2025版高考數(shù)學一輪總復習第1章預備知識第4節(jié)不等式的性質(zhì)與基本不等式教師用書

第四節(jié)不等式的性質(zhì)與基本不等式考試要求：1．理解不等式的概念，駕馭不等式的性質(zhì)．2．駕馭基本不等式ab≤a+b2一、教材概念·結論·性質(zhì)重現(xiàn)1．兩個實數(shù)比較大小的依據(jù)(1)a－b>0?a>b.(2)a－b＝0?a＝b.(3)a－b<0?a<b.2．不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a>b?b<a.(2)傳遞性：a>b，b>c?a>c.(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c，a>b，c>d?a＋c>b＋d.(同向可加性)(4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc，a>b>0，c>d>0?ac>bd.(正數(shù)同向可乘性)(5)可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．(6)可開方性：a>b>0?na>nb(n∈N，倒數(shù)性質(zhì)的兩個必備結論(1)a＞b，ab＞0?1a＜1(2)a＜0＜b?1a＜13．基本不等式ab(1)基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．(3)其中a+b2稱為正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a4．利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0，則(1)假如積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2p(簡記：積定和最小)．(2)假如和x＋y是定值s，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是s21．運用基本不等式求最值時，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不行．2．“當且僅當a＝b時等號成立”的含義是“a＝b”是等號成立的充要條件，這一點至關重要，忽視它往往會導致解題錯誤．3．連續(xù)運用基本不等式求最值，要求每次等號成立的條件一樣．5．常用結論(1)a2+b22≥a+b(2)ba+ab≥2(ab＞0)(當且僅當(3)21a+1b≤ab(4)若a＞b＞0，m＞0，則ba＜b+ma+m；ba＞b-m二、基本技能·思想·活動閱歷1．推斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)一個不等式的兩邊同時加上或乘同一個數(shù)，不等號方向不變． (×)(2)一個非零實數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小． (×)(3)不等式a2＋b2≥2ab與a+b2≥ab(4)函數(shù)f(x)＝sinx＋4sinx的最小值為4. (2．設b<a，d<c，則下列不等式中肯定成立的是()A．a(chǎn)－c<b－d B．a(chǎn)c<bdC．a(chǎn)＋c>b＋d D．a(chǎn)＋d>b＋cC解析：由同向不等式具有可加性可知C正確．3．當x>0時，函數(shù)f(x)＝2xxA．最小值1 B．最大值1C．最小值2 D．最大值2B解析：f(x)＝2x+1x≤22x·1x＝1，當且僅當x＝4．已知a，b為正實數(shù)，且a＋b＝1，則P＝(ax＋by)2與Q＝ax2＋by2的關系是()A．P≤Q B．P<QC．P≥Q D．P>QA解析：不妨取a＝b＝12，則P－Q＝14(x＋y)2－12x2－12y2＝－14(x－y)25．若0＜a＜b，且a＋b＝1，將a，b，12，2ab，a2＋b2a＜2ab＜12＜a2＋b2＜b解析：令a＝13，b＝23，代入2ab＝49，a2＋b2＝59，所以a＜2ab＜12＜a2考點1不等式的性質(zhì)——基礎性1．下列命題正確的是()A．若a>b，則1a<B．若a>b，則a2>b2C．若a>b，c<d，則a－c>b－dD．若a>b，c>d，則ac>bdC解析：對于A，若a>b，取a＝1，b＝－1，則1a<1b不成立；對于B，若a>b，取a＝0，b＝－1，則a2>b2不成立；對于C，若a>b，c<d，則a－c>b－d，正確；對于D，若a>b，c>d，取a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2，則ac>2．