（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測(cè)+課后練習(xí) 第02講 解三角形（教師版）

第第頁(yè)第02講解三角形一．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C變形邊化角：a＝2RsinAb＝2RsinBc＝2RsinC角化邊：sinA＝eq\f(a,2R)sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCeq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)二．三角形常用面積公式1.S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)．2.S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsin_B＝eq\f(1,2)bcsin_A．3.S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．三．三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解四．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．五．盤點(diǎn)易錯(cuò)易混1．利用正弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)，齊次才能約去2R2.三角形中的大角對(duì)大邊：在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB．3．判斷三角形形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．一．正、余弦定理的選用1.正弦定理：一是已知兩角和一角的對(duì)邊，求其他邊或角；二是已知兩邊和一邊的對(duì)角，求其他邊或角；2.余弦定理：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊或角；二是已知三邊求角．由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的．二．求解三角形面積問題1.若三角形中已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個(gè)角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．2.若已知三角形的三邊，可先求其中一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．三．選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：1.若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；2.若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；3.若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；4.代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；5.含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；6.同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.考法一常見的邊角互換模型【例1-1】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足，若，則外接圓的半徑長(zhǎng)為（

）A．B．1C．D．【答案】B【解析】由可得，再由余弦定理可得：，故，因?yàn)?，所以則.故選：B.【例1-2】已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè)，，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，由及正弦定理得：，即，由余弦定理得：，而，解得，由得，顯然，則，，所以.故選：C【一隅三反】1．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，，則A＝（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】，由正弦定理得，因?yàn)?，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所?故選：B2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4B．6C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，根?jù)正弦定理得，移項(xiàng)得，即，即，則根據(jù)正弦定理有．故選：D.3．（多選）在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知，，且，則（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】，由正弦定理可得，整理可得，所以，為三角形內(nèi)角，，∴，∵，，故A正確，B錯(cuò)誤；∵，，，解得，由余弦定理，得，解得或（舍去），故D正確，C錯(cuò)誤.故選：AD.考法二三角形的周長(zhǎng)與面積【例2-1】在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，，則的面積為______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理可得所以，因?yàn)樗砸驗(yàn)?，則，則，所以為等邊三角形，故的面積故答案為：【例2-2】記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B；(2)若c＝3a，D為AC中點(diǎn)，，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）∵，所以，，則，整理得，又，∴，而，∴；（2），由余弦定理得，，是中點(diǎn)，則，在中由余弦定理得，，在中由余弦定理得，，，，∴，解得，所以的周長(zhǎng)為．【一隅三反】1．已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中，C為鈍角，且.(1)求角B的大??；(2)若的面積為6，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【解析】（1）依題意，有，由正弦定理，得，則.，，C為鈍角，（舍去），，即，因?yàn)镃為鈍角，所以B為銳角，所以（舍去），即.（2），，；，，.由正弦定理，得，，的面積，解得，，由正弦定理，得，，的周長(zhǎng)為.考法三三角形的中線與角平分線【例3-1】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.(1)求B.(2)若，，___________，求.在①D為AC的中點(diǎn)，②BD為∠ABC的角平分線這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）由正弦定理得，.因?yàn)椋?，所以，?又，則，所以.（2）選擇條件①：因?yàn)?，所以，?選擇條件②：因?yàn)锽D為∠ABC的角平分線，所以，則，解得.【例3-2】已知為的內(nèi)角所對(duì)的邊，向量,，且．(1)求；(2)若，的面積為，且，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)?，所以．由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，因?yàn)?，所?（2），解得，因?yàn)?，則，所以，.【一隅三反】1.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且.(1)求角C的大?。?2)若的平分線交AB于點(diǎn)D，且，，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】（1）由已知可得，,整理得，，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所?（2）由題意得，,即，所以.法一：在中，，所以.在中，，所以，即，將代入整理得，解得或.若，則，，,，所以在中，得,同理可得,即和都為鈍角，不符合題意，排除.所以，，.法二：因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所?2.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．(1)求角A的大?。?2)若，邊上的中線，求的面積．【答案】(1)(2)6【解析】（1）由題意利用正弦定理可得．．，，即．（2）．由中線，得，．考法四三角形中的取值范圍【例4-1】在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且，，則（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，所以由正弦定理得，即，因?yàn)?，，所以，所以，即，因?yàn)?，即，解?故選：A.【例4-2】在中，，則的最小值（

