滬科版九年級數(shù)學上冊期末復習考點 專題02 反比例函數(shù)（6個考點清單+9種題型解讀）

專題02反比例函數(shù)（6個考點清單+9種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點題型一】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù) 4【考點題型二】判斷點是否在反比例函數(shù)上 6【考點題型三】已知雙曲線發(fā)布的象限求參數(shù)范圍 8【考點題型四】判斷反比例函數(shù)的增減性 10【考點題型五】反比例函數(shù)的圖象和性質 11【考點題型六】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小 14【考點題型七】一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷 15【考點題型八】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題 19【考點題型九】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達式 23【知識點01】反比例函數(shù)的概念1）反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)．2）反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的自變量x的取值范圍是不等于0的任意實數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍也是非零實數(shù)．【知識點02】反比例函數(shù)的圖象和性質1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸．2）性質：當k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。攌<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大【知識點03】反比例函數(shù)圖象的對稱性反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=x和y=-x，對稱中心為原點．注：1）畫反比例函數(shù)圖象應多取一些點，描點越多，圖象越準確，連線時，要注意用平滑的曲線連接各點．2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標軸靠近，但永遠不與坐標軸相交，因為反比例函數(shù)中x≠0且y≠0．3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當k>0時，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當k>0時，y隨x的增大而減小．同樣，當k<0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．【知識點04】反比例函數(shù)解析式的確定1．待定系數(shù)：確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟1）設反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關于待定系數(shù)k的方程；3）解這個方程求出待定系數(shù)k；4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設的函數(shù)解析式．【知識點05】反比例函數(shù)中|k|的幾何意義1．反比例函數(shù)圖象中有關圖形的面積2．涉及三角形的面積型當一次函數(shù)與反比例函數(shù)結合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．【知識點06】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1．涉及自變量取值范圍型當一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩解析式，構造方程組，然后求出交點坐標。針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應的x的范圍.例如，如下圖，當時，x的取值范圍為或；同理，當時，x的取值范圍為或．2．求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定.①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；②k值異號，兩個函數(shù)可能無交點，可能有一個交點，也可能有兩個交點；2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況七、反比例函數(shù)的實際應用解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．【考點題型一】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù)【例1】（23-24九年級上·四川達州·期末）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【變式1-1】（23-24七年級下·山東·期末）下列函數(shù)中，是關于的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（23-24九年級上·四川成都·期末）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（23-24九年級上·重慶渝中·期末）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【考點題型二】判斷點是否在反比例函數(shù)上【例2】（23-24八年級下·河北張家口·期末）反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24九年級上·湖南湘潭·期末）已知反比例函數(shù)，則下列各點中，在這個反比例圖象上的是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24九年級上·安徽·期末）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么該反比例函數(shù)圖象也一定經(jīng)過點（

）A． B． C． D．【變式2-3】（23-24九年級上·湖南郴州·期末）如果點在反比例函數(shù)的圖象上，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B． C．2 D．【考點題型三】已知雙曲線發(fā)布的象限求參數(shù)范圍【例3】（23-24九年級上·河北秦皇島·期末）如圖是反比例函數(shù)的圖像，寫出一個符合要求的整數(shù)的值是．【變式3-1】（23-24八年級上·上海普陀·期末）如果反比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖像位于第二、四象限，那么．（只需寫一個數(shù)值）【變式3-2】（23-24九年級上·河南·期末）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，寫出一個符合條件的的整數(shù)值．【變式3-3】（23-24九年級上·寧夏銀川·期末）若反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，則k的取值范圍是．【考點題型四】判斷反比例函數(shù)的增減性【例4】（23-24九年級上·湖北襄陽·期末）反比例函數(shù)的圖象，當時，隨的增大而．【變式4-1】（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）已知反比例函數(shù)的圖象在同一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則n的取值范圍是．【變式4-2】（23-24八年級上·上海浦東新·期末）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么當，這個函數(shù)中的函數(shù)值隨自變量值的增大而．（填寫“增大”或“減小”）【考點題型五】反比例函數(shù)的圖象和性質【例5】（23-24八年級下·浙江紹興·期末）對于反比例函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．圖象經(jīng)過點B．圖象關于直線對稱C．圖象位于第二、四象限D．在每一個象限內(nèi)，y隨著x的增大而增大【變式5-1】（23-24九年級上·湖南婁底·期末）關于反比例函數(shù)的圖象和性質，下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)圖象經(jīng)過點?3,2 B．函數(shù)圖象在第二、四象限C．比例系數(shù)是 D．當時，隨的增大而減小【變式5-2】（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，則以下說法錯誤的是（

