滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考點(diǎn) 專題02 反比例函數(shù)（6個(gè)考點(diǎn)清單+9種題型解讀）

專題02反比例函數(shù)（6個(gè)考點(diǎn)清單+9種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)題型一】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù) 4【考點(diǎn)題型二】判斷點(diǎn)是否在反比例函數(shù)上 6【考點(diǎn)題型三】已知雙曲線發(fā)布的象限求參數(shù)范圍 8【考點(diǎn)題型四】判斷反比例函數(shù)的增減性 10【考點(diǎn)題型五】反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì) 11【考點(diǎn)題型六】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小 14【考點(diǎn)題型七】一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷 15【考點(diǎn)題型八】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題 19【考點(diǎn)題型九】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式 23【知識(shí)點(diǎn)01】反比例函數(shù)的概念1）反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)．2）反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的自變量x的取值范圍是不等于0的任意實(shí)數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍也是非零實(shí)數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)02】反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．2）性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小．當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達(dá)式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大【知識(shí)點(diǎn)03】反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為直線y=x和y=-x，對(duì)稱中心為原點(diǎn)．注：1）畫反比例函數(shù)圖象應(yīng)多取一些點(diǎn)，描點(diǎn)越多，圖象越準(zhǔn)確，連線時(shí)，要注意用平滑的曲線連接各點(diǎn)．2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標(biāo)軸靠近，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)中x≠0且y≠0．3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時(shí)，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當(dāng)k>0時(shí)，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說(shuō)當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減?。瑯?，當(dāng)k<0時(shí)，也不能籠統(tǒng)地說(shuō)y隨x的增大而增大．【知識(shí)點(diǎn)04】反比例函數(shù)解析式的確定1．待定系數(shù)：確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；2）把已知一對(duì)x，y的值代入解析式，得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)k的方程；3）解這個(gè)方程求出待定系數(shù)k；4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．【知識(shí)點(diǎn)05】反比例函數(shù)中|k|的幾何意義1．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積2．涉及三角形的面積型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過(guò)面積作和或作差的形式來(lái)求解．1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長(zhǎng)線與x軸的交點(diǎn)，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．【知識(shí)點(diǎn)06】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1．涉及自變量取值范圍型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時(shí)，聯(lián)立兩解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)。針對(duì)時(shí)自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對(duì)應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或；同理，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．2．求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)由k值的符號(hào)來(lái)決定.①k值同號(hào)，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)；②k值異號(hào)，兩個(gè)函數(shù)可能無(wú)交點(diǎn)，可能有一個(gè)交點(diǎn)，也可能有兩個(gè)交點(diǎn)；2）從計(jì)算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況七、反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用解決反比例函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問(wèn)題的方案，特別注意自變量的取值范圍．【考點(diǎn)題型一】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù)【例1】（23-24九年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【變式1-1】（23-24七年級(jí)下·山東·期末）下列函數(shù)中，是關(guān)于的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（23-24九年級(jí)上·四川成都·期末）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（23-24九年級(jí)上·重慶渝中·期末）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型二】判斷點(diǎn)是否在反比例函數(shù)上【例2】（23-24八年級(jí)下·河北張家口·期末）反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24九年級(jí)上·湖南湘潭·期末）已知反比例函數(shù)，則下列各點(diǎn)中，在這個(gè)反比例圖象上的是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24九年級(jí)上·安徽·期末）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么該反比例函數(shù)圖象也一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