(多選題)對于實數(shù)a，b，c，下列命題是真命題的為()A．若a>b，則ac<bcB．若ac2>bc2，則a>bC．若a<b<0，則a2>ab>b2D．若a>0>b，則|a|<|b|BC解析：當c＝0時，ac＝bc，A為假命題；若ac2>bc2，則c≠0，c2>0，故a>b，B為真命題；若a<b<0，則a2>ab且ab>b2，即a2>ab>b2，C為真命題；當a＝1，b＝－1時，|a|＝|b|，故D為假命題．3．(2024·濟南質(zhì)量檢測)已知實數(shù)a，b，c滿意a<b<c，且ab<0，那么下列各式中肯定成立的是()A．a(chǎn)b>ac B．a(chǎn)(c－C．a(chǎn)c2>bc2 D．a(chǎn)b(b－a)>0B解析：因為a<b<c，且ab<0，所以a<0<b<c.所以c－b>0，a<0，可得a(c－b)<0，選項B正確；取a＝－1，b＝1，c＝2，則ab<ac，ac2<bc2，ab(b－4．已知實數(shù)b>a>0，m<0，則mb________ma，b-ma＜＜解析：因為b>a>0，m<0，所以b－a>0.因為mb－ma＝m(b－a)<0，所以mb<ma.因為b-ma-m-ba＝解決這類問題一是要充分利用不等式的性質(zhì)，但肯定要留意不等式成立的條件；二是可以用作差法比較兩個代數(shù)式的大?。键c2利用基本不等式求最值——綜合性考向1配湊法求最值(1)已知0＜x＜1，則x(4－3x)取得最大值時x的值為________；23解析：因為0＜x＜1，所以4－3x>0，所以x(4－3x)＝13·當且僅當3x＝4－3x，即x＝23(2)當x+9x4解析：x+9x+1＝x＋1＋9x+1－1≥29－1＝5，當且僅當配湊法求最值的依據(jù)、技巧(1)依據(jù)：基本不等式．(2)技巧：通過添項、拆項、變系數(shù)、湊因子等方法湊成和為定值或積為定值的形式，即符合“一正、二定、三相等”的條件，然后利用基本不等式求解最值．考向2常值代換法求最值(1)已知a>0，b>0，a＋b＝1，則1a+4解析：因為a＋b＝1，所以1a+1b＝1a+1b(a＋b)＝2＋ba(2)已知x＋2y＝xy(x>0，y>0)，則2x＋y的最小值為_________．9解析：由x＋2y＝xy得2x+1y＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)2x+1y＝5＋2xy+2yx≥5＋22xy1．將本例(1)條件“a＋b＝1”改為“a＋2b＝3”，則1a1＋223解析：因為a＋2所以13a＋23所以1a+1b＝1a+1當且僅當a＝2b時，等號成立．2．若本例(1)條件不變，則1+19解析：1+1a1+1b＝1+a+ba2+a+bb＝2+b常數(shù)代換法求最值的步驟(1)依據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))．(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1.(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式．(4)利用基本不等式求解最值．考向3消元法求最值(1)已知正數(shù)a，b，c滿意2a－b＋c＝0，則acb2A．8 B．2C．18 C解析：因為a，b，c都是正數(shù)，且滿意2a－b＋c＝0，所以b＝2a＋c，所以acb2＝ac2a+c2＝ac4a2+4ac+c(2)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值是_________．45解析：方法一：由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝1-y45y2，由則x2＋y2＝1-y45y2＋y2＝1+4y45y2＝154y2故x2＋y2的最小值為45方法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤5x2+y2+4y222＝當且僅當5x2＋y2＝4y2＝2，即y2＝12，x2＝310，等號成立，故x2＋y2≥即x2＋y2的最小值為45消元法求最值的技巧(1)消元法，即依據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．(2)假如出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解，但肯定要留意各個元的范圍．