江蘇省連云港市東?？h2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市東?？h2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，，，三點共線，則實數(shù)的值為（）A.1 B.3 C.-1 D.-3【答案】B【解析】由題意可得，則，可得，解得.故選：B.2.已知兩條平行直線與間的距離為，則的值為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】D【解析】由題意，根據(jù)平行線間的距離公式，，即，解得或.故選：D3.若雙曲線經(jīng)過點，兩條漸近線方程是，該雙曲線的標準方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，設該雙曲線的方程為，將點的坐標代入雙曲線的方程可得，即雙曲線的方程為，化為標準式方程為.故選：A.4.圓：與圓：的位置關系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】C【解析】圓：的標準方程為，圓心為，半徑為，圓：的標準方程為，圓心為，半徑為，所以兩圓圓心距為，所以，因此兩圓的位置關系為相交.故選：C.5.一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則該動圓圓心的軌跡是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】B【解析】由可得，，圓心為，半徑；由可得，圓心為，半徑.設動圓的圓心為，半徑為，由于動圓和外切，根據(jù)兩圓外切的性質(zhì)，，由于動圓和內(nèi)切，根據(jù)兩圓內(nèi)切的性質(zhì)，，于是，即動點到的距離之和是，且大于兩定點間距離，根據(jù)橢圓的定義，動圓圓心的軌跡是橢圓.故選：B6.若直線與直線交于點，與直線交于點，且線段的中點是，則的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設，由題意得，，又的中點是，則，故，又在上，則，故，又，故，于是，根據(jù)斜率公式，.故選：A7.在平面直角坐標系中，點，點滿足到直線距離為1，且，則符合要求的點的個數(shù)有（）A.0個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】由點滿足到直線的距離為1，得，即或，此時點在直線或上，由，得，則，此時點在以為圓心，2為半徑的圓上，點到直線距離為0，該直線與圓有2個公共點；點到直線的距離，該直線與圓有1個公共點，所以符合要求的點的個數(shù)有3個.故選：C8.已知拋物線的焦點為，點為該拋物線上的動點，點，則的最大值為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】由拋物線，則焦點，準線，作圖如下：由，垂足為，則，在中，，則，由圖可知當與拋物線相切時，最小，設過與拋物線切線的切點為，則，即，由拋物線方程，可得，求導可得，切線斜率，可得切線方程為，將代入上式，可得，解得，由圖可知切線的方程為，則，此時取得最小值，則取得最大值2.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設直線過兩點和，則（）A.直線的斜率為 B.直線的傾斜角為C.直線在軸上的截距為 D.直線在軸上的截距為【答案】BC【解析】根據(jù)斜率公式，，故A錯誤，設直線傾斜角為，由傾斜角的定義，，且，則，B正確，根據(jù)點斜式方程，直線的方程可寫作，即，令，則，令，則，故直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，C正確，D錯誤.故選：BC10.已知雙曲線的對稱軸為坐標軸，漸近線方程為，虛軸長為4，則（）A.當雙曲線的焦點在軸上時，其實軸長為2B.當雙曲線的焦點在軸上時，其共軛雙曲線為C.當雙曲線的焦點在軸上時，其離心率為D.雙曲線的焦點到漸近線的距離為2【答案】BD【解析】依題意，，當焦點在y軸上時，可設雙曲線方程為，則，解得，所以雙曲線方程為，對于A，由于，所以雙曲線的實軸長為，所以A錯誤；對于C，由，得離心率為，所以C錯誤；對于B，當焦點在x軸上時，可設雙曲線方程為，則，解得，所以雙曲線方程為，其共軛雙曲線中，所以雙曲線方程為，所以B正確，對于D，當焦點在y軸上時，由雙曲線的對稱性，不妨取焦點，則其到漸近線的距離為，當焦點在x軸上時，由雙曲線的對稱性，不妨取焦點，則其到漸近線的距離為，所以D正確，故選：BD11.已知曲線，則（）A.曲線關于直線對稱B.