人教版2024七年級(jí)數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：有理數(shù)的運(yùn)算（解析版）

專題02有理數(shù)的運(yùn)算(考點(diǎn)清單，知識(shí)導(dǎo)圖+10個(gè)考點(diǎn)清單

+6種題型解讀)

考點(diǎn)儕單

卜，取‘；」「II4.，?；；??>.”'*￥:--::曲培“ra；?"

境葉值長(zhǎng)相等的異學(xué)兩技相帕.和取笫.6傳出大的加it的

林號(hào).H和的健,時(shí)值率于加長(zhǎng)的修時(shí)值中皎大X與^小N

的良.瓦為相反敦的兩個(gè)我初加部)

一個(gè)數(shù)與，一相加,仍得這個(gè)數(shù)J

一[MZ*.A'Y.?于力，送個(gè)k的格E數(shù)

兩栽相泉，同事再工.算片耳R,且和的脩時(shí)值寫于電it的錚.討值■的機(jī)

任何做.與Ib植東..—力

~~[:先以一，不等T?”的4t.?十拿這4盤的倒叫

|-萬(wàn)齊H知個(gè)相同爽敢的粗的運(yùn)算.叫作東方，東方的結(jié)果叫作衛(wèi)

也一個(gè)大于卜的數(shù)表示或“X1T的彩式(其中〃大子我等于1且小

有Tio,“艮正整敦)

理

數(shù)

的

運(yùn)先罪方，再嶷除，最后加d.

算

同級(jí)運(yùn)算.從左到右丑行

有理里

加*京

運(yùn)算結(jié)

為有理

a..(a+6)+c=a+(d+c)

一~,二月行,結(jié)合揖卜；

laMc=a[bc)

分配律a(b-^c)=ah^ac

、一1用計(jì)H系進(jìn)行有理數(shù)的遼?

【清單01】有理數(shù)加法運(yùn)算

1.加法法則:

①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.

②絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.

③一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

有理數(shù)加法運(yùn)算的步驟

2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律

運(yùn)算律文字?jǐn)⑹鲇米帜副硎?/p>

加法交換律兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變a-\-b=b-\-a

三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后

加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)

兩個(gè)數(shù)相加，和不變

3.加法運(yùn)算律的運(yùn)用技巧

(1)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)先相加----"相反數(shù)結(jié)合法”；

(2)符號(hào)相同的數(shù)先相加——“同號(hào)結(jié)合法”；

(3)整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)、分母相同(或分母成倍數(shù)關(guān)系易化成同分母)的數(shù)先相加——“同形結(jié)合法”；

(4)幾個(gè)相加得整數(shù)的數(shù)先相加——“湊整法”；

(5)帶分?jǐn)?shù)相加時(shí)，可先拆成整數(shù)與分?jǐn)?shù)的和，再分別相加——“拆項(xiàng)結(jié)合法”.

【清單02】有理數(shù)減法運(yùn)算

1.減法法則：

減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù).即a-b=a+(-b).

減號(hào)變加號(hào)

如:可，甲=(昔^甲-27.

I1~J

被減數(shù)不變減數(shù)變相反數(shù)

2.兩數(shù)相減差的符號(hào)

⑴較大的數(shù)一較小的數(shù)=正數(shù)，即若心6,則a—6>0.

(2)較小的數(shù)一較大的數(shù)=負(fù)數(shù)，即若。<6,則a—6<0.

(3)相等的兩個(gè)數(shù)的差為0,即若a=6,則。-6=0.

特別解讀

減法轉(zhuǎn)化為加法過(guò)程中，應(yīng)注意“兩變一不變”.“兩變”是指運(yùn)算符號(hào)“一”號(hào)變成“+”號(hào)，減數(shù)變成

它的相反數(shù)；“一不變”是指被減數(shù)和減數(shù)的位置不變.

【清單03】有理數(shù)加減混合運(yùn)算

1.有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法

(D運(yùn)用減法法則，將有理數(shù)加減混合運(yùn)算中的減法轉(zhuǎn)化為加法，轉(zhuǎn)化為加法后的式子是幾個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的

和的形式.

(2)運(yùn)用加法交換律，加法結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算，使運(yùn)算簡(jiǎn)便.

如:(+7)-(+10)+(-3)-(-8)

=(+7)+(—10)+(-3)+8

=(7+8)+[(-10)+(—3)]=15+(—13)=2.

2.省略和式中的括號(hào)和加號(hào)

將有理數(shù)的加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算時(shí)，在和式里可以把加號(hào)及加數(shù)的括號(hào)省略不寫，以簡(jiǎn)化書寫形

式.如(―20)+(—3)+(+2)+(—5)可以寫成一20—3+2—5.

這個(gè)式子有兩種讀法：

(1)按加法的結(jié)果來(lái)讀：負(fù)20、負(fù)3、正2、負(fù)5的和；

(2)按運(yùn)算來(lái)讀：負(fù)20減3加2減5.

【清單04】有理數(shù)乘法運(yùn)算

1.有理數(shù)的乘法法則

(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，且積的絕對(duì)值等于乘數(shù)的絕對(duì)值的積.

(2)任何數(shù)與0相乘，都得0.

