拓展之分離變量法解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題（解析版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第08講：拓展一：分離變量法解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題

目錄

類型一：恒成立（存在問(wèn)題）求解參數(shù)。范圍..................1

角度1：完全分離參數(shù)法................................1

角度2：部分分離參數(shù)法................................7

類型二：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)。范圍.......................11

角度1：完全分離參數(shù)法...............................11

角度2：部分分離參數(shù)法...............................16

高頻考點(diǎn)

類型一：恒成立（存在問(wèn)題）求解參數(shù)。范圍

角度1：完全分離參數(shù)法

典型例題

例題1.（23-24高二下?四川廣元?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=lnx-依，其中xe[l,+e）,

若不等式/（x）V0恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】]，+8）

【分析】

恒成立求參數(shù)的取值范圍，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可.

【詳解】函數(shù)〃x）=lnx-依，因?yàn)樵趚e[l,+oo）恒成立，

所以Inx-axVO,在xe[l,+8）恒成立，

a2在xe[1,+8）恒成立，

令〃（無(wú)）=皿，所以〃（x）=上及，

XX

//(力=0,得'=e,

所以當(dāng)x￡(l,e)時(shí)，/ir(x)>0,當(dāng)％￡(e,+8)時(shí)，/zf(x)<0,

所以可力在(1,e)上單調(diào)遞增,在(e,+8)上單調(diào)遞減.

所以=/z(e)=：,所以a2:,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為［，+8).

故答案為：

例題2.(23-24高二下?河北張家口?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xeX,g(x)=x+lnx+〃2.

(1)求函數(shù)〃x)的極值；

(2)若g(x)<〃x)恒成立，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

【答案】⑴函數(shù)的極小值為-L無(wú)極大值；

e

(2)m￡l

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)，先判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求函數(shù)的極值；

(2)首先不等式化簡(jiǎn)為x+lnx+機(jī)〈祀工恒成立，再利用參變分離，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，即可

求解.

【詳解】(1)r(x)=(x+l)e\令在(x)=0,得％=—1,

x,/'⑴和“X)的關(guān)系，如下表所示,

X-1(-1,+?)

r(x)—0+

單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

〃無(wú))e

所以函數(shù)的極小值為-L無(wú)極大值；

e

(2)不等式(x)恒成立,即X+lnx+根Wxe"恒成立，

即相(疣、一%-111%,x>0,恒成立，所以用〈(犬e"-%-lnx),,x>0,

\/nun

設(shè)〃(x)=xe，-x-]nx,x>0,

//(x)=(x+l)ex-1--=(x+l)fex--1

其中x+l>0,

x

設(shè)加=mr(x)=ex+^->0,所以機(jī)(x)在(0,+8)單調(diào)遞增,

因?yàn)楦?lt;°，相⑴>0,所以存在％使加(毛)=0,即〃伉)=0,即e*0=:,

當(dāng)xe(0,飛)時(shí),7z,(x)<0,7z(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xw(%,+8)時(shí),//(%)>0,元)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=不時(shí)，函數(shù)/z(x)取得最小值力(%)=毛6&-x0-lnx0,

由e*=L,可得毛=一111%，所以/《x。)=5e拓-七一In%=1-%+5=1,

xo

所以相￡1.

例題3.(23-24高二下?重慶?階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=ox-l-lnx(aeR).

⑴若4=1,求〃x)在(ej(e))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑶若函數(shù)〃x)在x=l處取得極值，且對(duì)以?0,小)，恒成立，求實(shí)數(shù)6的取

值范圍.

［答案］⑴(e-l)x_ey_e=0

(2)答案見(jiàn)解析

⑶1-鞏1-"

【分析】

(1)先求出函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)((x),進(jìn)而得出/(e),/'(e)；再根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可求

解.

(2)先求出函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)；再分aW0和a>0兩種情況，在每一種情況中借助

導(dǎo)數(shù)即可解答.

