǒng)

知識(shí)點(diǎn)交匯及綜合問2022北京浙江III卷計(jì)概率相結(jié)合，數(shù)列作為一個(gè)

題2021甲浙江工具與解析幾何，函數(shù)結(jié)合

2020浙江II卷等，屬于中等難度。

分考單精準(zhǔn)練』

考點(diǎn)01等差等比數(shù)列應(yīng)用

-選擇題

1.(2020北京高考?第8題)在等差數(shù)列｛4｝中，0=-9,a,=-l.記7；=4%…%("=1,2,…)，則數(shù)列｛1｝

().

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

【答案】B

【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差4=?二?=4^=2,

則其通項(xiàng)公式為：4=q+("-1)〃=-9+(“-1)X2=2"-11,

注意到4<%</<%<%<。<。6=1<%<‘，且由7；<0可知7；<0(iN6,ieN),

由，=q>1(后7,ieN)可知數(shù)列⑵｝不存在最小項(xiàng)，

由于q=—9,a2=—7,a3=—5,a4=—3,a5=—l,tz6=1,

故數(shù)列｛Z,｝中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：(=63,7；=63x15=945.故數(shù)列｛1｝中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為

T,.故選：B.

2.(2023年天津卷?第6題)已知｛4｝為等比數(shù)列，S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，4+i=2S.+2,則%的值

為()

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

解析：由題意可得：當(dāng)”=1時(shí)，％=2q+2,即。悶=24+2,①

當(dāng)九=2時(shí)，q=2(q+%)+2,即％q?=2(4+qq)+2,②

聯(lián)立①②可得6=2,q=3,則%=q/=54.

故選：C.

3.(2023年新課標(biāo)全國(guó)H卷?第8題)記S,為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若〃=-5,&=21邑，則Sg=

().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

解析：方法一：設(shè)等比數(shù)列｛%,｝的公比為心首項(xiàng)為生,

若4=1,則》=6%=3義2%=3s2,與題意不符，所以q/1；

由〃=一5,$6=2152可得，%。-力=—5,攻二?=21x業(yè)力①，

1-q1-q1-(7

由①可得，l+/+q4=21,解得：d=4,

所以&=)x(]+q4)=_5x(]+[6)=_85-

故選：C.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,

因?yàn)椤?=-5,S6=21S2,所以qw—1,否則見=0,

從而，邑,邑—邑,S6—邑,Sg—S6成等比數(shù)列，

5

所以有，(―5—S?)9=S2(2電+5),解得：$2=-1或S2="

當(dāng)邑=—1時(shí)，S2,S4—S2,S6—S4,S8—S6,即為—1,—4,—16,Sg+21,

易知，58+21=-64,即項(xiàng)=—85；

當(dāng)邑二1時(shí)，=4+4+。3+。4=(4+〃2乂1+才)=(l+q2)S2>0,

與s4=-5矛盾，舍去.故選：C.

4.(2023年全國(guó)甲卷理科?第5題)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和S〃，若弓=1,工=5S3-4,

則邑=()

1565

A.—B.—C.15D.40

88

【答案】C解析：由題知l+q+/+/+/=5(i+q+/)—4,

即q3+/=44+4/,即g3+如_44_4=0,即(q-2)(q+l)(q+2)=0.

由題知q>0,所以4=2.

所以多=1+2+4+8=15.

故選:C.

5.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)?第8題)已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,?2-?5=42,則％,=

()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D解析：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,q#O,

若q=l,則。2-。5=0，與題意矛盾，

q(1-q')a=96

,a,+a+a.=-----------=168A

所以qwl,貝叱“2031-a解得《1

q=~

4

a2-a5=axq-a{q=422

所以4=。1/=3.故選：D.

二、填空題

3.(2023年全國(guó)乙卷理科?第15題)已知｛%｝為等比數(shù)列，4a4%=，為弓。=-8，則%=.

【答案】—2

解析：設(shè)｛4｝的公比為q(qwO),則顯然可。。，

貝!|。4=[2，即qq3=q2,則囚4=1,因?yàn)?40=—8,則q/.囚/=一&,

則，s=(q5)=-8=(-2)3,則/=一2,貝!|%=。0/="=—2,

故答案為：-2.

考點(diǎn)02數(shù)列求和

-選擇題

1.(2024?全國(guó)?高考甲卷文)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5.，若品=1,則%+%=()

72

A.—2B.—C.1D.—

39

【答案】D

【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成為和d來(lái)處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處

理，或者特殊值法處理.

