二次函數(shù)浙教版

二次函數(shù)的解析式.^'般式：y=ax2+bx+c(a豐0)已知圖象上三點(x,y)、(x,y)、(x,y)，可用一般式求解二次函數(shù)解析式.11 22 33.頂點式：y=a(x—h)2+k(a中0)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸，可用頂點式求解二次函數(shù)解析式..兩點式：y=a(x—x)(x—x)(a豐0)12已知拋物線與x軸的兩個交點坐標，可用交點式求解二次函數(shù)解析式..對稱式：y=a(x—x)(x—x)+k(a豐0)12已知拋物線經(jīng)過點(x,k)、(x,k)時，可以用對稱式來求二次函數(shù)的解析式.12注意：(1)二次函數(shù)的解析式求解，最后結(jié)果一般寫成一般式或頂點式，不寫成交點式；(2)任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b2—4ac三0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.二次函數(shù)的幾何變換.二次函數(shù)圖象的平移平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“左加右減”，“上加下減”..二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達.(1)關(guān)于x軸對稱y=ax2+bx+c關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y=—ax2—bx—c.y=a(x—h)2+k關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y=—a(x—h)2—k.(2)關(guān)于y軸對稱y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=ax2—bx+c.y=a(x—h)2+k關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k.(3)關(guān)于原點對稱y=ax2+bx+c關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c.y=a(x-h)2+k關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是y=-a(x+h)2—k.(4)關(guān)于頂點對稱b2y=ax2+bx+c關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y=—ax2—bx+c .2ay=a(x—h)2+k關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y=—a(x—h)2+k(5)關(guān)于點(m,n)對稱y=a(x—h)2+k關(guān)于點(m,n)對稱后，得到的解析式是y=—a(x+h—2m)2+2n—k.二次函數(shù)圖象的翻折函數(shù)y=1f(x)I的圖象可以由函數(shù)y=f(x)通過關(guān)于x軸的翻折變換得到.具體規(guī)則為函數(shù)y=f(x)圖象在x軸上方的部分不變，在x軸下方的部分翻折到x軸上方、.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點情況)：一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函數(shù)y=ax2+bx+c當函數(shù)值y=0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數(shù)：①當'=b2—4ac>0時，圖象與x軸交于兩點A(xJ0)，B^x2，°)(xi*x2),其中的xi，x2是一元二次方程ax2+bx+c=°(a豐°)的兩根.這兩點間的距離AB=|x-x|=b2^4a^21 a|.二次函數(shù)的面積最值1.鉛垂法：S=-x水平寬x鉛垂高.2分三步走：(1)過動點作鉛垂線，交另外兩個定點連成的直線于一點；(2)設(shè)出點坐標，表示線段長；(3)利用二次函數(shù)配方求最值..切線法：直線與拋物線相切，即聯(lián)立解析式使△°.例2、(1)若二次函數(shù)y=ax2+bx+a2-2(a,b為常數(shù))圖象如圖2-1,則a值

