江蘇省常州市22024屆高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市2024屆高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由方程解得或，得，不等式解得，得，所以.故選：A．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，，，則對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1.故選：A．3.已知實(shí)數(shù)，滿足等式，下列三個(gè)關(guān)系式中可能成立的個(gè)數(shù)為（）①；②；③．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，③可能成立．，時(shí)，，，，，，，即，此時(shí)，①可能成立．當(dāng)，時(shí),，，，，，即，即，②不可能成立，即①③可能成立，故選：C．4.對(duì)任意實(shí)數(shù)，，，在下列命題中，真命題是（）A.“”是“”的必要條件 B.“”是“”的必要條件C.“”是“”的充分條件 D.“”是“”的充分條件【答案】B【解析】對(duì)于A，若，則由，“”不是“”的必要條件，A錯(cuò)．對(duì)于B，，“”是“”的必要條件，B對(duì)，對(duì)于C，若，則由，推不出，“”不是“”的充分條件對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，即成立，此時(shí)不一定有成立，故“”不是“”的充分條件，D錯(cuò)誤，故選：B．5.已知扇形的半徑為5，以為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，弧的中點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，則，，解得，即，又，又，解得，，，即，所以.故選：B．6.已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為3，當(dāng)該三棱錐的體積取得最大值時(shí)，點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】設(shè)底面邊長(zhǎng)為，為的中心，則底面面積，，，，令，，，則時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，，即時(shí)，，到面距離，則，.故選：C．7.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，且對(duì)任意的滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】構(gòu)建，則，因?yàn)?，則，即，可知在上單調(diào)遞減，且，由可得，即，解得，所以不等式的解集是.故選：A．8.已知圓的直徑長(zhǎng)為8，與相離的直線垂直于直線，垂足為，且，圓上的兩點(diǎn)，到的距離分別為，，且．若，，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】方法一：如圖建系，，圓，，，，，同理，，是的兩根，，．方法二：以所在直線為軸，以中垂線所在直線為軸建系，設(shè)，，在上的射影分別為，，，，，在拋物線上運(yùn)動(dòng)，兩根為，，.故選：D．二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，若由生成一組新的數(shù)據(jù)，，，，則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)可能相等的量有（）A.極差 B.平均數(shù) C.中位數(shù) D.標(biāo)準(zhǔn)差【答案】BC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，不妨設(shè)，則樣本數(shù)據(jù)，，，的極差為，樣本數(shù)據(jù)、、、的極差為，因?yàn)?，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，即，所以，樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，由可知，當(dāng)時(shí)，兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，同理可知當(dāng)時(shí)，中位數(shù)相等，當(dāng)時(shí)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)為，樣本數(shù)據(jù)、、、中位數(shù)為，同理可知當(dāng)時(shí)，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，樣本數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，，因?yàn)?，則，故，故兩組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差不可能相等，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.對(duì)某城市進(jìn)行氣象調(diào)查，發(fā)現(xiàn)從當(dāng)天上午9：00開始計(jì)時(shí)的連續(xù)24小時(shí)中，溫度（單位：）與時(shí)間（單位：）近似地滿足函數(shù)關(guān)系，其中．已知當(dāng)天開始計(jì)時(shí)時(shí)的溫度為，第二天凌晨3：00時(shí)溫度最低為，則（）A.B.當(dāng)天下午3：00溫度最高C.溫度為是當(dāng)天晚上7：00D.從當(dāng)天晚上23：00到第二天清晨5：00溫度都不高于【答案】ABD【解析】時(shí)，，，第二天凌晨3：00最低為，此時(shí)，∴，∴，A對(duì)．，令即時(shí)取最大值，對(duì)應(yīng)下午3：00，B對(duì)．，或10，上午11：00或下午7：00，C錯(cuò)．時(shí)，，D對(duì).故選：ABD．11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，在線段上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），下列說法正確的有（）A.存在點(diǎn)，使得平面B.不存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為C.的最小值為D.以為球心，為半徑的球體積最小時(shí)，被正方形截得的弧長(zhǎng)是【答案】BCD【解析】方法一：如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，,，則，對(duì)于A，因?yàn)闉檎襟w，所以，由三垂線定理得，，因，平面，所以平面，是平面一個(gè)法向量，假設(shè)面，則與共線矛盾，假設(shè)不成立，A錯(cuò)．對(duì)于B，若存在，與所成角為，則或，或，，不滿足條件，假設(shè)不成立，B對(duì)．對(duì)于C，．