）A． B．圖象也經(jīng)過點B2,1C．若時，則 D．，y隨x的增大而減小【變式5-3】（23-24九年級上·廣東深圳·期末）關于反比例函數(shù)，點在它的圖像上，下列說法中錯誤的是（

）A．當時，y隨x的增大而增大 B．圖象位于第二、四象限C．點和都在該圖像上 D．當時，【考點題型六】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【例6】（24-25九年級上·江蘇南通·期末）若點，，在該反比例函數(shù)的圖象上，則a，b，c的大小關系是（用“”連接）．【變式6-1】（23-24八年級下·江蘇宿遷·期末）在平面直角坐標系中，若點在反比例函數(shù)的圖象上，則（填“”“<”或“”）．【變式6-2】（23-24九年級上·河南許昌·期末）已知反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限，點在該反比例函數(shù)圖象上，則．（填“>”“<”或“=”）【變式6-3】（22-23九年級上·河南鄭州·期末）若點，，都在反比例函數(shù)（為常數(shù)）的圖象上，則，，的大小關系為（用“”連接）【考點題型七】一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷【例7】（23-24八年級下·四川宜賓·期末）一次函數(shù)與反比例函數(shù)（為常數(shù)且均不等于）．在同一坐標系內(nèi)的圖象可能是（

）A． B． C． D．【變式7-1】（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖像可能是（

）A．B．C． D．【變式7-2】（23-24九年級上·安徽六安·期末）二次函數(shù)的圖形如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖像大致為（）A．B．C． D．【變式7-3】（2024·河南南陽·一模）若反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A．B．C． D．【考點題型八】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【例8】（24-25九年級上·浙江紹興·期末）在平面直角坐標系中，點是直線與雙曲線的其中一個交點，則（

）A． B． C． D．【變式8-1】（24-25九年級上·全國·期末）如圖，雙曲線與直線交于點M，N，并且點M坐標為，點N坐標為，根據(jù)圖象信息可得關于不等式的解為（）A． B．C． D．或【變式8-2】（23-24九年級上·四川綿陽·期末）已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個交點坐標為，則不等式的解集為（

）A．或 B．或C． D．或【變式8-3】（23-24八年級下·江蘇南京·期末）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)在第一象限的圖像交于和兩點，與x軸交于點C，下列說法：①反比例函數(shù)的關系式；②根據(jù)圖像，當時，x的取值范圍為或；③若點P在x軸上，且，點P的坐標．其中所有正確結論的序號是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考點題型九】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達式【例9】（23-24九年級上·山東德州·期末）如圖，點在第一象限，軸，垂足為，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點，與交于點．(1)求值；(2)求的面積．【變式9-1】（23-24九年級上·山東濟南·期末）如圖，一次函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限相交于C點，作軸于D點，若，，．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)的面積為________．【變式9-2】（23-24九年級上·四川達州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點A，B，點B的坐標為，連接，，過點B作軸于點D，交于點C，且．

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；(2)求的面積．【變式9-3】（23-24九年級上·四川綿陽·期末）如圖，點在第一象限，且在反比例函數(shù)的圖象上，點是點關于軸的對稱點，的面積是4．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)若點的橫坐標為1，延長交反比例函數(shù)的圖象于點，連接，點在反比例函數(shù)圖象上，滿足的面積等于的面積，求直線的解析式．【變式9-4】（23-24八年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)在第二象限的圖象交于點，與x軸交于點B，連結并延長交這個反比例函數(shù)第四象限的圖象于點C．(1)求這個反比例函數(shù)的表達式．(2)求的面積．(3)當直線對應的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值時，直接寫出x的取值范圍．

