數列通項公式和求和公式總結

.....一公式法例1數列是等差數列,數列是等比數列,數列中對于任何都有分別求出此三個數列的通項公式.二利用與的關系例2若數列的前項和為求的通項公式.三累加法 例3數列中已知,求的通項公式.四累乘法例4數列中已知,求的通項公式.五構造法 例5①數列中已知,求的通項公式; ②數列中已知,求的通項公式. ③數列中已知是數列的前項和,且,求的通項公式一利用公式例6等比數列的前項和求的值.二分組求和例7求數列的前項和.三錯位相減例8求和四裂項相消例9求和五倒序相加例10設,求和1.求數列,的前項和.2已知，求的前n項和.3.求數列a,2a2,3a3,4a4,…,nan,…(a為常數)的前n項和。4.求證：5.求數列，，，…，，…的前n項和S6.數列{an}：，求S2002.7.求數5，55，555，…，55…5的前n項和Sn8.已知數列是等差數列，且，求的值.9.已知數列的通項公式為求它的前n項的和.10.在數列中，證明數列是等差數列，并求出Sn的表達式.11.數列為正數的等比數列，它的前n項和為80，前2n項和為6560，且前n項中數值最大的項為54.求其首項a1及公比q.12.已知數列求.13.設為等差數列，Sn為數列的前n項和，已知S7=7,S15=75.記Tn為數列的前n項和，求Tn.14.求數列的前項和15.已知：.求.16.求和.17.，求。18.設數列｛an｝的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項公式。19.已知數列：，求的值。20.求和:21.求數列的前項和：22.求數列的前項和。24.求的值。25.已知數列的通項公式，求它的前n項和.26.已知數列的通項公式求它的前n項和.27.求和：28.已知數列30.解答下列問題：（I）設（1）求的反函數（2）若（3）若31.設函數求和：32.已知數列的各項為正數，其前n項和，（I）求之間的關系式，并求的通項公式；（II）求證33.已知數列{}的各項分別為的前n項和.34．已知數列{}滿足：的前n項和.35．設數列{}中，中5的倍數的項依次記為， （I）求的值.（II）用k表示，并說明理由. （III）求和：36．數列{}的前n項和為，且滿足 （I）求與的關系式，并求{}的通項公式；（II）求和37．將等差數列{}的所有項依次排列，并如下分組：（），（），（），…，其中第1組有1項，第2組有2項，第3組有4項，…，第n組有項，記Tn為第n組中各項的和，已知T3=-48，T4=0， （I）求數列{}的通項公式； （II）求數列{Tn}的通項公式；（III）設數列{Tn}的前n項和為Sn，求S8的值.39.（1）設是各項均不為零的（）項等差數列，且公差，若將此數列刪去某一項后得到的數列（按原來的順序）是等比數列．（i）當時，求的數值；（ii）求的所有可能值．（2）求證：對于給定的正整數()，存在一個各項及公差均不為零的等差數列，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數列．40.某企業(yè)進行技術改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息.若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復利計算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？（?。┐鸢福?.設則兩式相減得∴.2.解：由由等比數列求和公式得＝＝＝1－3.解：若a=0,則Sn=0若a=1,則Sn=1+2+3+…+n=若a≠0且a≠1則Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+nan∴aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1∴(1-a)Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1=∴Sn=當a=0時，此式也成立?！郤n=5.解：∵=）Sn===6.解：設S2002＝由可得……∵（找特殊性質項）∴S2002＝（合并求和）＝＝＝＝57.n解：因為55…5=nn所以Sn=5+55+555+…+55…5n===解析：根據通項的特點，通項可以拆成兩項或三項的常見數列，然后再分別求和。