江蘇省鹽城市七校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鹽城市七校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則下列結(jié)論中，正確的是（）A.該數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 B.該數(shù)列的圖象只能在第一象限C.該數(shù)列是個(gè)有窮數(shù)列 D.該數(shù)列的圖象是直線上滿足的點(diǎn)集【答案】D【解析】由知數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?shù)列的圖象上有點(diǎn)在x軸上，故B錯(cuò)誤；由通項(xiàng)公式是知，數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列，故C錯(cuò)誤；由通項(xiàng)公式是知該數(shù)列的圖象是直線上滿足的點(diǎn)集，故D正確.故選：D.2.拋物線的準(zhǔn)線方程是，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知拋物線，即，則準(zhǔn)線方程為，解得，故選：D.3.直線，，若，則的值為（）A.或 B. C. D.【答案】B【解析】由已知，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，，與重合，不成立；當(dāng)時(shí)，，，，成立；綜上所述，故選：B.4.已知數(shù)列：2，0，2，0，2，0，…前六項(xiàng)不適合下列哪個(gè)通項(xiàng)公式（）A B.C. D.【答案】D【解析】將分別代入，選項(xiàng)A、B、C均符合題意；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，不符合題意，故選D．5.直線的方程為：，若直線不經(jīng)過第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若直線斜率不存在，即不經(jīng)過第一象限，若直線斜率存在，即，所以，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：C.6.圓，圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，的圓心，半徑，由題意則與關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A.7.若雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、半焦距成等差數(shù)列，則這個(gè)雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，又實(shí)半軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、半焦距成等差數(shù)列，即，，化簡(jiǎn)可得，等式左右同除，則，，解得或（舍），故選：C.8.已知點(diǎn)，以為圓心，F(xiàn)O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為半徑作圓F.直線與圓交于M，N兩點(diǎn)，且與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若為正三角形，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓方程為，其中則,設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，∵為正三角形，∴，且，則設(shè)，即，，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；所以的最小值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.曲線，下列結(jié)論正確的有（）A.若曲線C表示橢圓，則且不等于0 B.若曲線C表示雙曲線，則焦距是定值C.若，則短軸長(zhǎng)為 D.若，則漸近線為【答案】ACD【解析】當(dāng)曲線表示橢圓時(shí)，，且，即且，故A正確；若曲線C表示雙曲線，焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則，所以，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，方程為，故，，故C正確；當(dāng)時(shí)，方程為，所以漸近線方程為，故D正確.故選：ACD.10.若圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)的取值可能是（）A.0 B. C.1 D.【答案】BC【解析】到點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)在圓上，所以問題等價(jià)于圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)也在圓上，即兩圓相交，故，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，結(jié)合選項(xiàng)可知BC滿足條件，故選：BC．11.如圖所示，2024年5月3日“嫦娥六號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)變軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和II的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，給出下列式子正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)A，觀察給定圖形，顯然，則，故A正確；對(duì)B，由及得，B正確；對(duì)CD，因，即，有，得，令，，即有，由給定軌道圖知，，因此，，D正確；而，C不正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線（a為常實(shí)數(shù)）的傾斜角的大小是_______________．【答案】【解析】設(shè)直線傾斜角為，直線可化為，斜率為，則，所以.故答案為：.13.若數(shù)列滿足，若，則的值為______.【答案】【解析】由已知，則，，可得，進(jìn)而可得，，，即，，所以，故答案為：.14.如圖，某隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，同方向有兩個(gè)車道（共有四個(gè)車道），每個(gè)車道寬為3m，此隧道的截面由一個(gè)長(zhǎng)方形和一拋物線構(gòu)成，如圖所示，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)車輛頂部為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少為m，靠近中軸線的車道為快車道，兩側(cè)的車道為慢車道，則車輛通過隧道時(shí)，慢車道的限制高度為______m.（精確到0.1m）【答案】4.3【解析】以拋物線的對(duì)稱軸為軸，路面為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，將點(diǎn)代入得，故，令x=6，得，故限高為，故答案為：4.3.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足方程.（1）試將上面的方程改寫為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并求其離心率；（2）類比圓的面積公式可以得到橢圓的面積公式為，其中a，b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸的長(zhǎng)，求該橢圓的面積.解：（1）由，可以看作動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和為常數(shù)，所以由橢圓的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，所以，所以橢圓的方程為：，其離心率.（2）由（1）知，由所給橢圓面積公式.16.已知直線及圓，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.（1）求的值；（2）求過點(diǎn)并與圓相切的切線方程.解：（1）依題意可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離，由勾股定理可知，代入化簡(jiǎn)得，解得或.（2）圓，由知在圓外，①當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，由圓心到切線的距離，即，可解得，切線方程為，②當(dāng)過斜率不存在，易知直線與圓相切，綜合①②可知切線方程為或.17.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的拋物線過點(diǎn).（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若拋物線的焦點(diǎn)在軸上且與直線交于、兩點(diǎn)（、兩點(diǎn)異于原點(diǎn)），以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求的值.解：（1）當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)拋物線方程為，過點(diǎn)，即，解得，即此時(shí)拋物線方程為；當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)拋物線方程為，過點(diǎn)，即，解得，即此時(shí)拋物線方程為；（2）由（1）得當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在軸上時(shí)，拋物線方程，設(shè)Ax1,聯(lián)立直線與拋物線，得，則，解得，且，，，又以為直徑圓經(jīng)過原點(diǎn)，即，，解得.18.已知點(diǎn)在橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0上，右準(zhǔn)線方程為，過右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交橢圓（1）求以為直徑圓的方程；（2）以橢圓上、兩點(diǎn)為直徑端點(diǎn)作圓，圓心恰好在直線上，再過點(diǎn)作的垂線，試問直線是否經(jīng)過某定點(diǎn)，若存在，求此定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）由已知橢圓的右準(zhǔn)線為，即，則，則橢圓方程為，又橢圓過點(diǎn)，則，解得，則，，橢圓，，令，解得，即，又以為直徑圓圓心為，所以圓的方程為；（2）易知直線斜率存在且不為，則設(shè)直線，，，聯(lián)立直線與橢圓，得，則，即，且，又、兩點(diǎn)為直徑端點(diǎn)作圓，圓心恰好在直線上，即，中點(diǎn)在直線上，即，化簡(jiǎn)可得，直線方程為，令，則，即，所以直線，即，即直線恒過定點(diǎn).19.已知為雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一條漸近線方程，過右焦點(diǎn)（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)，是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率分別為，且滿足.求直線的斜率；（3）過圓上任意一點(diǎn)作切線，分別交雙曲線于，兩個(gè)不同點(diǎn)，中點(diǎn)為，證明：.解：（1）由漸近線為，則，即，則雙曲線方程為，，令，則，又在軸上方，則，，，所以雙曲線方程為；（2