七年級數(shù)學(xué)上冊動角問題壓軸題的五種考法全梳理

初一上難點專題動角問題壓軸題的五種考法全梳理

目錄

【考法一、求角度】...............................................................1

【考法二、求角的運動時間】......................................................3

【考法三、角度之間數(shù)量關(guān)系】....................................................5

【考法四、角度定值問題1.....................................................................................7

【考法五、角度中的新定義問題】..................................................9

【課后練習(xí)】11

【考法一、求角度】

例.已知一副三角板按如圖1的方式拼接在一起，邊0Aoe與直線所重合，其中

ZAOB=45°,ZCOD=60°.

圖1圖2

(1)求圖1中的N8OD的度數(shù)；

(2)如圖2,三角板COD固定不動，將三角板AO2繞著點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度a,

其中0°<a<180°.

①當(dāng)三角板的一邊平分NEOD時，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；

②是否存在/3OC=2NAOD?若存在，求此時。的度數(shù)；若不存在，請說明理由.

變式1.如圖，ZAOB=120°,射線OC在內(nèi)部，且NAOC=40。，射線OD,OE分別

在ZAOC,NBOC內(nèi)部.

備用圖

(1)若ZAOD=20。，ZDOE=60°,說明：OE平分N3OC；

(2)若/COE=3/AOD,OE平分/BOD,求/AOD的度數(shù);

⑶將/BOE沿射線OE折疊，得到NFOE,若NCOF=gzDOF,設(shè)/BOE的度數(shù)為x。，用

含%的代數(shù)式表示ZAOD的度數(shù).

變式2.劉星對幾何中角平分線等興趣濃厚，請你和他一起探究下面問題吧.已知

ZAOB=100°,射線OE,0廠分別是—AOC和NCOB的角平分線.

圖1

(1)如圖1,若射線OC在—AO3的內(nèi)部，且NAOC=30。，求NEO尸的度數(shù);

(2)如圖2,若射線OC在—AO3的內(nèi)部繞點0旋轉(zhuǎn)，求NEOP的度數(shù)

⑶若射線OC在NAO3的外部繞點。旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)中—AOC,33OC均指小于180。的角),

其余條件不變，請借助圖3探究NEC彳的大小.

變式3.如圖，NAOB=90。，N3OC=30。，平分/AOC,ON平分/BOC.

(1)求NMON的度數(shù)；

(2)將OC繞著點。順時針旋轉(zhuǎn)，仍然分別作/AOC,/80C的平分線OM,ON,能否求

出NMON的度數(shù)？若能，請求出其值；若不能，請說明理由；

⑶若/A08=a(0°<a<90°),ZBOC=/3,仍然分別作(2)中操作，能否求出/MON

的度數(shù)？若能，直接寫出/MON的度數(shù).

【考法二、求角的運動時間】

例.如圖兩個形狀、大小完全相同的含有30。，60。的三角板如圖1放置，ZDOC=ZM=30°,

NO、與直線AB重合，且三角板NQW,三角板。OC均可以繞點。旋轉(zhuǎn).

圖1圖2圖3

(1)將圖1中的三角板DOC保持不動，三角板NOM繞點。以每秒2。的速度沿順時針方向旋

轉(zhuǎn)一周，如圖2,經(jīng)過/秒后，平分NBOC,求此時t的值；

⑵將圖1三角板NOM繞點。以每秒2。的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周的同時，三角板。OC

也繞點0以每秒6。的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過多長時間邊OC與加首次重合;

(3)如圖③，將圖1三角板NQW繞點。以每秒5。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板DOC繞點

。以每秒1。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，(當(dāng)轉(zhuǎn)到與02重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動)，在旋轉(zhuǎn)

過程中，ON、OC,三條射線中，得到三個角NNOC,ZCOA,ZNOA,當(dāng)這三個角

中有一個角是另外一個角的2倍時，直接寫出旋轉(zhuǎn)的時間t的值.

