人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊期末復(fù)習(xí)：《圓的方程》講義

圓的方程

一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作用(參數(shù)方程結(jié)合幾何意義)：

1.圓心為03切,半徑是廠的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

方程能直接反映圓心和半徑.

2.點(diǎn)M5，為)與圓的位置關(guān)系如何定(同一般方程一樣處理)

(X。—a)2+(%—b)2

3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中隱藏著的取值范圍，常在求解代數(shù)式的取值范圍時(shí)作隱藏條件,

如0—2)2+0+1)2=4,貝［jxe,ye.

4.參數(shù)方程：圓a-。)？+(y-b)2=戶上任意一點(diǎn)均可設(shè)為尸(a+rcosd,6+sin，)，其中

0帶有幾何意義.

【注意】代數(shù)式中出現(xiàn)“。_。)2+(、_切2”類平方和向距離方向思考，方程中出現(xiàn)向圓

的方程方向思考。

例：x=j2-2y-2+3表示的圖形是.圖像上的點(diǎn)P到Q(-1,-2)距離的最

大值最小值分別為：.【非等價(jià)變形即為此類問題的坑】

二、一般方程及命題方向：

圓的一般方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0)其中圓心為

半徑為.

特點(diǎn)：⑴W的系數(shù)；(2)不含；(3).

1.點(diǎn)P(5a+1,12")在圓(x-1)?+V=1的內(nèi)部，則。的取值范圍為

對比：(1)已知點(diǎn)(1,1)在圓/+/+依+a=0外，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-1,+co)

B.(-1,0)

C.(-1,0)U(4,-HX>)

D.(^o,0)U(4,+oo)

(2)圓Y+y2+"+a=°能否被y=x+l平分？

(3)圓/+y2+辦+0=°上是否存在兩點(diǎn)M,N關(guān)于直線y=X+l對稱？

2,已知。€氏，方程"+(“+2)/+以+8>+5。=。表示圓,則圓心坐標(biāo)是，半

徑是.

3.已知A(-2,-2),8(-2,6),C(4,-2)三點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)在圓尤?+尸=4上運(yùn)動(dòng)，則

|PAF+|PB|2+|PC|2的最大值是()

A.144B.88

C.72D.32

4(多)設(shè)有一組圓CM(X-W+(y-左f=4(AeR),下列命題正確的是()

A.不論A如何變化，圓心C始終在一條直線上

B.所有圓Q均不經(jīng)過點(diǎn)(3,0)

C.經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓G有且只有一個(gè)

D.所有圓的面積均為4

5.（多）設(shè)有一組圓Q:犬+9一2次一26+左2—i=oWeR）,下列命題正確的是（）

A.不論上如何變化，圓心6始終在一條直線上

B.若點(diǎn)（3,2）在圓Q的內(nèi)部則Ze（l,9）

C.若圓CK的半徑為碗，則發(fā)=±7

D.若圓最上恰有兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,則％4-20,0）（0,20）

6.（多）已知圓陽的一般方程為/+/+6工+8/=0,則下列說法正確的是（）

A.圓V的半徑為4

B.圓陽關(guān)于直線％-y-1=。對稱

C.點(diǎn)（-6,1）在圓加外

D.實(shí)數(shù)x,y滿足圓陽的方程，則J（x-3『+（y-4）2的最小值是5

7.（多）已知點(diǎn)40,3）,8（1,1）,且點(diǎn)。在圓C:（X-2）2+V=4上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確

的是

A.|姑|的最大值為而+2

B.1產(chǎn)川+1尸的最小值為5

C.|心-歸3|的最大值為世

D.當(dāng)最大時(shí)，|上4|=3

8.點(diǎn)尸在圓。：(》-2)2+丁=4上運(yùn)動(dòng)，乂(3,3)

(1)|PM|的最大值，最小值，

(2)J(X+2)2+(y+3)2的最大值和最小值；

(3)x?++2x+2y+5

(4)x+y的最大值和最小值

(5)x2+2y2+2x+51對比3/4/5,如何分類處理】

(6)=范圍【更多形式求法借助下節(jié)直線與圓位置關(guān)系處理】

x+2

(7)。在y=x+4上運(yùn)動(dòng)，|PQ|+|Q叫的最小值

X(8)※。(―2,0),W閭+/加|最小值

9.設(shè)4(2,0),8(0.4).若對于直線/:x-y+加=0上的任意一點(diǎn)尸，都有

|PA|2+|PB|2>18,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

A.(1+20,+8)B.(1-20,1+20)

