上海市某中學(xué)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級數(shù)學(xué)期中考試試卷（含答案）

2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試九年級數(shù)學(xué)試卷

（滿分：150分，時(shí)間：100分鐘）

一、選擇題（本題共6小題，每題4分，滿分24分）

1.某兩地的實(shí)際距離為6千米，畫在地圖上的距離是20厘米，則在地圖上的距離與實(shí)際的

距離之比是（）.

A.1:300B.1:3000C.1:30000D.1:300000

2.已知x:y=2:3,下列等式中正確的是（）

A.（x-y）:y=l:3B.（x-y）:j=2:1

C.（x-y）:y=（T）:3D.（x-y）:y=（-1）:2

3.在中，ZC=90°,NB=a,AB=m,那么邊NC的長為（）

A.m-sinaB.,cosa

C.m?tancifD.m-cota

4.下列命題中，錯(cuò)誤的是（）

A.如果后=0或3=0，那么垢=6

B.如果加、〃為實(shí)數(shù),那么加（疝）=（w）I

C.Ma=kb（左為實(shí)數(shù)），那么

D.如果|@|=3|彼|,那么3=31或3=-

5.在△NBC中，點(diǎn)。、E分別在邊48、AC±,ED//BC,如果S△ADE~$四邊形BCE0>那么

下列結(jié)論中，正確的是（）

A.DE:BC-1:2B.DE:BC=i：42

C.DE:BC=1:3D.DE\BC=\A

6.如圖，在RtZ\4BC中，448c=90。，AB=6,AC=10,N3/C利N/C8的平分線相

交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作E尸〃3c交/C于點(diǎn)尸，那么跖的長為（）

試卷第1頁，共6頁

二、填空題（本題共12題，每小題4分，滿分48分）

7.計(jì)算：cot30°-2sin60°=.

nhc

8.己知：=j=p且a-b+c=18,則a+6-c的值為.

9.己知點(diǎn)3在線段/C上，且線=整，設(shè)4C=2,則N8的長為_____cm.

ABAC

10.如果己為單位向量，々與工方向相反，且長度是5,那么Z=.（用工示）

11.已知△MCSAM4G，頂點(diǎn)A、B、C分別與4、B1、G對應(yīng)，若44=50。,

ZC=70°,貝度.

12.在A42c中，AB=5,5c=8,23=60。，則ZU5C的面積是—.

13.如圖，已知ADIIBEIICF,若AB=3,AC=7,EF=6,則DE的長為.

48=90。，/A4c=30。，BC=1,以/C為邊在△4BC外作等邊

4CD,設(shè)點(diǎn)￡、/分別是△4BC和A/C。的重心，則兩重心￡與尸之間的距離

15.如圖，在Rt448C中，ZC=90°,BC=6,AC=8,四邊形OEG廠為內(nèi)接正方形，那

么AD:EB=

試卷第2頁，共6頁

16.如圖，在中，AB=6,AD=4,以A為圓心，40的長為半徑畫弧交42于點(diǎn)

E,連接。E,分別以DE為圓心，以大于:。E的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，作射線

AF,交。￡于點(diǎn)M,過點(diǎn)、M作MN〃AB交BC于點(diǎn)、N.則ACV的長為.

17.已知點(diǎn)尸在448c內(nèi)，連接尸/、PB、PC,在AP4B、AP8C和AP/C中，如果存在一

個(gè)三角形與2MBe相似,那么就稱點(diǎn)P為Z14BC的自相似點(diǎn).如圖，在RtNABC中，N/CB=90°,

/C=12,BC=5,如果點(diǎn)P為比A48C的自相似點(diǎn)，那么44cp的余切值等于.

18.如圖，在△/2C中，/8=/C,N/<90。，點(diǎn)。，旦尸分別在邊BC,CA±.,連接

DE,EF,FD,已知點(diǎn)B和點(diǎn)尸關(guān)于直線。E對稱.設(shè)空=%,若AD=DF,則/=_____

ABFA

（結(jié)果用含左的代數(shù)式表示）.

三、簡答題（19-22題，每題10分，23-24每題12分，25題14分，共78分）

cot30。

19.計(jì)算：cos245°----------+tan2600-cot45°-sin30°

2sin60°

20.如圖，已知點(diǎn)。為△4BC中NC邊上的一點(diǎn)，且4D：r>C=3:4,設(shè)函=?,

BC=b.