）A．-4B．C．2D．【答案】A【解析】在中，，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，，則的最小值為.故選：A【例4-3】已知在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，面積為，且_____．在①，②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中，并根據(jù)這個(gè)條件解決下面的問題．(1)求；(2)若，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）若選，因?yàn)?，所以，可得，又因?yàn)?，所以．若選，因?yàn)?，所以，整理可得，解得或，又因?yàn)?，可得，所?所以．若選，因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，又因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，，所以，可得，又因?yàn)椋?，所以，可得．?）因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，平方得，所以因?yàn)椋詴r(shí)，，可得，所以，可得，故線段長(zhǎng)的取值范田為【一隅三反】1.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，，的平分線交于，若，則的最小值為____.【答案】/【解析】因?yàn)椋钠椒志€交于，且，由，即，整理可得，所以，，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.2.已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2ccosC=bcosA+acosB.(1)求角C的大??；(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理得：，代入，∴，又，∴，而0<C<，則，∴，故.（2）由正弦定理得：，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，由內(nèi)角和為，則，所以，則，周長(zhǎng)為，故的取值范圍為.3.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求的外接圓半徑R；(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)?，由正弦邊角關(guān)系得，即，由余弦定理，得，又，所以，由，則.（2）由正弦定理得，所以，，由余弦定理，得，所以，利用等面積法可得，則，∵，∴，故，則，所以，故.考法五三角形解的個(gè)數(shù)【例5】由下列條件解，其中有兩解的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】C【解析】對(duì)于A，,由正弦定理可得,由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解；對(duì)于B，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜芍挥形ㄒ唤猓匀切蔚娜齻€(gè)邊唯一確定，即只有唯一解；對(duì)于C，因?yàn)?，由正弦定理得，即，所以，所以角有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解；對(duì)于D，因?yàn)?，，，由正弦定理得，所以，又c>a，所以，所以角只有一個(gè)解，即只有唯一解.故選：C【一隅三反】1.中，角的對(duì)邊分別是，，.若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理可得，.要使有兩解，即有兩解，則應(yīng)有，且，所以，所以.故選：B．2.在下列關(guān)于的四個(gè)條件中選擇一個(gè)，能夠使角被唯一確定的是：（

）①；②；③；④.A．①②B．②③C．②④D．②③④【答案】B【解析】對(duì)于①，因?yàn)?，所以或，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以角被唯一確定，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，又，由正弦定理有，所以，所以角被唯一確定，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)椋?，所以如圖，不唯一，故④錯(cuò)誤.故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.考法六正余弦定理在幾何中應(yīng)用【例6-1】如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，．(1)求的長(zhǎng)；(2)若的面積為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)6(2)6【解析】（1），，且，根據(jù)正弦定理，可得；（2），，，得，又，由余弦定理得，．【例6-2】如圖，平面四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，，.

(1)求的面積；(2)求的值及的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)，【解析】（1）∵，，，，;（2），，，則.，，，，又，在中，，由正弦定理可知，.【一隅三反】1．如圖，在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，過(guò)點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，且，，.

(1)求；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【解析】（1）∵，∴由正弦定理得，即，∴由余弦定理，，又∵，∴.（2）∵，∴，由第（1）問，，∴，又∵，∴，∴在中，由正弦定理，，∴，又∵，∴，∴的面積.2.平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質(zhì)．如圖所示，四邊形的頂點(diǎn)在同一平面上，已知．(1)當(dāng)長(zhǎng)度變化時(shí)，是否為一個(gè)定值？若是，求出這個(gè)定值；若否，說(shuō)明理由．(2)記與的面積分別為和，請(qǐng)求出的最大值．【答案】(1)為定值，定值為1；(2)14【解析】（1）法一：在中，由余弦定理，得，即①，同理，在中，，即②，①②得，所以當(dāng)長(zhǎng)度變化時(shí)，為定值，定值為1；法二：在中，由余弦定理得，即，同理，在中，，所以，化簡(jiǎn)得，即，所以當(dāng)長(zhǎng)度變化時(shí)，為定值，定值為1；（2），令，所以，所以，即時(shí)，有最大值為14．平面向量與解三角形章節(jié)測(cè)試一、單選題1．在中，若，則一定是（

）A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形【答案】D【分析】由余弦定理化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】由及余弦定理得：，即.故選：D2．在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，已知，，且，則（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式求出，由面積公式求出，再由余弦定理求出，即可得解.【詳解】，由正弦定理可得，整理可得，所以，為三角形內(nèi)角，，∴，∵，，則，故B錯(cuò)誤；∵，，，解得，由余弦定理得，解得或（舍去），故C正確，D錯(cuò)誤.又，所以，則三角形為等邊三角形，所以，則，故A錯(cuò)誤.故選：C.3．已知中，角對(duì)應(yīng)的邊分別為，是上的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）且，，則的最大值是（

）A．B．C．2D．4【答案】A【分析】先利用正弦定理的邊角變換與余弦定理可求得，再設(shè)，利用正弦定理與正弦函數(shù)的和差角公式得到，從而得解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，則，即，所以，，則，

