湖南省永州市2023-2024學年高一上學期期末質量監(jiān)測數學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省永州市2023-2024學年高一上學期期末質量監(jiān)測數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，則.故選：C.2.命題：，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命題：，的否定是：，.故選：C.3.“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得，故“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A.4.已知冪函數y＝f（x）的圖象經過點（4，2），則f（2）＝（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】設f（x）＝xa，因為冪函數圖象過（4，2），則有2，∴a，即，∴f（2）.故選：D.5.扇形面積為4，周長為8，則扇形的圓心角的弧度數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】令扇形半徑為，弧長為，則，所以扇形的圓心角的弧度數為.故選：B.6.已知，則（）A.1 B. C.2 D.3【答案】D【解析】由題設，又.故選：D.7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，則，所以，又，綜上，.故選：C.8.已知函數，若方程有5個不同的實數解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由解析式得函數大致圖象如下：由，令，可得或，令，當或時有1個解；當或時有2個解；當時有3個解；當時無解；要使有5個不同的實數解，若，則，此時方程有1解；若，則有2個解，有1解，此時方程共有3個解；若，則有1個解，有3解，有1解，此時方程共有5個解；若，則有1個解，有3解，有2解，此時方程共有6個解；若，則有1個解，有3解，有3解，此時方程共有7個解；若，則有3個解，有3個解，此時方程共有6個解；若，則有3個解，此時方程共有3個解；若，沒有對應，此時方程無解；綜上，.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.若，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由，則，，A、C對；若，此時，B錯；由單調遞增，故，D對.故選：ACD.10.在下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間上單調遞增的有（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】由為奇函數，A不符；由定義域為R，且，為偶函數，在區(qū)間上單調遞增，B符合；由定義域為，且，為偶函數，在區(qū)間上單調遞增，C符合；由定義域為R，且，為偶函數，在區(qū)間上單調遞增，D符合.故選：BCD.11.定義域為的偶函數滿足，且時，，則（）A.BC.的圖象關于直線對稱D.在區(qū)間上單調遞增【答案】ABD【解析】由，A對；由題設，即，B對；由，則，綜上，即關于對稱，C錯；根據周期性，區(qū)間上單調性與區(qū)間上單調性相同，又時，，即在上上遞減，又是偶函數，所以在區(qū)間上遞增，故在區(qū)間上單調遞增，D對.故選：ABD.12.已知函數在區(qū)間上有且僅有兩個不同的零點，則（）A.在區(qū)間上有兩條對稱軸B.的取值范圍是C.在區(qū)間上單調遞增D.若，則【答案】BC【解析】區(qū)間上且，故在有且僅有兩個不同的零點，所以，可得，B對；當時，此時只有一條對稱軸，即在上可能只有一條對稱軸，A錯；區(qū)間上，而，所以在區(qū)間上單調遞增，C對；由，即，又，所以或，可得或，D錯.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.______.【答案】【解析】.故答案為：－511．14.函數圖象恒過定點_____________.【答案】（1，3）【解析】令，可得，所以，即圖象恒過定點（1，3）.故答案為：（1，3）.15.已知，，則的最小值為______.【答案】【解析】由題設，當且僅當，即時第一個等號成立，當且僅當，即時第二個等號成立，綜上，時目標式有最小值為.故答案為：.16.若函數在定義域內存在實數使得，其中，則稱函數為定義域上的“階局部奇函數”，對于任意的實數，函數恒為上的“階局部奇函數”，則的取值集合是______.【答案】【解析】由題意得，函數恒為上的“階局部奇函數”，即在上有解，則有，即有解，當時，，滿足題意；當時，對于任意的實數，，變形可得，解可得：，由，故.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數.（1）若，求的值；（2）若，判斷在區(qū)間上的單調性，并用定義證明.解：（1）由題設，則，故.（2）在區(qū)間上遞增，證明如下：令，則，又，則，且，所以，即在區(qū)間上遞增.18.已知集合，.（1）求；（2）已知集合，若，求實數的取值范圍.解：（1）由題設，，所以.（2）由，若，則滿足題設；若，則，即；綜上，.19.已知函數.（1）求的最小正周期；（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，求在上的單調遞增區(qū)間.解：（1）由題設，所以的最小正周期.（2）圖象向右平移個單位長度，得，把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得，在上，顯然或，所以或，故在上的單調遞增區(qū)間為和.20.為響應“湘商回歸，返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)”的號召，某企業(yè)回永州投資特色農業(yè)，為了實現既定銷售利潤目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：按銷售利潤進行獎勵，總獎金額（單位：萬元）關于銷售利潤（單位：萬元）的函數的圖象接近如圖所示，現有以下三個函數模型供企業(yè)選擇：①②③（1）請你幫助該企業(yè)從中選擇一個最合適的函數模型，并說明理由；（2）根據你在（1）中選擇的函數模型，如果總獎金不少于6萬元，則至少應完成銷售利潤多少萬元？解：（1）對于模型①，，圖象為直線，故①錯誤，由圖可知，該函數的增長速度較慢，對于模型②，指數型的函數是爆炸型增長，故②錯誤，對于模型③，對數型的函數增長速度較慢，符合題意，故選項模型③.（2）由（1）可知，選項模型③，所求函數過點，，則，解得，，故所求函數為，，即，，，至少應完成銷售利潤72萬元．21.在平面直角坐標系中，角及銳角的終邊分別與單位圓交于，兩點.（1）若點的橫坐標為，求的值：（2）設角的終邊與單位圓交于點，，，均與軸垂直，垂足分別為，，，請判斷以線段，，為邊能否構成三角形，并說明理由.解：（1）已知是銳角，則，根據三角函數的定義，得，，，．（2）能構成三角形，理由如下：由三角函數的定義得，，，，因為，所以，于是有，①故，又因為，所以，，②故，同理，，③，由①，②，③可得，以，，的長為三邊長能構成三角形．22.已知函數，.（1）若對，都有，求實數的取值范圍；（2）若函數，求函數的零點個數.解：（1）對，都有，只需，由在上遞增，故，由，在上有