2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽二十中高三（上）第三次模擬數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽二十中高三（上）第三次模擬數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z1、z2滿足z1+z2=A.22 B.1 C.22.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=1，A.?12 B.?23 C.3.在半徑為2的圓C上任取三個不同的點(diǎn)A，B，P，且|AB|=22，則PA?PBA.2+2 B.2+22 C.4.已知正四棱臺下底面邊長為42，若內(nèi)切球的體積為323πA.49π B.56π C.65π D.130π5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，anA.45×(48?1) B.456.當(dāng)n∈N時，將三項(xiàng)式(x2+x+1)n展開，可得到如圖所示的三項(xiàng)展開式和“廣義楊輝三角形”：

(x2+x+1)0=1

(x2+x+1)1=x2+x+1

(A.1 B.?1 C.2 D.?27.已知f(x)=memx?lnx(m≥0)，若f(x)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為A.(0,1e) B.(0,1e28.已知a>e2，b>0，c>0，當(dāng)x>0時，(exx?A.e327 B.127 C.e二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c則下列說法正確的是(

)A.AC?CB>0，則△ABC是銳角三角形

B.若cos2A+cos2B?cos2C=1，則△ABC是直角三角形

10.若實(shí)數(shù)x，y滿足x2?4xy+y2A.|x?y|≥2 B.|x?y|≤12 C.x2+y11.如圖，在直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，且AB=AA1=2，∠BAD=60°，M為線段D1C1A.若μ=1時，三棱錐P?DBC的體積為定值

B.若λ=12時，有且僅有一個點(diǎn)P，使得PD⊥PB1

C.若λ+μ=12，則|PN|+|PC|的最小值為3

D.若λ=0三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若命題“?x∈R，都有mx2?2mx?4>0”是假命題，則實(shí)數(shù)m13.曲線y=lnx與曲線y=12ex14.已知函數(shù)f(x)=2x?3x?2?ex，g(x)=2x?3x?2?lnx的零點(diǎn)分別為x1，x2，且x1>2，x2>2，則x1?1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知Sn=an+1?1．

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

16.(本小題15分)

已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1.N，M分別是線段B1C1和線段DD1上的動點(diǎn)，且C1N=λC117.(本小題15分)

某校為了提高教師身心健康號召教師利用空余時間參加陽光體育活動.現(xiàn)有4名男教師，2名女教師報(bào)名，本周隨機(jī)選取2人參加．

(1)求在有女教師參加活動的條件下，恰有一名女教師參加活動的概率；

(2)記參加活動的女教師人數(shù)為X，求X的分布列及期望E(X)；

(3)若本次活動有慢跑、游泳、瑜伽三個可選項(xiàng)目，每名女教師至多從中選擇參加2項(xiàng)活動，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為12，每名男教師至少從中選擇參加2項(xiàng)活動，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為12，每人每參加1項(xiàng)活動可獲得“體育明星”積分3分，選擇參加幾項(xiàng)活動彼此互不影響，記隨機(jī)選取的兩人得分之和為Y，求Y的期望E(Y)．18.(本小題17分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，tanA=3tanC．

(Ⅰ)若C=π4，b=tanB，求△ABC的面積S；

(Ⅱ)求證：2a2?2c2=b2；19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ln(1?ax)+12x2(a≠0)．

(1)證明：當(dāng)a=1時，f(x)只有1個零點(diǎn)；

(2)當(dāng)a<0時，討論f(x)的單調(diào)性；

(3)若a=?1，設(shè)參考答案1.C

2.B

3.D

4.C

5.A

6.A

7.A

8.A

9.BCD

10.AC

11.ACD

12.[?4,0]

13.2x?214.2

6

15.解：(1)當(dāng)n≥2時，an=Sn?Sn?1=(an+1?1)?(an?1)=an+1?an，

∴an+1=2an(n≥2)，

∴等比數(shù)列{an}的公比q=2．

當(dāng)n=1時，由Sn=an+1?1得a1=16.解：(1)證明：因?yàn)锳1A⊥平面ABCD，AD，AB?平面ABCD，

所以A1A⊥AD，A1A⊥AB，又AD⊥AB，

所以AB，AD，AA1兩兩垂直，

以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖，

因?yàn)锳B=AA1=2，AD=DC=1，

則D1(0,1,2)，C1(1,1,2)，B1(2,0,2)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，

所以C1B1=(1,?1,0)，

因?yàn)镃1N=λC1B1=λ(1,?1,0)，

所以N(λ+1,?λ+1,2)，

所以D1N=(λ+1,?λ,0)，

又CB1=(1,?1,2)，DD1=(0,0,2)，DM=λDD1=λ(0,0,2)，

所以M(0,1,2λ)，CM=(?1,0,2λ)，

設(shè)平面CB1M的法向量為n=(x,y,z)，

所以n?CM=x?y+2z=0n?CB1=?x+2λz=0，

令z=1，則n=(2λ,2λ+2,1)17.解：(1)設(shè)“有女教師參加活動”為事件A，“恰有一名女教師參加活動”為事件B，

則P(AB)=C41C21C62=815，P(A)=C41C21+C22C6X012P281E(X)=0×25+1×815+2×115=23．

(3)設(shè)一名女教師參加活動可獲得分?jǐn)?shù)為X1，一名男教師參加活動可獲得分?jǐn)?shù)為X2，

則X1的所有可能取值為3，6，X2的所有可能取值為6，9，

P(X1=3)=P(X1=6)=12，E(X1)=3×18.解：(Ⅰ)由題意，tanA=3tanC=3tanπ4=3，

則sinA=31010,tanB=?tan(A+C)=?tanA+tanC1?tanAtanC=?3+11?3×1=2，

則sinB=255，所以b=tanB=2,a=bsinAsinB=2×31010255=322，

所以△ABC的面積S=12absinC=12×19.解：(1)證明：當(dāng)a=1時，f(x)=ln(1?x)+12x2，函數(shù)定義域?yàn)??∞,1)，

可得f′(x)=1x?1+x=x2?x+1x?1=(x?12)2+34x?1>0恒成立，

所以f(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞增，

又f(0)=0，

根據(jù)零點(diǎn)唯一性定理可知，f(x)只有1個零點(diǎn)為0；

(2)因?yàn)閍<0，

所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1a,+∞)，

可得f′(x)=aax?1+x=ax2?x+aax?1，

因?yàn)閍<0，

當(dāng)Δ=1?4a2≤0，即a≤?12時，ax2?x+a≤0恒成立，

則f′(x)≤0，

所以函數(shù)