曲線的周長為C.曲線所圍成圖形的面積為D曲線與直線有3個公共點【答案】ACD【解析】曲線上任意點有：，該點關于的對稱點為，又，即由線上任意點關于直線的對稱點仍在曲線上，所以曲線關于直線對稱，故A正確；因點在曲線上，點，也都在曲線E上，則曲線E關于軸，軸對稱，當時，曲線的方程為，表示以點為圓心，2為半徑的圓在直線上方的半圓（含端點)，因此，曲線是四個頂點為，，2,0，0,2的正方形各邊為直徑向正方形外所作半圓圍成，如下圖所示，所以曲線圍成的圖形面積是，故C正確;曲線的周長為，故B錯誤；因為直線過點，，且經(jīng)過第一、二、四象限，又，當時，曲線的方程為，曲線過點0,2，2,0，又圓心直線的距離，結合圖象可得，此時曲線與直線有個公共點；當時，曲線的方程為，表示圓心為-1,1，半徑為的半圓（不包含端點），又-1,1到直線的距離，所以直線與圓相切，設過點-1,1且與直線垂直的直線方程為，則，解得，即為，由，解得，所以直線與有且只有一個交點，當時，曲線方程為，表示圓心為，半徑為的半圓（包含端點），顯然與直線沒有公共點；當時，曲線的方程為，表示圓心為，半徑為的半圓（不包含端點），又點到直線的距離，則曲線：與直線沒有公共點；綜上可得：曲線與直線有個公共點，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線過原點，且到直線的距離等于4，則直線的斜率為________.【答案】【解析】由題意可知直線的斜率存在，設其為，則方程為，由題意可得，解得故答案為：.13.已知是橢圓上的一點，且以點及焦點，為頂點的三角形的面積等于1，則________.【答案】【解析】由橢圓，則，，所以，，設，由的面積為，則，解得，不妨設在第一象限，當時，，解得，.故答案為：.14.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過點的直線與雙曲線的左支交于、兩點，若，且，則雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】由，令，則．由雙曲線的定義可知，．由，所以，即，得，解得．則有，，，．因為，所以．由余弦定理可得，所以，得，所以雙曲線的離心率.故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線，點，求：（1）經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程；（2）點關于直線的對稱點.解：（1）由直線，可得其斜率為2，所以可得與之垂直的直線的斜率為，所以過點與垂直的直線的方程為，即（2）設的坐標為，則直線是線段的中垂線，所以解得所以的坐標為16.已知圓經(jīng)過點，，.（1）求圓的方程；（2）求過點且與圓相切的直線方程.解：（1）設所求圓的方程為，因為點，，在所求的圓上，所以解得故所求圓的方程是.（2）當直線垂直于軸時，直線：與圓相切，滿足條件；當直線不垂直于軸時，可設直線方程為即，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，從而，解得，因此，所求切線方程是或17.在平面直角坐標系中，已知點，，點滿足，記的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點的直線與交于，兩點，且的面積為，求直線的方程.解：（1）因為，由雙曲線定義可知的軌跡為雙曲線的右支，設實軸長為，焦距為，虛軸長為，，，所以的軌跡方程為；（2）設直線的方程為，，，由化簡得，則，，，，，，，或.，，，，所以的方程為．18.設拋物線上的點與焦點的距離為4，點到軸的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）經(jīng)過焦點的直線交拋物線于，兩點，直線（為坐標原點）交拋物線的準線于點，求證：直線的斜率為定值.解：（1）設點，由已知，所以，又點到軸的距離為，即，即，由點在拋物線上，所以，解得或（舍去），故拋物線的方程為；（2）設點的坐標為，則直線的方程為，①拋物線的準線方程為，②聯(lián)立①②，可解得點的縱坐標為，由（1）知焦點，當，即時，直線的方程為，聯(lián)立消去，可得，即，可得點的縱坐標為，與點的縱坐標相等，于是直線的斜率為0，當時，點的縱坐標為，直線的方程為，與準線的交點的縱坐標為，此時直線的斜率為0，當時，同理可得直線的斜率為0，綜上，直線的斜率為定值0.19.已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，且過兩點.（1）求的方程；（2）過點的兩直線交于，兩點，直線,與軸的交點分別為，，且，的中點為，證明