(3)先根據(jù)函數(shù)“X)在x=1處取得極值得出a=1；再將問(wèn)題"對(duì)Vxe(0,小)，/(x)2法-2

恒成立"轉(zhuǎn)化為"對(duì)),6一14上詈恒成立"；最后構(gòu)造函數(shù)8口)=匕?，并利

用導(dǎo)數(shù)求出g(x)血口即可解答.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，〃無(wú))=x-1-lnx,尸⑺=1一

1P_1

貝U/(e)=e-l-lne=e-2,/'(e)=1——=---.

所以“X)在(e,〃e))處的切線方程為了_(e-2)=W(x-e),即(e—l)x-ey—e=0.

(2)由/(x)=ax-l-lnx(aeR)可得：函數(shù)定義域?yàn)?0,+<?),f\x)=a--.

當(dāng)aWO時(shí)，/'(x)<0,此時(shí)函數(shù)〃x)在定義域(O,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)0>0時(shí)，令r(x)<0,解得0<x<f令)K或>0,解得尤>：,

此時(shí)函數(shù)/'(x)在區(qū)間(0，：［上單調(diào)遞減，在區(qū)間+8)上單調(diào)遞增.

綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(尤)在定義域(。,+e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(X)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間+8)上單調(diào)遞增.

(3)因?yàn)楹瘮?shù)在x=l處取得極值，

所以尸(1)=0,即a—1=0,解得a=l.

止匕時(shí)/(力=1一士=口，

XX

令廣")>。，解得X>1；令/'(力<0,解得0<x<l,

所以函數(shù)/■(》)在X=1處取得極值，

故a=l.

所以"x)=xT-lnx.

因?yàn)閷?duì)Vxe(O,?+<o),恒成立，

所以對(duì)V無(wú)?0,+?),6一14匕詈恒成立.

令g(x)=上手，

貝?。輌'(X)=W^.

令g'(x)>。，解得x>/；令g'(X)<0,解得0cx<e?,

所以函數(shù)g(x)=L?在區(qū)間(01)上單調(diào)遞減，在區(qū)間仔,+動(dòng)上單調(diào)遞增，

所以g(x)mm=g(e2)=-0

貝U6-14-1，解得：&<1-4.

ee

所以實(shí)數(shù)6的取值范圍為(-鞏1-!

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高二下?江蘇蘇州?階段練習(xí))若不等式。+2x+|lnx|-120恒成立，則。的取值范

圍是.

【答案】[—In2,+oo)

【分析】分類討論去解析式中的絕對(duì)值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的

最大值，從而即可得解.

【詳解】若不等式“+2》+|111到-12。恒成立，也就是。21-2彳-|1時(shí)恒成立，

函數(shù)“x)=l-2x-|lnx|,定義域?yàn)?0,+<?),

當(dāng)時(shí)，f(x)=1—2x—Inx,f'(x\=—2—<0,

尤

\/⑴在[1,+⑹為減函數(shù)，此時(shí)/(X)a=/⑴=一1；

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)=l-2x+lnx,:.f'(x]=-2+-=^^,

XX

.,.當(dāng)時(shí)，>0,當(dāng)時(shí)，/(%)<0,

\/任)在上單調(diào)遞增，在g,"上單調(diào)遞減，

此時(shí)/(x)max=d=Ing=Tn2,

綜上可知，則〃的取值范圍是[-In2,+8).

故答案為：[-In2,+oo).

2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(無(wú))=ox+%ln%(。wR),當(dāng)〃=1且左eZ時(shí)，不

等式左(％-1)</(%)在工￡(1,+8)上恒成立，求人的最大值.

【答案】3

【分析】

依題意參變分離可得左<士學(xué)在xe(l,+⑹上恒成立，則+,令

X-lIX-lJmin

g(x)=x+xl：x,xe(l,+s),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而

x-1

求出參數(shù)％的取值范圍，即可得解.