【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量

QXQ

由Sg=l,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，S9=9%+;一d=lo94+36d=l,

―22

3^.%+%=4+2d+q+6d=2°]+8d=~(9q+36d)=—.

故選：D

方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，+a9=a3+a7,由S9=1,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，

59=9(4；引=9(4；%)=1,故%+%=：

故選：D

方法三：特殊值法

12

不妨取等差數(shù)列公差"=。，則品=l=9q=>%=§,則々3+%=2%=§.

故選：D

2.（2024?全國(guó)?甲卷）記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知35=兒，a5=l,則4=（）

7717

A.-B.-C.—D.---

23311

【答案】B

【分析】由5=Ho結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得為=。，即可計(jì)算出公差，即可得q的值.

【詳解】由510-55="6+%+%+“9+。10=5。8=。，則。8=。，

則等差數(shù)列｛%｝的公差4=曳黃=一：，故q=%-4d=l-4x]-=

故選：B.

155

3.（2020年高考課標(biāo)II卷理科?第6題）數(shù)列｛a0｝am+n=aman,ak+l+ak+2++ak+l0=2-2,

貝1左=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

解析：在等式5+〃=%“4中，令m=l,可得4+1=%臼=2%,.,..=2,

an

所以，數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則a“=2x2"T=2",

W+I+%+2++%。="d）=（2"-1）=25（210-1）-

.?.2^1=25,則左+1=5,解得左=4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能

力，屬于中等題.

二、填空題

4.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第11題）4知數(shù)列｛斯｝滿足,則63=.

【答案】10

解析：因?yàn)?所以q=1,%=3,%=6.

即S3—6Z]+612+—1+3+6—10.

5.（2020年新高考全國(guó)卷n數(shù)學(xué)（海南）?第15題）將數(shù)列｛2〃-1｝與｛3"-2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列

｛an｝,則｛〃〃｝的前幾項(xiàng)和為.

【答案】3nz-2n

解析：因?yàn)閿?shù)列｛2〃-1｝是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

數(shù)列｛3〃—2｝是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，

所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列｛%｝是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，

所以｛4｝的前〃項(xiàng)和為“?1+%^,6=31-2〃，

故答案為：3rr—2n-

三解答題：

（、伉,-6,〃為奇數(shù)

6.（2023年新課標(biāo)全國(guó)H卷?第18題）已知｛4｝為等差數(shù)列，”=1*/田4，記S“，7”分別為數(shù)

為偶數(shù)

列｛%｝,也｝前〃項(xiàng)和，54=32,1=16.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明：當(dāng)〃>5時(shí)，Tn>Sn.

【答案】⑴4=2〃+3；

（2）證明見解析.

解析：（1）

,、fa?-6,n=2k-l

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,而；，左eN*,

則4=%—6,d=2a2=2%+2d=〃3-6=%+2L一6,

SA=4a+6d=32

于是《區(qū)=他+4〃一12=16'解得q=5/=2'％="+(f"=2〃+3'

所以數(shù)列｛。,｝的通項(xiàng)公式是?！?2”+3.

⑵

、、工2〃一3,〃二2左一1

°〃(5+2〃+3)247

萬(wàn)法1：由⑴知，Sn=-......="+4〃，bn=<kN*,

4〃+6,〃=2左

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，bn_x+bn=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6M+1)n_37

?—n2Hn,

2222

32721

當(dāng)〃〉5時(shí)，Tn-Sn=(―n+—n)-(n+4n)=—zi(n-l)>0,因此/

327325

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，7；=7；+1-^+1=-(M+l)+-(n+l)-[4(zz+l)+6]=-zi+-n-5,

32521

當(dāng)〃>5時(shí)，7；-S；i=(-H+-n-5)-(?+4H)=-(n+2)(H-5)>0,因此北〉*,

所以當(dāng)〃〉5時(shí)，Tn>Sn.