變式1.將一副三角板按圖1擺放，把它抽象成幾何圖形，便得到圖2,已知NACB=30。，

NDCE=45。.保持三角板ABC不動，將三角板。CE繞點C以每秒5。的速度順時針轉(zhuǎn)動(即

三角板DCE的每一條邊都繞點C以相同速度順時針轉(zhuǎn)動)，如圖3所示，設(shè)轉(zhuǎn)動時間為/秒

(0<r<27).

(2)在三角板。CE轉(zhuǎn)動的過程中，請判斷NACD與/BCE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)如圖4,在三角板。CE轉(zhuǎn)動的過程中，分別作/BCE和NACD的平分線。0和CN,請

求出當(dāng)f為何值時，——幺笠——=2.

ZDCN-ZBCM

變式2.如圖，把一副三角尺拼在一起，其中三角形A3C是等腰直角三角形，ZBCA=90°,

并且8,C,E三點在同一直線上.

(1)如圖1,求44。的度數(shù)；

(2)如圖2,若射線CM,CA分別從CB,C4位置開始，同時繞點C以每秒5。的速度順時針

勻速旋轉(zhuǎn)180。，CT平分/A'C3(0°</A'C3<180。)，CG平分/3'慮(0。<乙?'慮<180。)，

設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為f秒.

①當(dāng)0</<18時，/PCG的度數(shù)是否等于一個定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說

明理由；

②當(dāng)才為何值時，ZS,CF=2ZGC4,?

39

變式3.如圖，射線02、OC在NAOD內(nèi)部，5.^^.ZAOB=-^BOC=~^COD,其中

/8OC=48。.射線0尸、。2同時分別從射線。4、OD出發(fā)，射線0P以每秒16。的速度順

時針旋轉(zhuǎn)，射線。。以每秒8。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，-3OC所在區(qū)域為"轉(zhuǎn)換區(qū)"：當(dāng)OP從射

線08進(jìn)入"轉(zhuǎn)換區(qū)"，其速度變?yōu)樯渚€。。的旋轉(zhuǎn)速度，當(dāng)射線。。從射線OC進(jìn)入"轉(zhuǎn)換區(qū)"，

其速度變?yōu)樯渚€OP的旋轉(zhuǎn)速度，出"轉(zhuǎn)換區(qū)”后都分別以各自原來的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時

間為/秒.

備用圖備用圖

⑴分別求出NAOB、NCOD的度數(shù).

(2)當(dāng)射線OP與射線。。重合時，求f的值及此時/B0尸的度數(shù).

⑶當(dāng)射線OP與射線OD重合時停止旋轉(zhuǎn)，求滿足NBOP=ZCOQ時/的值.

【考法三、角度之間數(shù)量關(guān)系】

例.已知線段Afi=20cm,CD=2cm,線段CO在線段A3上運動，E、尸分別是AC、8。的

中點.

(1)若AC=4cm,則EF=cm.

(2)當(dāng)線段C。在線段A3上運動時，試判斷所的長度是否發(fā)生變化？如果不變，請求出E尸

的長度；如果變化，請說明理由.

⑶我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖②，己知NCOD在NAOB內(nèi)部轉(zhuǎn)動，OE、OF

分別平分/AOC和/3OD,若/AO3=142。，/COD=38。，貝.由此，

你猜想/￡。產(chǎn)、/AC?和NCOD有怎樣的數(shù)量關(guān)系.(直接寫出猜想即可)

變式1.定義：從/490。<,<180。)的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部作一條射線，若該射線將

分得的兩個角中有一個角與互為補(bǔ)角，則稱該射線為的"好線如圖，點。在直線

AB1.,OC、0。在直線48上方，且OCLOD,射線OE是ZAOD的"好線

(1)若/8OD=25。，且?！暝贜COD內(nèi)部，求/COE的度數(shù)；

(2)若?！昵『闷椒諾AOC,求ZBOD的度數(shù)；

⑶若是/AOE的平分線，0G是，BOC的平分線，直接寫出/EOB與/DOG的數(shù)量關(guān)

系.