）A． B． C． D．【變式2-3】（23-24九年級(jí)上·湖南郴州·期末）如果點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B． C．2 D．【考點(diǎn)題型三】已知雙曲線發(fā)布的象限求參數(shù)范圍【例3】（23-24九年級(jí)上·河北秦皇島·期末）如圖是反比例函數(shù)的圖像，寫出一個(gè)符合要求的整數(shù)的值是．【變式3-1】（23-24八年級(jí)上·上海普陀·期末）如果反比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖像位于第二、四象限，那么．（只需寫一個(gè)數(shù)值）【變式3-2】（23-24九年級(jí)上·河南·期末）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，寫出一個(gè)符合條件的的整數(shù)值．【變式3-3】（23-24九年級(jí)上·寧夏銀川·期末）若反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，則k的取值范圍是．【考點(diǎn)題型四】判斷反比例函數(shù)的增減性【例4】（23-24九年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期末）反比例函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，隨的增大而．【變式4-1】（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）已知反比例函數(shù)的圖象在同一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則n的取值范圍是．【變式4-2】（23-24八年級(jí)上·上海浦東新·期末）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么當(dāng)，這個(gè)函數(shù)中的函數(shù)值隨自變量值的增大而．（填寫“增大”或“減小”）【考點(diǎn)題型五】反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例5】（23-24八年級(jí)下·浙江紹興·期末）對(duì)于反比例函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．圖象位于第二、四象限D(zhuǎn)．在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而增大【變式5-1】（23-24九年級(jí)上·湖南婁底·期末）關(guān)于反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)?3,2 B．函數(shù)圖象在第二、四象限C．比例系數(shù)是 D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小【變式5-2】（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B．圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)B2,1C．若時(shí)，則 D．，y隨x的增大而減小【變式5-3】（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期末）關(guān)于反比例函數(shù)，點(diǎn)在它的圖像上，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大 B．圖象位于第二、四象限C．點(diǎn)和都在該圖像上 D．當(dāng)時(shí)，【考點(diǎn)題型六】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【例6】（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·期末）若點(diǎn)，，在該反比例函數(shù)的圖象上，則a，b，c的大小關(guān)系是（用“”連接）．【變式6-1】（23-24八年級(jí)下·江蘇宿遷·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則（填“”“<”或“”）．【變式6-2】（23-24九年級(jí)上·河南許昌·期末）已知反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限，點(diǎn)在該反比例函數(shù)圖象上，則．（填“>”“<”或“=”）【變式6-3】（22-23九年級(jí)上·河南鄭州·期末）若點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)（為常數(shù)）的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（用“”連接）【考點(diǎn)題型七】一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷【例7】（23-24八年級(jí)下·四川宜賓·期末）一次函數(shù)與反比例函數(shù)（為常數(shù)且均不等于）．在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（

）A． B． C． D．【變式7-1】（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能是（

）A．B．C． D．【變式7-2】（23-24九年級(jí)上·安徽六安·期末）二次函數(shù)的圖形如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像大致為（）A．B．C． D．【變式7-3】（2024·河南南陽(yáng)·一模）若反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．B．C． D．【考點(diǎn)題型八】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題【例8】（24-25九年級(jí)上·浙江紹興·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是直線與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【變式8-1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，雙曲線與直線交于點(diǎn)M，N，并且點(diǎn)M坐標(biāo)為，點(diǎn)N坐標(biāo)為，根據(jù)圖象信息可得關(guān)于不等式的解為（）A． B．C． D．或【變式8-2】（23-24九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，則不等式的解集為（

）A．或 B．或C． D．或【變式8-3】（23-24八年級(jí)下·江蘇南京·期末）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)在第一象限的圖像交于和兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，下列說(shuō)法：①反比例函數(shù)的關(guān)系式；②根據(jù)圖像，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或；③若點(diǎn)P在x軸上，且，點(diǎn)P的坐標(biāo)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考點(diǎn)題型九】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式【例9】（23-24九年級(jí)上·山東德州·期末）如圖，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)求值；(2)求的面積．【變式9-1】（23-24九年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）如圖，一次函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限相交于C點(diǎn)，作軸于D點(diǎn)，若，，．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)的面積為________．【變式9-2】（23-24九年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，連接，，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)C，且．