【詳解】

當(dāng)a=l時(shí)，/'(x)=x+xlnx,又不等式上(x-l)</(x)在xe(l,+co)上恒成立，

則k<-X在^(1,+s)上恒成立，

x-1

所以左<——「，

I尤TJmin

人/、x+xinx八、,/\x-lnx-2

令g(x)=.J-，xe(1,+co),貝!]g(x)=(1)2，

令"(x)=x-lnx-2,xe(l,+oo),

i_i

則/(無(wú))=1一：=土r/>0,.[Mx)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

/7(3)=l-ln3(0,/z(4)=2-21n2)0,存在唯一x°e(3,4),使/2(%)=0,

所以，當(dāng)1〈尤時(shí)/z(x)<0即g'(x)<0,當(dāng)x>x()時(shí)7z(x)>0即g[x)>0,

所以g(x)在(1,%)上單調(diào)遞減，在(%+力)上單調(diào)遞增，

又/?(毛)=/-ln/—2=0,即lnXo=Xo_2,

所以g(x)3=g⑷「。(1+1；)=%(1+X：2)=/e(3,4),

%_LXQi

所以k<g(x)1nhi=%e(3,4),又keZ,

,k

一、max=3.

3.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx+l,獷(力>%@-1)在(1,+0))上恒成

立，求整數(shù)上的最大值.

【答案】3

【分析】

分離參數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不+(%>1),設(shè)g(x)="lnx+l)利用導(dǎo)數(shù)求出

x-1x-1

g(x)的最小值，得解.

【詳解】由題意，x(lnx+l)>Mx-1)在(1,E)上恒成立,

rrX(lnX+l)

即％<△-----L(%>1).

x-l

.n/、x(lnx+l)0

設(shè)g(x)=-——#(x>l)，

x—1

x-lnx-2

則g'(x)=

(x-咪

令/z(x)=x-lnx-2(%>1),貝!]//(x)=1-1>0,

所以，/z(x)在(L+⑹上為增函數(shù).

、p2

因?yàn)榱?2)=—In2v0,=1—In3=In—e<0,/z(4)=2—ln4=>0,

所以M%)在(1,”)上有唯一實(shí)數(shù)根mG(3,4),

使得根—lnzn—2=0.

當(dāng)間時(shí)，h(x)v0,即g'(x)〈0；

當(dāng)(私+00)時(shí),/z(x)>0,即g'(x)〉0.

即g(%)在(1,根)上單調(diào)遞減，在(町內(nèi))上單調(diào)遞增,

所以g(x)在戶加處取得最小值，

m(lnm+l)

且g(加)=---------=m，

所以人〈根.由加43,4),得整數(shù)上的最大值為3.

角度2：部分分離參數(shù)法

典型例題

例題L(23-24高二上?福建福州?期末)已知關(guān)于x的不等式2x-Mx+l)e，>0解集中恰有

3個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為()

3

A.B.C.'商

【答案】D

【分析】由題意可得上(x+l)<2xef的解集中恰有3個(gè)不同的正整數(shù)解，設(shè)/。)=左。+1),

g(x)=2xe-\作出兩函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分％W0,左>0分別求解即可.

【詳解】因?yàn)?x-t(x+l)e*>0,所以％(尤+1)<2彳尸.

設(shè)/。)=左0+1),g(x)=2xex,貝i]g'(x)=2eT-2xeT=2(l-x)eT,

所以當(dāng)x?-s』)時(shí)，g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,+8)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

又因?yàn)槭沁^(guò)點(diǎn)(-1,0)的直線，如圖所示：

由此可得當(dāng)ZW0時(shí)，依x+l)<2xe-'的解集中有若干個(gè)不同的正整數(shù)解，不滿足題意;

當(dāng)人>0時(shí)，要使不等式2x-左(x+l)e*>0的解集中恰有3個(gè)不同的正整數(shù)解，

當(dāng)y=/（x）過(guò)點(diǎn)（4,g（4））時(shí)，左取最小值,

Op-4_no

因?yàn)間(4)=8eT,此時(shí)左==

4-(-1)5e

當(dāng)y=/（無(wú)）過(guò)點(diǎn)（3,g（3））時(shí)，上取最大值,

因?yàn)間（3）=6J，此時(shí)％=穿不=[,

83]

所以的取值范圍為爰

故選：D.