變式2.定義：從/a(90°<tz<180°)的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部作一條射線，若該射線將

分得的兩個角中有一個角與互為補(bǔ)角，則稱該射線為/a的"好線如圖，點。在

直線A8上，OC.OD在直線A8上方，且OCJ_OD,射線OE是/AOD的"好線"；

(1)若NBQD=26。，且OE在NCOD內(nèi)部，則NCOE=_。；

(2)若0E恰好平分NAOC,請求出NBOD的度數(shù)；

⑶若0斤是/AOE的平分線，OG是，8OC的平分線，請畫出圖形，探究NEOF與NDOG

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

變式3.將一副直角三角板如圖1擺放在直線AD上(直角三角板03C和直角三角板MON,

ZOBC=90°,/BOC=45°,NMON=90°,ZMNO=30°),保持三角板OBC不動，將三

角板MON繞點O以每秒6。的速度順時針旋轉(zhuǎn)直至OAf邊第一次重合在直線AO上

圖1圖2圖3備用圖

⑴當(dāng)/=_秒時，平分NNOC；

(2)①如圖2,旋轉(zhuǎn)三角板MON，使得OM、QV同時在直線OC的異側(cè)，則ZNOC與NAOM

數(shù)量關(guān)系為二

②如圖3,繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板MON,使得OM、ON同時在直線OC的右側(cè)，猜想NNOC與

N49M有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

⑶若在三角板MON開始旋轉(zhuǎn)的同時，另一個三角板03c也繞點。以每秒3。的速度順時針

旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至直線上時同時停止.請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中NNOC與的

關(guān)系.

【考法四、角度定值問題】

例.如圖1,點。在直線上，射線Q4、08在直線上方，ZBON=30°,ZAON>30°.

圖1圖2備用圖

(1)若NAON=105。,請說明射線Q4是ZBOM的角平分線;

(2)射線OC在直線MV上方，O尸平分/COM,ZAOB^ZAOC,

①當(dāng)/AQP=50。時，求—3OC的度數(shù)

②當(dāng)/3OC=2/AOC時，是否存在常數(shù)％使得人NBOP-NCOZV的值為定值？若存在，請

求出常數(shù)上的值，若不存在，請說明理由.

變式1.如圖，兩條直線48,CD相交于點。，且NAOC=N3OD=90。，射線從08開

始繞。點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為每秒15。，射線CW同時從OD開始繞。點順時針方向旋轉(zhuǎn),

速度為每秒12。，運動時間為f秒(0</<12,本題出現(xiàn)的角均不大于平角).

備用圖

⑴當(dāng)r=2時，NAOM的度數(shù)為度，的度數(shù)為度.

(2”為何值時，ZAOM=ZAON.

13/DOM—4NAON

⑶當(dāng)射線QW在33OC的內(nèi)部時，探究是不是一個定值?若是,請求

3NM0N

出這個定值.

變式2.如圖，已知NAOC=20。，以。為頂點，0A為一邊順次往外畫兩個銳角—403和

Z.BOD,并且NBOZ)=2NAC?,OM平分/BOD,ON平令NBOC.若設(shè)

ZAOB=x°(0<x<45).

⑴當(dāng)射線ON在^AOB內(nèi)時.

①若NAON=10。，求x的值;

②若OE是ZBOM內(nèi)的一條射線，且NBOE=弓x-5］。，判斷OE是圖中哪個角的平分線，

并說明理由；

⑵改變一AO3的大小，探究/MON-/AO8-NAON的大小是否發(fā)生變化？若不變，請求

出它的值；若變化，請說明理由.

變式3.如圖，已知NAOC=20。，以。為頂點，0A為一邊順次往外畫兩個銳角—AO3和

ZBOD,并且NBQZ)=2NAC?,OM平分/BOD,ON平分NBOC.若設(shè)

ZAOB=x°(0<x<45).

⑴當(dāng)射線ON在NAO3內(nèi)時.①若/4ON=10。，求x的值；

②若OE是40暇內(nèi)的一條射線，且〃田匕一］。，判斷是圖中哪個角的平分線，

并說明理由；

(2)改變NAO3的大小，探究NMON-NAOB-NAON的大小是否發(fā)生變化？若不變，請求

出它的值；若變化，請說明理由.