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求的面積．【變式9-3】（23-24九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）如圖，點(diǎn)在第一象限，且在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，的面積是4．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，延長(zhǎng)交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，滿足的面積等于的面積，求直線的解析式．【變式9-4】（23-24八年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)在第二象限的圖象交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B，連結(jié)并延長(zhǎng)交這個(gè)反比例函數(shù)第四象限的圖象于點(diǎn)C．(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)求的面積．(3)當(dāng)直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，直接寫出x的取值范圍．

專題02反比例函數(shù)（6個(gè)考點(diǎn)清單+9種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)題型一】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù) 4【考點(diǎn)題型二】判斷點(diǎn)是否在反比例函數(shù)上 6【考點(diǎn)題型三】已知雙曲線發(fā)布的象限求參數(shù)范圍 8【考點(diǎn)題型四】判斷反比例函數(shù)的增減性 10【考點(diǎn)題型五】反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì) 11【考點(diǎn)題型六】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小 14【考點(diǎn)題型七】一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷 15【考點(diǎn)題型八】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題 19【考點(diǎn)題型九】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式 23【知識(shí)點(diǎn)01】反比例函數(shù)的概念1）反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)．2）反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的自變量x的取值范圍是不等于0的任意實(shí)數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍也是非零實(shí)數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)02】反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．2）性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達(dá)式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大【知識(shí)點(diǎn)03】反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為直線y=x和y=-x，對(duì)稱中心為原點(diǎn)．注：1）畫反比例函數(shù)圖象應(yīng)多取一些點(diǎn)，描點(diǎn)越多，圖象越準(zhǔn)確，連線時(shí)，要注意用平滑的曲線連接各點(diǎn)．2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標(biāo)軸靠近，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)中x≠0且y≠0．3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時(shí)，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當(dāng)k>0時(shí)，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說(shuō)當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減小．同樣，當(dāng)k<0時(shí)，也不能籠統(tǒng)地說(shuō)y隨x的增大而增大．【知識(shí)點(diǎn)04】反比例函數(shù)解析式的確定1．待定系數(shù)：確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；2）把已知一對(duì)x，y的值代入解析式，得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)k的方程；3）解這個(gè)方程求出待定系數(shù)k；4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．【知識(shí)點(diǎn)05】反比例函數(shù)中|k|的幾何意義1．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積2．涉及三角形的面積型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過(guò)面積作和或作差的形式來(lái)求解．1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長(zhǎng)線與x軸的交點(diǎn)，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．【知識(shí)點(diǎn)06】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1．涉及自變量取值范圍型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時(shí)，聯(lián)立兩解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)。針對(duì)時(shí)自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對(duì)應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或；同理，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．2．求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)由k值的符號(hào)來(lái)決定.①k值同號(hào)，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)；②k值異號(hào)，兩個(gè)函數(shù)可能無(wú)交點(diǎn)，可能有一個(gè)交點(diǎn)，也可能有兩個(gè)交點(diǎn)；2）從計(jì)算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況七、反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用解決反比例函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問(wèn)題的方案，特別注意自變量的取值范圍．【考點(diǎn)題型一】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù)【例1】（23-24九年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù)【分析】本題考查了反比例函數(shù)，根據(jù)反比例函數(shù)的定義：一般地，形如或（是常數(shù)，）的函數(shù)叫做是的反比例函數(shù)，逐項(xiàng)判斷即可得．熟記定義是解題關(guān)鍵．【詳解】解：A、是正比例函數(shù)，則此項(xiàng)不符題意；B、叫做是的反比例函數(shù)，則此項(xiàng)不符題意；C、是正比例函數(shù)，則此項(xiàng)不符題意；D、是反比例函數(shù)，則此項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式1-1】（23-24七年級(jí)下·山東·期末）下列函數(shù)中，是關(guān)于的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù)【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義，進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：A．不是關(guān)于x的正比例函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B．是關(guān)于x的反比例函數(shù)，故B正確；C．