(多選題)設正實數(shù)m，n滿意m＋n＝2，則()A．1m+B．m+C．mn的最大值為1D．m2＋n2的最小值為2CD解析：因為正實數(shù)m，n滿意m＋n＝2，所以1m+2n＝1m+＝1≥123+2nm·2mn＝3+222，當且僅當nm＝n＝4－22時取等號，A錯誤；(m+n)2＝m＋n＋2mn＝2＋2mn≤2＋2×當且僅當m＝n＝1時取等號，所以m+由mn≤m+n22＝1,當且僅當m＝n＝1時取等號，此時mn2m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4－2mn≥2，當且僅當m＝n＝1時取等號，即m2＋n2的最小值為2，D正確．考點3利用基本不等式解決實際問題——應用性某公司生產(chǎn)的商品A，當每件售價為5元時，年銷售10萬件．(1)據(jù)市場調(diào)查，價格每提高1元，銷量相應削減1萬件，要使銷售收入不低于原銷售收入，該商品的銷售價格最多可提高多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，公司確定對該商品的生產(chǎn)進行技術革新，將技術革新后生產(chǎn)的商品售價提高到每件x元，公司擬投入12(x2＋x)萬元作為技改費用，投入x4萬元作為宣揚費用．試問：技術革新后生產(chǎn)的該商品銷售量m解：(1)設商品的單價提高a元，則(10－a)·(5＋a)≥50，解得0≤a≤5.所以商品的單價最多可以提高5元．(2)由題意知，技術革新后的銷售收入為mx萬元，若技術革新后的銷售收入等于原銷售收入與總投入之和，只需滿意mx＝12(x2＋x)＋x4＋50(x＞5)即可，此時m＝12x＋34+50x≥2x2·50故銷售量m至少應達到434利用基本不等式求解實際問題的兩個留意點(1)利用基本不等式解決實際問題時，應明確其中的數(shù)量關系，并引入變量，依題意列出相應的函數(shù)關系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函數(shù)的最值時，若用基本不等式時，等號取不到，可利用函數(shù)單調(diào)性求解．1．司機甲、乙加油習慣不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定錢數(shù)的油，恰有兩次甲、乙同時加同單價的油，但這兩次的油價不同，則從這兩次加油的均價角度分析()A．甲合適B．乙合適C．油價先高后低甲合適D．油價先低后高甲合適B解析：設甲每次加m升油，乙每次加n元錢的油，第一次加油x元/升，其次次加油y元/升．甲的平均單價為mx+my2m＝x+y2，乙的平均單價為2nn因為x≠y，所以x+y22xyx+y＝x2．(多選題)(2024·棗莊期末)如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點P的距離是2km，從P點沿海岸線正東方向12km處有一個城鎮(zhèn)．假設一個人駕駛小船的平均行進速度為3km/h，步行的平均速度為5km/h，時間t(單位：h)表示他從小島到城鎮(zhèn)的時間，x(單位：km)表示此人將船停在海岸距點P處的距離．設u＝x2+4＋x，v＝x2A．函數(shù)v＝f(u)為減函數(shù)B．15t－u－4v＝32C．當x＝1.5時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間最少D．當x＝4時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間不超過3hAC解析：因為u＝x2+4＋x，v＝x2所以x2+4＝u+v2，x＝u-v2，uv＝4，則v＝4u整理得15t＝u＋4v＋36，B錯誤；15t＝u＋16u＋36≥2u·16u＋36＝44，當且僅當u＝16u，即u＝4時等號成立，則4＝x2+4＋x，解得x＝1.5，C正確；當x＝4時，t＝253+83．某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則每臺機器為該公司創(chuàng)建的年平均利潤的最大值是________萬元．