表示與，距離之和，，，C對(duì)．對(duì)于D，，時(shí)最小，，，設(shè)截面小圓的圓心為，半徑為，則平面，所以，，因?yàn)?，所以球與面為圓心，為半徑的圓弧，因?yàn)?，所以在正方形?nèi)軌跡為半圓，弧長(zhǎng)，選項(xiàng)D正確；方法二：對(duì)于A，若平面，則，由三垂線定理知為中點(diǎn)，但此時(shí)不與垂直，故不存在這樣的，A不正確；對(duì)于B，同法一，B正確；對(duì)于C，可將面與面攤平，，C正確．對(duì)于D，球半徑最小值為到的距離，，，在面上的射影為，截面圓半徑，過作分別交，于，，，球被正方體截得的弧長(zhǎng)是半圓弧，長(zhǎng)為，D正確，故選：BCD．12.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的有（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減C.若方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則D.若，都有，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，，不是關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，時(shí)，，時(shí)，，且在上單調(diào)遞增，如時(shí)，只有一個(gè)根，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，所以，，即求最小值，當(dāng)時(shí)，，且，所以，．故D正確.故選：BD．三、填空題：本題共4小題．13.已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該雙曲線的焦距是__________．【答案】2【解析】由雙曲線方程可知，所以，，．故答案為：214.已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】【解析】，，．故答案為：15.如圖，以等腰直角三角形的直角邊為斜邊，在外側(cè)作等腰直角三角形，以邊的中點(diǎn)為圓心，作一個(gè)圓心角是的圓弧；再以等腰直角三角形的直角邊為斜邊，在外側(cè)作等腰直角三角形，以邊的中點(diǎn)為圓心，作一個(gè)圓心角是的圓??；；按此規(guī)律操作，直至得到的直角三角形的直角頂點(diǎn)首次落到線段上，作出相應(yīng)的圓弧后結(jié)束．若，則__________，所有圓弧的總長(zhǎng)度為__________．【答案】8；【解析】根據(jù)題意，歸納可得每進(jìn)行一次操作，線段以B為圓心，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，所以，，即；，，以后每次操作，圓弧的半徑變?yōu)樯弦淮尾僮鞯模瑒t弧長(zhǎng)變?yōu)樯弦淮尾僮鞯?，所以是以為首?xiàng)，為等邊的等比數(shù)列，則圓弧總長(zhǎng)．故答案為：8；.16.已知二面角為，內(nèi)一條直線與所成角為，內(nèi)一條直線與所成角為，則直線與直線所成角的余弦值是__________．【答案】【解析】如圖，過上一點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)設(shè)，，，如圖，設(shè)，，，，，，，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：（1），時(shí)，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，故也符合上式，，，．（2）由題意知為在區(qū)間中項(xiàng)的個(gè)數(shù)，令，，，，，.18.某制造商生產(chǎn)的5000根金屬棒的長(zhǎng)度近似服從正態(tài)分布，其中恰有114根金屬棒長(zhǎng)度不小于6.04．（1）求；（2）如果允許制造商生產(chǎn)這種金屬棒的長(zhǎng)度范圍是（5.95，6.05），那么這批金屬棒中不合格的金屬棒約有多少根？說明：對(duì)任何一個(gè)正態(tài)分布來說，通過轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從而查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到．可供查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表1.11.21.31.41.51.61.71.81.90.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.97132.02.12.2232.42.52.62.72.80.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974解：（1），，，，，；（2），不合格的金屬棒有：根．19.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，邊上的高為，已知．（1）若，求的值；（2）若，求的值．解：（1）余弦定理得，，又，所以，代入，，或2．（2）由正弦定理得，又，，，，，，，，，，．20.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，是的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且//平面，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的二面角的正弦值．證明：（1）過作交于點(diǎn)，連接平面，平面，平面平面，，又，四邊形為平行四邊形，，，分別為，的中點(diǎn)，，，又，為的中點(diǎn)，，平面，平面，，又，平面，平面．解：（2）如圖建系，，，．，，，，，，，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，它們所成二面角為，，所以，，，．21.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處切線方程為．（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，由題有，即，解得所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，即在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）由對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，所以對(duì)恒成立，則，令，則，當(dāng)時(shí)，由于，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以區(qū)間上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以符合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則存在，使得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，則時(shí)，，不合題意，綜上：的取