專題02反比例函數(shù)（6個考點清單+9種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點題型一】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù) 4【考點題型二】判斷點是否在反比例函數(shù)上 6【考點題型三】已知雙曲線發(fā)布的象限求參數(shù)范圍 8【考點題型四】判斷反比例函數(shù)的增減性 10【考點題型五】反比例函數(shù)的圖象和性質 11【考點題型六】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小 14【考點題型七】一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷 15【考點題型八】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題 19【考點題型九】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達式 23【知識點01】反比例函數(shù)的概念1）反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)．2）反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的自變量x的取值范圍是不等于0的任意實數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍也是非零實數(shù)．【知識點02】反比例函數(shù)的圖象和性質1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸．2）性質：當k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。攌<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大【知識點03】反比例函數(shù)圖象的對稱性反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=x和y=-x，對稱中心為原點．注：1）畫反比例函數(shù)圖象應多取一些點，描點越多，圖象越準確，連線時，要注意用平滑的曲線連接各點．2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標軸靠近，但永遠不與坐標軸相交，因為反比例函數(shù)中x≠0且y≠0．3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當k>0時，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當k>0時，y隨x的增大而減小．同樣，當k<0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．【知識點04】反比例函數(shù)解析式的確定1．待定系數(shù)：確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟1）設反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關于待定系數(shù)k的方程；3）解這個方程求出待定系數(shù)k；4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設的函數(shù)解析式．【知識點05】反比例函數(shù)中|k|的幾何意義1．反比例函數(shù)圖象中有關圖形的面積2．涉及三角形的面積型當一次函數(shù)與反比例函數(shù)結合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．【知識點06】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1．涉及自變量取值范圍型當一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩解析式，構造方程組，然后求出交點坐標。針對時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應的x的范圍.例如，如下圖，當時，x的取值范圍為或；同理，當時，x的取值范圍為或．2．求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定.①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點；②k值異號，兩個函數(shù)可能無交點，可能有一個交點，也可能有兩個交點；2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況七、反比例函數(shù)的實際應用解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．【考點題型一】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù)【例1】（23-24九年級上·四川達州·期末）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】D【知識點】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù)【分析】本題考查了反比例函數(shù)，根據(jù)反比例函數(shù)的定義：一般地，形如或（是常數(shù)，）的函數(shù)叫做是的反比例函數(shù)，逐項判斷即可得．熟記定義是解題關鍵．【詳解】解：A、是正比例函數(shù)，則此項不符題意；B、叫做是的反比例函數(shù)，則此項不符題意；C、是正比例函數(shù)，則此項不符題意；D、是反比例函數(shù)，則此項符合題意；故選：D．【變式1-1】（23-24七年級下·山東·期末）下列函數(shù)中，是關于的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù)【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義，進行判斷作答即可．【詳解】解：A．不是關于x的正比例函數(shù)，故A錯誤；B．是關于x的反比例函數(shù)，故B正確；C．不是關于x的反比例函數(shù)，故C錯誤；D．不是關于x的反比例函數(shù)，D錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義,熟練掌握形如(k為常數(shù)且)的函數(shù)是反比例函數(shù)是解題的關鍵．【變式1-2】（23-24九年級上·四川成都·期末）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義，一般地，形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，據(jù)此可得答案．【詳解】解：A、，y是的反比例函數(shù)，不符合題意；B、，，y是x的反比例函數(shù)，符合題意；C、，y不是x的反比例函數(shù)，不符合題意；D、，y不是x的反比例函數(shù)，不符合題意；故選：B．【變式1-3】（23-24九年級上·重慶渝中·期末）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù)【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義，根據(jù)“一般地，形如()的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)”逐項判斷即可．【詳解】解：A、是一次函數(shù)，不符合題意；B、是一次函數(shù)，不符合題意；C、是反比例函數(shù)，符合題意；D、不符合反比例函數(shù)的形式，不是反比例函數(shù)，不符合題意．故選：C．【考點題型二】判斷點是否在反比例函數(shù)上【例2】（23-24八年級下·河北張家口·期末）反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過的點是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】判斷（畫）反比例函數(shù)圖象、求反比例函數(shù)值【分析】本題考查了求反比例函數(shù)值．熟練掌握求反比例函數(shù)值是解題的關鍵．分別將各選項的點坐標的橫坐標代入，求縱坐標，然后判斷作答即可．【詳解】解：當時，，圖象一定經(jīng)過，故A符合要求；當時，，圖象不經(jīng)過，故B不符合要求；當時，，圖象不經(jīng)過，故C不符合要求；當時，，圖象不經(jīng)過，故D不符合要求；故選：A．【變式2-1】（23-24九年級上·湖南湘潭·期末）已知反比例函數(shù)，則下列各點中，在這個反比例圖象上的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求反比例函數(shù)值【分析】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據(jù)，得，所以只要點的橫坐標與縱坐標的積等于，就在函數(shù)圖象上．【詳解】解：A、，故不在函數(shù)圖象上，不合題意；B、，故在函數(shù)圖象上，符合題意；C、，故不在函數(shù)圖象上，不合題意；D、，故不在函數(shù)圖象上，不合題意；故選：B．