2.有理數(shù)乘法的符號(hào)法則

a與b乘積的符號(hào)a與b的符號(hào)

正同號(hào)，即a>0,6>0或。<0,b<0

負(fù)同號(hào)，即”>0,b>0或a<0,b<0

0至少一個(gè)為0,即a=0或8=0

3.倒數(shù)

定義乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).

倒數(shù)與相反數(shù)之間的關(guān)系

不同點(diǎn)

相同點(diǎn)

定義表示性質(zhì)判定

若。，b互為若ab=l9

倒乘積是1的兩個(gè)數(shù)。(。羊0)的倒數(shù)是工

倒數(shù)，則

數(shù)互為倒數(shù)a

ab=l則〃，〃互為倒數(shù)

若a+b=0,都成對(duì)出現(xiàn)

相只有符號(hào)不同的兩若a,b互為

反個(gè)數(shù)叫作互為相反a的相反數(shù)是一a相反數(shù)，則。

則以〃互為相反

數(shù)數(shù)+6=0

數(shù)

4.乘法運(yùn)算律

運(yùn)算律文字表示用字母表示

乘法交換律兩個(gè)數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變ab=ba

三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不

乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)

變

一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，

分配律a(b+c)=ab+ac

再把積相加

【清單05】有理數(shù)除法運(yùn)算

1.除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).即a+b=a?▲(bWO).

b

2.有理數(shù)除法法則二兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，且商的絕對(duì)值等于被除數(shù)的絕對(duì)值除以除數(shù)的絕

對(duì)值的商.0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0.

Dxl-4)=[+J(l-KI：I41)=294(-?=古啊T1-3

兩斂布城t―被阻松t

場(chǎng)對(duì)值相瞼地尺侵相險(xiǎn)

方法點(diǎn)撥：除法法則的選用原則

「施伊除?法則：T

西教L性時(shí)值和除

L"鹿黑故中FA*f轉(zhuǎn)化為乘汰

3.分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)

(1)實(shí)質(zhì)

分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)，即利用有理數(shù)除法法則，用分?jǐn)?shù)的分子除以分母的運(yùn)算過(guò)程.

(2)分?jǐn)?shù)的符號(hào)法則

分?jǐn)?shù)的分子、分母及分?jǐn)?shù)本身的符號(hào)，改變其中任意兩個(gè)，分?jǐn)?shù)的值不變.

用字母表示at==/=彳=一..

nnnn

【清單06】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算順序

在運(yùn)算時(shí)要注意按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行，如果有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的.在同級(jí)運(yùn)算中，要

按從左到右的順序來(lái)計(jì)算，并合理運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

【清單07】有理數(shù)乘方運(yùn)算

1.乘方運(yùn)算的意義

概念示例

。°。記作〃?，

求”個(gè)相同乘數(shù)的積的運(yùn)算，叫作乘

乘方M個(gè)11

方

讀作“a的n次方”

乘方的結(jié)果叫作幕

嘉掙數(shù)（*敢的個(gè)數(shù)）

中，〃叫作底數(shù)，n叫作指數(shù)t;,

底數(shù)和指數(shù)r

點(diǎn)■.效（柒粒）

2.an,-an和（一。）"的聯(lián)系與區(qū)別

an—an（一4）〃

區(qū)底數(shù)為〃，表示〃表示〃個(gè)〃相乘底數(shù)為一〃，表示〃

別

個(gè)〃相乘的積的積的相反數(shù)個(gè)一〃相乘的積

聯(lián)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，一“〃=（一〃）"，它們分別與然"互為相反數(shù)；

系當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，〃〃=（一〃）"，它們分別與一〃〃互為相反數(shù)

知識(shí)拓展：（1）負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)；（2）乘方運(yùn)算中，當(dāng)?shù)讛?shù)有“一”號(hào)時(shí)，底數(shù)要加

括號(hào)；（3）當(dāng)?shù)讛?shù)互為相反數(shù)時(shí)，它們的奇次塞也互為相反數(shù)，偶次哥相等.

3.乘方的運(yùn)算法則

（1）負(fù)數(shù)的奇次塞是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次塞是正數(shù)；

（2）正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；

（3）0的任何正整數(shù)次暴都是0.

【清單08】有理數(shù)混合運(yùn)算

有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

③如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行.

【清單09】科學(xué)記數(shù)法

1.定義：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成axlO"的形式（其中1W同＜10,〃是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記

數(shù)法.例如：200000=2xlO5.

2.科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的步驟

確定a—將雙數(shù)的小數(shù)也向九樣.使其禁數(shù)公，數(shù)

502457

方法I：限如:“收的

生上^三__收的不教（收,城1

---------------?小般也向左移昉的0h

方法2：根據(jù)小散也收盤向左“動(dòng)5f

移助的仆盤笊前定

3.還原科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)

if4,，敷[.敢刃LI■

4.<I2x|(Fs4O2Ofl

「方0x10中二敵儀敷為"偵.蚪如.Lf

-

“、&叼'、^0114M1(，■-iKHifiI.

