吉林省長春市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期二模試題

Page102024級高三數(shù)學(xué)其次次模擬考試一、單項選擇題（本題共8小題，每題5分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．）1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．2．i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則的虛部為（）A． B． C． D．3．已知向量，，若與方向相反，則（）A．54 B．48 C． D．4．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于我國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》．1852年，英國傳教士偉烈亞力將該解法傳至歐洲，1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．此定理講的是關(guān)于整除的問題，現(xiàn)將1到2024這2024個數(shù)中，能被7除余1且被9除余1的數(shù)按從小到大的依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列的和為（）A．30014 B．30016 C．33297 D．332995．一個圓雉的側(cè)面綻開圖是半徑為1的半圓，則此圓雉的內(nèi)切球師表面積為（）A． B． C． D．6．已知，，，則下列不等關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．7．直線的方程為，當(dāng)原點到直線的距離最大時，的值為（）A． B． C．1 D．58．函數(shù)的部分圖象如圖，軸，當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9．定義在R上的奇函數(shù)滿意，當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．時，C． D．10．已知數(shù)列，，，的前項的和為，前項的積為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．11．直四棱柱中，底面為菱形，，，P為中點，點在四邊形內(nèi)（包括邊界）運動，下列結(jié)論正確的是（）A．若，且，則四面體的體積為定值B．若平面，則的最小值為C．若的外心為，則為定值2D．若，則點的軌跡長度為12．已知函數(shù)，，其中且．若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時，有且只有一個零點B．當(dāng)時，有兩個零點C．當(dāng)時，曲線與曲線有且只有兩條公切線D．若為單調(diào)函數(shù)，則三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分．）13．若，則______．14．如圖，單位向量，的夾角為，點在以為圓心，1為半徑的弧上運動，則的最小值為______．15．已知函數(shù)，若實數(shù)a，b滿意，則的最大值為______．16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知動圓的方程為，則圓心的軌跡方程為____________．若對于圓上的隨意點，在圓：上均存在點，使得，則滿意條件的圓心的軌跡長度為______．四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17．（本小題10分）如圖，四邊形中，，，，設(shè)．（1）若面積是面積的4倍，求；（2）若，求．18．（本小題12分）已知數(shù)列的前項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，求的值．19．（本小題12分）已知函數(shù)，其中．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）探討函數(shù)的單調(diào)性．20．（本小題12分）如圖，等腰梯形中，，，，E為中點，以為折痕把折起，使點到達(dá)點的位置（平面ABCD）．（1）證明：；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．21．（本小題12分）已知圓M：，P是直線l：上的動點，過點P作圓M的一條切線，為切點．（1）當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；（2）設(shè)的外接圓為圓，當(dāng)點運動時，圓是否過定點？若過定點，求出全部的定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．22．（本小題12分）已知函數(shù)，其中．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）已知在區(qū)間上存在唯一的微小值點．（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；（ⅱ）記在區(qū)間上的微小值為，探討函數(shù)的單調(diào)性．2024級高三其次次模擬考試（數(shù)學(xué)）學(xué)科試卷答案一、選擇題123456789101112BADCCABAACBCDABBCD二、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分．）13．14．；15．16．；．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17．解：（1）設(shè)，則，，，由題意，則，所以．（2）由正弦定理，中，，即①中，，即②①÷②得：，化簡得，所以．18．解：（1）由得到，當(dāng)時，，兩式相減，有，得到，由于，，因為，由上述遞推關(guān)系知，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以．（2）由（1），所以數(shù)列的前項和為，則，所以．19．解析：（1）若，則，，，令，得．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．不存在極大值；存在微小值，且微小值為．（2），．①若，即，則令，得．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．②若，即，則令，得或．此時，的單調(diào)性如下表所示：x1+0-0+單增極大值單減微小值單增③若，則當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．此時，在區(qū)間上單調(diào)遞增．④若，即，則令，得或．此時，的單調(diào)性如下表所示：x1+0-0+單增極大值單減微小值單增綜上：時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；時，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；時，在區(qū)間上單調(diào)遞增時，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；20．解：（1）連接，設(shè)的中點為，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，為等邊三角形，∴，，折疊后，，又，∴平面，又平面，∴（2）在平面內(nèi)作平面，垂足為，則在直線上，∴直線與平面夾角為，又，∴，∴O，Q兩點重合，即平面，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令得，又平面，∴為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．21．解：（1）由題可知圓的圓心為，半徑．設(shè)，因為是圓的一條切線，所以．在中，，故．又所以，解得或．所以點的坐標(biāo)為或．（2）因為，所以的外接圓圓是以為直徑的圓，且的中點坐標(biāo)為，所以圓的方程為，即．由，解得或，所以圓過定點和．22．解析：（1）若，則，，，．所以，曲線在點處的切線方程為．（2）（i）．①若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不存在極值點．②若，則當(dāng)時，，從而．由函數(shù)的圖象及性質(zhì)，，使得，即．當(dāng)時，，從而；當(dāng)時，，從而．所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上不存在微小值點．③若，則當(dāng)時，，從而．由函數(shù)的圖象及性質(zhì)，，使得，即．當(dāng)時，，從而；當(dāng)時，，從而．所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．此時，為在區(qū)間上的唯一的微小值點．綜上所述，實數(shù)的取值范