、、，,〃(5+2〃+3)272—21,"*,

方法2：由⑴知,Sn=-.....................="+4〃，bH=\

24〃+6,〃=2左

—1+2(幾一1)—3n14+4n+6n3

：2+-n,

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，4=Si+2++〃-i)+S2+d++b〃)=-------------------1--------------=—n

222222

371

當(dāng)〃>5時(shí)，T-S?=(-n2+-n)-(H2+4?)=-?(?-1)>0,因此看〉S”,

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，若〃23,則

-1+2〃-3幾+1?14+4(〃—1)+6n—1

7；=(4+&++2)+32+“++2—1)=

222F

3535

=—/+—〃—5,顯然7；=々=—1滿足上式，因此當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，Tn=-rr+-n-5,

2222

351

當(dāng)〃>5時(shí)，7；,-S?=(-zi2+-n-5)-(H2+4H)=-(n+2)(?-5)>0,因此北〉*,

所以當(dāng)〃〉5時(shí)，Tn>Sn.

[an+1,”為奇數(shù),

7.（2021年新高考I卷?第17題）已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足％=1,ja”+2,w為偶數(shù)

⑴記a=%，寫出4，區(qū),并求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

⑵求｛%｝的前20項(xiàng)和.

【答案】偽=2也=5；300.

【解析】（1）由題設(shè)可得偽=%=4+1=2,a=%=%+1=。2+2+1=5

aa1aa+2aa

又2k+2=2k+l+，2k+l=2k^故2k+2=2k+3即優(yōu)包=2+3即匕4-b”=3

所以例｝為等差數(shù)列，故b"=2+（〃-l）x3=3〃-l.

⑵設(shè)｛許｝的前20項(xiàng)和為邑0，則星0=%+。2+。3++%0，

因?yàn)?=a2-l9a3=a4-1,,^9=a20-1,

所以%=2(出+。4+?+。18+。20)-1。

(9x"10\

=2(4+b2++&9+/?10)-10=2x10x2+^—x3-10=300.

8.（2021年高考全國(guó)乙卷理科.第19題）記S“為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，/為數(shù)列電｝的前w項(xiàng)積，已知

21

一+一=2

S.bn

⑴證明：數(shù)列｛優(yōu)｝是等差數(shù)列;

⑵求｛4｝的通項(xiàng)公式.

3,

—.n—\

2

【答案】⑴證明見解析；⑵％=<

1n2

/1v-

幾(及+1)

21cC2b1

解析：（1）由已知丁+I=2得S"=國(guó)二…。，b'F

S“bn

取〃=i,由得乙=：由于或?yàn)閿?shù)列｛s“｝的前w項(xiàng)積，

2乙222b2bl2b22b

所以％—7*7；---7---n-T=bn，所以7^―7,^—7--n+-1-7-，+1，

2bx-12b2-12bn-12bx-12b2-12bn+1-1

2bb21i

所以元、=才’由于2M*0所以雙二1"祀'即其中“eN*

Q1

所以數(shù)列｛2｝是以4=日為首項(xiàng)，以d=不為公差等差數(shù)列；

O1

(2)由(1)可得，數(shù)列｛%｝是以4=日為首項(xiàng)，以d=—為公差的等差數(shù)列，

22

,3/x1o_2b_2+〃

/.b———1)x——1H—,S——■li~,

\-V(TIn

2'222bn-1l+〃

3

當(dāng)n=\時(shí)，a]=S]=—,

2

0c2+n1+n1

當(dāng)ri>2時(shí),an=Sn_Sn_1--=--，顯然對(duì)于n=l不成立，

1+〃n磯〃+

?.?an=\1

-^Ti),n-2

72+

9.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷?第20題）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,且d>l.令b“二一^~,記凡工,分

別為數(shù)列｛4｝,｛%｝的前幾項(xiàng)和.

⑴若3。2=3%+%,邑+4=21,求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若也｝為等差數(shù)列，且%-4=99,求小

【答案】⑴4=3〃(2)J=|^

解析：(1)二3%—3%+/，3d=4+2d,解得a、=d,

r\J-1r\Q

S=3a=3(q+d)=6d,X7^=b+b+b=——l----1----二—,

32x23d2d3dd

91

S+7^=6d+—=21,即2d2—7d+3=0，解得d=3或d=—(舍去)，

3a2

an=%+(〃-1)?d=3〃.

(2)｛2｝為等差數(shù)列，

12212A116d199

2Z?2=4+4,即一=---1---，二?6(-------)=-----—,BPa2—3ad+2d2=0,解得或

ay

a2%a3a2a3a2a3\

a1=2d,d>l,>0,

又怎廣金=99,由等差數(shù)列性質(zhì)知，99%o-99%=99,即％。_%=1，

255019

，%o------=1，即4。一的)—2550=0,解得/o=51或Go=—50(舍去)

“50

當(dāng)〃1=2d時(shí)，Go=4+49d=512=51,解得[=1,與d〉l矛盾，無(wú)解；

當(dāng)q=d時(shí)，%0=%+49d=50d=51,解得d=卷.