/用口料足Iif

*L方愎2：將ax]0"中0的小數(shù)戊1------------：--------1

向/>傳動(dòng)n位小It太向右H4Mu

4.方法點(diǎn)撥：比較用科學(xué)記數(shù)法表示的兩個(gè)數(shù)大小的方法

兩數(shù)性質(zhì)I比西〃,，2比較“

兩個(gè)正收?“大的仕大1〃杞上弱

兩個(gè)貨4t,，”大的我小?“’的.大

【清單10】近似數(shù)

1.準(zhǔn)確數(shù)：與實(shí)際完全符合的數(shù)，稱為準(zhǔn)確數(shù).

2.近似數(shù)：許多實(shí)際情況中，較難取得準(zhǔn)確數(shù)，把接近準(zhǔn)確數(shù)但不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)稱為近似數(shù).

3.近似數(shù)的精確度：近似數(shù)的精確度是指近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度.一般地，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪

一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.

近似數(shù)的精確度的表述方法：

(1)用數(shù)位表示，如精確到千位，精確到千分位等；

⑵用小數(shù)表示，如精確到0.1,精確到0.01等；

(3)對(duì)帶有單位的數(shù)用單位表示，如精確到1kg,精確到1m等.

4.取近似數(shù)的方法：通常用四舍五入法；特殊情況下使用去尾法、進(jìn)一法.

盛型睛單

【考點(diǎn)題型一】有理數(shù)的運(yùn)算

【例1】(22-23七年級(jí)上?山東濟(jì)寧?期中)現(xiàn)定義運(yùn)算“*”：對(duì)于任意有理數(shù)a,b,滿足

=例如：5*3=2X5-3X3=1,則(2*3)-(4*3)的值為()

[3a-2b(a<b)

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】A

【分析】本題主要考查有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，直接利用新的運(yùn)算法則將2*3和4*3,從而求出

(2*3)-(4*3),讀懂運(yùn)算規(guī)則是解題的關(guān)鍵.

2a-3b(a>b)

【詳解】解：?；a*6=

3Q-2b(a<b)

.?.2*3=3x2—2x3=0,4*3=2x4—3x3=-1,

...(2*3)—(4*3)=?！?—1)=1.

故選：A.

【變式1-1](23-24七年級(jí)上?江蘇南通?期中)計(jì)算

14

(1)413.8+1-(-2.75)

⑵一3?2小，小2

【答案】(1)4

⑵-81

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算：

(1)利用加法的交換律和結(jié)合律計(jì)算，即可求解；

(2)先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除，即可求解.

14

【詳解】(1)解：4--3.8+--(-2.75)

(2)解:-32x-2-

9

x(-2)x2

=—81.

【變式1-2](23-24七年級(jí)上?福建泉州?期中)計(jì)算:

(1)(-2)+(+3)-(-5)-(+4);

【答案】(1)2

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性即可.

(1)利用有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；

(2)利用有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算法則即可求解；

【詳解】(1)解：原式=-2+3+5-4

=2

~411

⑵解：原式

_4_

一一萬(wàn)

【變式1-3](23-24七年級(jí)上?四川達(dá)州?期中)定義一種運(yùn)算：族6=3”26+1,求[3※(-4)忤5

【答案】45

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

原式利用已知的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果，注意運(yùn)算順序.

【詳解】解：[3※(-4)怦5

=[3x32x(-4)+l]X5

=(9+8+1必5

=18X5

=3x18-2x5+1

=54-10+1

=45.

【變式1-4](22-23七年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期中)小明同學(xué)在學(xué)習(xí)完有理數(shù)的運(yùn)算后，對(duì)運(yùn)算產(chǎn)生了濃厚的

興趣，她借助有理數(shù)的運(yùn)算，定義了一種新運(yùn)算“十”，運(yùn)算規(guī)則為：a§b=axb-a-b.

⑴計(jì)算(-2)十2的值;

(2)填空:5十(-3)_(-3)十5(填“>”或“=”或“<”)；

⑶求(一3)十(4十;)的值.

【答案】(1)-4

⑵二

⑶13

【分析】本題主要考查了新定義運(yùn)算、有理數(shù)四則混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，將新定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化成有理數(shù)四則混

合運(yùn)算成為解題的關(guān)鍵；

(1)先運(yùn)用新運(yùn)算法則將原式轉(zhuǎn)化成有理數(shù)的混合運(yùn)算，然后再計(jì)算即可；

(2)先分別根據(jù)新運(yùn)算法則計(jì)算兩個(gè)代數(shù)式，然后比較即可；

(3)先運(yùn)用新運(yùn)算法則將原式轉(zhuǎn)化成有理數(shù)的混合運(yùn)算，然后再計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：(一2)十2=(-2)x2-(一2)-2=-4.

故答案為：-4.

(2)解：v50(-3)=5x(-3)-5-(-3)=-17,(-3)十5=(-3)x5-(-3)-5=-17,

???5十(―3)=(—3)十5.

故答案為：二.

(3)解：(-3)十(4十1

=(一3)十-

=----1-3H—

=13.

【考點(diǎn)題型二】有理數(shù)的運(yùn)算的應(yīng)用

【例2】(22-23七年級(jí)上?寧夏銀川?期中)某地一天最高氣溫13。4最低氣溫-5。。這天的溫差是

()℃.

C.-18D.-8

【答案】B

【分析】本題考查負(fù)數(shù)，有理數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握溫差的定義，有理數(shù)的加減運(yùn)算，即可.