試卷第3頁，共6頁

A

D

(1)請用萬，B表示向量而：

(2)在圖中畫出向量而分別在B方向上的分向量.(不要求寫作法，但要指出所作圖中表

示結(jié)論的向量)

3

21.已知：如圖，在A/BC中，ZABC=45°,sinA=-,AB=14,3。是/C邊上的中

線.

(1)求△4BC的面積；

(2)求的余切值.

22.木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標(biāo)燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部

最重要的航標(biāo).某天，一艘漁船自西向東(沿/C方向)以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海

峽航行，如圖所示.

航行記錄記錄一：上午8時(shí)，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西60。方向上的/處.

記錄二：上午8時(shí)30分，漁船到達(dá)木蘭燈塔尸北偏西45。方向上的3處.

記錄三：根據(jù)氣象觀測，當(dāng)天凌晨4時(shí)到上午9時(shí)，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C

點(diǎn)周圍5海里內(nèi)，會(huì)出現(xiàn)異常海況，點(diǎn)C位于木蘭燈塔尸北偏東15。方向.

請你根據(jù)以上信息解決下列問題：

試卷第4頁，共6頁

(1)填空：NPAB=。，ZAPC=°,AB=海里;

(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)，請計(jì)算說明.

(參考數(shù)據(jù):V2?1.41,V3?1.73,V6?2.45)

23.已知：點(diǎn)P在△NBC內(nèi)，且滿足NAP8=N/PC,ZAPB+ZBAC=180°.

(1)求證：APABs0CA；

⑵如果乙4尸8=120°,ZABC=90°,求尸C:P8的值.

24.在平面直角坐標(biāo)系中，把一條線段繞其一個(gè)端點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并把這條線段伸長或縮短,

稱這樣的運(yùn)動(dòng)叫做線段的“旋似”，經(jīng)“旋似”運(yùn)動(dòng)后新線段和原線段的夾角為“旋似角”，新線

段長和原線段長比值為“旋似比”：如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)/(-2,6),把線段

繞點(diǎn)。做“旋似”運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B,若“旋似角”為90。,

----------------------------A?

OxOx

(備用圖)

⑴當(dāng)“旋似比”為2時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

⑵過3做2。_1_》軸，點(diǎn)。為垂足，連接N8,若/2〃無軸，求此時(shí)的“旋似比”;

(3)當(dāng)“旋似比”為:時(shí)，設(shè)線段N3與V軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是V軸上一點(diǎn)，且滿足

NBFO+NBOE=135°,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

25.如圖，在菱形4BCD中，ZABC是銳角，E是2C邊上的動(dòng)點(diǎn)，將射線/￡繞點(diǎn)/按逆

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交直線CD于點(diǎn)?

試卷第5頁，共6頁

(1)^AELBC,4￡/尸=443。時(shí)，聯(lián)結(jié)2，EF,

①求證：ACEFsACBD；

②若焉=］，求J』的值；

DDJQ菱形Z8CZ)

(2)當(dāng)乙版尸=；乙840時(shí)，延長2c交射線/尸于點(diǎn)/，延長。C交射線/￡于點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)

AG,MN,若N8=4,4c=2,當(dāng)八4九加是等腰三角形，求C￡的長.

試卷第6頁，共6頁

1.c

【詳解】6千米=6000米=600000厘米，

地圖上的距離與實(shí)際的距離之比是20:600000=1:30000,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了比例尺，解題的關(guān)鍵是正確理解比例尺的定義.

2.C

【分析】由x：y=2：3,根據(jù)比例的性質(zhì),即可求得(x-y)：y=(-1)：3.

【詳解】解：:x：y=2：3,

???(x-y)：y=(2-3)：3=(-1)：3.

故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查了比例的性質(zhì).此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)與變形.

3.A

AT

【分析】根據(jù)三角函數(shù)值的求值可以求得sina=左，故根據(jù)=即可求得NC的值，即

AB

可解題.

/.AC=Z3?sina=m-sina.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形三角函數(shù)值的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是明確三角函數(shù)值得定義求

/日.AC

得sma=.