不是關(guān)于x的反比例函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D．不是關(guān)于x的反比例函數(shù)，D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義,熟練掌握形如(k為常數(shù)且)的函數(shù)是反比例函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（23-24九年級(jí)上·四川成都·期末）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義，一般地，形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，據(jù)此可得答案．【詳解】解：A、，y是的反比例函數(shù)，不符合題意；B、，，y是x的反比例函數(shù)，符合題意；C、，y不是x的反比例函數(shù)，不符合題意；D、，y不是x的反比例函數(shù)，不符合題意；故選：B．【變式1-3】（23-24九年級(jí)上·重慶渝中·期末）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù)【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義，根據(jù)“一般地，形如()的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)”逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、是一次函數(shù)，不符合題意；B、是一次函數(shù)，不符合題意；C、是反比例函數(shù)，符合題意；D、不符合反比例函數(shù)的形式，不是反比例函數(shù)，不符合題意．故選：C．【考點(diǎn)題型二】判斷點(diǎn)是否在反比例函數(shù)上【例2】（23-24八年級(jí)下·河北張家口·期末）反比例函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷（畫）反比例函數(shù)圖象、求反比例函數(shù)值【分析】本題考查了求反比例函數(shù)值．熟練掌握求反比例函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．分別將各選項(xiàng)的點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)代入，求縱坐標(biāo)，然后判斷作答即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，圖象一定經(jīng)過(guò)，故A符合要求；當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過(guò)，故B不符合要求；當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過(guò)，故C不符合要求；當(dāng)時(shí)，，圖象不經(jīng)過(guò)，故D不符合要求；故選：A．【變式2-1】（23-24九年級(jí)上·湖南湘潭·期末）已知反比例函數(shù)，則下列各點(diǎn)中，在這個(gè)反比例圖象上的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求反比例函數(shù)值【分析】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)，得，所以只要點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積等于，就在函數(shù)圖象上．【詳解】解：A、，故不在函數(shù)圖象上，不合題意；B、，故在函數(shù)圖象上，符合題意；C、，故不在函數(shù)圖象上，不合題意；D、，故不在函數(shù)圖象上，不合題意；故選：B．【變式2-2】（23-24九年級(jí)上·安徽·期末）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么該反比例函數(shù)圖象也一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求反比例函數(shù)值、求反比例函數(shù)解析式【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式為，再由反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)得到在反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的乘積一定為，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，∵反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)一定滿足其解析式，∴在反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的乘積一定為，A、，該點(diǎn)不在反比例函數(shù)的圖象上，不符合題意；B、，該點(diǎn)不在反比例函數(shù)的圖象上，不符合題意；C、，該點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，符合題意；D、，該點(diǎn)不在反比例函數(shù)的圖象上，不符合題意；故選：C．【變式2-3】（23-24九年級(jí)上·湖南郴州·期末）如果點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B． C．2 D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求反比例函數(shù)值【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)一定滿足其解析式得到，進(jìn)而推出，據(jù)此代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴，故選D．【考點(diǎn)題型三】已知雙曲線發(fā)布的象限求參數(shù)范圍【例3】（23-24九年級(jí)上·河北秦皇島·期末）如圖是反比例函數(shù)的圖像，寫出一個(gè)符合要求的整數(shù)的值是．【答案】1（或2或3）【知識(shí)點(diǎn)】已知雙曲線分布的象限，求參數(shù)范圍【分析】本題主要考查反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)：（1）時(shí)，圖像是位于一、三象限；（2）時(shí)，圖像是位于二、四象限．反比例函數(shù)是常數(shù)，的圖像在第一象限，則，再根據(jù)反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，找出符合上述條件的的一個(gè)值即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖像在一象限，，又∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，．，∴的值可以是1．故答案為：1．【變式3-1】（23-24八年級(jí)上·上海普陀·期末）如果反比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖像位于第二、四象限，那么．（只需寫一個(gè)數(shù)值）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知雙曲線分布的象限，求參數(shù)范圍【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)過(guò)一、三象限，當(dāng)時(shí)，函數(shù)過(guò)二、四象限”，即可解答．【詳解】解：反比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖像位于第二、四象限，，，故答案為：．【變式3-2】（23-24九年級(jí)上·河南·期末）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，寫出一個(gè)符合條件的的整數(shù)值．【答案】（答案不唯一）【知識(shí)點(diǎn)】已知雙曲線分布的象限，求參數(shù)范圍【分析】此題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，則有，求出即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用．【詳解】∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，∴，解得：，則只要滿足條件即可，故答案為：（答案不唯一）．【變式3-3】（23-24九年級(jí)上·寧夏銀川·期末）若反比例函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，則k的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知雙曲線分布的象限，求參數(shù)范圍【分析】本題考查了已知雙曲線分布的象限，求參數(shù)范圍．