設(shè)，則，且，在中，，則，在中，，則，又，即，又由正弦定理知（為的外接圓半徑），所以，則，即，又，故當(dāng)，時(shí)，.故選：A4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，若點(diǎn)M滿足，且∠MAB＝∠MBA，則△AMC的面積是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由正弦定理及誘導(dǎo)公式結(jié)合可得.由，結(jié)合可得，.后由∠MAB＝∠MBA，結(jié)合正弦定理，可得，即可得面積【詳解】由正弦定理及誘導(dǎo)公式，可得：，化簡(jiǎn)得：，又，則.又，則，.因，則，，則在MAC中，，解之：.則，則MAC中，邊對(duì)應(yīng)高，則MAC面積．二、多選題5．在△ABC中，已知a＝2b，且，則（

）A．a(chǎn)，c，b成等比數(shù)列B．C．若a＝4，則D．A，B，C成等差數(shù)列【答案】ABC【分析】首先根據(jù)三角恒等變換，將已知條件化簡(jiǎn)得，再結(jié)合條件，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，即，?對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以、、成等比?shù)列，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)?，，即，所以，即，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，若，則，，則，因?yàn)?，所?故，故C正確.對(duì)選項(xiàng)D，若、、成等差數(shù)列，則.又因?yàn)?，則.因?yàn)椋O(shè)，，，，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC6．在銳角中，角所對(duì)的邊為，若，且，則的可能取值為（

）A．B．2C．D．【答案】ACD【分析】由面積公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理將角化邊，即可求出，再由正弦定理及三角恒等變換公式將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，最后由三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】在銳角中，由余弦定理及三角形面積定理得：，即有，而，則，又，由正弦定理、余弦定理得，，化簡(jiǎn)得：，由正弦定理有：，即，，又是銳角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以，結(jié)合選項(xiàng)，的可能取值為，，.故選：ACD三、填空題7．在中，，D為BC邊上一點(diǎn)，且，則的最小值為.【答案】【分析】將用表示，再平方可求得，再由結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解.【詳解】由，得，則，所以，則，當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.8．在中，角的對(duì)邊分別為，，，若有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由正弦定理，三角恒等變換和輔助角公式可得，其中，結(jié)合范圍，由于有最大值，可求，進(jìn)而求解的取值范圍.【詳解】由于，所以，由正弦定理得，所以，，所以.當(dāng)，即時(shí)，，沒有最大值，所以，則，其中，要使有最大值，則要能取，由于，所以，所以，即，解得.所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題9．已知的三個(gè)內(nèi)角分別為、、，其對(duì)邊分別為、、，若．(1)求角的值；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理、弦化切以及三角恒等變換可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用余弦定理可求出的最大值，再利用三角形的面積公式可求得的最大值.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，，且，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，則，則，又因?yàn)?，?（2）解：由余弦定理，可得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以.所以，面積，所以，面積的最大值為．10．在①；②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若D為邊上一點(diǎn)，滿足，，且______．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．(1)求角；(2)求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）選①，利用正弦定理邊化角，再結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系求得，即得答案；選②，利用正弦定理邊化角，再結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得，即得答案;（2）由正弦定理分別求得的表達(dá)式，結(jié)合兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)可得的表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】（1）選①，由正弦定理可得，即，因?yàn)椋?，又，?選②，由正弦定理得，即，即，即，而,故，又，故.（2）因?yàn)?，故，在中，，?在中，,得,故，而，所以，由題意知，故，即的取值范圍為.11．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求；(2)若，，點(diǎn)，分別在邊，上，且將分成面積相等的兩部分，求的最小值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)正余弦定理，結(jié)合三角恒等變換求解即可；（2）先求得的面積為，再設(shè)，，根據(jù)余弦定理與基本不等式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，又，所?（2）因?yàn)?，，所以的面積為所以的面積為.設(shè)，，所以，即，由余弦定理知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.12．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)和差化積公式與倍角公式推得，從而得到，由此得解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用余弦定理與基本不等式即可得解.【詳解】（1）由正弦定理得，又，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，故，又，所以，因?yàn)?，所以．?）由（1）得，所以由余弦定理得，記，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，故，則，所以，即．解三角形隨堂檢測(cè)1．中，是角的對(duì)邊，，則此三角形有（

）A．一個(gè)解B．2個(gè)解C．無(wú)解D．解的個(gè)數(shù)不確定【答案】B【解析】】∵中，，∴根據(jù)正弦定理，得，∵B為三角形的內(nèi)角，，則有或，∴三角形的解有兩個(gè)．故選：B．2.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.3.設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則A=（

）A． B． C．