【詳解】解：這天的溫差為13-(-5)=18(℃)

故選：B.

【變式2-1](22-23七年級(jí)上?貴州貴陽(yáng)?期中)某市客運(yùn)管理部門對(duì)“五一”黃金周假期五天的客流變化最

做了不完全統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下(用正數(shù)表示客流量比前一天上升數(shù)，用負(fù)數(shù)表示下降數(shù))：

日期1日2日3日4日5日

變化/萬(wàn)人20-2-593

與4月30日比，5月3日的客流量變化了多少()

A.下降了5萬(wàn)人B.上升了13萬(wàn)人

C.上升了21萬(wàn)人D.下降了7萬(wàn)人

【答案】B

【分析】本題考查有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用，正負(fù)數(shù)的意義，將表格中前3天的數(shù)據(jù)求和后，進(jìn)行判斷即

可.

【詳解】解：20-2-5=13,

??.與4月30日比，5月3日的客流量上升了13萬(wàn)人；

故選B.

【變式2-2](23-24七年級(jí)上?遼寧鞍山?期中)一架直升機(jī)從高度為600米的位置開始，先以20米/秒的

速度垂直上升60秒，后以12米/秒的速度垂直下降100秒，這時(shí)飛機(jī)所在的高度是米.

【答案】600

【分析】本題考查正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)上升為正，下降為負(fù)，由題意進(jìn)行有理

數(shù)加減運(yùn)算即可.

【詳解】記上升為正，下降為負(fù)，則飛機(jī)高度為：

600+20x60+(-12)x100

=600+1200+(-1200)

=600(米).

故答案為：600

【變式2-3](22-23七年級(jí)上?寧夏銀川?期中)10筐蘋果，以每筐30千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)的千克數(shù)記為正

數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，記錄如下：2,-4,2.5,1,-1,-0.5,3,-1,0,-2.5.問(wèn)：平均每筐蘋果重多少？

【答案】平均每筐蘋果重29.95千克

【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，有理數(shù)四則運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，利用有理數(shù)的加法得出與標(biāo)準(zhǔn)的差是解題

關(guān)鍵.根據(jù)有理數(shù)的加法，可得與標(biāo)準(zhǔn)的差，根據(jù)有理數(shù)的除法，可得平均數(shù).

【詳解】解：30+[2+(-4)+2.5+1+(-1)+(-0.5)+3+(-1)+0+(-2.5)]^10

=30+(-0.05)

=29.95(千克)

答:平均每筐蘋果重29.95千克.

【變式2-4](23-24七年級(jí)上?四川達(dá)州?期中)某檢修小組乘一輛汽車沿檢修路約定向東走為正，某天從

/地出發(fā)到收工時(shí)行走記錄(單位：km):+15,—2,+5,—1,+10,—3,—2,+12,+4,—5,+6,

求：

(1)問(wèn)收工時(shí)檢修小組在工,地的哪一邊，距工地多遠(yuǎn)？

(2)若每千米汽車耗油3升，開工時(shí)儲(chǔ)存180升汽油，回到收工時(shí)中途是否需要加油？若加油，最少加多少

升？若不需要加油，到收工時(shí)還剩多少升汽油？

【答案】(1)收工時(shí)在A地的正東方向，距A地39km.

(2)故到收工時(shí)中途需要加油，加油量為15升.

【分析】解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量.在一對(duì)具有相反意義

的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示.

(1)求出這幾個(gè)數(shù)的和，根據(jù)結(jié)果的符號(hào)確定方向，絕對(duì)值確定距離；

(2)計(jì)算行駛的總路程和耗油量，比較得出答案.

【詳解】(1)根據(jù)題意可得：向東走為“+”，向西走為“一”；

則收工時(shí)距離等于(+15)+(-2)+(+5)+(-1)+(+10)+(-3)+(-2)+(+12)+(+4)+(-5)+(+6)=+39.

故收工時(shí)在A地的正東方向，距A地39km.

(2)從A地出發(fā)到收工時(shí)，

汽車共走了|+15[+—2]+[+5]+|T+|+10[+|-3]+|-2|+|+12[+|+4]+[-5]+|+6]=65km；

從A地出發(fā)到收工時(shí)耗油量為65x3=195(升).

故到收工時(shí)中途需要加油，加油量為195-180=15升

【考點(diǎn)題型三】科學(xué)計(jì)數(shù)法

【例3】(23-24七年級(jí)上?云南曲靖?期中)連接?？?、文昌兩市的跨海大橋，近日獲國(guó)家發(fā)改委批準(zhǔn)建

設(shè)，該橋估計(jì)總投資1460000000.數(shù)據(jù)1460000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)是()

A.146xl07B.1.46xl09C.1.46xlO10D.0.146x10Kl

【答案】B

【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中"為整數(shù).確

定力的值時(shí)，要看把原來(lái)的數(shù)，變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，"的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，"是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，"是負(fù)數(shù)，確定。與"的值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：1460000000=1.46x109.

故選：B

【變式3-1](23-24七年級(jí)上?江蘇徐州?期中)高鐵深受市民喜愛(ài)，客流量逐年遞增，2023年，某地高鐵

客流量再創(chuàng)新高，日最高客流68300000人次，數(shù)字68300000用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.0.683xlO9B.6.83xl07C.68.3x10sD.68.3xlO7

【答案】B

【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中〃為

整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中10al<10,〃為整數(shù).確定力的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。

時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，"的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.