(2)如圖2-2,拋物線①②③④對應(yīng)的解析式為y=ax2,y=ax2,y=ax2,y=ax2,1234將a、a、a、a從小到大排列為 ^1234鞏固2、(1)已知拋物線經(jīng)過點4(-2,7),B(6,7),C(3,—8),D(m,-8),則m=.(2)已知拋物線y=x2+2x+1經(jīng)過點A(m,n),B(m+6,n)，則n=.(3)已知點A(x,5),B(x,5)是函數(shù)y=x2-mx+3上兩點，則當x=x+x和x=1 2 12時的函數(shù)值相等．鞏固5、(2)已知函數(shù)y=x2-1xI-12的圖象與x軸交于相異兩點A、B,另一拋物線y=ax2+bx+c過A、B，頂點為尸，且△APB是等腰直角三角形，求a、b、c.例8、(1)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖2-1所示，有下列結(jié)論：①b2-4ac〉0；②abc>0;@2a+b>0;?9a+3b+c<0;@8a+c>0.正確的是(2)如圖2-2,拋物線y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A(x,0)、B(2,0),交歹軸正半軸于C,1且OA=OC.下列結(jié)論：①a-b->0；②ac=b-1;③a=--;④2b+c=2，其中結(jié)論正c2確的是 ．圖2-1圖2-1圖2-2例9、(1)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的圖象如圖4-1所示，頂點為(-1,0),下列結(jié)論:①abc<0；0b2-4ac=0；?a>2；?4a-2b+c>0.其中正確結(jié)論的個數(shù)是(2)二次函數(shù)y=+施+c的圖象如圖4-2所示，給出下列結(jié)論：①2a+~>0；②若b-1<m<n<1,貝Um+n<——；③31aI+1c1<21bI；④b>a>c,其中正確的結(jié)論有a例題1c例題1c不經(jīng)過第象限.(2)如圖1-2,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(-1,2)和(1,0),給出五個結(jié)論：①abc<0;?2a+b>0;@a+c=1;④a>1;@9a+6b+4c>0.其中結(jié)論正確的是.(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖1-3,小丹觀察得出了下面五條信息：①c<0:②鞏固1：鞏固6、(1)如圖2-1,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(-1,2),下列結(jié)論:①4a-2b+c<0；②2a-b<0；③b<-2；④(a+c)2<b2,其中正確的結(jié)論有.(填序號)(2)如圖2-2,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(1,2),下列結(jié)論：①2a+b<0；②abc<0=③a+c<-1；?b2+8a<4ac，其中正確結(jié)論的有.(填序號)圖圖3-1 圖3-2 圖3-3(3)(成外半期)二次函數(shù)y=依2+bx+c(a*0)的圖象如圖2-3所示，有下列5個結(jié)論：①abc<0:②b<a+c；③4a+2b+c>0；@b2-4ac>0；@a+b>m（am+b）,（m豐1的實數(shù)），其中正確的結(jié)論的有.（填序號）圖2-1 圖2-2 圖2-3鞏固2：鞏固7、(1)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)的圖像如圖3-1所示，它與x軸兩1個交點分別為(-1,0)，G，0).對于下列命題：①b-2a=0；②abc<0；③—a—1b+c<0；2④8a+c>0.其中正確的有.(填序號)一.一 一 一、，」11 (2)如圖3-2,拋物線y=ax2+bx+c(aw0)的對稱軸是x=-1,且過點—,0，有下列結(jié)12)論：①abc>0;?a-2b+4c=0;@25a-10b+4c=0;?3b+2c>0.其中正確的結(jié)論有.(填序號)(3)如圖3-3,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)的圖象與x軸交于點A(-1,0),對稱軸為直線x=1,與歹軸的交點B在(0,2)和(0,3)之間(包括這兩點)，下列結(jié)論：①當x>3時，2y<0；②3a+b<0；③-1<a<——；④4ac-b2>8a；其中正確的結(jié)論是 .(填3序號)例11、(3)如果將拋物線y=-2%2+8向右平移a個單位后，恰好過點(3,6),那么a值為例12、已知二次函數(shù)y二%2-2%—1，求：(1)與此二次函數(shù)關(guān)于x軸對稱的二次函數(shù)解析式為；(2)與此二次函數(shù)關(guān)于歹軸對稱的二次函數(shù)解析式為；(3)與此二次函數(shù)關(guān)于原點對稱的二次函數(shù)解析式為 ．例13、已知二次函數(shù)y=a%2+4a%+4a-1的圖象是C.1(1)求C關(guān)于點R(1,0)中心對稱的圖象C的解析式；12(2)設(shè)曲線C、C與歹軸的交點分別為A,B，當IAB1=18時，求a的值.12鞏固8、(1)如圖6-1所示，已知拋物線C的解析式為y=%2-2%，則拋物線C的頂點坐00標 ；將拋物線C每次向右平移2個單位，平移n次，依次得到拋物線C、C、0 12C、…、C(n為正整數(shù))，則拋物線C的解析式為.3n n(2)如圖6-2,把拋物線y=1%2平移得到拋物線m，拋物線m經(jīng)過點A(-6,0)和原點0(0,0),2鞏固9、已知關(guān)于x的一元二次方程2%2+4%+k-1=0有實數(shù)根，k為正整數(shù).(1)求k的值；(2)當此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=2%2+4%+k-1的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；