AB

4.C

【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】解：A、如果左=o或a=那么痂=6,故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、如果機(jī)、力為實(shí)數(shù)，那么加(疝)=(加7)］，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、如果之=%(kwO為實(shí)數(shù))，那么方〃石，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

答案第1頁，共23頁

D、如果|即=3所|,那么a=3B或3=-3不，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

故選：c

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的性質(zhì)，屬于中考?？碱}

型.

5.B

【分析】先證明可得2=(黑］，結(jié)合&3=S四邊形BCE。，可得

S.ABCtBC)

(DE\1日公行

—=-，從而可得答案.

{BCJ2

【詳解】解：如圖，ED//BC,

:.AADES“BC,

*#S^ADE

.("丫DE1

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握“相似三角形的面積之比等于相似比的平方”

是解題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】延長EE交AB于點(diǎn)D,作EG,8c于點(diǎn)G,作EH,4c于點(diǎn)H,由既〃8c可證

四邊形ADEG是矩形，由角平分線可得皿=￡8=EG,ND4E=NHAE,從而知四邊形

3DEG是正方形，再證△￡)/￡絲△ME(AAS),/XCGE△CHE(AAS),

AD=AH,CG=CH,設(shè)3。=8G=x,貝UAD=NX=6—x,CG=S=8—無，由/C=10

答案第2頁，共23頁

可得x=2,gpBD=DE=2,AD=4f再證△4￡）尸s△/呂。可得。尸=,據(jù)此得出

EF^DF-DE=—.

3

【詳解】解：如圖，延長也交45于點(diǎn)。，作EGL5C于點(diǎn)G,作即，/C于點(diǎn)區(qū)

?:EF〃BC,ZABC=90°,

???FD1AB,

???EGLBC,

???四邊形BDEG是矩形，

,.?AE平分NBAC,CE平分NACB,

：,ED=EH=EG,ZDAE=ZHAE,

???四邊形BQEG是正方形，

在△D4E和AHAE中,

ZADE=ZAHE

<ZDAE=ZHAE

AE=AE

??.LDAE之LHAE（AAS）,

???AD=AH,

同理△口?￡之△CHE（AAS）,

：.CG=CH,

設(shè)BD=BG=x,貝I40=47=6-x,

BC=^AC2-AB2=8,

CG=CH=S-x,

???AH+CH=AC,

6—x+8-x-10,

解得：x=2,

答案第3頁，共23頁

..BD=DE=2,4。=4,

.-DF//BC,

?.AADFs"BC,

ADDF

DF

'6--g-

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的判定

與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

7.0

【分析】首先明確cot30。和sin60。,然后運(yùn)算即可.

【詳解】cot30°-2sin60°=V3-2x—=V3-V3=0

2

【點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握，即可解題.

8.6

【分析】本題考查了比例的運(yùn)算，熟悉掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

^-=-=-=k,則a=2E,b=3k,c=4k,代入a-6+c=18求出發(fā)值后即可得到。，

234

b,c的值，再代入a+6-。運(yùn)算即可.

【詳解】解：設(shè)5=g=：=左，則〃=2左，b=3k,c=4k,

??,Q-6+C=18,

???代入Q=2左，b=3k,。=4左可得：2左一3左+4左=18,

解得：k=6,

a=2k=12,6=3左=18,c=4k=24,

J.Q+6—c—12+18—24=6,

故答案為：6.

9.V5-l##-l+V5

答案第4頁，共23頁

【分析】根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可.

BCAB

【詳解】解:

~AB~7C

AB2=BCxAC,

AB2=2x(2-AB),

AB2+248-4=0,

解得，44=石-1,AB2=-45-l（舍去）,

故答案為：A/5-1.

【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割的概念以及黃金比值，掌握一元二次方程的解法、理解黃金

分割的概念是解題的關(guān)鍵.

10.-5e

【分析】根據(jù)向量的表示方法可直接進(jìn)行解答.

【詳解】解：的長度為5,向量工是單位向量，

?|=5|e|,

-.-a與單位向量工的方向相反，

a=-5e;

故答案為：-5e-

【點(diǎn)睛】本題考查的是平面向量的知識，向量包括長度及方向，而長度等于1個(gè)單位長度的

向量叫做單位向量，解決本題的關(guān)鍵是注意單位向量只規(guī)定大小沒規(guī)定方向.