例題2.（22-23高二下?浙江杭州,階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式M1+2x）<lnx+l的解集中

恰有2個(gè)整數(shù)，則上的取值范圍是（)

,1,八ln2+l71

A.—<%V1B.----<k<-

383

ln3+l7ln2+lln4+l7ln3+l

C.--------<k<----D.----<k<----

1582415

【答案】C

"丁’構(gòu)建利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和

【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為%（%+2）

最值，根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合，列式求解即可.

【詳解】因?yàn)閤>0,M^(x2+2%)=fcc(x+2)<lnx+l,可得左(》+2)<^^

構(gòu)建了（尤）=虹乂，貝|]廣（行=一吧

XX

令了解得O<X<1；令r（x）<0,解得X>1；

則“X）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,收）上單調(diào)遞減，可得〃尤）4〃1）=1,

且〃2)=號(hào)￡〃3)=T^

-l+ln2

4k<----

2ln3+l7ln2+l

由題意可得1；&，解得----<k<----

-l+ln3

5k>----158

3

所以人的取值范圍是電U<左4號(hào)。.

15o

1.(23-24高二上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))已知函數(shù)y(x)=lnx+(a-2)x-2a+4(a>0),若有

且只有兩個(gè)整數(shù)為，三使得了(3)>0,且/(%)>。，貝匹的取值范圍是

【答案】0<a<2-ln3

【分析】

將不等式/。)>0等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，結(jié)合已知

列出不等式組，求解即得.

【詳解】當(dāng)〃〉0時(shí)，由F(%)>。，^#lnx+(^-2)x-2^+4>0<^ax-2a>2x-\nx-4,

設(shè)力(x)=依_2〃，g(x)=2x-lnx-4,求導(dǎo)得g'(x)=2-工=由g'(%)=0,^x=—,

xx2

當(dāng)尤e(0,1)時(shí)，g'(x)<0,g(x)為減函數(shù)，當(dāng)xe(〈,+8)上，g'(x)>0,g(x)為增函數(shù)，

旗%)=分-2°(°>0)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(2,0),在同一?坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=g(x),y=/z(x)的圖

象，

顯然/z(2)>g(2),即/⑵>0,由于有且只有兩個(gè)整數(shù)玉,馬,使得了(再)>0"(%)>0,

則這兩個(gè)整數(shù)要么是2,3,不是1,要么是1,2,不能是3,

當(dāng)/(1)=0時(shí),即2—aVO,解得口22,此時(shí),/(3)=ln3+a-2>0,/(4)=ln4+2a-4>0,

顯然至少有3個(gè)整數(shù)使得對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于0,不符合題意，因此這兩個(gè)整數(shù)是1,2,不能

是3,

a>0

于是/⑴=2—〃〉0,解得0<aW2—ln3,

/(3)=ln3+tz-2<0

所以a的取值范圍是0<aW2-ln3.

故答案為：0<?<2-ln3

2.(22-23高二下?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí))已知不等式xlnx+(x+l欣<2xln2的解集中有且只

有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

【分析】因?yàn)閤lnx+(x+l)左<2xln2=>(x+l)^<2xln2-xlnx,i5/(x)=2xln2-xlnx,

g(x)=Mx+l),本題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在直線g(x)上方的范圍中有且只有2個(gè)整數(shù).先利用

導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)〃元)的圖像，再與直線g⑴的圖像結(jié)合列出不等式組求解即可.

