四川省2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月階段性測(cè)試文試題含解析

Page25四川省2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月階段性測(cè)試（文）試題一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.假如復(fù)數(shù)z滿意，那么的最大值是（）A.0 B.1 C.2 D.2i【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義求解．【詳解】在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，為原點(diǎn)，表示點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，，而，所以的最大值為1＋1＝2．故選：C．2.設(shè)，，若M是N真子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)真子集的定義求解．【詳解】明顯，所以由已知，解得，時(shí)符合題意．故選：D．3.已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若，其中λ∈R，則點(diǎn)P肯定在（）A.AC邊所在的直線上 B.BC邊所在的直線上C.AB邊所在直線上 D.△ABC的內(nèi)部【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量的線性運(yùn)算整理可得，再結(jié)合向量共線分析即可.【詳解】∵，∴，則，則∴∴P點(diǎn)在AC邊所在直線上．故選：A．4.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列前n項(xiàng)和為，若，則公比（）A.2 B. C.2或 D.2或【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求解出公比【詳解】由，有，即，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，即，解得或，由數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，∴.故選：A5.下列推斷，不正確的選項(xiàng)是（）A.若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.曲線的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．C.函數(shù)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若為偶函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．D.若函數(shù)，則函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱【答案】B【解析】【分析】對(duì)于A，依據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合中心對(duì)稱的定義推斷，對(duì)于B，令，由與的關(guān)系推斷，對(duì)于C，由奇偶函數(shù)的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算分析推斷，對(duì)于，由軸對(duì)稱的性質(zhì)分析推斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以A正確，對(duì)于B，令，則，所以曲線的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，因?yàn)槎x在R上的可導(dǎo)函數(shù)，所以，所以，即，所以其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱，所以D正確，故選：B6.比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項(xiàng)實(shí)力指標(biāo)值（滿分為5分，分值高者為優(yōu)），繪制了如圖所示的六維實(shí)力雷達(dá)圖，例如圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4，乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5，則下面敘述錯(cuò)誤的是（）A.甲的邏輯推理實(shí)力指標(biāo)值優(yōu)于乙的邏輯推理實(shí)力指標(biāo)值B.乙的直觀想象實(shí)力指標(biāo)值優(yōu)于甲的數(shù)學(xué)建模實(shí)力指標(biāo)值C.乙的六維實(shí)力指標(biāo)值整體水平優(yōu)于甲的六維實(shí)力指標(biāo)值整體水平D.甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力指標(biāo)值優(yōu)于甲的直觀想象實(shí)力指標(biāo)值【答案】D【解析】【分析】依據(jù)六維實(shí)力雷達(dá)圖，分別讀取出甲乙兩人的相應(yīng)實(shí)力指標(biāo)值，比較或計(jì)算平均值可得答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，甲的邏輯推理實(shí)力指標(biāo)值為4，乙的邏輯推理實(shí)力指標(biāo)值為3，所以甲的邏輯推理實(shí)力指標(biāo)值優(yōu)于乙的邏輯推理實(shí)力指標(biāo)值，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，甲的數(shù)學(xué)建模實(shí)力指標(biāo)值為3，乙的直觀想象實(shí)力指標(biāo)值為5，所以乙的直觀想象實(shí)力指標(biāo)值優(yōu)于甲的數(shù)學(xué)建模實(shí)力指標(biāo)值，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，甲的六維實(shí)力指標(biāo)值的平均值為，乙的六維實(shí)力指標(biāo)值的平均值為，所以乙的六維實(shí)力指標(biāo)值整體水平優(yōu)于甲的六維實(shí)力指標(biāo)值整體水平，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力指標(biāo)值為4，甲的直觀想象實(shí)力指標(biāo)值為5，所以甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力指標(biāo)值不優(yōu)于甲的直觀想象實(shí)力指標(biāo)值，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：D7.