11.60

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟悉掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

利用三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)，再利用相似三角形的性質(zhì)可得到/用的度數(shù).

【詳解】解：???N/=5O°,ZC=70°,

:=180°--/C=180°-50°-70°=60°

>頂點(diǎn)A、B、c分別與4、4、G對應(yīng)，

ZB】=NB=60°,

故答案為：60

12.ioG

【分析】過A作3c于H,根據(jù)RM48“中，AAHB=90°,AB=5,28=60。，可

答案第5頁，共23頁

求得=歲，再根據(jù)S^ABC=^AH-BC,可求得答案.

【詳解】解：過A作于77,如圖所示:

在RM/8〃中，AAHB=90°,AB=5,NB=6Q。，

*'?AH=AB?sinB=5xsi〃60°=5x—=,

22

■-S.=-AH-BC=-X—X8=10^3,

4ABeC222

故答案為：IOVL

【點(diǎn)睛】本題考查了正切值，三角形的面積計(jì)算等知識點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3I

【分析】根據(jù)/"3,"C=7'可得叱=4,再根據(jù)皿明理即可得出普=器，即

DF3

進(jìn)而得到DE的長.

O4

【詳解】"AB=3,AC=1,

：.BC=4,

■：AD\iBE^CF,

DE_AB

~EF~~BC"

日

即,“3

9

解得DE=-

9

故答案為］.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例;

熟練掌握平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵.

【分析】如圖：取NC中點(diǎn)。，連接。&OD、BD、EF.根據(jù)含30度角的直角三角形的性

答案第6頁，共23頁

質(zhì)求出/C=28C=2,利用勾股定理得出=根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出

CD=AD=AC=2,ACAD=60°,那么NR4。=/R4C+NC4。=90。，利用勾股定理求出

BD=布.然后證明AEOb-AB。。，得出EF=LBD=①.

33

【詳解】解：如圖：取/C中點(diǎn)。，連接OD.BD、EF

在中，NB=90。,ABAC=30°,BC=1,

.-.AC=2BC=2,AB=AC1-BC2=V3,

?.?△/CD是等邊三角形，

CD^AD=AC^2,

ZCAD=60°,

ABAD=NBAC+/G4。=90。，

■-BD=y/AB2+AD2=V3+4=V7?

???點(diǎn)E、F分另!］是“臺(tái)。和"CD的重心，

OEOF

"~OB~~OD~3，

又：ZEOF=ZBOD,

&EOF~ABOD,

EF_OEOF

''BD~OB~OD~39

故答案為：叵.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等邊

三角形的性質(zhì)、三角形重心的定義與性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中

點(diǎn)的距離之比為2：1是解題的關(guān)鍵.

15.16:9

答案第7頁，共23頁

【分析】由相似三角形的性質(zhì)即可求出正方形的邊長，同理可得出/。及BE的長，進(jìn)而得

出結(jié)論.

【詳解】如圖，作交G尸于點(diǎn)交AB于點(diǎn)、N,

?；NC=8,BC=6,

AB=10,

：.-AB?CN=-BC^AC,

22

24

：.CN=—

5

-GF//AB,

MCGFSCBA,

CMGF

^~CN~^A9

設(shè)正方形邊長為心

24

-----x

則—=f，解得：x=詈，

T

???FD上AB,

.^ZADF=ZC=90°,

???ZA=ZA,

.,.AADF^AACB,

120

ADDF

即AD6,

~AC~BC

8-5

???回國

37

120

BEEG口…廠——

同理:——=——，即BE37，

ECAC-=^~

6o

答案第8頁，共23頁

,BE哮，

?,?。即=翳:>16:9,

故答案為：16:9.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)

鍵.

16.4

【分析】由尺規(guī)作圖可知，射線4月是的角平分線，由于M）=/E=4,結(jié)合等腰三

角形“三線合一”得M是。E邊中點(diǎn)，再由〃/3,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到N

是邊8c中點(diǎn)，利用梯形中位線的判定與性質(zhì)得到=+即可得到答案.