【詳解】xlnx+(x+l)k<2xln2=(x+l)k<2xln2-xlnx,

設(shè)f{x)=2x]n2-xlnx,

4

則f(%)=21n2—Inx—1=ln—In%,

當(dāng)/(%)>0_111：_111苫>0=0<工<；即當(dāng)二(0,2時(shí),函數(shù)〃%)為增函數(shù)；

當(dāng)/(%)<0=>1112一111尤<0=>尤>±即當(dāng)X€[：,+00卜寸,函數(shù)〃*)為減函數(shù)；

當(dāng)xfO時(shí),〃X)f0;當(dāng)X-+8時(shí)產(chǎn)-—00,

則滿足題意的函數(shù)八”的圖像與直線g(x)=Mx+l)圖像如圖：

4y=/(x)g(x)=-x+l)

4\x

g⑴<〃1)2左<21n2

g⑵<〃2),即43%<41n2-21n2,

g(3)送“3)4%261n2—31n3

3,42In2

故答案為—In—,-------

433

類型二：已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)。范圍

角度1:完全分離參數(shù)法

典型例題

例題1.(23-24高二下?廣東廣州?階段練習(xí))若函數(shù)/(x)=ae'-X恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是()

A.B.(0,1)C.1。0,:)D.(-=o,0)

【答案】A

【分析】令小)=0,得到。=。，令g(x)=2,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出

ee

xx

g(x)=W的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出g(x)=-r函數(shù)值的變化，即可求出結(jié)果.

ee

YX1—x

【詳解】令7(x)=ae'-x=0,得到a=三，令g(x)==,貝心口)=一，

eee

由g，(無(wú))>。得到x<l,由g，(無(wú))<0,得到了>1,

所以g(x)=己在區(qū)間(f」)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,口)上單調(diào)遞減，

又g(l)=」，當(dāng)xf-8時(shí)，g(x)f-co,當(dāng)xf+8時(shí)，g(尤)-0,且x>0時(shí)，g(x)>0,

e

所以，當(dāng)函數(shù)/(x)=ae*-尤恰有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，

e

故選：A.

例題2.(23-24高二下?湖南長(zhǎng)沙?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=e；aA

⑴求函數(shù)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)若。=1,證明：當(dāng)xNO時(shí)，/(%)>1：

⑶若/⑴在(0,+8)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】(i)y=x+i

(2)證明見(jiàn)解析

(3)a>—

4

【分析】(1)根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果；

(2)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，求出/(x)=e*-Y在區(qū)間?伏)的單調(diào)性，再求

出了(x)的最小值，即可證明結(jié)果；

(3)通過(guò)分離常量，得到號(hào)=4,構(gòu)造函數(shù)g(x)=],通過(guò)求導(dǎo)得到gQ)=與的單調(diào)性,

XXX

即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)閒(x)=e**,所以廣(x)=e-2ax,所以廣(O)=e°=l,

又y(O)=e0=l,所以函數(shù)在點(diǎn)(0"(0))處的切線方程為y-l=x,即y=x+L

(2)當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=e'-x2,貝I]/'(X)=e*-2x,

令7i(x)=e*-2x,貝！J"(x)=e*-2,由(無(wú))=。，得至！Jx=In2,

當(dāng)xe(-8,ln2)時(shí)，h'(x)<0,當(dāng)xe(In2,+oo),//(x)>0,

所以h(x)>/7(ln2)=2-21n2>0,即f'(x)>0恒成立,

所以/(x)=e，-尤2在區(qū)間[0,+co)上單調(diào)遞增，故/?>/(O)=e°=l,命題得證.

(3)因?yàn)?(幻=二-武，令〃x)=0,得到e—又xe(0,+8),所以號(hào)=.,

令g(x)=M，則g(尤)=e'(X12),當(dāng)xe(0,2)時(shí)，g'Q)<0,當(dāng)xe(2,”)時(shí)，g'(x)>0,

XX

e2

所以g(x)2g(2)=1,又當(dāng)X-0時(shí)，g(%)f+oo,龍f+8時(shí)，g(x)f+oo,

又了⑴在(0,+8)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以a>且.

4

例題3.(23-24高三上?陜西安康?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e=加+x-i.

