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文檔簡介
上師閔分寶分2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)期中聯(lián)考2024.11一、填空題(本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分)
1.有一根高為,底面半徑為1的圓柱形鐵管,用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈,并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端,求鐵絲的最短長度.
2.已知四棱柱的底面是正方形,側(cè)棱垂直于底面,底面邊長為,高為3,則此四棱柱的對角線長為.
3.已知邊長為3的正的三個頂點都在球的表面上,且OA與平面ABC所成的角為,則球的表面積為.
4.已知兩條不同的直線,兩個不同的平面,給出下列四個說法:
(1);(2);
(3);(4),其中正確的序號是.
5.直線垂直于平面內(nèi)的兩條不平行的直線,則直線與平面的關(guān)系是.
6.已知異面直線所成的角為在直線上,在直線上,,則間的距離為是.
7.正方體中,平面與平面的交線是所在的直線.
8.圓錐的底面半徑為1,母線長為2,在圓錐體內(nèi)部放入一個體積最大的球,該球的表面積為.
9.已知圓錐的頂點為,母線的夾角為與圓錐底面所成角為,若的面積為,則該圓錐的側(cè)面積為.10.在正方體中,二面角的平面角大小為.
11.已知正三棱柱的底面邊長為,高為2,點是其表面上的動點,該校柱內(nèi)切球的一條直徑是,則的取值范圍是.
12.已知正四面體棱長為2,點分別是內(nèi)切圓上的動點,現(xiàn)有下列四個命題:
(1)對于任意點,都存在點,使;
(2)存在,使直線平面;
(3)當(dāng)最小時,三棱錐的體積為
(4)當(dāng)最大時,頂點A到平面的距離的最大值為.
其中正確的有.(填選正確的序號即可)
二、選擇題(本大題共有4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)
13.在空間直角坐標(biāo)系中,點關(guān)于軸對稱的點坐標(biāo)是().
A.B.C.D.
14.設(shè)為兩條不同的直線,為兩個不重合的平面.下列命題中正確的是().
A.若,則B.若與所成的角相等,則與平行或相交
C.若內(nèi)有三個不共線的點到的距離相等,則
D.若且,則
15.如圖,在棱長為2的正方體中,分別是棱的中點,點在上,點在上,且,點在線段上運動,給出下列四個結(jié)論:(1)當(dāng)點是中點時,直線平面;
(2)直線到平面的距離是;
(3)存在點,使得;
(4)面積的最小值是.其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是().
A.0B.1C.2D.316.如圖所示,四面體的體積為,點為棱的中點,點分別為線段的三等分點,點為線段的中點,過點的平面與棱分別交于,設(shè)四面體的體積為,則的最小值為().
A.B.C.D.
三、解答題(本大題滿分78分)
17.(滿分14分)本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.
在棱長為2的正方體中,為的中點.
(1)求異面直線與所成角的余弦值;
(2)求三棱錐的體積.18.(本題滿分14分)(本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分)如圖,四棱錐的底面為正方形,分別為的中點,且平面平面.
(1)證明:;
(2)若,當(dāng)四棱錐的體積最大時,求直線與平面的夾角.19.(本題滿分14分)(本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分)如圖,在四棱錐中,,平面分別為棱的中點.
(1)證明:平面;
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.20.(本題滿分18分)(本題共3個小題,第1小題4分,第2小題6分,第3小題8分).如圖,已知長方體,直線與平面所成角為垂直于.
(1)若為棱的動點,試確定的位置,使得平面,并說明理由;
(2)若為棱的中點,求點到平面的距離;
(3)若為棱上的動點(除端點外),求二面角的平面角的范圍.21.(本題滿分18分)(本題共3個小題,第1小題4分,第2小題6分,第3小題8分).一個幾何系統(tǒng)的"區(qū)徑"是指幾何系統(tǒng)中的兩個點距離的最大值,如圓的區(qū)徑即為它的直徑長度.
(1)已知為直角邊為1的等腰直角三角形,其中,求分別以三邊為直徑的三個圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的區(qū)徑;
(2)已知正方體的棱長為2,求正方體的棱切球(與各棱相切的球)和外接圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的區(qū)徑;
(3)已知正方體的棱長為2,求正方形內(nèi)切圓和正方形內(nèi)切圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的區(qū)徑.
參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.(1)(4);5.垂直;6.;7.;8.;9.;10.;11.12.(1)(2)(4)11.已知正三棱柱的底面邊長為,高為2,點是其表面上的動點,該校柱內(nèi)切球的一條直徑是,則的取值范圍是.【答案】【解析】由題意,問題等價于已知是邊長為的正內(nèi)切圓的一條直徑,為邊上的一動點,求的取值范圍.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,是邊長為的正內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的半徑.正內(nèi)切圓的方程為.