綜上，J=—.

50

2s

10.(2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)?第17題)記S"為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和.已知—+〃=2%+l.

n

(1)證明：｛冊(cè)｝是等差數(shù)列；

⑵若%,%,%成等比數(shù)列,求Sn的最小值.

【答案】(1)證明見解析；⑵-78.

2S

【解析】(1)解：因?yàn)椤?+n=2a+1,即2S〃+1=2加“+〃①，

nn

當(dāng)〃22時(shí)，2s.7+(〃-1)2=2(〃一1)〃1+(n-l)(2),

①一②得，2S〃+/_2S〃_i—("—Ip=2nan+n-2[n-1)an_i-[n-\),

即2an+2n-l=2nan-2(〃-i)an_x+1,

即=2(〃-1),所以4-an_x=1,n>2>neN*,

所以｛冊(cè)｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)角牟：由(1)可得/=q+3,%=q+6,%=%+8,

又為，%，。9成等比數(shù)列，所以0/二%，為，

即(4+6)2=(%+3)?(0+8),解得G=-12,

匚匚2s匚匚2cc1225\(25丫625

所以％=〃一]3,所以S=_]2〃+-----------=—〃-------n=—\n-----------,

222212J8

所以，當(dāng)〃=12或〃=13時(shí)(S〃)min=—78.

11.(2021年新高考全國(guó)II卷?第17題)記S〃是公差不為0的等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，若。3=Ss，%/=S,.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式冊(cè)；

(2)求使S.>冊(cè)成立的n的最小值.

【答案】【解析】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：S5=5%,貝I」：4=5%,??.4=0,

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,從而有：a2a4=(〃3-d)(〃3+d)=-/，

—<2j+a?+/+%=(生一2d)+(%—d)+%+(q—d)=-2d,

1

從而：-d=-2d,由于公差不為零，故：d=2,數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=a3+｛n-3)d=2n-6.

(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a1=2-6=-4,則：S“=〃X(T)+"(7)X2=〃2_6〃,

則不等式E,>4,即：n2-5n>2n-6,整理可得：-6)>0,解得：或〃>6,又〃為正整數(shù),

故〃的最小值為7.

12(2023年全國(guó)乙卷)1.記S“為等差數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和，已知出=11,九=40.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑵求數(shù)列｛,」｝的前”項(xiàng)和

14n-n2n<7

【答案】(1)?！?15-2,7(2)7；=9

n2-14n+98,n>8

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

"2=+d=11

%+d=11%=13

由題意可得10x9,解得

兒=10〃]+/一4=402。[+9d=8d=—2

所以4=13-2(〃-1)=15-2”，

⑵因?yàn)?"

令a“=15-2">0,解得“〈J,且〃eN*,

當(dāng)"W7時(shí),則?！?gt;0,可得(目同+同T---1■⑷=%+o2H----1-an=Sn=14w—n~?

當(dāng)時(shí)，則?！保肌?，可得看=同+同H----1-|G?|=+°2----(4"1------------

X

=S1Ts“-Si)=2S-S"=2(147—72)—(14“一〃2)=〃2_]4“+98；

14n—n2,n<7

綜上所述：T=\

n“2-14”+98,a>8

13.(2020年新高考全國(guó)I卷(山東)?第18題)已知公比大于1的等比數(shù)列｛4｝滿足。2+%=20,%=8.

(1)求｛qJ的通項(xiàng)公式;

⑵記久為｛4｝在區(qū)間(。,〃“(機(jī)eN*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列｛縱｝的前100項(xiàng)和So。.

【答案】(l)a”=2"；⑵1°。=480.

’3

(、CLq+aq=20

解析：(1)由于數(shù)列｛4｝是公比大于1的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為%,公比為q,依題意有＜“工x，解

a、q—8

得解得q=24=2,或q=32,q=g(舍)，

所以4=2",所以數(shù)列｛a,｝的通項(xiàng)公式為4=2".