對(duì)于反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一、三象限；當(dāng)時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)二、四象限；據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得：，∴故答案為：【考點(diǎn)題型四】判斷反比例函數(shù)的增減性【例4】（23-24九年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期末）反比例函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，隨的增大而．【答案】減小【知識(shí)點(diǎn)】判斷反比例函數(shù)的增減性【分析】根據(jù)反比例函數(shù)解析式及反比例函數(shù)的性質(zhì)即可解答．本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)隨的增大而減小是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的解析式為，∴，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)隨的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故答案為：減?。咀兪?-1】（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）已知反比例函數(shù)的圖象在同一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則n的取值范圍是．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】已知反比例函數(shù)的增減性求參數(shù)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象，在同一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∴，解得：．故答案為：．【變式4-2】（23-24八年級(jí)上·上海浦東新·期末）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么當(dāng)，這個(gè)函數(shù)中的函數(shù)值隨自變量值的增大而．（填寫“增大”或“減小”）【答案】增大【知識(shí)點(diǎn)】判斷反比例函數(shù)的增減性【分析】此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法解出系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)值的正負(fù)確定函數(shù)值的增減性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【詳解】設(shè)反比例函數(shù)的圖象解析式為，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故答案為：增大．【考點(diǎn)題型五】反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例5】（23-24八年級(jí)下·浙江紹興·期末）對(duì)于反比例函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．圖象位于第二、四象限D(zhuǎn)．在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而增大【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷反比例函數(shù)圖象所在象限、判斷反比例函數(shù)的增減性、求反比例函數(shù)值【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、，故反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、反比例函數(shù)的圖象分布在第一三象限，關(guān)于直線對(duì)稱，原說(shuō)法正確，符合題意；C、反比例函數(shù)的圖象分布在第一三象限，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、反比例函數(shù)的圖象，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨著的增大而減小，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【變式5-1】（23-24九年級(jí)上·湖南婁底·期末）關(guān)于反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)?3,2 B．函數(shù)圖象在第二、四象限C．比例系數(shù)是 D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】用反比例函數(shù)描述數(shù)量關(guān)系、求反比例函數(shù)值、判斷反比例函數(shù)的增減性、判斷反比例函數(shù)圖象所在象限【分析】本題考查反比例函數(shù)的定義及反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，依據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷選項(xiàng)A；依據(jù)反比例函數(shù)的定義判斷選項(xiàng)C；依據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)判斷選項(xiàng)B和D作答．解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)：①當(dāng)時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減??；②當(dāng)時(shí)，圖象分別位于第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大．【詳解】解：A．當(dāng)時(shí)，得，∴函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)?3,2，原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；B．∵，∴函數(shù)圖像在第二、四象限，原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C．∵反比例函數(shù)的解析式為，∴比例系數(shù)是，原說(shuō)法正確，故此選項(xiàng)不符合題意；D．∵，∴圖像分別位于第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，原說(shuō)法不正確，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【變式5-2】（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B．圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)B2,1C．若時(shí)，則 D．，y隨x的增大而減小【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷反比例函數(shù)的增減性、求反比例函數(shù)值、求反比例函數(shù)解析式【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，題目較好，難度適中．把代入反比例函數(shù)的解析式能求出k，把A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式得出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可．【詳解】】解：把代入反比例函數(shù)的解析式得：，故A正確；∵反比例函數(shù)的解析式為，把代入求得，∴圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故B正確；由圖象可知時(shí)，則，故C錯(cuò)誤；，隨x的增大而減小，，y隨x的增大而減小，故D正確；故選：C．【變式5-3】（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期末）關(guān)于反比例函數(shù)，點(diǎn)在它的圖像上，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大 B．圖象位于第二、四象限C．點(diǎn)和都在該圖像上 D．