⑴當(dāng)a=l時(shí),求曲線y=〃x)在x=l處的切線方程；

(2)若/(同=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴(eT)x_y=O

(2)(一8,0)U[T]

【分析】(1)求導(dǎo)，得到/6=6-1,八1)=6-1,進(jìn)而求出切線方程；

(2)"0)=0,故只需當(dāng)XHO時(shí)，/■(》)=()有且僅有一個(gè)實(shí)根，參變分離，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)

只有1個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)，得到g(x)=(xH0)的單調(diào)性,畫(huà)出其圖象，數(shù)形結(jié)合得到參

數(shù)的取值范圍.

A2,x

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=e-x+x-l,/(x)=e-2x+l1

/⑴=e-L〃l)=e-1,

所以曲線y=/(x)在x=l處的切線方程為y—(e—l)=(e-l)(x—l),即(e-l)x-y=O.

(2)顯然/(0)=0,要使方程/(x)=0有兩個(gè)不等的實(shí)根,

只需當(dāng)xwO時(shí)，〃同=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，

當(dāng)XHO時(shí)，由方程/(無(wú))=。，得0=>+；-1.

(xw0),則直線y=a與g(x)=e：：T(xw0)的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

令g(x)

g'(x)=

又當(dāng)x<0時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)0<x<2時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>2時(shí),g[x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=2時(shí)，g(x)取得極小值g⑵=41

又當(dāng)x<0時(shí)，ex<1,所以e*+x-1<0,即g(x)<0,

當(dāng)尤>0時(shí)，ev>l,er+x-l>0,即g(x)>0,

所以作出g(x)的大致圖象如圖所示.

由圖象，知要使直線y=。與g(x)=：(X牛0)的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

X

只需“<0或

4

綜上，若〃到=。有兩個(gè)不等的實(shí)根，則。的取值范圍為

練透核心考點(diǎn)

1.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/U)=〃ex—%,"WR.若/(%)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

【答案】

【詳解】(解法1)因?yàn)榱?%)=四%—1.

①當(dāng)400時(shí)，/(x)<0,/U)在R上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去；

②當(dāng)4>0時(shí)，令/(x)=0=>x=—In

且當(dāng)x￡(—g,—In〃)時(shí)，/(X)<0,此時(shí)，函數(shù)/W單調(diào)遞減；

當(dāng)x￡(—In”，+=)時(shí)，八#>0,此時(shí)，函數(shù)/W單調(diào)遞增.

因?yàn)?W有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以/Wmin=/(—In〃)=l+ln〃V0,解得0<〃<土

p

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,;).

X

(解法2)由y(x)=ae%—x=0,則a=1.

丫二虱x)

令g(x)=M，g'(x)=J^，

所以g(x)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(X)max=g(l)=￡.

當(dāng)％1—8時(shí),g(x)<o；

當(dāng)x玲+g時(shí)，g(x)>0,

根據(jù)函數(shù)的圖象，若方程。==有兩個(gè)不同的解，則aG(0,1).

2.(23-24高二下?陜西西安?階段練習(xí))已知函數(shù)”勸="+6在x=l處的切線方程為

2x—y—2=0.

⑴求f(x)的解析式;

(2)若方程〃x)=7篦(根為常數(shù))有兩個(gè)根，求實(shí)數(shù)根的范圍.

【答案】(1)/(》)=2

X

⑵

【分析】(1)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)((X),根據(jù)切線方程為2x-y-2=0,得到切點(diǎn)坐標(biāo)(1,0),

列出方程組，求得“力的值，即可求得函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為>=根與/(》)=節(jié)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)

性和最值，即可求解.

【詳解】⑴因?yàn)椤ㄈ?=字+法，所以廣(x)="31nx+6,

又因?yàn)榧褐瘮?shù)在X=1處的切線為2x-y-2=0,即切點(diǎn)為(1,0),

[k==a+b=2

所以=,解之得〃=2,b=0,

所以函數(shù)的解析式為“X)=—.