已知過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有條，則（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程寫出切線，將點(diǎn)代入，并將切線有且僅有條，轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)根，列方程求解即可．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由已知得，則切線斜率，切線方程為直線過點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得切線有且僅有條，即，化簡(jiǎn)得，即，解得或故選：C8.已知函數(shù)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的k的值為6，則推斷框中t的值可以為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程，求解即可.【詳解】第一次執(zhí)行循環(huán)體后，，，不滿意退出循環(huán)的條件；其次次執(zhí)行循環(huán)體后，，，不滿意退出循環(huán)的條件；第三次執(zhí)行循環(huán)體后，，，不滿意退出循環(huán)的條件；第四次執(zhí)行循環(huán)體后，，，不滿意退出循環(huán)的條件；第五次執(zhí)行循環(huán)體后，，，不滿意退出循環(huán)的條件，此時(shí)；第六次執(zhí)行循環(huán)體后，，，滿意退出循環(huán)的條件，此時(shí)；所以故選：B9.設(shè)方程和方程的根分別為p和q，設(shè)函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)，關(guān)于直線對(duì)稱，而與，的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為，依據(jù)對(duì)稱性可得，再由圖象開口向上，對(duì)稱軸方程為，即可求解.【詳解】由得，由得，所以令，和，這三個(gè)函數(shù)的圖象狀況如下圖所示，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，由于與的圖象關(guān)于對(duì)稱，而與的交點(diǎn)為，所以，即，又因?yàn)榈膶?duì)稱軸為：，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故選：A.10.已知奇函數(shù)的周期為，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖像，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是【答案】C【解析】【分析】利用協(xié)助角公式變形函數(shù)，由已知求出，再借助平移變換求出，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)推斷作答.【詳解】依題意，，則有，又是奇函數(shù)，于是得，因，即有，，因此，A不正確；當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上不單調(diào)，因此函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，B不正確；當(dāng)時(shí)，，為的最小值，因此函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，C正確；當(dāng)時(shí)，，即有，，，D不正確.故選：C11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，點(diǎn)分別為和的重心，為線段上一點(diǎn)（）A.的最小為2B.若平面，則C.若平面，則三棱錐外接球的表面積為D.正四面體的內(nèi)切球體積為【答案】D【解析】【分析】A選項(xiàng)由線面垂直證得，進(jìn)而由點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)即可推斷；BD選項(xiàng)利用內(nèi)切球求得，內(nèi)切球半徑，即可推斷；C選項(xiàng)找到球心，由勾股定理求得半徑，即可推斷；【詳解】解：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)分別為和的重心，所以，三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以，在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，，，又，平面，平面，所以，面，平面，又面，面，所以，，又因?yàn)?，平面所以，平面，又平面，所以．所以，?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，又，所以，最小值為，A錯(cuò)誤．在正四面體中，取中點(diǎn)，連接，所以三點(diǎn)共線，，因?yàn)槠矫?，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)槊?，面，所以因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，在上，所以，又點(diǎn)也是和的內(nèi)心，所以，點(diǎn)P為正四面體內(nèi)切球的球心．，．設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，因?yàn)?，所以，解得，即，故，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．所以，正四面體內(nèi)切球的體積為，故D選項(xiàng)正確.設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，因?yàn)槠矫妫?，球心在直線上，且，所以，，解得，故三棱錐P－ABC外接球的表面積為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D.12.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)變形得到，進(jìn)而得到以，結(jié)合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關(guān)系式，求出離心率.【詳解】因?yàn)椋?