【變式2-2】（23-24九年級上·安徽·期末）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么該反比例函數(shù)圖象也一定經(jīng)過點（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】求反比例函數(shù)值、求反比例函數(shù)解析式【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象的性質，先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式為，再由反比例函數(shù)圖象的性質得到在反比例函數(shù)的圖象上的點橫縱坐標的乘積一定為，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，∵反比例函數(shù)圖象上的點橫縱坐標一定滿足其解析式，∴在反比例函數(shù)的圖象上的點橫縱坐標的乘積一定為，A、，該點不在反比例函數(shù)的圖象上，不符合題意；B、，該點不在反比例函數(shù)的圖象上，不符合題意；C、，該點在反比例函數(shù)的圖象上，符合題意；D、，該點不在反比例函數(shù)的圖象上，不符合題意；故選：C．【變式2-3】（23-24九年級上·湖南郴州·期末）如果點在反比例函數(shù)的圖象上，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B． C．2 D．【答案】D【知識點】求反比例函數(shù)值【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的性質，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點一定滿足其解析式得到，進而推出，據(jù)此代值計算即可．【詳解】解：∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴，故選D．【考點題型三】已知雙曲線發(fā)布的象限求參數(shù)范圍【例3】（23-24九年級上·河北秦皇島·期末）如圖是反比例函數(shù)的圖像，寫出一個符合要求的整數(shù)的值是．【答案】1（或2或3）【知識點】已知雙曲線分布的象限，求參數(shù)范圍【分析】本題主要考查反比例函數(shù)圖像的性質：（1）時，圖像是位于一、三象限；（2）時，圖像是位于二、四象限．反比例函數(shù)是常數(shù)，的圖像在第一象限，則，再根據(jù)反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，找出符合上述條件的的一個值即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖像在一象限，，又∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點時，．，∴的值可以是1．故答案為：1．【變式3-1】（23-24八年級上·上海普陀·期末）如果反比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖像位于第二、四象限，那么．（只需寫一個數(shù)值）【答案】【知識點】已知雙曲線分布的象限，求參數(shù)范圍【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質，掌握反比例函數(shù)的性質是解題的關鍵．根據(jù)“反比例函數(shù)，當時，函數(shù)過一、三象限，當時，函數(shù)過二、四象限”，即可解答．【詳解】解：反比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖像位于第二、四象限，，，故答案為：．【變式3-2】（23-24九年級上·河南·期末）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，寫出一個符合條件的的整數(shù)值．【答案】（答案不唯一）【知識點】已知雙曲線分布的象限，求參數(shù)范圍【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，則有，求出即可，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質及其應用．【詳解】∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，∴，解得：，則只要滿足條件即可，故答案為：（答案不唯一）．【變式3-3】（23-24九年級上·寧夏銀川·期末）若反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，則k的取值范圍是．【答案】【知識點】已知雙曲線分布的象限，求參數(shù)范圍【分析】本題考查了已知雙曲線分布的象限，求參數(shù)范圍．對于反比例函數(shù)，當時，圖象經(jīng)過一、三象限；當時，圖象經(jīng)過二、四象限；據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得：，∴故答案為：【考點題型四】判斷反比例函數(shù)的增減性【例4】（23-24九年級上·湖北襄陽·期末）反比例函數(shù)的圖象，當時，隨的增大而．【答案】減小【知識點】判斷反比例函數(shù)的增減性【分析】根據(jù)反比例函數(shù)解析式及反比例函數(shù)的性質即可解答．本題考查的是反比例函數(shù)的性質，熟知反比例函數(shù)中，當時，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)隨的增大而減小是解答此題的關鍵．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的解析式為，∴，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)隨的增大而減小，∴當時，隨的增大而減小，故答案為：減?。咀兪?-1】（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）已知反比例函數(shù)的圖象在同一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則n的取值范圍是．【答案】/【知識點】已知反比例函數(shù)的增減性求參數(shù)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質，直接利用反比例函數(shù)的性質得出，進而得出答案．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象，在同一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∴，解得：．故答案為：．【變式4-2】（23-24八年級上·上海浦東新·期末）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么當，這個函數(shù)中的函數(shù)值隨自變量值的增大而．（填寫“增大”或“減小”）【答案】增大【知識點】判斷反比例函數(shù)的增減性【分析】此題考查了反比例函數(shù)的性質，根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法解出系數(shù)的符號，再根據(jù)值的正負確定函數(shù)值的增減性，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質．【詳解】設反比例函數(shù)的圖象解析式為，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴當時，隨的增大而增大，故答案為：增大．【考點題型五】反比例函數(shù)的圖象和性質【例5】（23-24八年級下·浙江紹興·期末）對于反比例函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．圖象經(jīng)過點B．圖象關于直線對稱C．圖象位于第二、四象限D．在每一個象限內(nèi)，y隨著x的增大而增大【答案】B【知識點】判斷反比例函數(shù)圖象所在象限、判斷反比例函數(shù)的增減性、求反比例函數(shù)值【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質，根據(jù)反比例函數(shù)性質逐項判斷即可．【詳解】解：A、，故反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過，原說法錯誤，不符合題意；B、反比例函數(shù)的圖象分布在第一三象限，關于直線對稱，原說法正確，符合題意；C、反比例函數(shù)的圖象分布在第一三象限，原說法錯誤，不符合題意；D、反比例函數(shù)的圖象，在每一個象限內(nèi)，隨著的增大而減小，原說法錯誤，不符合題意；故選：B．【變式5-1】（23-24九年級上·湖南婁底·期末）關于反比例函數(shù)的圖象和性質，下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)圖象經(jīng)過點?3,2 B．函數(shù)圖象在第二、四象限C．比例系數(shù)是 D．當時，隨的增大而減小【答案】D【知識點】用反比例函數(shù)描述數(shù)量關系、求反比例函數(shù)值、判斷反比例函數(shù)的增減性、判斷反比例函數(shù)圖象所在象限【分析】本題考查反比例函數(shù)的定義及反比例函數(shù)圖象和性質，依據(jù)函數(shù)圖象上點的坐標特征判斷選項A；依據(jù)反比例函數(shù)的定義判斷選項C；依據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質判斷選項B和D作答．解題的關鍵是掌握反比例函數(shù)圖象和性質：①當時，圖象分別位于第一、三象限，在每一個象限內(nèi)，隨的增大而減??；②當時，圖象分別位于第二、四象限，在每一個象限內(nèi)，隨的增大而增大．【詳解】解：A．當時，得，∴函數(shù)圖象經(jīng)過點?3,2，原說法正確，故此選項不符合題意；B．∵，∴函數(shù)圖像在第二、四象限，原說法正確，故此選項不符合題意；C．∵反比例函數(shù)的解析式為，∴比例系數(shù)是，原說法正確，故此選項不符合題意；D．∵，∴圖像分別位于第二、四象限，在每一個象限內(nèi)，隨的增大而增大，∴當時，隨的增大而增大，原說法不正確，故此選項符合題意．故選：D．【變式5-2】（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，則以下說法錯誤的是（