(2)由于21=2,2?=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,所以

仇對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：(0』，則偽=0；

么也對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,2],(0,3],則仇=4=1，即有2個(gè)1；

如與也也對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],則々=%=4=2，即有22個(gè)2；

/也,…，砥對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為:(0,8],(0,9],...,(0,15],則4=%=…='=3,即有23個(gè)3；

久也，-，%對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：(0/6],(0,17],…,(0,31],則九=偽7=」=%=4,即有24個(gè)4；

心也3，?也3對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,32],(0,33],…,(0,63],則42=3=.=%=5,即有聯(lián)個(gè)5；

3，%，對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：(O,64],(O,65],…,(0,100],則=九。=6,即有37個(gè)6.

所以400=1x2+2x22+3x23+4x24+5x25+6x37=480.

14.(2020年新高考全國(guó)卷II數(shù)學(xué)(海南)?第18題)已知公比大于1的等比數(shù)列｛4｝滿足％+%=20嗎=8.

⑴求｛4｝通項(xiàng)公式；

laa

(2)求01a2—a2a3+…+1)"nn+i-

or\2n+3

【答案】(1)%=2"；(2)|-(-l)n--

(Aa,+a.~a.q+CLq-20

解析：⑴設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為狗＞1),則＜24"V"V

“3=a1q~8

整理可得：2，—5鄉(xiāng)+2=0,

?一?q〉1,q=2嗎=2,

數(shù)列的通項(xiàng)公式為：刃=2.2力=2".

(2)由于：(―1)〃1MlM=(—1，2隈2向=(—曠"。故:

—a2a3+…+(—l)n1%%+]

15.(2023年全國(guó)甲卷理科?第17題)設(shè)S,為數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和，己知。2=1,25〃=叫「

(1)求｛?！埃耐?xiàng)公式；

(2)求數(shù)歹ij］毅］的前w項(xiàng)和7；.

【答案】(1)4=〃T

n

⑵7；=2—(2+4

解析：(1)因?yàn)?S“=”a”,

當(dāng)〃=1時(shí)，2q=Qi，即％=。；

當(dāng)〃=3時(shí)，2(1+03)=343，即。3=2,

當(dāng)心2時(shí),2s—=("T)%T，所以2(S“-S“T)="-("T)a,T=24,

化簡(jiǎn)得：,當(dāng)時(shí)，4_=&L==—=1,即?！?”一1,

1AZ22

當(dāng)〃=1,2,3時(shí)都滿足上式，所以4="-l(〃eN*).

⑵因?yàn)閻鄹嫠?>1*出+2x1)+3義出++喂)，

1=咱+2義出++(l)x出+”出，

兩式相減得,

2

d'呢],即一一（2+4]

〃￡N*.

16.（2020天津高考?第19題）已知｛%｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列，4=a=1,%=5（4-局）力5=4（4-4）.

（1）求｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（11）記｛冊(cè)｝的前"項(xiàng)和為鼠，求證：S“S.+2<S；+|（/eN*）；

Q"-2泡

〃為奇數(shù)，

（III）對(duì)任意的正整數(shù)”，設(shè)C“=冊(cè)4+2求數(shù)列｛%｝的前2〃項(xiàng)和.

a

n-l〃為偶數(shù).

4+1'

4"6,7+54

【答案】（1）?！?",以=2%(II)證明見解析；(III)」--迫彳-色

2n+l9x4"9

【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d，等比數(shù)列也｝的公比為"由6=1,%=5（%-。3），可得dwL

從而｛q,｝的通項(xiàng)公式為冊(cè)=".由偽=1以=4（%,又4H°,可得“2-44+4=0,解得q=2,

從而｛"｝的通項(xiàng)公式為〃=2i.

(H)證明：由(I)可得S.=范D,

故S.S0+2=；”(〃+1)(/1+2)("+3),■]=；(“+1)2(n+2)2,

+

從而SnSn+2~D("十刀<0，所以,2<.

(3%-2)6?⑶?-2)2"T2〃+i2〃-1

（Ill）當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，%

〃

a?a?+2〃伽+2)+2n

a.n-1

當(dāng)，為偶數(shù)時(shí)，c.=；d=b，

%2

〃2?"22"-212?”