當(dāng)時(shí)，【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小、判斷反比例函數(shù)圖象所在象限、判斷反比例函數(shù)的增減性【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)題意，利用反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得到答案．【詳解】解：A、由于，反比例函數(shù)圖像在第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，該選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；B、由于，反比例函數(shù)圖像在第二、四象限，該選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；C、由于點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則，從而點(diǎn)和都在函數(shù)的圖像上，該選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；D、當(dāng)時(shí)，，由于反比例函數(shù)圖像在第二、四象限，則當(dāng)時(shí)，，該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【考點(diǎn)題型六】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【例6】（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·期末）若點(diǎn)，，在該反比例函數(shù)的圖象上，則a，b，c的大小關(guān)系是（用“”連接）．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．將點(diǎn)，，代入反比例函數(shù)的解析式分別求出的值，由此即可得．【詳解】解：∵點(diǎn)，，在該反比例函數(shù)，∴，，，∴，故答案為：．【變式6-1】（23-24八年級(jí)下·江蘇宿遷·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則（填“”“<”或“”）．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題考查比較反比例函數(shù)值的大小，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，且，∴雙曲線過(guò)二，四象限，∵，∴點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在第四象限，∴；故答案為：．【變式6-2】（23-24九年級(jí)上·河南許昌·期末）已知反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限，點(diǎn)在該反比例函數(shù)圖象上，則．（填“>”“<”或“=”）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)，反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限且在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大進(jìn)行比較即可．【詳解】反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限，，且在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大．．故答案為：．【變式6-3】（22-23九年級(jí)上·河南鄭州·期末）若點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)（為常數(shù)）的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（用“”連接）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】比較反比例函數(shù)值或自變量的大小【分析】本題主要考查了比較反比例函數(shù)值的大小，先證明，則反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而減小，再由，即可得到．【詳解】解：∵，∴，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而減小，∵，∴，故答案為：【考點(diǎn)題型七】一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷【例7】（23-24八年級(jí)下·四川宜賓·期末）一次函數(shù)與反比例函數(shù)（為常數(shù)且均不等于）．在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，先根據(jù)一次函數(shù)圖象確定的符號(hào)，進(jìn)而求出的符號(hào)，由此可以確定反比例函數(shù)圖象所在的象限，看是否一致即可求解，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與函數(shù)圖象的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，∴，，∴，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)二、四象限，與選項(xiàng)圖象不符，故該選項(xiàng)不合題意；、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，∴，，∴，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)二、四象限，與選項(xiàng)圖象不符，故該選項(xiàng)不合題意；、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，∴，，∴，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)二、四象限，與選項(xiàng)圖象相符，故該選項(xiàng)符合題意；、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，∴，，∴，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，與選項(xiàng)圖象不符，故該選項(xiàng)不合題意；故選：．【變式7-1】（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能是（

）A．B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)一次函數(shù)解析式判斷其經(jīng)過(guò)的象限、判斷（畫）反比例函數(shù)圖象、一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷【分析】本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像綜合判斷，分和先判斷反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像所在的象限，再結(jié)合一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即可求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；反比例函數(shù)的圖像在第一、三象限，沒(méi)有選項(xiàng)中的圖像符合題意；當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第二、三、西象限，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖像在第二、四象限，選項(xiàng)C中圖像符合題意，選項(xiàng)A、B、D中圖像不符合題意，綜上，選項(xiàng)C符合題意，故選：C．【變式7-2】（23-24九年級(jí)上·安徽六安·期末）二次函數(shù)的圖形如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像大致為（）A．B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷、二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)【分析】本題考查二次函數(shù)、反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)拋物線圖像可得，，由時(shí)，，即可得出答案．