（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象．請你結(jié)合這個新的圖象回答：當直線1y=-x+b（b<k）與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍.21例14、分別求出在下列條件下，函數(shù)y=-2x2+3x+1的最值:（1）x取任意實數(shù)；（2）當-2WxW0時；（3）當1WxW3時;（4）當-1WxW2時.鞏固11、試求y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在-3WxW3的最值．例15、已知函數(shù)y=x2-2x+2在tWxWt+1范圍內(nèi)的最小值為s，寫出函數(shù)s關(guān)于t的函數(shù)解析式．11例16、已知函數(shù)y=-9x2-6ax-a2+2a在區(qū)間一WxW有最大值-3，求實數(shù)a的值.3 3鞏固13、設(shè)y=x2+ax+3-a,當-2WxW2時，y的最小值不小于0,求實數(shù)a范圍.鞏固16、某集團公司試銷一種成本為每件60元的節(jié)能產(chǎn)品，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于40%.經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)圖象如圖．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.（2）設(shè)該集團公司銷售這種節(jié)能產(chǎn)品獲得利潤為W（萬元），試求出利潤W（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當銷售單價定為多少元時，公司可獲得最大利潤，最大利潤是多少萬元？(3)該公司決定每銷售一件產(chǎn)品，就抽出5元錢捐給希望工程.若除去捐款后，所獲利潤不低于450萬元，請你確定此時銷售單價的范圍.例19、(1)拋物線y=％2+5%+a2與一次函數(shù)y=ac+2a-1有交點，則a的范圍(2)已知函數(shù)y=mc2-3%+2(m是常數(shù))，若一次函數(shù)y=%+1的圖象與該函數(shù)的圖象恰好只有一個交點，則交點坐標為 ．例20、(1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程ax2+b%+c+3=0的根的情況是()A.有兩個相等的實數(shù)根 B.無實數(shù)根C.有兩個同號不相等實數(shù)根 D.有兩個異號實數(shù)根(2)若方程1%2-4%+31=m有兩個相異的實數(shù)解，則m范圍是鞏固17、(1)二次函數(shù)y=%2+k+k-1的圖像與x軸的交點個數(shù).(2)給出定義：設(shè)一條直線與一條拋物線只有一個公共點，且這條直線與這條拋物線的對稱軸不平行，就稱直線與拋物線相切，這條直線是這條拋物線的切線，有下列命題：①直線y=0是拋物線y=4%2的切線；②直線%=-2與拋物線y=-%2相切于點(-2,1)；4③直線y=%+b與拋物線y=4%2相切，則相切于點(2,1)；④直線y=k%-2與拋物線y=—%2相切，則k=±丫2.4其中正確的命題是 ．(3)若方程I%2-5%1=a有四個不相等實根，則a的取值范圍是

例21、已知二次函數(shù)y=％2-%+c.(1)若點4-1,n)、B(2,2n-1)在二次函數(shù)y=12-%+c的圖象上，求此二次函數(shù)的最小值;(2)若D(2,y)、E(%,2)關(guān)于坐標原點成中心對稱，試判斷直線DE與拋物線y=%2-%+c+3的交點個數(shù)，并說明理由.8鞏固18、已知二次函數(shù)y=%2-2%-3及一次函數(shù)y=%+m.12(1)求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標以及它與x軸的交點坐標;(2)將該二次函數(shù)圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象，請你在圖中畫出這個新圖象，并求出新圖象與直線y=%+m有三個不同Vm%+Vm%+m2與x軸兩交點間距離的最大值為(2)設(shè)二次函數(shù)y=a%2+b%+c經(jīng)過點4(0,2)、B(1,-1)，且其圖象在x軸上所截得的線段長為2<2.求這個二次函數(shù)的解析式.鞏固20、已知：y關(guān)于x的函數(shù)y=(k-1)%2-2k+k+2的圖象與x軸有交點.(1)求k的取值范圍；(2)若%、%是函數(shù)圖象與x軸兩個交點的橫坐標(%豐%),且滿1 2 12(k-1)%2+2kx+k+2=4%%.①求k的值；②當k<%<k+2時，求y的最大值與最小值.1 2 12鞏固21、在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a%2+b%+c過點(2,2),且當%=0時，y取得最小值1．