【詳解】解：數(shù)字68300000用科學(xué)記數(shù)法表示為6.83x107.

故選：B

【變式3-2］（23-24七年級(jí)上?河南商丘?期中）在網(wǎng)絡(luò)上用“Baidu”搜索引擎搜索“中國(guó)夢(mèng)”，能搜索到與之

相關(guān)的結(jié)果個(gè)數(shù)約為1030000,這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】1.03xl06

【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，將數(shù)據(jù)表示成形式為ax10"的形式，其中〃為整數(shù)，正

確確定a、〃的值是解題的關(guān)鍵.

將1030000寫成axlO"其中〃為整數(shù)的形式即可.

【詳解】解：1030000=1.03x106.

故答案為L(zhǎng)03xl（）6

【變式3-3］（23-24七年級(jí)上?遼寧丹東?期中）赤道半徑為6378200米，用科學(xué)記數(shù)法表示為一米.

【答案】6.3782xlO6

【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義.

科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為axlO”的形式，其中1<H<10,〃為整數(shù)，確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。

時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，〃是正

數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)"是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案.

【詳解】解:6378200=6.3782xlO6

故答案為：6.3782x10s

【變式3-4］（23-24七年級(jí)上?湖北鄂州?期中）太和鎮(zhèn)上洪村小瑩家今年種植的黃桃獲得大豐收.一位客

戶來(lái)買了10箱黃桃，小瑩幫助爸爸記賬，每箱黃桃的標(biāo)準(zhǔn)重量為10千克，超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)重量的部分記為

“+"，不足標(biāo)準(zhǔn)重量的部分記為瑩瑩的記錄如下（單位：千克）：+0.05,+0,15,-0.05,+0.1,

—0.2,+0.3,—0.2,0,+0.05,—0.15.

（1）計(jì)算這10箱黃桃的總重量為多少千克？

（2）如果黃桃的價(jià)格為20元/千克，計(jì)算瑩瑩家出售這10箱黃桃共收入多少元？（精確到十位，用科學(xué)記

數(shù)法表示）

(3)若都用這種紙箱裝，瑩瑩家的黃桃共能裝500箱，按照20元/千克的價(jià)格，把黃桃全部出售，瑩瑩家大

約能收入多少元？(精確到萬(wàn)位，用科學(xué)記數(shù)法表示)

【答案】(1)100.02千克

(2)2.00*1()3元

(3)1.0x105元

【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用；

(1)根據(jù)題意列出算式，進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)黃桃的價(jià)格為20元/千克，列出算式計(jì)算即可；

(3)根據(jù)瑩瑩家的黃桃共能裝500箱，按照20元/千克的價(jià)格，把黃桃全部出售，列式求出結(jié)果即可；

解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式.

【詳解】(1)解：+0.05+0.15-0.05+0.1-0.2+0.3-0.2+0+0.05-0.15=0.05(千克)

10x10+0.05=100.05(千克)

???這10箱黃桃的總重量為100.05千克.

(2)解：20xl00.05=2001~2.00xl03(元)，

???瑩瑩家出售這10箱黃桃共收入大約2.00x103元.

(3)解：2001-10x500=100050-l.OxlO5(元)，

答：瑩瑩家大約能收入10x10'元.

【考點(diǎn)題型四】近似數(shù)

【例4】(23-24七年級(jí)上?廣東汕頭?期中)用四舍五入法得到的近似數(shù)0.270,其準(zhǔn)確數(shù)。的范圍是

()

A.0.2695<?<0.2075B.0.265<a<0.275

C.0,27<a<0,28D.0.2695<a<0.2075

【答案】D

【分析】本題考查了近似數(shù)，熟練掌握近似數(shù)的確定方法是解題關(guān)鍵.近似數(shù)精確到哪一位，是對(duì)下一位

的數(shù)字進(jìn)行四舍五入得到的，由于。的近似值為0.270,則由四舍五入近似可得。的取值范圍，即看萬(wàn)分位

上的數(shù).

【詳解】解：由題意得，當(dāng)。滿足0.26954a<0.2075時(shí),得到的近似數(shù)為0.270.

故選：D.

【變式4-1](22-23七年級(jí)上?浙江?期中)把。精確到十分位的近似數(shù)是23.6,貝ija的取值范圍是()

A.23,55<a<23.65B.23,55<<7<23,65

C.23.55<a<23,64D.23.54<a<23.65

【答案】B

【分析】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：經(jīng)過(guò)四舍五入得到的數(shù)叫近似數(shù)；從一個(gè)近似數(shù)左邊第一個(gè)不為

0的數(shù)數(shù)起到這個(gè)數(shù)完為止，所有數(shù)字都叫這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字.根據(jù)近似數(shù)的精確度求解.

【詳解】解：近似數(shù)x精確到十分位是236則x的取值范圍為23.55Wa<23.65.

故選：B

【變式4-2]（23-24七年級(jí)上?吉林?期中）用四舍五入法取近似值：23.618。（精確到百分位）.