將之轉(zhuǎn)化成到內(nèi)切球球心的距離求解,當(dāng)位于底面中心時位于頂角時,所以的取值范圍的取值范圍是.12.已知正四面體棱長為2,點分別是內(nèi)切圓上的動點,現(xiàn)有下列四個命題:
(1)對于任意點,都存在點,使;
(2)存在,使直線平面;
(3)當(dāng)最小時,三棱錐的體積為
(4)當(dāng)最大時,頂點A到平面的距離的最大值為.
其中正確的有.(填選正確的序號即可)【答案】(1)(2)(4)【解析】正四面體棱長為2,點分別是,內(nèi)切圓上的動點,
設(shè),,的重心分別是,
以為原點,過作的平行線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則且
三個內(nèi)切圓的半徑均為,且可設(shè):
對于(1),當(dāng)確定后,取為關(guān)于平面的對稱點,則垂直于平面,對于任意點,都存在點,使,故(1)正確;
對于(2),當(dāng)時,有此時滿足條件,故(2)正確;
對于(3),此時位于最上方,即,這時,點到平面的距離為,,故(3)錯誤;
對于(4),此時,根據(jù)對稱性有此時在處取到最大值,此時的縱坐標(biāo)都是,點到平面的距離為,故(4)正確.故答案為:(1)(2)(4).二、選擇題13.A14.D15.C16.C15.如圖,在棱長為2的正方體中,分別是棱的中點,點在上,點在上,且,點在線段上運動,給出下列四個結(jié)論:(1)當(dāng)點是中點時,直線平面;(2)直線到平面的距離是;
(3)存在點,使得;(4)面積的最小值是.其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是().
A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】對(1),如下圖所示:因為是中點,,所以點是的中點,連接,顯然也是的交點,連接,所以,而平面平面,所以直線平面,(1)對;
以為原點,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,
對(2),分別是棱的中點,,平面平面,故平面,故直線到平面的距離等于點到平面的距離,設(shè)為,得,(2)錯:對(3),設(shè),則,
則,,由,即,得,
由,故存在點,使得,(3)對;
對(4),由(3)得到的投影為,故到的距離面積為
由二次函數(shù)性質(zhì),當(dāng)時,取得最小值為,(4)錯.故選:.16.如圖所示,四面體的體積為,點為棱的中點,點分別為線段的三等分點,點為線段的中點,過點的平面與棱分別交于,設(shè)四面體的體積為,則的最小值為().
A.B.C.D.【答案】C【解析】連接,由題意知:
令則所以,
因為四點共面,所以(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),所以,
設(shè)點到平面的距離為,則點到平面的距離為,
又,,
所以,即的最小值為.故選:C.三.解答題17.(1)(2)18.(1)證明略(2)19.(1)證明略(2)20.(本題滿分18分)(本題共3個小題,第1小題4分,第2小題6分,第3小題8分).如圖,已知長方體,直線與平面所成角為垂直于.
(1)若為棱的動點,試確定的位置,使得平面,并說明理由;
(2)若為棱的中點,求點到平面的距離;
(3)若為棱上的動點(除端點外),求二面角的平面角的范圍.【答案】(1)時,平面,(2)(3)【解析】(1)時,平面,證明如下:延長交于
因為平面,所以是直線與平面所成的角,即,所以,由,所以,
在上取點,使得,連接,,則,
又是平行四邊形,,是平行四邊形,是平行四邊形,,,又平面平面,平面,即平面;
(2)
由長方體性質(zhì)可得,,,設(shè)到平面的距離為,則由得,
(3)作,垂足為,作于,連接,則平面平面,同理,平面平面,
而平面是二面角的平面角,設(shè),則由是矩形得,則,是銳角,.二面角的范圍是.21.(本題滿分18分)(本題共3個小題,第1小題4分,第2小題6分,第3小題8分).一個幾何系統(tǒng)的"區(qū)徑"是指幾何系統(tǒng)中的兩個點距離的最大值,如圓的區(qū)徑即為它的直徑長度.
(1)已知為直角邊為1的等腰直角三角形,其中,求分別以三邊為直徑的三個圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的區(qū)徑;
(2)已知正方體的棱長為2,求正方體的棱切球(與各棱相切的球)和外接圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的區(qū)徑;
(3)已知正方體的棱長為2,求正方形內(nèi)切圓和正方形內(nèi)切圓構(gòu)成的幾何系統(tǒng)的區(qū)徑.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)如圖,若幾何系統(tǒng)中的兩點分別在兩圓上,不妨設(shè)其中一點在上,若另一點在上,則
當(dāng)共線時取到等號;若另一點在上,則
當(dāng)共線時取到等號;若兩點在同一圓上,則最大距離為直徑,即,
綜上,該幾何系統(tǒng)的區(qū)徑為;
(2)記棱切球的球心為,即為正方體的中心,易求得棱切球的半徑為,
因為為正三角形,記它的外接圓圓心為,得其半徑為,又則球心到的外接圓上任意一點
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