【詳解】解：由題意可知4D=/E=4,射線4尸是/24D的角平分線，

由等腰三角形“三線合一”得M是。E邊中點(diǎn)，

???MN//AB,

由平行線分線段成比例定理得到空=瞿=1，即N是邊3c中點(diǎn)，

NCMD

二.是梯形BCDE的中位線，

:.MN=g（DC+EB）,

在口ABC。中，CD=AB=6,BE=AB-4E=6-4=2,貝I|MV=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形背景下求線段長問題，涉及尺規(guī)作圖、等腰三角形的判定與性

質(zhì)、平行線分線段成比例定理、梯形中位線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練

掌握梯形中位線的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

12

17.一

5

【分析】先找到RtAABC的內(nèi)相似點(diǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算NACP的余切即可.

【詳解】vAC=12,BC=5,

???ZCAB<ZCBA,

故可在NCAB內(nèi)作NCBPvCAB,

又???點(diǎn)P^AABC的自相似點(diǎn)，

二過點(diǎn)C作CP1PB,并延長CP交AB于點(diǎn)D,

則△BPCMACB,

答案第9頁，共23頁

???點(diǎn)P為AABC的自相似點(diǎn)，

.-.ZBCP=ZCBA,

.-.ZACP=ZBAC,

口人自力C12

??ZACP的余切布=工，

1JK-Y5

12

故答案為：—.

A

Ck---------B

【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形，解題關(guān)鍵在于兩個(gè)三角形相似則余切值相等.

【分析】先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和已知條件證明。E〃/C,再證△3OEs2va4C,推出

EC=-k-AB,通過證明△ABCSAECV,推出C尸=工左48,即可求出絲的值.

22FA

【詳解】解：?.,點(diǎn)B和點(diǎn)尸關(guān)于直線DE對稱，

DB=DF,

???AD=DF,

AD=DB.

???AD=DF,

NA=ZDFA,

???點(diǎn)5和點(diǎn)方關(guān)于直線DE對稱，

丁./BDE=ZFDE,

又:ABDE+ZFDE=ZBDF=ZA+ZDFA,

ZFDE=ZDFA,

/.DE//AC,

ZC=/DEB,/DEF=/EFC,

???點(diǎn)5和點(diǎn)/關(guān)于直線DE對稱，

丁./DEB=/DEF,

答案第10頁，共23頁

ZC=/EFC,

??,AB=AC,

/C=/B,

在△ZBC和△ECF中，

(ZB=ZC

[ZACB=/EFC'

/\ABCs^ECF.

???在△43。中，DE//AC,

A/BDE=ZA,/BED=ZC,

4BDEsABAC,

.BE_BD

.?葭一而-5'

...EC=-BC,

2

BC7

*?,=k,

AB

:.BC=kAB,EC=-k-AB,

2

???AABCs小ECF.

.ABBC

,^C~~CF9

ABk,AB

?—??k-ABCF,

2

解得=

1

—k92.AR

.CF__CF_CF_2_k9

2

'~FA~AC-CF~AB-CF~l/2A~2-k'

2

七2

故答案為：

2-E

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三

角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是證明A/BC

S^ECF.

19.2

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入，再按實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

答案第11頁，共23頁

原式=［由一得+(扃T4

【詳解】解:

'/2x----

--1+3--

22

=2.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的計(jì)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值和掌握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則是

解題的關(guān)鍵.

4-3-

20.(l)-a+-b

',77

(2)見解析

【分析】(1)利用平面向量的三角形加法則依次計(jì)算就、通、而即可；

(2)根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，過。分別作48、BC的平行線，再標(biāo)上向量方向即

可.

【詳解】(1)--BA=a,BC=b

■■AC=AB+BC——u+b

???4。：DC=3:4

...AD=-AC=--a-b

77+7

—?—?—?一3一3一4一3一

BD=BA.+A.D=ci—ci—b=-aH—b

7777

(2)BE,而即為向量而分別在萬，B方向上的分向量，如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，需要掌握一向量在另一向量方向上的分量的定義，以及向量加

法的平行四邊形法則.

21.(1)42

10

⑵了

【分析】本題考查了勾股定理，三角函數(shù)的定義，三角形中位線定理.