）A． B．圖象也經(jīng)過點B2,1C．若時，則 D．，y隨x的增大而減小【答案】C【知識點】判斷反比例函數(shù)的增減性、求反比例函數(shù)值、求反比例函數(shù)解析式【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，主要考查反比例函數(shù)的性質，題目較好，難度適中．把代入反比例函數(shù)的解析式能求出k，把A的坐標代入一次函數(shù)的解析式得出關于k的方程，求出方程的解即可．【詳解】】解：把代入反比例函數(shù)的解析式得：，故A正確；∵反比例函數(shù)的解析式為，把代入求得，∴圖象也經(jīng)過點，故B正確；由圖象可知時，則，故C錯誤；，隨x的增大而減小，，y隨x的增大而減小，故D正確；故選：C．【變式5-3】（23-24九年級上·廣東深圳·期末）關于反比例函數(shù)，點在它的圖像上，下列說法中錯誤的是（

）A．當時，y隨x的增大而增大 B．圖象位于第二、四象限C．點和都在該圖像上 D．當時，【答案】D【知識點】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小、判斷反比例函數(shù)圖象所在象限、判斷反比例函數(shù)的增減性【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖像與性質，根據(jù)題意，利用反比例函數(shù)圖像與性質逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：A、由于，反比例函數(shù)圖像在第二、四象限，在每一個象限內(nèi)，隨的增大而增大，該選項說法正確，不符合題意；B、由于，反比例函數(shù)圖像在第二、四象限，該選項說法正確，不符合題意；C、由于點在函數(shù)的圖像上，則，從而點和都在函數(shù)的圖像上，該選項說法正確，不符合題意；D、當時，，由于反比例函數(shù)圖像在第二、四象限，則當時，，該選項說法錯誤，符合題意；故選：D．【考點題型六】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【例6】（24-25九年級上·江蘇南通·期末）若點，，在該反比例函數(shù)的圖象上，則a，b，c的大小關系是（用“”連接）．【答案】【知識點】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質是解題關鍵．將點，，代入反比例函數(shù)的解析式分別求出的值，由此即可得．【詳解】解：∵點，，在該反比例函數(shù)，∴，，，∴，故答案為：．【變式6-1】（23-24八年級下·江蘇宿遷·期末）在平面直角坐標系中，若點在反比例函數(shù)的圖象上，則（填“”“<”或“”）．【答案】【知識點】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題考查比較反比例函數(shù)值的大小，根據(jù)反比例函數(shù)的性質，進行判斷即可．【詳解】解：∵點在反比例函數(shù)的圖象上，且，∴雙曲線過二，四象限，∵，∴點在第二象限，點在第四象限，∴；故答案為：．【變式6-2】（23-24九年級上·河南許昌·期末）已知反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限，點在該反比例函數(shù)圖象上，則．（填“>”“<”或“=”）【答案】【知識點】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質，根據(jù)，反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限且在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大進行比較即可．【詳解】反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限，，且在每一個象限內(nèi)，隨的增大而增大．．故答案為：．【變式6-3】（22-23九年級上·河南鄭州·期末）若點，，都在反比例函數(shù)（為常數(shù)）的圖象上，則，，的大小關系為（用“”連接）【答案】【知識點】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題主要考查了比較反比例函數(shù)值的大小，先證明，則反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，在每個象限內(nèi)y隨x增大而減小，再由，即可得到．【詳解】解：∵，∴，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，在每個象限內(nèi)y隨x增大而減小，∵，∴，故答案為：【考點題型七】一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷【例7】（23-24八年級下·四川宜賓·期末）一次函數(shù)與反比例函數(shù)（為常數(shù)且均不等于）．在同一坐標系內(nèi)的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象和性質，先根據(jù)一次函數(shù)圖象確定的符號，進而求出的符號，由此可以確定反比例函數(shù)圖象所在的象限，看是否一致即可求解，熟練掌握相關性質與函數(shù)圖象的關系是解題的關鍵．【詳解】解：、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三、四象限，∴，，∴，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，與選項圖象不符，故該選項不合題意；、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，∴，，∴，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，與選項圖象不符，故該選項不合題意；、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，∴，，∴，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，與選項圖象相符，故該選項符合題意；、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限，∴，，∴，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象限，與選項圖象不符，故該選項不合題意；故選：．【變式7-1】（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖像可能是（