【答案】23.62

【分析】本題考查近似數(shù)和有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字

都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字.近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示.一般有，精確到哪一位，保留

幾個(gè)有效數(shù)字等說(shuō)法.把千分上的數(shù)字8進(jìn)行四舍五入即可.正確理解近似數(shù)和有效數(shù)字是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：用四舍五入法取近似值：23.618^23.62（精確到百分位）.

故答案為：23.62

【變式4-3]（22-23七年級(jí)上?河南平頂山?期中）8位裁判給一位運(yùn)動(dòng)員打分，每個(gè)人給的分?jǐn)?shù)都是整

數(shù)，去掉一個(gè)最高分，再去掉一個(gè)最低分，其余得分的平均數(shù)為該運(yùn)動(dòng)員的得分.若用四舍五入取近似值

的方法精確到十分位，該運(yùn)動(dòng)員得8.3分，如果精確到百分位，該運(yùn)動(dòng)員得分應(yīng)當(dāng)是分.

【答案】8.33

【分析】本題考查平均數(shù)的計(jì)算及四舍五入取近似值的運(yùn)用，讀懂題意，按要求逐步計(jì)算即可得到答案，

熟練掌握平均數(shù)的計(jì)算方法，理解四舍五入取近似值方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)該運(yùn)動(dòng)員的實(shí)際得分為x,

用四舍五入取近似值的方法精確到一位小數(shù)能得到8.3,則8.25Wx<8.35,

8位裁判去掉最高和最低得分后，實(shí)際取值就是6個(gè)人的分?jǐn)?shù)，

???該運(yùn)動(dòng)員的有效總得分為6x,其范圍是8.25x6=49,5<6x<50.1=8.35x6,

???每位裁判給的分?jǐn)?shù)都是整數(shù)，則得分總和也是整數(shù)，

???在49.5和50.1之間只有50是整數(shù),即該運(yùn)動(dòng)員的有效總得分是50分，則50+6。8.3333,精確到兩位

小數(shù)就是8.33,

故答案為：8.33

【變式4-4]（22-23七年級(jí)上?湖北武漢?期中）如圖，是一所住宅的建筑平面圖（圖中長(zhǎng)度單位：m）

（1）用式子表示這所住宅的建筑面積；

⑵若武漢今年10月的房?jī)r(jià)均價(jià)約為16183元/n?,求當(dāng)圖中的x=8時(shí)，住戶買此房產(chǎn)的總房?jī)r(jià).（計(jì)算

結(jié)果四舍五入到萬(wàn)位）

【答案】（l）/+2x+18,

（2）159萬(wàn)元.

【分析】（1）把四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積合并起來(lái)即可；

（2）把x=8代入（1）中的代數(shù)式求得答案，再按要求取近似值即可.

【詳解】（1）解：住宅的建筑面積為：2x+尤2+3x2+3*4=/+2尤+18;

（2）當(dāng)x=8時(shí)，

住宅的建筑面積有無(wú)2+2X+18=82+2X8+18=98.

.??住戶買此房產(chǎn)的總房?jī)r(jià)16183x98=1585934,159（萬(wàn)元）.

【點(diǎn)睛】此題考查列代數(shù)式，求解代數(shù)式的值，近似數(shù)的含義，理解題意，利用面積公式列出代數(shù)式是解

決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)題型五】數(shù)形結(jié)合思想

【例5】（22-23七年級(jí)上?重慶?期中）數(shù)軸上°,6兩數(shù)如圖所示，則下面說(shuō)法正確的是（）

---!-11A

b0a

A.Q+6V0B.a-b<0C.—<0D.ab>0

b

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸可知：b<Q<a,且用<同，根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：“〈Ova,且。|<同，

,?a+b>0,故A不正確，不符合題意；

故B不正確，不符合題意;

故C正確，符合題意；

b

.-.ab<0,故D不正確，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)軸比較大小以及有理數(shù)的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩數(shù)相乘

(除)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)；同號(hào)兩數(shù)相加，取它們相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加，異號(hào)兩數(shù)相加，取

絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，并把絕對(duì)值相減；減去一個(gè)數(shù)等于加上它的相反數(shù).

【變式5-1](22-23七年級(jí)上?福建泉州?期中)有理數(shù)0,6、c在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，有

下列四個(gè)結(jié)論：

①(a+b)(b+c)(什a)>0；@b<b2<-；③-加;(4)\a-b\-\c-a\+\b-c\-\a\=a.其中正確的

b

結(jié)論有()個(gè).

abc

―II______________________I__________I_________I_______I____________

-101

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸上各數(shù)的位置得出a<-l<O<b<c<l,依此即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由數(shù)軸上。、氏c的位置關(guān)系可知：

①a<0<6<c,

■■■a+b<0,b+c>0,c+a<0,

；.(a+6)(b+c)(c+a)>0,故①正確；

②丫0<6<1,

.-.b2<b,b<-,

b

.-.b2<b<~,故②錯(cuò)誤；

b

③1,1-be<1,

：.\a\>l-bc；故③錯(cuò)誤；

④??,a<b,c>a,c>b,a<0,

：.a-b<0,c-a>0,b-c<0,

—b]一-+—c]—=6—Q—(c—Q)+(C—6)—(一〃)=b—ci—c-\-ct-\-c—b-\-ci=a.故TF確.