，如圖，在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，則點(diǎn)I為AM上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點(diǎn)A與上頂點(diǎn)重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A【點(diǎn)睛】對(duì)于求解圓錐曲線離心率問題，要結(jié)合題目中的條件，干脆求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點(diǎn)在于如何將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，須要作出協(xié)助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關(guān)系，求出離心率.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.為防控新冠疫情，許多公共場(chǎng)所要求進(jìn)人的人必需佩戴口罩．現(xiàn)有2人在一次外出時(shí)須要從藍(lán)、白、紅、黑、綠5種顏色各1只的口罩中隨機(jī)選2只不同顏色的口罩，則藍(lán)色口罩被選中的概率為____________．【答案】##0.4【解析】【分析】利用列舉法和古典概型的概率計(jì)算公式可得答案.【詳解】從藍(lán)、白、紅、黑、綠5種顏色各1只的口罩中選2只不同顏色的口罩，樣本點(diǎn)如下：（藍(lán)，白），（藍(lán)，紅），（藍(lán)，黑），（藍(lán)，綠），（白，紅），（白，黑），（白，綠），（紅，黑，（紅，綠），（黑，綠），共有10個(gè)樣本點(diǎn)，其中藍(lán)色口罩被選中的樣本點(diǎn)有（藍(lán)，白），（藍(lán)，紅），（藍(lán)，黑），（藍(lán)，綠），共4個(gè)樣本點(diǎn)，所以藍(lán)色口罩被選中的概率．故答案為：．14.已知關(guān)于、的不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則的最小值________．【答案】【解析】【分析】作出平面區(qū)域，分析可知為點(diǎn)到直線的距離的倍，數(shù)形結(jié)合可求得點(diǎn)到直線的距離的最小值，即可得解.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示：設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，則，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，且，因此，的最小值為.故答案為：.15.數(shù)列滿意，，則前40項(xiàng)和為________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得、，利用分組求和可求前40項(xiàng)和，【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故，故前40項(xiàng)和為，故答案為：16.已知函數(shù)（），若在區(qū)間內(nèi)恰好有7個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】首先探討時(shí)不符題意，再探討時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再確定函數(shù)在內(nèi)的個(gè)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組解出的取值范圍，最終取并集即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意，在內(nèi)最多有2個(gè)零點(diǎn)，不符題意；所以，當(dāng)時(shí)，，開口向下，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，所以在內(nèi)有7個(gè)零點(diǎn)，即在內(nèi)有7個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，所以，解得，又因?yàn)椋詿o(wú)解；當(dāng)，即時(shí)，=在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，即在內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，由三角函數(shù)的性質(zhì)可知此時(shí)在內(nèi)只有4個(gè)零點(diǎn)，不符題意；當(dāng)，即時(shí)，=在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，所以=在內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)，即在內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，所以，解得，又因?yàn)闀r(shí)，所以，當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，所以在內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，即在內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，所以，解得，又因?yàn)?，所?綜上所述，的取值范圍為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)及分類探討思想，屬于難題.三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．）17.已知四邊形ABCD是由ABC與ACD拼接而成的，且在ABC中，．（1）求角B的大??；（2）若，，，．求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理計(jì)算；（2）在ADC中，由正弦定理求得，在ABC中由余弦定理求得．【小問1詳解】∵，∴整理可得，，∴在ABC中，由余弦定理可得，，∴．【小問2詳解】在ADC中，由正弦定理，可得，可得，在△ABC中由余弦定理，可得，可得，，解得，（負(fù)值舍去）．18.在如圖所示的五面體ABCDFE中，面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE⊥平面ABCD，，且，N為BE的中點(diǎn)，M為CD中點(diǎn)．（1）求證：平面ABCD；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，由題可得四邊形NHDF為平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理即得；（2）連接BM，由題可得，然后依據(jù)錐體的體積公式即得.