福建省福州市四校教學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市四校教學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的.1.集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榧?，所?故選：C．2.若，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，由不等式的可加性可得，故A正確；當(dāng)，，，時(shí)，，，，故B錯(cuò)誤；當(dāng)，，，時(shí)，，，，故C錯(cuò)誤；當(dāng)，，，時(shí)，，，，故D錯(cuò)誤.故選：A.3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】恒成立，排除CD；的定義域?yàn)?，排除A.故選：B.4.命題：是第二象限角或第三象限角，命題：，則是的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若是第二象限角或第三象限角，則；若，取，，此時(shí)不是第二象限角或第三象限角；綜上所述：是的充分不必要條件.故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，故.故選：D.6.中國的技術(shù)世界領(lǐng)先，其數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率（單位：）取決于信道寬度（單位：）?信道內(nèi)信號的平均功率（單位：）、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率（單位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香農(nóng)公式，若信道寬度變?yōu)樵瓉肀?，而將信噪比從提升至，則大約增加了（）（附：）A. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，信道寬度變?yōu)樵瓉肀?，，因?yàn)?故選：D.7.命題“對，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，等價(jià)于，恒成立，設(shè)，則，所以命題為真命題的充要條件為，所以命題為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以為．故選：C．8.已知是定義在上的函數(shù)，若對于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閷θ我?，，所以，即，?gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)是上的減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是上的減函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是上的減函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使得函數(shù)是上的減函數(shù)，只需，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍足.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題意的.9.下列大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)：由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，可得成立，所以選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：由冪函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，可得成立，所以B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：由對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則，所以C選項(xiàng)不正確；D選項(xiàng)：由函數(shù)與均為單調(diào)遞增函數(shù)，則，而，所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD.10.設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（）A.的最小值為2 B.的最小值為1C.的最大值為4 D.的最小值為2【答案】AD【解析】對于A，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為2，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最大值為1，故B錯(cuò)誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，即的最大值為2，故C錯(cuò)誤；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為2，故D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)的最小正周期為 B.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為C.函數(shù)的一個(gè)對稱中心是 D.函數(shù)的一條對稱軸是【答案】AD【解析】對于A：的最小正周期為，故A正確；對于B：當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對于C：函數(shù)的對稱中心縱坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤；對于D：當(dāng)時(shí)，，所以的一條對稱軸是，故D正確.故選：AD.12.已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的說法中，正確的是（）A.當(dāng)，有1個(gè)零點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，有9個(gè)零點(diǎn) D.當(dāng)時(shí)，有7個(gè)零點(diǎn)【答案】AD【解析】由，得，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù)，設(shè)，則，二次函數(shù)，其圖象開口向上，過點(diǎn)，對稱軸為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，且，如圖：由，得，解得，由，得，解得，因此函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1，A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如圖：由圖象知有3個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，若，則，若，則，此時(shí)共有3個(gè)解；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有1個(gè)解，，即有2個(gè)解，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有1個(gè)解，即無解，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是7，D正確，C錯(cuò)誤.故選：AD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.13.已知扇形的圓心角是，其周長為，則扇形的面積為______．