C.(-oo,l-2V2)D.(-00,1-272)(1+20,+8)

10.點(diǎn)（―）在曲線、=甲？-2上，貝那一4y+4］的取值范圍為（）

11.已知實(shí)數(shù)占、巧、四、％滿足片+y；=l,xf+yf=4,尤/+%%=0,則占+%的

最大值為

12.已知點(diǎn)A（-2,0）,3（2,0）,點(diǎn)Af是直線丫=自+3上任意一點(diǎn)，且44MB<90。，則實(shí)

數(shù)上的取值范圍是—.

三、數(shù)形結(jié)合求方程：【隱藏著的圓通過幾何關(guān)系和代數(shù)運(yùn)算尋找。尤其是在解決與動(dòng)

點(diǎn)有關(guān)的距離、斜率（代數(shù)式）、截距等問題中，先確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再轉(zhuǎn)化為求軌跡

上的點(diǎn)相關(guān)問題】

1.已知某圓經(jīng)過人一2,2）,網(wǎng)6，°）兩點(diǎn)，圓心”在直線2尤7=1上，求該圓的方

程.【多種方法】

2.在平面直角坐標(biāo)系中，從點(diǎn)P（-3,2）向直線區(qū)-y-2-左=0作垂線，垂足為M則點(diǎn)

。（2,4）與點(diǎn)"的距離的最小值是（）

3.已知兩定點(diǎn)片（-1,0）和鳥（3,0）,求到點(diǎn)［和外的距離的平方和是16的點(diǎn)的軌跡方程.

4.已知兩定點(diǎn)"（T'°）和E（3°）,pqpg=8,求p的軌跡方程

5.—MC的頂點(diǎn)8,C的坐標(biāo)分別是(-3,-1),(2,1),頂點(diǎn)/在圓

x2+y2+4x-8y+16=0上運(yùn)動(dòng)，求一ABC的重心G的軌跡方程.

6.已知AeR,動(dòng)直線點(diǎn)+y_l=O和動(dòng)直線無_份_%+3=0交于點(diǎn)尸(x,y),貝!]

7(X-2)2+/的取值范圍為.

7.-M:(X-2)2+/=16,過點(diǎn)玖1,3)兩條互相垂直的直線與圓依次交于ABCD,

該四點(diǎn)是否共圓

【練習(xí)】

1.已知4(1,1)、3(2,0)兩定點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)M滿足朋A.M3=2，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

2.如圖所示，設(shè)圓C的圓心C在直線/：2x-7y+8=0上，且A(6,0),5。，5)都是圓

C上的點(diǎn)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.已知x和y滿足（x+iy+V=；,試求：

（1）f+『的最值；

（2）%+y的最值.

4.已知圓C：（x_2>+（yT）2=5及點(diǎn)3（0,2）,設(shè)P,0分別是直線/：彳+/+2=0和圓c

上的動(dòng)點(diǎn)，則『'田'。的最小值為

四、新高考背景下的阿氏圓應(yīng)用：【化折為直思想】

PAI

阿氏圓：已知平面上兩點(diǎn)A3,則所有滿足渴=4（4>0,Nwl）的點(diǎn)尸的軌跡是一

個(gè)以定比2:1內(nèi)分和外分線段AB的兩個(gè)分點(diǎn)連線為直徑的圓，圓心與A,B三點(diǎn)共線。

【定理】設(shè)P（。,y）、正（一c,0）、B_（c,0）若="4>0且

A#1）則點(diǎn)P的軌跡方程是b一與士|c）"+y2=

\A-17

（資丁，其軌跡是以（冬土9,0）為圓心，『=品為

xx

A—17A—1/A—1

半徑的圓

,則「回+號的最小值

1.點(diǎn)P是圓好+產(chǎn)=25上動(dòng)點(diǎn)，4(1