(2)因?yàn)椤▁)=&吧，所以八H=”萼，

X%

令/'(x)=0,解得％=e,

當(dāng)xw(O,e),>0,“X)在xe(O,e)為增函數(shù)，

且xe(0,l)時(shí)，/(x)<0,尤e(l,e)時(shí)，/(x)>0,

當(dāng)xe(e,+oo),/(%)<0,“X)在xe(e,+oo)為減函數(shù)，

且xf+8時(shí)，/(司-0,當(dāng)X=e時(shí)，>1rax=〃e)=?=工,

ee

o

若方程〃X)=7九(根為常數(shù))有兩個(gè)根，則0<相〈)

故實(shí)數(shù)小的范圍為D

3.(23-24高三上?重慶南岸?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x+l)e"

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若方程/(%)=?(?eR)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴減區(qū)間是(-仁-2),增區(qū)間是(-2,+8)

(2)」<。<0

e

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)7'(X),由r(x)>0得增區(qū)間，由/(x)<o得減區(qū)間；

(2)由(1)得出/(x)的極值及變化趨勢(shì)，利用Ax)的圖象與直線x=a有兩個(gè)交點(diǎn)可得參

數(shù)范圍.

【詳解】(1)由已知/'(X)=e*+(尤+l)e*=(x+2)e",

x<—2時(shí)，f'M<0,尤>-2時(shí)，(無(wú))>0,

所以/(x)的減區(qū)間是(-8,-2),增區(qū)間是(-2,+oo)；

(2)由(1)知x=-2時(shí)，Ax)取得極小值也是最小值/(-2)=-「=一二,

e

顯然x<—l時(shí)，/(A：)<0,/(-I)=0,X>-1時(shí)，/(%)>0,

/(X)在(-8,-2)上遞減，在(-2,+00)上遞增，

當(dāng)尤f(wàn)—00時(shí)，/(%)-0,

作出>=/(%)的大致圖象及直線y=Q,如圖,

當(dāng)-3<。<0時(shí)，函數(shù)尸/⑴的圖象與直線x有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程，(x)=。有兩個(gè)解.

4

角度2：部分分離參數(shù)法

典型例題

例題1.(2024高三上?河南?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=r.

⑴求曲線y=/(尤)在x=i處的切線方程；

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)-------^+2e有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求。的值.

X

【答案】(i)y=x-i

(2)e3+l

【分析】(1)求得了'(X),可得切線的斜率，從而得到切線方程；(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)為//(》)=止

X

與雙陽(yáng)=/-2秋+二°只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出版無(wú))的單調(diào)區(qū)間和最值，利用二次函數(shù)

圖像性質(zhì)求出機(jī)(無(wú))的最值，從而得到a的值

【詳解】(1)由題意得函數(shù)/⑴的定義域?yàn)?0,+8),

尤2-2xln尤

l-21n尤.

廣(無(wú))=工

/(1)=^=0,?⑴=^^=1,

所以曲線y=/(x)在無(wú)=1處的切線方程為y-0=lx(x-l),即y=x-l.

2

(2)由題意得函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0,+8),令g(x)=。，得與Inx一上x(chóng)+=e上'a+2e=0,

XX

gpln^_-2ex+e^a,

令〃(x)=(x>0),m(x)=x2-2ex+eMa(x>0),貝IJ//(》)=^~

由〃(x)=0,得了=?,

由〃'(x)>0,得0<x<e,

由〃(x)<0,得x>e,

所以丸(X)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(e,+◎上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x=e時(shí)，力(無(wú))取得最大值〃(無(wú))皿"=/?(e)=-.

e

又函數(shù)%(%)=%2-2ex+e-1?=(x-e)2+e-1<2-e2,

所以雙x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(e,+8)上單調(diào)遞增，故當(dāng)％二e時(shí)，加⑴取得最小

值根(%)min=%(e)=exa-e2.

\y=h(x)

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=〃x)-J￡k+2e有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

X

所以「"e'L解得a=e3+l