江西省上饒清源學(xué)校2025屆高三上學(xué)期9月測試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省上饒清源學(xué)校2025屆高三上學(xué)期9月測試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，可得當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞減，且時函數(shù)連續(xù)，則在上單調(diào)遞減，不等式，可化為，即，解得：，則原不等式的解集為：，故選：A2.若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，而，則，所以，即，由，則，即，綜上，.故選：D3.平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)在下圖分布形態(tài)中，a，b，c分別對應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由數(shù)據(jù)分布圖知，眾數(shù)是最高矩形下底邊的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)為右起第二個矩形下底邊的中點(diǎn)值，直線左右兩邊矩形面積相等，而直線左邊矩形面積大于右邊矩形面積，則，又?jǐn)?shù)據(jù)分布圖左拖尾，則平均數(shù)小于中位數(shù)，即，所以.故選：A4已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,故選：A5.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闉榕c的交點(diǎn)，所以，故.故選：B.6.安排4名男生和3名女生去參加甲、乙兩個不同的社團(tuán)活動，每個社團(tuán)至少3人，且社團(tuán)甲的男生數(shù)不少于社團(tuán)乙的男生數(shù)，則不同的參加方法種數(shù)是（）A.31 B.53 C.61 D.65【答案】B【解析】以社團(tuán)甲中的人數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)，則可分為兩類：第一類是社團(tuán)甲有3人，第二類是社團(tuán)甲有4人.當(dāng)社團(tuán)甲有3人時，可以分為2男1女和3男0女兩種情況，所以此時不同的參加方法有（種）；當(dāng)社團(tuán)甲有4人時，可以分為2男2女、3男1女和4男0女三種情況，所以此時不同的參加方法有（種）.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，滿足條件的不同的參加方法種數(shù)是.故選：B.7.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則（）A.22 B.33 C.40 D.44【答案】B【解析】解法一：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，則，所以.解法二：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由得，，得，所以.故選：B.8.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）①曲線在點(diǎn)處的切線方程為；②的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；③若有三個不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是；④在上單調(diào)遞減.A.①④ B.②④ C.①②③ D.①③④【答案】D【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，對于①，，而，則切線方程為，即，①正確；對于②，，則的圖象關(guān)于原點(diǎn)不對稱，②錯誤；對于③，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，函數(shù)的零點(diǎn)，即直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此當(dāng)直線與函數(shù)圖象有3個交點(diǎn)時，，③正確；對于④，在上單調(diào)遞減，④正確，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則函數(shù)（）A.單調(diào)減區(qū)間為 B.在區(qū)間上的最小值為C.圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱 D.極大值與極小值的和為【答案】BCD【解析】對于A，，故，所以在和上，f'x>0，函數(shù)單調(diào)遞增；在上，f'x<0，函數(shù)單調(diào)遞減，故A對于D，由A知，函數(shù)的極大值為，極小值，則，故D正確；對于B，，結(jié)合函數(shù)在的單調(diào)性可知：，故B正確；對于C，，所以，故函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故C正確故選：BCD10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期B.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱C.把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象D.在上恰有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】BC【解析】由圖可得，，則，有，即，由，故，即，對A：由，故A錯誤；對B：令，解得，故B正確；對C：把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得，故C正確；對D：當(dāng)時，，則有，即，故D錯誤.故選：BC.11.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說法正確的是（）A.離心率的取值范圍為 B.當(dāng)時，的最大值為C.存在點(diǎn)，使得 D.最小值為【答案】ABD【解析】對于A項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，得，，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)：，當(dāng)在軸下方時，且，，三點(diǎn)共線時，有最大值，由，得，，所以得，所以最大值，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)：設(shè)，若，即：，則得，即點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，又由A項(xiàng)知，得，又因?yàn)?，得，所以得，所以該圓與橢圓無交點(diǎn)，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)：，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，且，則的最大值為___________.【答案】【解析】由，可得，因?yàn)?，所以，，顯然，由，構(gòu)造函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，而在上單調(diào)遞增，所以有，因此，設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即.13.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.若在中，，則面積的最大值為__________.【答案】【解析】由圖象可得，解得，所以，由，由圖，即，由，得.故，在中，，，即，設(shè)角的對邊為，由，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.，所以面積最大值為.14.已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為______．【答案】18【解析】由于，故，故，，則，由，得，由，即，知位于之間，不妨設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故則的最小值為18.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知全集為R，集合，．（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，，所以；（2），因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以且，解得，?6.2023年10月22日，2023襄陽馬拉松成功舉行，志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，某單位承辦了志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．（1）估計(jì)這100名候選者面試成績的平均數(shù)．（2）現(xiàn)從以上各組中用分層抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本次宣傳者．若本次宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的方差．解：（1）由題意可知，解得可知每組的頻率依次為，，所以這100名候選者面試成績的平均數(shù)為：．（2）設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)分別為，方差分別為，且各組頻率之為：，所以用分層抽樣的方法抽取第二組面試者人，第四組面試者人，則第二組和第四組面試者的面試成績的平均數(shù)，第二組、第四組面試者的面試成績的方差故估計(jì)第二組、第四組面試者的面試成績的方差是．17.函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，為圖象的最高點(diǎn)，、為圖象與軸的交點(diǎn)，且為正三角形．（1）求的值；（2）若，且，求的值；（3）求關(guān)于的方程在上的最大根與最小根之和.解：（1）正三角形的高為，，函數(shù)的周期，．（2），由（1）有，即，而由，知，所以，．．（3），當(dāng)，，設(shè)與（）的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)最小為，最大為，令，則或，解得或，則當(dāng)且僅當(dāng)時，最小，當(dāng)且僅當(dāng)時，最大，即此方程在內(nèi)所有最小根為：1，最大根為．兩個之和為.18.已知橢圓：（）的離心率為，的長軸是圓：的直徑.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的左焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，，其中交橢圓于，兩點(diǎn)，交圓于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.解：（1）由，得.由，得，所以.所以橢圓的方程為.（2）由（1）可得.①當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時，，，這時.②當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率為0時，，，這時.③當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程為，，.由，整理可得.，.所以.直線的方程為，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離，所以，所以.由，得，即.綜上所述，四邊形的面積的最小值為2.19.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.令.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時，，求正整數(shù)；（3）數(shù)列中