故正確的結(jié)論有①④，一共2個(gè).

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、絕對(duì)值和有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的乘法法則，乘方運(yùn)算等知識(shí)；弄清數(shù)軸

上各數(shù)的大小是解決問(wèn)題的關(guān)鍵

【變式5-2］（22-23七年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）有理數(shù)a,6在數(shù)軸上表示如下圖：則下列結(jié)論正確的

有（填序號(hào)）.

①a+b>0,（2）a—b>0,③同<6,（4）—b>a,⑤<0,⑥a+6=-（同一碼）

------1-------1-?------------------?

a0b

【答案】④⑤⑥

【分析】由數(shù)軸可知a<0<6,且同>0|,再根據(jù)選項(xiàng)分別判斷即可.

【詳解】解：由數(shù)軸可知a<O<b,且同>。|,

???a+b<0,a-b<0,

故①②不正確；

???同〉問(wèn)=b,

>b,

故③不正確；

,.?同〉網(wǎng),

???-a>b,

???-b>a,

故④正確；

-a>b>0,

*<?—a+6〉0,

<0,

故⑤正確；

?.?一（時(shí)一網(wǎng)）=_（_Q-6）=Q+6,

???故⑥正確；

故答案為：④⑤⑥.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸與有理數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，絕對(duì)值的性質(zhì)，加減法的法則、乘除法的法

則是解題的關(guān)鍵

【變式5-3](23-24七年級(jí)上?山東臨沂?期中)一名外賣員騎電動(dòng)車從飯店出發(fā)送外賣，向西走了2千米

到達(dá)小琪家，然后又向東走了4千米到達(dá)小莉家，繼續(xù)向東走了3.5千米到達(dá)小剛家，最后回到飯店.以

飯店為原點(diǎn)，以向東的方向?yàn)檎较?，用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示1千米，點(diǎn)O,A,B,C分別表示飯店，小莉

家，小剛家，小琪家.

(1)請(qǐng)你在數(shù)軸上表示出點(diǎn)O,A,B,C的位置；

(2)小剛家距小琪家多遠(yuǎn)？

(3)小琪步行到小剛家，每小時(shí)走4千米：小剛步行到小琪家，每小時(shí)走6千米，若兩個(gè)人同時(shí)分別從自己

家出發(fā)，則相遇時(shí)距離小莉家多遠(yuǎn).

【答案】(1)見解析

(2)小剛家距小琪家7.5千米

(3)兩個(gè)人相遇之時(shí)距小莉家1千米

【分析】本題考查了相反意義的量，兩點(diǎn)間的距離，有理數(shù)加減的運(yùn)算應(yīng)用.

(1)根據(jù)相反意義的量，結(jié)合距離描述在數(shù)軸上即可.

(2)根據(jù)題意，得％=-2,盯=2,馬=5.5,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可.

(3)根據(jù)題意，得相遇時(shí)間為7.5+(4+6)=0.75(小時(shí))，再計(jì)算小琪運(yùn)動(dòng)后的位置，再利用兩點(diǎn)間的距離

計(jì)算與/的距離即可.

【詳解】(1)根據(jù)題意，點(diǎn)。，A,B,C的位置如圖所示：

COAB

I'I.I■II1.1

-3-2-101234567

(2)根據(jù)題意，得％=-2,XA=2,XB=5.5,

BC=xB—xc=5.5—(—2)=7.5(千米)，

答：小剛家距小琪家7.5千米.

(3)?.,8C=XB-XC=5.5-(-2)=7.5千米，小琪步每小時(shí)走4千米：小剛每小時(shí)走6千米，

二兩人相遇時(shí)間為7.5+(4+6)=0.75(小時(shí))，

???0.75x4=3(千米)，

???小琪相遇時(shí)的位置是一2+3=1(千米)，

1?1X/=2,

兩點(diǎn)間的距離是2-1=1(千米)，

故兩個(gè)人相遇之時(shí)距小莉家1千米

【變式5-4](22-23七年級(jí)上?陜西西安?期中)如圖一根木棒放在數(shù)軸上，數(shù)軸的1個(gè)單位長(zhǎng)度為1cm,

木棒的左端與數(shù)軸上的點(diǎn)A重合，右端與點(diǎn)B重合.

,,II,,

064324

(1)若將木棒沿?cái)?shù)軸向右水平移動(dòng)，則當(dāng)它的左端移動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，它的右端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為24,則

當(dāng)它的右端移動(dòng)到點(diǎn)/時(shí)，則它的左端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為6,求木棒的長(zhǎng)度；

(2)圖中點(diǎn)/所表示的數(shù)是_；

(3)由題(1)(2)的啟發(fā)，請(qǐng)你借助“數(shù)軸”這個(gè)工具幫助媛媛解決下列問(wèn)題：

一天，媛媛去問(wèn)曾當(dāng)過(guò)數(shù)學(xué)老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g，爺爺說(shuō)：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40

年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)125歲，哈哈！”，請(qǐng)問(wèn)爺爺現(xiàn)在多少歲了？

【答案】(1)6厘米

⑵12

(3)70歲

【分析】(1)由數(shù)軸觀察知三根木棒長(zhǎng)是24-6=18厘米，即可求出木棒的長(zhǎng)度.