3

(1)作垂足為點(diǎn)先由sin/=《，可設(shè)CH=3無，那么/C=5x,根據(jù)勾股

答案第12頁，共23頁

定理得出/〃=4x,在直角△的中，由//8C=45。，得出8〃=Ca=3x,再根據(jù)

AB=AH+HB,列出關(guān)于龍的方程，解方程求出無=2,得到C”=6,然后根據(jù)△/BC的

面積=即可求解；

(2)作垂足為點(diǎn)M.先由。飲〃C77,得到“DW，由。為NC中點(diǎn),

得出M為/〃的中點(diǎn)，由三角形中位線定理得出DM=3,貝1]/"=4,3=10,然后在直

角ABDM中根據(jù)余切函數(shù)的定義即可求出ZABD的余切值.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)C作CHL4B,點(diǎn)〃為垂足，

在RSCH中，NBHC=90°,ZCBH=45°,

△助是等腰直角三角形,

CH=BH,

在RLUC〃中，ZAHC=90°,

.,CH

sinZ=-----,

AC

?13

,/smZ=一,

5

設(shè)CH=BH=3x,貝UAC—5x,

\AH2+CH2=AC2,

：.AH=4x,

AB=AH+BH=4x+3x=14,

解得x=2,

:.CH=6,

；

S^A,c?SCr=-2AB-CH=2-x14x6=42，

(2)解：過點(diǎn)。作143,點(diǎn)/為垂足,

/.DM//CHf

：.^ADMs~iCH,

答案第13頁，共23頁

.APAM_DM

\4C~^4H~~CH，

???。為NC中點(diǎn),

./o_i

\4C~2,

由（1）知：CH=6,AH=8,

:.DM=3,AM=4,

:.BM=AB-AM=10f

在RGBDM中，ZDMB=90°,

.nABM10

cot^A.BD-------=—.

DM3

22.（1）30；75；5

（2）該漁船不改變航線與速度，會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)

【分析】本題主要考查了方位角的計(jì)算，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理：

（1）根據(jù)方位角的描述和三角形內(nèi)角和定理可求出兩個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)路程等于速度乘以

時(shí)間可以計(jì)算出對應(yīng)線段的長度；

（2）設(shè)尸。=x海里，先解RtdD8得到BQ=x,再解得到/。=/-=百龍海里,

tan4

力尸=焉=2苫海里，據(jù)此可得x+5=Gx，解得/P=2x=16+5）海里;證明/C=//PC,

則NC=/P=卜石+5）海里；再求出上午9時(shí)時(shí)船與C點(diǎn)的距離即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)尸作尸C于。，

由題意得，N4PD=60。,ZBPD=45°,ZCPD=\50,

ZPAB=90°-ZAPD=30°,ZAPC=ZAPD+ZCPD=75°；

???一艘漁船自西向東（沿/C方向）以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時(shí)從4

出發(fā)到上午8時(shí)30分到達(dá)8,

.?./2=10x0.5=5海里.

答案第14頁，共23頁

(2)解：設(shè)PO=x海里，

在RUPDB中，BD=PD-tan/DPB=x海里,

在RtA/PD中，4D=00二6工海里,==海里,

tanAsinA

AD=AB+BD,

*',X+5—yf3x9

55月+5

解得X=

V3-1--2

AP=2x=卜百+5)海里,

■■ZC=1800-ZA-ZAPC=75°,

.-.ZC=NAPC,

.../0—卜6+5)海里；

上午9時(shí)時(shí)，船距離/的距離為10x1=10海里，

?■-5V3+5-10=573-5-5xl.73-5=3.65<5,

???該漁船不改變航線與速度，會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū).

23.(1)見解析

(2)PC:尸8=4:1.

【分析】(1)由已知和等量代換得NP3/=NP/C,再根據(jù)a4P2=/4PC可證明

△PABs^pcA；

pAPR(AC\

(2)由△尸/8s△尸口可得==通過變形得到土=產(chǎn),再利用

PCPAACPByAB)

AC

NAPB=120。,/4BC=90。求得乙4cB=30。，得出一,則可得出尸C:尸5的值.