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，∵N為BE的中點(diǎn)，∴，∵，且，所以，∴四邊形NHDF為平行四邊形，∴，∵平面ABCD且平面ABCD，∴平面ABCD；【小問2詳解】連接BM，則四邊形為平行四邊形，∴，且，∴，且，∴四邊形BMFN為平行四邊形，∴，∵，∴.19.網(wǎng)民的才智與活力催生新業(yè)態(tài)，網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物，直播帶貨，APP買菜等進(jìn)入我們的生活，變更了我們的生活方式，隨之電信網(wǎng)絡(luò)詐騙犯罪形勢(shì)也特別嚴(yán)峻．自“國(guó)家反詐中心APP”推出后，某地區(qū)實(shí)行多措并舉的推廣方式，努力為人民群眾構(gòu)筑一道防詐反詐的“防火墻”．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)網(wǎng)絡(luò)詐騙月報(bào)案數(shù)與推廣時(shí)間有關(guān)，并記錄了經(jīng)推廣x個(gè)月后月報(bào)案件數(shù)y的數(shù)據(jù)．x（個(gè)）1234567y（件）891888351220200138112（1）依據(jù)以上數(shù)據(jù)，運(yùn)用作為回來(lái)方程模型，求出y關(guān)于x的回來(lái)方程；（2）分析該地區(qū)始終推廣下去，兩年后能否將網(wǎng)絡(luò)詐騙月報(bào)案數(shù)降至75件以下．參考數(shù)據(jù)（其中，，，，．參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，…，，，其回來(lái)直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．【答案】（1）；（2）能，詳見解析.【解析】【分析】（1）對(duì)于非線性回來(lái)方程先通過換元法將變更為線性回來(lái)方程，再利用最小二乘法即得；（2）將代入回來(lái)方程得到，進(jìn)而即得.【小問1詳解】由表中數(shù)據(jù)可得(891+888+351+220+200+138+112)=400，令，設(shè)y關(guān)于t的線性回來(lái)方程為，則則，故y關(guān)于x的回來(lái)方程為；【小問2詳解】由回來(lái)方程可知，隨x的增大，y漸漸削減，當(dāng)時(shí)，，故兩年后網(wǎng)絡(luò)詐騙月報(bào)案數(shù)能降至75件以下．20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓P與圓：內(nèi)切，且與圓：外切，記動(dòng)圓P的圓心的軌跡為E．（1）求軌跡E的方程；（2）過圓心的直線交軌跡E于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，過圓心的直線交軌跡E于D，G兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，求四邊形ADBG面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)兩圓內(nèi)切和外切列出圓心距與半徑的關(guān)系，即可發(fā)覺圓心P的軌跡滿意橢圓的定義，進(jìn)而可求出方程；（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在，或?yàn)?時(shí)，可干脆由已知得出四邊形ADBG面積；當(dāng)直線AB的斜斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)出直線AB的方程，與聯(lián)立橢圓聯(lián)立，通過韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式得出與直線AB的斜率的關(guān)系，再由，得出直線DG的斜率與直線AB的斜率的關(guān)系，設(shè)出直線DG的方程，同理得出與直線AB的斜率的關(guān)系，即可列出四邊形ADBG面積的式子，再通過基本不等式的應(yīng)用得出最小值.【小問1詳解】設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R，圓心P的坐標(biāo)為，由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為，動(dòng)圓P與圓內(nèi)切，且與圓外切，，則動(dòng)圓P的圓心的軌跡E是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為：，其中，，，，即軌跡E的方程為：.【小問2詳解】當(dāng)直線AB的斜率不存在，或?yàn)?時(shí)，四邊形ADBG面積長(zhǎng)軸長(zhǎng)通徑長(zhǎng)，當(dāng)斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，，由可得：，，，，．，，同理可得：，，四邊形ADBG面積，則等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，即時(shí)，.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)，存在，，使得成立，求滿意條件的最大整數(shù)m；（2）使不等式對(duì)隨意恒成立時(shí)最大的k記為c，求當(dāng)時(shí)，的取值范圍．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）由題意得，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)在的最值，則可求出的取值范圍，進(jìn)而可求出的最大值，（2）將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)隨意恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，則可得的取值范圍，從而可得的值，則可表示出，再構(gòu)造函數(shù)可求出其范圍.【小問1詳解】由已知可得，，，所以，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，因?yàn)?，所以所以函?shù)在上的最大值為，最小值為，因?yàn)榇嬖冢?，使得，成立，所以，又，故，所以滿意條件的最大整數(shù)m值為4；【小問2詳解】因?yàn)?，所以原不等式可變?yōu)椋?，，令，則，時(shí)，，遞增，，，①當(dāng)，即時(shí)，在，，