(2)根據(jù)木棒長(zhǎng)度，將木棒沿?cái)?shù)軸水平向左移動(dòng)到/點(diǎn)時(shí)，則它右端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的為木棒的長(zhǎng)度即

可求出/所表示的數(shù).

(3)在求爺爺?shù)哪挲g時(shí)，借助數(shù)軸，把小紅與爺爺?shù)哪挲g差看作木棒/以類似爺爺比小紅大時(shí)看作點(diǎn)/

移動(dòng)到點(diǎn)8,此時(shí)8所對(duì)應(yīng)的數(shù)為-40,小紅比爺爺大時(shí)看作3點(diǎn)移動(dòng)到4點(diǎn)時(shí)，此時(shí)/點(diǎn)數(shù)為125,所以

可知爺爺比小紅大[125-(-40)[+3=55,可知爺爺?shù)哪挲g.

【詳解】(1)由數(shù)軸觀察知三根木棒長(zhǎng)是24-6=18厘米，則此木棒的長(zhǎng)為：18+3=6厘米，

故答案為6厘米.

(2)因?yàn)槟景糸L(zhǎng)6厘米，將木棒沿?cái)?shù)軸向左水平運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)它的右端移動(dòng)到/點(diǎn)時(shí)，則它的右端數(shù)軸上

所對(duì)應(yīng)的數(shù)為12,

故答案為12.

(3)借助數(shù)軸，把小紅與爺爺?shù)哪挲g看作42的長(zhǎng)度，類似爺爺比小紅大時(shí)看作點(diǎn)”移動(dòng)到點(diǎn)2,此時(shí)2

所對(duì)應(yīng)的數(shù)為-40,小紅比爺爺大時(shí)看作2點(diǎn)移動(dòng)到/點(diǎn)時(shí)，此時(shí)/點(diǎn)數(shù)為125,所以可知爺爺比小紅大

[125-(-40)]3=55,可知爺爺?shù)哪挲g為125-55=70(歲)，

故爺爺?shù)哪挲g為70歲.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是把爺爺與小紅的年齡差看作一個(gè)整體（木棒/8）,然后把

此轉(zhuǎn)化為上一題的問(wèn)題.

【考點(diǎn)題型六】分類討論思想

【例6】（22-23七年級(jí)上?山東聊城?期中）已知忖=5,回=2,且x+y<0,則的值等于（）

A.7和-7B.7C.-7D.以上答案都不對(duì)

【答案】D

【分析】此題主要考查了有理數(shù)的加減法以及絕對(duì)值正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵；直接利用絕對(duì)值的性

質(zhì)以及有理數(shù)的加法分類討論得出答案.

【詳解】:國(guó)=5,|引=2,且x+y<0,

x=-5/=-2或x=-5/=2,

??.％7=_3或—7,

故選：D

【變式6-1]（23-24七年級(jí)上?江蘇徐州?期中）對(duì)于有理數(shù)x,y,若孫<0,則放+/+4的值是

（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】B

【分析】本題考查絕對(duì)值的計(jì)算，正確確定x,y的正負(fù)號(hào)，求出絕對(duì)值后化簡(jiǎn)是求解本題的關(guān)鍵.先判斷

絕對(duì)值里面的代數(shù)式的正負(fù)再計(jì)算.

【詳解】解：?.,孫<0,

??X,y異號(hào).

當(dāng)x>0,丁<0時(shí)，則占+友+上=-1+1-1=-1;

網(wǎng)同y

當(dāng)x<0,y〉o時(shí)，貝!J呂+a+'=_i_i+i=T；

網(wǎng)國(guó)y

綜上，苫+吉+忸的值是-1.

故選:B.

【變式6-2]（23-24七年級(jí)上?江西南昌?期中）已知整數(shù)a,6滿足a=-4,。+6<0,。6<0,則

a_

~b~----------.

4

【答案】-4或-2或-§

【分析】本題主要查了有理數(shù)的加法，乘除運(yùn)算.根據(jù)有理數(shù)的乘法可得6異號(hào)，從而得到b取正整

數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算可得b取1,2,3,即可求解.

【詳解】解：,.?仍<0,

'-a,b異號(hào)，

"=-4,a,b為整數(shù)，

??.b取正整數(shù)，

a+b<0,

.4取1,2,3,

@=-4或-2或--.

b3

_4

故答案為：-4或-2或一3

【變式6-3](23-24七年級(jí)上?山東濰坊?期中)如圖1,點(diǎn)A,B,C是數(shù)軸上從左到右排列的三個(gè)點(diǎn)，

分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為-7,b,2.某同學(xué)將刻度尺按如圖2所示的方式放置，使刻度尺上的數(shù)字0對(duì)齊數(shù)軸上

的點(diǎn)A,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B對(duì)齊刻度2.1cm,點(diǎn)C對(duì)齊刻度6.3cm.

A?H?C??

7b2

圖1

AB(

?T?.A

0Icm234567

圖2

⑴在圖1的數(shù)軸上，AC=個(gè)單位長(zhǎng)度；在圖2中，AC=cm；數(shù)軸上的一個(gè)單位長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)刻

度尺上的cm,在數(shù)軸上點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)6=.

(2)在圖2的數(shù)軸上標(biāo)出下列數(shù)字：-3,0