）A．B．C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)一次函數(shù)解析式判斷其經(jīng)過的象限、判斷（畫）反比例函數(shù)圖象、一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷【分析】本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像綜合判斷，分和先判斷反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像所在的象限，再結合一次函數(shù)圖像與坐標軸的交點即可求解．【詳解】解：當時，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，且經(jīng)過點；反比例函數(shù)的圖像在第一、三象限，沒有選項中的圖像符合題意；當時，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、三、西象限，且經(jīng)過點，反比例函數(shù)的圖像在第二、四象限，選項C中圖像符合題意，選項A、B、D中圖像不符合題意，綜上，選項C符合題意，故選：C．【變式7-2】（23-24九年級上·安徽六安·期末）二次函數(shù)的圖形如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖像大致為（）A．B．C． D．【答案】C【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷、二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號【分析】本題考查二次函數(shù)、反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系，根據(jù)拋物線圖像可得，，由時，，即可得出答案．掌握二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系是解題的關鍵．【詳解】解：∵拋物線開口向上，與軸的交點在負半軸上，∴，，∴一次函數(shù)的圖像經(jīng)過一、二、三象限，故選項B、D不符合題意；∵當時，，∴反比例函數(shù)圖像的兩個分支分別在二、四象限，故選項A不符合題意．故選：C．【變式7-3】（2024·河南南陽·一模）若反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A．B．C． D．【答案】A【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質、二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號、一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷、一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷【分析】先由反比例函數(shù)圖象與性質得到，再根據(jù)選項中同一平面直角坐標系下一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，假設直線圖象正確，判斷二次函數(shù)圖象是否正確即可得到答案．【詳解】解：由反比例函數(shù)的圖象在二、四象限可知，A、假設一次函數(shù)圖象正確，則，，二次函數(shù)圖象開口向下、對稱軸、與軸交點在正半軸上，故選項正確，符合題意；B、假設一次函數(shù)圖象正確，則，，二次函數(shù)圖象開口向下、對稱軸、與軸交點在負半軸上，而選項中二次函數(shù)圖象與軸交點在正半軸上，故選項錯，不符合題意；C、假設一次函數(shù)圖象正確，則，，二次函數(shù)圖象開口向上、對稱軸、與軸交點在正半軸上，而選項中二次函數(shù)圖象對稱軸、與軸交點在負半軸上，故選項錯，不符合題意；D、假設一次函數(shù)圖象正確，則，，二次函數(shù)圖象開口向上、對稱軸、與軸交點在負半軸上，而選項中二次函數(shù)圖象對稱軸，故選項錯，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象與性質、一次函數(shù)圖象與性質、二次函數(shù)圖象與性質等知識，熟練掌握此類題目的解法，先假設其中一個圖象正確，再判斷另一個圖象是否正確是解決問題的關鍵．【考點題型八】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【例8】（24-25九年級上·浙江紹興·期末）在平面直角坐標系中，點是直線與雙曲線的其中一個交點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式【分析】本題考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點問題，掌握交點坐標滿足兩個函數(shù)解析式是解答本題的關鍵．根據(jù)正比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到，再結合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求解，即可解題．【詳解】解：∵點是直線與雙曲線的其中一個交點，∴將點代入中，可得，解得，∴點坐標為，將點代入中，可得，解得，故選：A．【變式8-1】（24-25九年級上·全國·期末）如圖，雙曲線與直線交于點M，N，并且點M坐標為，點N坐標為，根據(jù)圖象信息可得關于不等式的解為（）A． B．C． D．或【答案】D【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題，利用圖象法，確定不等式的解集即可．【詳解】解：由圖象可知：不等式的解集為：或；故選D．【變式8-2】（23-24九年級上·四川綿陽·期末）已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個交點坐標為，則不等式的解集為（