8解析：每臺機器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為yx＝18－x+25x，而x>0，故yx≤18－2拓展考點肯定值三角不等式定理1假如a，b是實數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當ab≥0時，等號成立定理2假如a，b，c是實數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號成立已知x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求證：|x＋5y證明：|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|≤3×16＋2×1即|x＋5y|≤1.證明肯定值不等式的3種主要方法(1)利用肯定值的定義去掉肯定值符號，轉(zhuǎn)化為一般不等式再證明．(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|進行證明．(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，數(shù)形結合進行證明．(多選題)(2024·新高考Ⅱ卷)若實數(shù)x，y滿意x2＋y2－xy＝1，則()A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1[四字程序]讀想算思若實數(shù)x，y滿意x2＋y2－xy＝1不等式的性質(zhì)、基本不等式、配方法的應用x2＋y2，xy，(x±y)2的關系轉(zhuǎn)化與化歸x＋y≤1；x＋y≥－2；x2＋y2≤2；x2＋y2≥11．構造不等式．2．代數(shù)換元．3．三角換元1．構造關于所求代數(shù)式的不等式．2．令x＋y＝t消y，依據(jù)關于x的方程有解列不等式．3．求xy的范圍，把x＋y，x2＋y2看作關于xy的函數(shù)．4．三角換元1.利用基本不等式可以實現(xiàn)積化和、和化積、和化和．2．三角代換的適用條件和新變元范圍的確定思路參考：利用xy≤x+y22，xy≤x2+y22構造關于x＋yBC解析：由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－1＝3xy≤3x+y22，解得－2≤x＋y≤2，當且僅當x＝y(tǒng)時，取等號，即當x＝y(tǒng)＝－1時，x＋y＝－2，當x＝y(tǒng)＝1時，x＋由x2＋y2－xy＝1，得(x2＋y2)－1＝xy≤x2+y22，解得x2＋y2當x＝13，y＝－13時，x2＋y2＝思路參考：令x＋y＝t消y，依據(jù)關于x的方程有解列不等式．BC解析：令x＋y＝t，則y＝t－x，代入x2＋y2－xy＝1得關于x的方程3x2－3tx＋(t2－1)＝0，則Δ＝(－3t)2－4×3×(t2－1)≥0，解得－2≤t≤2，即－2≤x＋y≤2.令x2＋y2＝m，則由x2＋y2－xy＝1得xy＝m－1，于是有m≥2|m－1|，解得23≤m≤2，即x2＋y2∈2思路參考：求xy的范圍，把x＋y，x2＋y2看作關于xy的函數(shù)，求函數(shù)的值域得范圍．BC解析：由xy＋1＝x2＋y2≥2|xy|得xy∈-13，1，則x2＋y2＝xy＋1∈23，2，(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝3xy＋11．利用均值不等式，通過恒等變形及配湊，使“和”或“積”為定值，是求解最值問題的常用方法.其中常見的變形手段有拆項、并項、配式及配系數(shù)等．2．基于新課程標準，求最值問題一般要有對代數(shù)式的變形實力、推理實力和表達實力，本題的解答體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．已知x＞0，y＞1，且x＋2y＝xy＋1，則x＋y的最小值為_________．5解析：令x＋y＝t，則x＝t－y.將x＝t－y代入x＋2y＝xy＋1，得t＋y＝ty－y2＋1，即y2＋(1－t)y＋t－1＝0，Δ＝(1－t)2－4(t－1)＝t2－6t＋5≥0，得t≤1(舍去)或t≥5.故x＋y的最小值為5.課時質(zhì)量評價(四)A組全考點鞏固練1．(2024·日照模擬)若a，b，c為實數(shù)，且a<b，c>0，則下列不等關系肯定成立的是()A．a(chǎn)＋c<b＋c B．1a<C．a(chǎn)c>bc D．b－a>cA解析：對于A，因為a<b，c＝c，所以由不等式的性質(zhì)可得，a＋c<b＋c，故A正確；對于B，令a＝－2，b＝－1，滿意a<b，1a>1b，故B錯誤；對于C，令a＝－2，b＝1，c＝1，滿意a<b，c>0，但ac<bc，故C錯誤；對于D，令a＝1，b＝2，c＝1，滿意a<b，c>0，但b－a＝2．若x>0，y>0，則“x＋2y＝22xy”的一個充分不必要條件是()A．