AB

【詳解】(1)證明：???ZAPB+ZPBA+ZPAB=180°,AAPB+ABAC=\^°,

ABAC=/PAB+/PBA,

ZPBA=/PAC,

???/APB=ZAPC,

.?.LPABsMCA；

(2)解：?:LPABs0CA,

答案第15頁，共23頁

PA_PBAB

正一再一前‘

PCPCPA

^B~^ATB~{ABJ

-ZAPB=120°,

ABAC=60°,

-ZABC=90°,

???/4CB=30。，

AC=2AB,

ACc

----=2,

AB

.-.PC:PB=4:1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)等，能夠找到三角形相似的條件是解題的關(guān)

鍵.

24.⑴點(diǎn)8(12,4)

⑵“旋似比”為3

⑶國或］"

【分析】(1)先證明A/ODSABOC,再利用“旋似比”為2即可求解；

(2)證明△/OCS^OBC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

(3)由“旋似比”為:，求出點(diǎn)8(3,1),再求出43解析式，貝IJ有OE=OH=4,從而得出

ZOEH=ZOHE=45°,分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)尸在。點(diǎn)上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)尸在。點(diǎn)下方時(shí)，分別

求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)解：如圖，過A作軸于點(diǎn)。，過5作軸于點(diǎn)C,

4—tD

\B

\一-T

1

\11Y?

\?

-------------------------------------------------

OCX

ZADO=NBCO=90°

答案第16頁，共23頁

???/(—2,6),ZAOB=90°,

AD=2,0D=6,ZAOD=ZBOC,

：.AA0DS^B0C,

AD_OD_OA

''^C~~OC~~OB~29

oc=n,BC=4,

??.點(diǎn)3(12,4)；

(2)解：如圖，

%

A----------------------------------------------------

\C——：

\一\

\_\

\—I!

\\

\.一?,?

---------------------------------------------------------------------s__>

ODx

???，(-2,6),

AC=2,OC-6,

???N4OB=90。,ZCOD=90°f

ZAOC=/ABO,

??.△ZOCS^OBC,

AOACOC口eOB6r

——=——=——，即——=—=3,

OBOCBCOA2

???此時(shí)的“旋似比”為3；

(3)解：如圖，過A作軸于點(diǎn)。，過8作軸于點(diǎn)C,延長交x于點(diǎn)”,

???/(-2,6),N4OB=90。，

答案第17頁，共23頁

AD=2,OD=6,Z.AOD-Z.BOC,

MAODS^BOC,

4。_OD=3=2

5C-ocOB

OC=3,BC=1,

???點(diǎn)8(3,1),

???BE=收+(47)2=3五,0B=S+i2=回,

設(shè)45解析式為〉=狂+6,

12左+b=6

寸3左+6=1'

[k=-l

解得：L,，

[6=4

???AB解析式為y=-X+4,

把x=0代入kr+4得＞=4,

把k0代入V=r+4得0=r+4,解得：x=4,

,￡(0,4),7/(4,0),

.?.OE=OH=4,

???ZEOC=90°,

：.NOEH=NOHE=45。,

當(dāng)點(diǎn)歹在。點(diǎn)上方時(shí)，如圖所示：

???ZBFO+ZBOE=135°,

???ZOBF=180°—135。=45°,

AOBF=NOEB,

答案第18頁，共23頁

???NBOF=NBOE,

???△BOFs^EOB,

OFBO

”一網(wǎng)一_5

\Jr——----------一--

EO4~2

???此時(shí)點(diǎn)/的坐標(biāo)為(oq)

如圖所示:

.-.ZBF'O+ZBOE=135°,

???當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)尸時(shí)，符合題意,

設(shè)點(diǎn)廠'的坐標(biāo)為(O,〃7)(加＜0),

■■■BF'=BF,

■■BF'2=BF2,

2

22

小+PI=3+(m-l),

15

解得：

"h=-—2,加2=一2

點(diǎn)尸’的坐標(biāo)為

...點(diǎn)/的坐標(biāo)(oq或。，-;

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法求解析式，坐標(biāo)與圖形，解題的

關(guān)鍵是根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為相似三角形，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定.

Q

25.⑴①見解析；②毛

答案第19頁，共23頁

44

(2)CE為§或2或1

【分析】(1)①根據(jù)菱形的性質(zhì)可得UBC=UDC,ADWBC,再由/￡18C,可得

AELAD,從而得到乙8/召=乙0/尸，可證得A4AE■三八4。尸，從而得到2￡=￡＞尸，進(jìn)而得到

CE=