另外：Sn=可以拆成：Sn=（1+2+3+…+n）+()8.∵為等差數列，且1+17=5+13，∴.由題設易知=117.又為與的等差中項，∴.9.(裂項)于是有方程組兩邊相加，即得10.【證明】∵∴.化簡，得Sn-1－Sn=2SnSn-1兩邊同除以.SnSn-1，得∴數列是以為首項，2為公差的等差數列.∴∴11.∵∴此數列為遞增等比數列.故q≠1.依題設，有②÷①，得④④代入①，得⑤⑤代入③，得⑥④代入⑥，得,再代入③，得a1=2,再代入⑤，得q=3.12.令（裂項）故有=.13.設等差數列的公差為d，則(I)∵∴解得代入（I）得（II）∵∴數列是首項為－2，公差為的等差數列，∴14.解：Sn=15.當為正奇數時，當為正偶數時，綜上知，注意按的奇偶性討論！16.17.解：因為所以18.解：(Ⅰ)當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝EQ\f(1,2)．當n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－EQ\f(1,2)，于是(a2－EQ\f(1,2))2－a2(a2－EQ\f(1,2))－a2＝0，解得a1＝EQ\f(1,6)．(Ⅱ)由題設(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由(Ⅰ)知S1＝a1＝EQ\f(1,2)，S2＝a1＋a2＝EQ\f(1,2)＋EQ\f(1,6)＝EQ\f(2,3)．由①可得S3＝EQ\f(3,4)．由此猜想Sn＝EQ\f(n,n＋1)，n＝1，2，3，…．下面用數學歸納法證明這個結論．(i)n＝1時已知結論成立．(ii)假設n＝k時結論成立，即Sk＝EQ\f(k,k＋1)，當n＝k＋1時，由①得Sk＋1＝EQ\f(1,2－S\S\do(k))，即Sk＋1＝EQ\f(k＋1,k＋2)，故n＝k＋1時結論也成立．綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝EQ\f(n,n＋1)對所有正整數n都成立．于是當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝EQ\f(n,n＋1)－EQ\f(n－1,n)＝EQ\f(1,n(n＋1))，又n＝1時，a1＝EQ\f(1,2)＝EQ\f(1,1×2)，所以｛an｝的通項公式an＝EQ\f(n,n＋1)，n＝1，2，3，…．19.解：∵（找通項及特征）（設制分組）（裂項）∴（分組、裂項求和）20.解:原式===21.解：設將其每一項拆開再重新組合得當時，＝當時，＝22.解：設∴＝將其每一項拆開再重新組合得24.解：設………….①將①式右邊反序得……②（反序）又①+②得（反序相加）∴25. ==26.27.注意：數列的第n項“n·1”不是數列的通項公式，記這個數列為，∴其通項公式是28.為等比數列，∴應運用錯位求和方法：29.而運用反序求和方法是比較好的想法，①，②，①+②得30.（1）（2）是公差為9的等差數列，（3）31.①當n為偶數時=②當n為奇數時32.（I）①，而②，①—②得的等差數列，（II）33. （1） （2）當①②當時，1）當n為奇數時2）當n為偶數時34．當而①①②，①－②得35．（I）（II）（III）36．（I）（II）37．（I）設{}的公差為d，則①，②，解①、②得（II）當時，在前n－1組中共有項數為∴第n組中的（III）38.解析：因為，，。39.（1）①當n=4時,中不可能刪去首項或末項，否則等差數列中連續(xù)三項成等比數列，則推出d=0。若刪去，則，即化簡得，得若刪去，則，即化簡得，得綜上，得或。②當n=5時,中同樣不可能刪去，否則出現連續(xù)三項。若刪去，則，即化簡得，因為，所以不能刪去；當n≥6時，不存在這樣的等差數列。事實上，在數列中，由于不能刪去首項或末項，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個，則必有，這與矛盾。(或者說：當n≥6時，無論刪去哪一項，剩余的項中必有連續(xù)的三項)綜上所述，。（2）假設對于某個正整數n，存在一個公差為d的n項等差數列，其中（）為任意三項成等比數列，則，即，化簡得