）A．或 B．或C． D．或【答案】B【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，求出正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，畫出函數(shù)圖象，結合函數(shù)圖象即可得解，采用數(shù)形結合的思想是解此題的關鍵．【詳解】解：∵正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個交點坐標為，∴，，∴正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，畫出函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可得：不等式的解集為或，故選：B．【變式8-3】（23-24八年級下·江蘇南京·期末）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)在第一象限的圖像交于和兩點，與x軸交于點C，下列說法：①反比例函數(shù)的關系式；②根據(jù)圖像，當時，x的取值范圍為或；③若點P在x軸上，且，點P的坐標．其中所有正確結論的序號是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象性質，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，直線與坐標圍成的三角形面積問題．①先把點代入中求出a得到，然后利用待定系數(shù)法即可得到反比例函數(shù)的表達式；②根據(jù)圖象得出取值范圍；③先求得，進而得出，設，則，利用三角形面積公式得到關于t的方程，求解即可．【詳解】解：把點點代入，得，∴，把代入反比例函數(shù)，∴；∴反比例函數(shù)的表達式為，故結論①正確；把代入，得：，∴B2,1根據(jù)圖象可知，當時，x的取值范圍為或，故結論②正確；如圖，連接，

對于，當時，，∴點，∵，又∵，∴，設，則，∴，解得：或，∴或，故結論③錯誤．故選：A．【考點題型九】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達式【例9】（23-24九年級上·山東德州·期末）如圖，點在第一象限，軸，垂足為，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點，與交于點．(1)求值；(2)求的面積．【答案】(1)2(2)1.5【知識點】用勾股定理解三角形、反比例函數(shù)與幾何綜合、求反比例函數(shù)解析式【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的特征，三角形面積，中點坐標公式，解題的關鍵是根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，本題屬于中等題型．（1）先根據(jù)，可得，根據(jù)，由此可得的坐標，由是的中點，可得點的坐標，從而得的值；（2）先求點的坐標，根據(jù)面積差可得結論．【詳解】（1），，，，由勾股定理得：，，，，是的中點，，；（2）當時，，，，．【變式9-1】（23-24九年級上·山東濟南·期末）如圖，一次函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限相交于C點，作軸于D點，若，，．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)的面積為________．【答案】(1)；(2)．【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題