【答案】【解析】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，所以扇形的周長為，，所以扇形的面積.故答案為：.14.函數(shù)y＝的定義域是__________________．【答案】【解析】由知，，由正弦函數(shù)圖象特征知，，故定義域?yàn)?故答案為：.15.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞增，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【解析】由題意得，解得或，當(dāng)時(shí)，在上遞減，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上遞增，符合題意.故答案為：.16.已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，的最小值為0；②當(dāng)時(shí)，不存在最小值；③零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則函數(shù)的值域?yàn)?；④?dāng)時(shí)，對任意，，．其中所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】①②③【解析】①當(dāng)時(shí)，，在上的值域?yàn)?，在上值域?yàn)?，所以的最小值?，故①正確；②在上的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，在上值域?yàn)?；要使不存在最小值，則或，解得或，故②正確；③至多一個(gè)零點(diǎn)，至多有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，若，則由，可得或，故恒有兩個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，若，則存在一個(gè)零點(diǎn)；若，不存在零點(diǎn)，所以時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為2或3個(gè)；若，則，此時(shí)，即上無零點(diǎn)，而，故有一個(gè)零點(diǎn)，即；若，則，此時(shí)上，無零點(diǎn)，時(shí)，也無解，故無零點(diǎn)，即；綜上，的值域?yàn)?，故③正確；④當(dāng)時(shí)，，則，所以，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.四、解答題：本大題共6小題，滿分70分.除第17小題10分以外，每小題12分.17.設(shè)，已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍.解：（1），解得，，當(dāng)時(shí)，得，所以.（2）若“”是“”的必要不充分條件，所以AB，解方程，得或，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，，因?yàn)锳B，所以，解得；當(dāng)，即時(shí)，，顯然不滿足題意，綜上，的取值范圍為.18.用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)在上的大致圖像.解：列表：012001描點(diǎn)，連線，畫出在上的大致圖像如圖：19.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求的值及函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值.解：（1）的最小正周期為，則，，，；取，解得，故單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），則，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；故的最大值為，最小值為.20.某環(huán)保組織自2023年元旦開始監(jiān)測某水域中水葫蘆生長的面積變化情況并測得最初水葫蘆的生長面積，此后每隔一個(gè)月（每月月底）測量一次，通過近一年的觀察發(fā)現(xiàn)，自2023年元旦起，水葫蘆在該水域里生長的面積增加的速度越來越快.最初測得該水域中水葫蘆生長的面積為（單位：），二月底測得水葫蘆的生長面積為，三月底測得水葫蘆的生長面積為，水葫蘆生長的面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型可供選擇，一個(gè)是；另一個(gè)是，記2023年元旦最初測量時(shí)間的值為0.（1）請你判斷哪個(gè)函數(shù)模型更適合，說明理由，并求出該函數(shù)模型的解析式；（2）該水域中水葫蘆生長的面積在幾月起是元旦開始研究時(shí)其生長面積的240倍以上？（參考數(shù)據(jù)：）.解：（1）兩個(gè)函數(shù)模型，在上都是增函數(shù)，隨著的增大，的函數(shù)值增加得越來越快，而函數(shù)值增加得越來越慢，在該水域中水葫蘆生長的速度越來越快，即隨著時(shí)間增加，該水域中水葫蘆生長的面積增加得越來越快，第一個(gè)函數(shù)模型滿足要求，由題意知，，解得，所以.（2）由，解得，又，故，該水域中水葫蘆生長的面積在7月份是元旦開始研究時(shí)其生長面積的240倍以上.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的解集；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對滿足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解：（1）時(shí)，函數(shù)，不等式即為，即，解得，∴不等式的解集為.（2）設(shè)，，根據(jù)題意知，在上恒成立，①當(dāng)時(shí)，解得，若，則在上單調(diào)遞增，則，不符合題意；若，則上單調(diào)遞減，則，不符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，的圖像為開口向下的拋物線，要使在上恒成立，需，即，解得或，又∵，∴此時(shí)無解；③當(dāng)，即或時(shí)，的圖像為開口向上的拋物線，其對稱軸方程為，（i）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴，解得或，∵，，∴此時(shí)無解；（ii）當(dāng)，即或時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，此時(shí)無解；（iii）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，∴，解得或，∵，，∴此時(shí)無解；綜上，不存在符合題意的實(shí)數(shù).22.已知函數(shù)，，如果對于定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，對于給定的非零常數(shù)P，總存在非零常數(shù)T，恒有成立，則稱函數(shù)是D上的P級遞減周期函數(shù)，周期為T；若恒有成立，則稱函數(shù)是D上的P級周期函數(shù)，周期為T.（1）判斷函數(shù)是R上的周期為1的2級遞減周期函數(shù)嗎，并說明理由？（2）已知，是上的P級周期函數(shù)，且是上的嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式，并求實(shí)數(shù)P的取值范圍；（3）是否存在非零實(shí)數(shù)k，使函數(shù)是R上的周期為T的T級周期函數(shù)？請證明你的結(jié)論.解：（1）依題意，函數(shù)定義域是R，，即，成立，所以函數(shù)是R上的周期為1的2級遞減周期函數(shù).（2）因，是上的P級周期函數(shù)，則，即，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)