廣西壯族自治區(qū)玉林市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)玉林市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)?考號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知等比數(shù)列中，，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】等比數(shù)列中，，解得.故選：A.2.已知曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榍€(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，即.故選：D.3.如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)．設(shè)，，，用，，表示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由是的中點(diǎn)，可知，所以，故選：D.4.已知點(diǎn)，則滿(mǎn)足下列關(guān)系式的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)的下支的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A中，由，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，可得點(diǎn)的軌跡是完整的雙曲線(xiàn)，所以A不正確；對(duì)于B中，由，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，可得的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)的下支，所以B正確；對(duì)于C中，由，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，可得的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)的上支，所以C不正確；對(duì)于D中，由，不存在滿(mǎn)足的點(diǎn)，所以D不正確.故選：B.5.若直線(xiàn)在軸?軸上的截距相等，且直線(xiàn)將圓的周長(zhǎng)平分，則直線(xiàn)的方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】由已知圓，直線(xiàn)將圓平分，則直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，直線(xiàn)方程為，或，將點(diǎn)代入上式，解得直線(xiàn)的方程為或.故選：C.6.已知拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，，則的面積為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由，得，于是，設(shè)，則，解得，所以的面積.故選：B7.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法》中有如下圖所示的幾何體，后人稱(chēng)之為“三角垛”.其最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，則第三十五層球的個(gè)數(shù)為（）A.561 B.595 C.630 D.666【答案】C【解析】由題意，設(shè)各層球的個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列，可得，所以，則.故選：C.8.已知，是雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)，橢圓與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)相同，與在第一象限的交點(diǎn)為P，若的中點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上，且，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意:設(shè)，設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，雙曲線(xiàn)實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，則由橢圓及雙曲線(xiàn)定義可得：，又因?yàn)?，且分別為，的中點(diǎn)，所以,所以到漸近線(xiàn)的距離為，所以，，結(jié)合，可得：①因?yàn)椋约矗淼茫?，將①代入，，所以故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知空間向量，則下列說(shuō)法不正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由，得，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；又，故C正確；，所以與不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.10.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是B.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是2C.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為2D.若為線(xiàn)段中點(diǎn)，則的坐標(biāo)可以是【答案】BD【解析】由題意，故A錯(cuò)誤；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是，B正確；對(duì)于，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為3，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)的坐標(biāo)是，設(shè)，則，由，兩式相減得，即，所以，即，所以直線(xiàn)的方程為，即，將代入得，所以直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，符合題意，所以的坐標(biāo)可以是，故D正確.故選：BD.11.數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是遞減數(shù)列 B.C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)或時(shí)，取得最大值【答案】ACD【解析】由數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，又由，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，對(duì)于A中，由，即，所以數(shù)是遞減數(shù)列，所以A正確；對(duì)于B中，由，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)榈膶?duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向下，又因?yàn)槭钦麛?shù)，且或時(shí)，取得最大值，所以D正確.故選：ACD.12.過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的射線(xiàn)與圓分別交于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)可能的取值是（）A. B.4 C.5 D.6【答案】ABC【解析】如圖，圓的圓心，半徑為3，圓的直徑為6，過(guò)圓心的直線(xiàn)的端點(diǎn)與，不存在的情況，否則在圓上，所以排除選項(xiàng)D.當(dāng)軸時(shí)，，故B正確；當(dāng)與正方向成角時(shí)，，，解得，此時(shí)，故A正確；同理當(dāng)與正方向成角時(shí)，可得，故C正確；故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，包小題5分，共20分13.直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則______【答案】1【解析】因?yàn)椋?，解得或，?dāng)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，符合題意，綜上所述：.故答案為：114.數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________.【答案】【解析】運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求解即可.因?yàn)?，所?故答案為：.15.已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8，則此橢圓的短軸長(zhǎng)為_(kāi)_________；弦長(zhǎng)__________.【答案】①②【解析】直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，則，的周長(zhǎng)為，解得，故，橢圓的短軸長(zhǎng)為，由，得，故答案為：；.16.在中，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，沿將折起形成直二面角，當(dāng)最短時(shí)，__________.【答案】【解析】作于點(diǎn)，連接，設(shè)，則，所以，在中，由余弦定理可得，，因?yàn)闉橹倍娼?，所以面，所以，則，當(dāng)最短時(shí)，，所以，即此時(shí)為的角平分線(xiàn)，由角平分線(xiàn)定理可得，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程和演算步驟.17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且________．在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并解答．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答給分）（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，若選擇條件①，由題可得，解得，若選擇條件②，由題可得，解得，.（2）由(1)知，選擇兩個(gè)條件中的任何一個(gè)，都有，則，18.如圖，在正方體中，為平面的中心.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.解：（1）解法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系.，，設(shè)面的法向量為，，令，則，且平面，平面；解法二：如圖，連接，且，平行四邊形中，平面平面，同理，，則平面且，平面平面，又為的中點(diǎn)，平面平面；解法三：連接交交于點(diǎn)，連接，為平面的中心是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，平面平面平面.（2）解法一：設(shè)到面的距離為，.解法二：設(shè)到面的距離為，，由，得，解得.19.已知雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一條浙近線(xiàn)的傾斜角為.（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）若點(diǎn)，過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于.以為直徑的圓是否恒過(guò)點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)傾斜角為，所以，故，故，所以雙曲線(xiàn)；（2）雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線(xiàn)斜率不為零時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，設(shè),，由，得恒成立，，，即以直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)斜率為零時(shí)，此時(shí)以為直徑的圓為過(guò)點(diǎn)，綜上，以直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).20.如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，點(diǎn)在上，且.（1）求證，平面平面；（2）若直線(xiàn)與平面所成的角為，求二面角的余弦值.解：（1）因?yàn)槠矫妫矫?，可得，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）因?yàn)?，且，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，可得，取中點(diǎn)，連接，可得，所以，由（1）可得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由（1）可得，平面，可得為直線(xiàn)與平面所成角，即，所以，又由，可得，所以，可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，因?yàn)檩S平面，所以平面的法向量，設(shè)為二面角的平面角，且為銳角，則，二面角的余弦值為.21.如圖，四邊形是一塊長(zhǎng)方形綠地，是一條直路，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且.現(xiàn)在該綠地上建一個(gè)標(biāo)志性建筑物，使建筑物的中心到三個(gè)點(diǎn)的距離相等.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為，軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.（1）求出建筑物的中心的坐標(biāo)；（2）由建筑物的中心到直路要開(kāi)通一條路，已知路的造價(jià)為150萬(wàn)元，求開(kāi)通的這條路的最低造價(jià).（附：參考數(shù)據(jù).）解：（1）解法一：由題可知，由題可知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的圓心即為所建建筑物的中心，設(shè)圓的方程為，則，解得，圓的方程為，即，建筑物的中心的坐標(biāo)為.解法二：由題可知，由題可知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的圓心即為所建建筑物的中心，線(xiàn)段中點(diǎn)為，且線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為，線(xiàn)段中點(diǎn)為，且，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為，聯(lián)立，得，所以建筑物的中心的坐標(biāo)為.（2）因?yàn)闉榻ㄖ锏闹行淖鴺?biāo)，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，由垂徑定理得的長(zhǎng)度為點(diǎn)到的最小距離，，圓的半徑為，點(diǎn)到的距離為，開(kāi)通的這條路的最低造價(jià)為（萬(wàn)元）.22.定義：若無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足是公比為的等比數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”.設(shè)數(shù)列中，.（1）若，且