x＝y(tǒng) B．x＝2yC．x＝2且y＝1 D．x＝y(tǒng)或y＝1C解析：因為x>0，y>0，所以x＋2y≥22xy，當且僅當x＝2y時，等號成立．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝22xy”的一個充分不必要條件．3．(2024·濱州三校高三聯(lián)考)已知a>0，b>0，若不等式4a+1A．10 B．12C．16 D．9D解析：由已知a>0，b>0，若不等式4a+1b≥ma+b恒成立，則m≤4a+1b(a＋b)恒成立，轉(zhuǎn)化成求y＝4a+1b(a＋b)的最小值．y＝44．(多選題)已知1a<1A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)＋b<abC．|a|>|b| D．a(chǎn)b<b2BD解析：由1a<1b<0，得b<a<0，所以a＋b<0<ab，|b|>|a|，b2>因此BD正確，AC不正確．5．《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(以幾何方法探討代數(shù)問題)成了后世數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)．通過這一原理，許多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．如圖所示，在AB上取一點C，使得AC＝a，BC＝b，過點C作CD⊥AB交圓周于點D，連接OD.作CE⊥OD交OD于點E，則下列不等式可以表示CD≥DE的是()A．a(chǎn)b≥2aba+b(aB．a(chǎn)+b2≥ab(aC．a(chǎn)2+b22D．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)A解析：連接DB，因為AB是圓O的直徑，所以∠ADB＝90°.在Rt△ADB中，中線OD＝AB2＝a+b2.由射影定理可得CD2＝AC·BC＝ab.所以CD＝在Rt△DCO中，由射影定理可得CD2＝DE·OD，即DE＝CD2OD＝ab由CD≥DE得ab≥6．(2024·濟南模擬)若正數(shù)a，b滿意ab＝4，則1a3解析：因為a＞0，b＞0，且ab＝4，所以1a+9b≥21a當且僅當1a＝9b，即a＝23所以1a7．若a>0，b>0，則1a+a22解析：因為a>0，b>0，所以1a+ab2＋b≥21a·ab2＋b＝2b＋b≥22b·b＝22，當且僅當1a＝ab28．已知正數(shù)x，y滿意x2＋2xy－3＝0，則2x＋y的最小值是_________．3解析：由x2＋2xy－3＝0，得y＝3-x22x＝32x-12x，則2x＋y＝2x＋32x-12x9．(2024·唐山模擬)已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1.(1)求證：a＋b≤2；(2)推斷等式ac+bd＝c＋(1)證明：由題意得(a＋b)2＝3ab＋1≤3a+b22＋1，當且僅當a＝解得(a＋b)2≤4.又a>0，b>0，所以a＋b≤2.(2)解：不能成立．理由：a>0，b>0，c>0，d>0，由基本不等式得ac+bd≤a+c2+b+d2，當且僅當因為a＋b≤2，所以ac+bd≤1＋c+d2.因為c>0，d所以c＋d＝c+d2+c+d2≥故ac+bd＝c＋B組新高考培優(yōu)練10．已知正實數(shù)a，b滿意a＋b＝3，則11+aA．1 B．7C．98C解析：因為a＋b＝3，所以(1＋a)＋(4＋b)＝8，所以11+a+44+b＝18[(1＋a)＋(4＋b)]·11+a+44+b＝185+4+b1+a+41+a4+b≥111．(2024·濱州聯(lián)考)已知a>0，b>0，若不等式4a+1A．10 B．12C．16 D．9D解析：由已知a>0，b>0，若不等式4a+1b≥ma+b恒成立，則m≤4a+1b(a＋b)恒成立，轉(zhuǎn)化成求y＝4a+1b(a＋b)的最小值．y＝412．(多選題)(2024·重慶模擬)已知正實數(shù)a，b，c滿意a2－ab＋4b2－c＝0，當cabA．a(chǎn)＝4bB．c＝6b2C．a(chǎn)＋b－c的最大值為3D．a(chǎn)＋b－c的最大值為3BD解析：對于A，由a2－ab＋4b2－c＝0，得c＝a2＋4b2－ab，則cab＝ab+4ba－1≥2ab·4ba－1＝3，當且僅當ab＝4ba，即a＝2b時等號成立，故A不正確；對于B，當cab取最小值時，由cab=3，a=2b，得c＝6b2，故B