對(duì)任意的正整數(shù)”，有Zc2j=Z^7—r-?F^=TT7

念W12%+121)2n+l

n^2k-l1352〃一32n—l

和萬(wàn)/7—-17HT+H-----:--1-------

￡4及442434〃T4〃?

k=l

石小/日1S_1352H-32n—l

由①侍*儂=不+7+不+H---------1----：-②

4〃4〃+i

22n-l2n-l

4〃H------4〃+i4〃+i

12n-l22112n-l156〃+5

44?+13-3X4^-44^X4-H-3x4n+1

,,Q56〃+5

從而何：

2〃〃n4"6〃+54An6〃+54

因此，￡Q=￡。2"1+￡。2上=^~r-T~所以，數(shù)列｛%｝的前2”項(xiàng)和為_-

MMM2n+l9x4"92〃+l9x4"9'

17（2024?天津?高考真題）己知數(shù)列｛4｝是公比大于0的等比數(shù)列.其前幾項(xiàng)和為S,.1=1,S2=Q3-].

⑴求數(shù)列｛4｝前"項(xiàng)和S,,;

k,n=a

(2)設(shè)a=kk&N*,k>2.

bn_1+2k,ak<n<ak+l

（0）當(dāng)4N2,〃=4+1時(shí)，求證：bn_x>ak-bn-

s”

（回）求〉.

Z=1

【答案】⑴s“=2"-1（2）①證明見詳解；②±4=（'?4+1

i=i9

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列｛g｝的公比為4>0,

|大|為q—1,S>2~。3—1,艮0％+。2="3—1，

可得1+4=/_1,整理得g2_g_2=o,解得q=2或q=—1（舍去）,

所以S〃=-^=2〃—1

“1-2

(2)(i)由(1)可知為=2j且左EN*次之2,

..ci.=2“T<2k—1=n—1

當(dāng)"=ak+x=2"24時(shí)，貝叫，即為<〃-1<ak+i

〃T=%T<q+]

可知以=2"1也=后+1,

々I=%+(%「,_1>2左=左+2左(21T)=左(2'T)，

可得=k(^2k-l)-(k+l)2kl=(k-l)2kl-k>2(k-l)-k=k-2>0,

當(dāng)且僅當(dāng)上=2時(shí)，等號(hào)成立，所以4-2心?或；

(ii)由(1)可知：Sn=2"-l=an+1-l,

若〃=1,貝!]5]=1,—=1；若〃之2,則4+]_/=2"，

當(dāng)〈注2?-1時(shí)，b「br=2k,可知低｝為等差數(shù)列，

2k-i2k~l(2^-1-111

可得Z4=屋2J+2^—'--------1=k4T=-[(3%-l)4k-(3k-4)4"i],

i=2k-'29

所以卒=1+"[5X42-2*4+8*43-5x4?+…+(3〃-1)4"-(3〃-4)4"-[=也￥1±1,

且〃=1,符合上式，綜上所述：￡&=（3"T）4”+1.

1=19

考點(diǎn)03數(shù)列情景類題目

一、選擇題

1.（2020年高考課標(biāo)n卷理科）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊

圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的

第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多

729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

【答案】C

解析：設(shè)第w環(huán)天石心塊數(shù)為氏，第一層共有〃環(huán),

則｛q｝是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，4=9+5—1）義9=9”,

設(shè)S“為｛4｝的前"項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分

別為S,,S2n-Sn,S3n-S2n,因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊,

所以§3“一S2”=S2n-Sn+729,

3H(9+27H)2n(9+18ZI)2〃(9+18〃)n(9+9n)

即--------------------------=-------------------------F729

2222

27(9+9x27)=3402,故選：

即9"=729，解得〃=9所以S3“=S27=c

2

2.（2022新高考全國(guó)II卷.第3題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA,BB,CC,,DD是桁，相鄰桁的

水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。片,A4是

舉，昂幽是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

DD,八廣CG,BB,,AA.,

票=05'=配票■=&，含1=右?已知仁，氏2,總成公差為81的等差數(shù)列，且直線Q4的斜

OUyZJCjC￡>!nAj

率為0.725,貝|匕=（）

【答案】D

解析：設(shè)OD[=DC[-CB[=BA=1,則CG=履,BBt-k2,,

DD、+CC[+BB]+AA]

依題意，有&_0.2=K，&_（M=&,且=0.725,

OD]+DC[+CB[+BA]

所以"叁匚絲=0.725,故左3=0.9.故選D.

3.（2021高考北京?第6題）《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴

有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)。1，。2，%，。4，。5（單位：《11）成等差數(shù)

列，對(duì)應(yīng)的寬為4也也也也（單位:cm）,且長(zhǎng)與寬之比都相等，已知％=288,%=96,瓦=1