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知點C(1,3)，試探索是否存在滿足下列條件的直線/；①直線/過點C(1,3)；②直線l交拋物線于E、F兩點且C點恰好是線段EF的中點.若存在，請求出直線l的函數(shù)解析式：若不存在，請說明理由．鞏固22、已知：拋物線與x軸交于4(-2,0)、B(4,0)，與歹軸交于C(0,4).(1)求拋物線頂點D的坐標；(2)設(shè)直線CD交x軸于點E,過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F,將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段EF總有公共點.試探究：拋物線向上最多可以平移多少個單位長度，向下最多可以平移多少個單位長度？例22、已知二次函數(shù)y=12+bx+c的圖象如圖所示(1)求二次函數(shù)的解析式；并求圖象與x軸的另點的坐標為(-1,0),與歹軸的交點坐標為(1)求二次函數(shù)的解析式；并求圖象與x軸的另(2)根據(jù)圖象回答：當x取何值時，-3<y<0.例23、(1)已知關(guān)于x的方程x2+(m-5)x+m-2=0有實根，且方程的兩根都大于0,則實數(shù)m的取值范圍是.(2)已知方程ax2+(a+2)x+9a=0的兩個實根x和x，且x<1<x，求實數(shù)a取值范圍.12 1 2鞏固23、(1)方程x2-11x+(30+a)=0有兩實根，兩根都大于5,則實數(shù)a范圍(3)方程7x2-(p+13)x+p2-p—2=0的兩根a、p滿足0<a<1<p<2，求實數(shù)p范圍鞏固24、(1)已知關(guān)于x的方程x2-(2-a)x+5-a=0的一個根大于0而小于2,另一個根大于4而小于6,則實數(shù)a的取值范圍是.(2)若關(guān)于x的方程4x2-2mx+n=0的解都位于0<x<1的范圍中，求正整數(shù)m,n的值.

例24、已知拋物線y=ax2+例+1經(jīng)過點A(1,3)和點B(2,1).(1)求此拋物線解析式；(2)點C、D分別是x軸和歹軸上的動點，求四邊形ABCD周長的最小值.k例25、如圖，已知拋物線y=k(x+2)(x-4)(k為常數(shù)，且k>0)與x軸從左至右依次交83 于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y=-『x+b與拋物線的另一交點為D.(1)若點D的橫坐標為-5，求拋物線的函數(shù)表達式；(2)在(1)的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(不含端點)，連接AF,一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止.當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少?例26、已知拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點A(1,3)和點B(2,1).(1)求此拋物線解析式；(2)點C、D分別是x軸和y軸上的動點，求四邊形ABCD周長的最小值；(3)過點B作x軸的垂線，垂足為E點.點尸從拋物線的頂點出發(fā)，先沿拋物線的對稱軸到達F點，再沿FE到達E點，若尸點在對稱軸上的運動速度是它在直線FE上運動速度的“2倍，試確定點F的位置，使得點尸按照上述要求到達E點所用的時間最短.(要求：簡述確定F點位置的方法，但不要求證明)

例27、如圖，已知拋物線y=ax2-4x+c經(jīng)過點A(0,-6)和B(3,-9).(1)求出拋物線的解析式；(2)點P(m,m)與點Q均在拋物線上(其中m>0)，且這兩點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，求m的值及點Q的坐標；(3)在滿足(2)的情況下，在拋物線的對稱軸上尋找一點X，使得△QMA的周長最小.鞏固25、如圖，已知二次函數(shù)y=-2x2+bx+c(c<0)的圖象與x軸的正半軸相交于點A、B，與y軸相交于點。，且OC2=OA-OB.(1)求c的值；(2)若4ABC的面積為3,求該二次函數(shù)的解析式；(3)設(shè)D是(2)中所確定的二次函數(shù)圖象的頂點，試問在直線AC上是否存在一點P使^PBD的周長最小?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.鞏固3：如圖，在平面直角坐標系中，RdAOB的頂點坐標分別為A(-2,0),O(0,0),B(0,4),把△AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到ACOD.(1)求C、D兩點的坐標；(2)求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的解析式；

(3)在(2)中的拋物線的對稱軸上取兩點E、F(點E在點F的上方)，且EF=1,使四邊形ACEF的周長最小，求出E、F兩點的坐標.鞏固27、如圖，拋物線的頂點A的坐標(0,2)，對稱軸為歹軸，且經(jīng)過點(-4,4).(1)求拋物線的表達式.(2)若點B的坐標為(0,4),P為拋物線上一點(如圖)，過點P作PQ1%軸于點Q，連接PB.求證：PQ=PB.(3)若點C(-2,4)，利用(2)的結(jié)論.判斷拋物線上是否存在一點K，使△KBC的周長最小？若存在，求出這個最小值，并求此時點K的坐標；若不存在