掌握二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵拋物線開口向上，與軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上，∴，，∴一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)一、二、三象限，故選項(xiàng)B、D不符合題意；∵當(dāng)時(shí)，，∴反比例函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在二、四象限，故選項(xiàng)A不符合題意．故選：C．【變式7-3】（2024·河南南陽(yáng)·一模）若反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)、一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷、一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷【分析】先由反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)得到，再根據(jù)選項(xiàng)中同一平面直角坐標(biāo)系下一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，假設(shè)直線圖象正確，判斷二次函數(shù)圖象是否正確即可得到答案．【詳解】解：由反比例函數(shù)的圖象在二、四象限可知，A、假設(shè)一次函數(shù)圖象正確，則，，二次函數(shù)圖象開口向下、對(duì)稱軸、與軸交點(diǎn)在正半軸上，故選項(xiàng)正確，符合題意；B、假設(shè)一次函數(shù)圖象正確，則，，二次函數(shù)圖象開口向下、對(duì)稱軸、與軸交點(diǎn)在負(fù)半軸上，而選項(xiàng)中二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)在正半軸上，故選項(xiàng)錯(cuò)，不符合題意；C、假設(shè)一次函數(shù)圖象正確，則，，二次函數(shù)圖象開口向上、對(duì)稱軸、與軸交點(diǎn)在正半軸上，而選項(xiàng)中二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸、與軸交點(diǎn)在負(fù)半軸上，故選項(xiàng)錯(cuò)，不符合題意；D、假設(shè)一次函數(shù)圖象正確，則，，二次函數(shù)圖象開口向上、對(duì)稱軸、與軸交點(diǎn)在負(fù)半軸上，而選項(xiàng)中二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸，故選項(xiàng)錯(cuò)，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握此類題目的解法，先假設(shè)其中一個(gè)圖象正確，再判斷另一個(gè)圖象是否正確是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型八】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題【例8】（24-25九年級(jí)上·浙江紹興·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是直線與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、求一次函數(shù)解析式、求反比例函數(shù)解析式【分析】本題考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，掌握交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解，即可解題．【詳解】解：∵點(diǎn)是直線與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)，∴將點(diǎn)代入中，可得，解得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入中，可得，解得，故選：A．【變式8-1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，雙曲線與直線交于點(diǎn)M，N，并且點(diǎn)M坐標(biāo)為，點(diǎn)N坐標(biāo)為，根據(jù)圖象信息可得關(guān)于不等式的解為（）A． B．C． D．或【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用圖象法，確定不等式的解集即可．【詳解】解：由圖象可知：不等式的解集為：或；故選D．【變式8-2】（23-24九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，則不等式的解集為（

）A．或 B．或C． D．或【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，求出正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，∴正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，畫出函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可得：不等式的解集為或，故選：B．【變式8-3】（23-24八年級(jí)下·江蘇南京·期末）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)在第一象限的圖像交于和兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，下列說(shuō)法：①反比例函數(shù)的關(guān)系式；②根據(jù)圖像，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或；③若點(diǎn)P在x軸上，且，點(diǎn)P的坐標(biāo)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題【分析】本題考查用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，直線與坐標(biāo)圍成的三角形面積問(wèn)題．①先把點(diǎn)代入中求出a得到，然后利用待定系數(shù)法即可得到反比例函數(shù)的表達(dá)式；②根據(jù)圖象得出取值范圍；③先求得，進(jìn)而得出，設(shè)，則，利用三角形面積公式得到關(guān)于t的方程，求解即可．【詳解】解：把點(diǎn)點(diǎn)代入，得，∴，把代入反比例函數(shù)，∴；∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，故結(jié)論①正確；把代入，得：，∴B2,1根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或，故結(jié)論②正確；如圖，連接，

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，∵，又∵，∴，設(shè)，則，∴，解得：或，∴或，故結(jié)論③錯(cuò)誤．故選：A．【考點(diǎn)題型九】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式【例9】（23-24九年級(jí)上·山東德州·期末）如圖，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)求值；(2)求的面積．【答案】(1)2(2)1.5【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、反比例函數(shù)與幾何綜合、求反比例函數(shù)解析式【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，三角形面積，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，本題屬于中等題型．（1）先根據(jù)，可得，根據(jù)，由此可得的坐標(biāo)，由是的中點(diǎn)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得的值；（2）先求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)面積差可得結(jié)論．【詳解】（1），，，，由勾股定理得：，，，，是的中點(diǎn)，，；（2）當(dāng)時(shí)，，，，．【變式9-1】（23-24九年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）如圖，一次函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限相交于C點(diǎn)，作軸于D點(diǎn)，若，，．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)的面積為________．【答案】(1)；(2)．【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題