【考法五’角度中的新定義問題】

例.【新概念】如圖1,OC為-403內(nèi)一條射線，當(dāng)滿足NAO8=mNAOC時，我們把射線

OC叫做射線0403的相等個性線，記作03).(其中根為正整數(shù))

【實際應(yīng)用】已知：0為直線A5上一點，過。點作射線OC.

(1)如圖2,將一個三角板(含30。、60。)直角頂點。放在。處，另兩條邊分別為DEDF,

當(dāng)DE是［OB,。。)時，DF_\OA,OC).(填"是"或"不是").

⑵如圖3,將三角板的60。頂點E放在。處，那么當(dāng)E￡>是3(05,0。)時，是否也是

3(OC,OA)?請先猜想結(jié)果，再說明理由.

⑶將圖3中的射線繞。點逆時針旋轉(zhuǎn)嫁(0<0<90。)，如圖4,此時存在正整數(shù)根使EO

是"(OC,OB)的同時,所也是'"(OC,Q4),則加=_.

變式1.如圖，直線48與直線CD相交于點O,ZAOC=60°,已知NMON=60。，AMON統(tǒng)

點。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)前，邊與射線。3重合，邊ON與射線重合.將4/ON繞

點。按每秒12。的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周.

⑴如圖1,從NMON旋轉(zhuǎn)開始至QV邊與射線OC重合時，共需多少秒？

⑵ZMON旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置時,試說明/CON與ZAOM有何數(shù)量關(guān)系,并說明理由；

(3)如圖3,己知NPOQ=60。，NP。。繞點。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)前，邊OP與射線OC重

合，邊。Q與射線Q4重合.若在NMON旋轉(zhuǎn)過程中，NPOQ繞點。以每秒3。的速度繞點

O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NMON停止旋轉(zhuǎn)時，N尸OQ也停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)邊ON所

在直線恰好平分銳角NPOQ時，求出旋轉(zhuǎn)時間.

變式2.若/A+2/3=90。，我們則稱—3是—A的"絕配角".例如：若/1=10。，/2=40。,

則Z2是Z1的“絕配角"，請注意：此時Z1不是Z2的"絕配角”.

圖1圖2圖3D備用圖

(1)如圖1,已知NAO3=60。，在-403內(nèi)存在一條射線OC,使得-4OC是Z3OC的“絕

配角”，此時ZAOC=：(直接填寫答案)

(2)如圖2,已知NAO3=60。，若平面內(nèi)存在射線OC、OD(OD在直線02的上方)，使得

4OC是Z3OC的"絕配角"，NBOC與/BOD互補(bǔ),求NAOD大?。?/p>

⑶如圖3,若44。8=10。，射線OC從。4出發(fā)繞點。以每秒20。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，射線

繞點。從出發(fā)以每秒10。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，平分一AOC,ON平分■/BOD,運動

時間為f秒(0<?<20).

①當(dāng)0</<17時，/AO3是NMQV的"絕配角"，求出此時f的值：

②當(dāng)17<Y20時，t=時，/AOB是NMON的"絕配角"(直接填寫答案).

變式3.如果兩個角的差的絕對值等于60。，就稱這兩個角互為“伙伴角"，其中一個角叫做

另一個角的“伙伴角"(本題所有的角都指大于0°小于180°的角)，例如Zl=80°,Z2=20°,

|Z1-Z2|=60°,則Z1和Z2互為"伙伴角"，即Z1是Z2的"伙伴角"，Z2也是Z1的"伙伴角”.

AOBO

圖1圖3

⑴如圖1.。為直線A8上一點，ZAOC=ZEOD=90°,ZA0E=60°,則—AOE的"伙伴角”

是.

⑵如圖2,。為直線A8上一點，440c=30。，將—3OC繞著點。以每秒1。的速度逆時針旋

轉(zhuǎn)得NDOE,同時射線。尸從射線。4的位置出發(fā)繞點。以每秒4。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射

線OP與射線重合時旋轉(zhuǎn)同時停止，若設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為f秒，求當(dāng)"可值時，NPOD與NPOE

互為"伙伴角”.

(3)如圖3,ZAOB=160°,射線O/從。4的位置出發(fā)繞點。順時針以每秒6。的速度旋轉(zhuǎn)，旋

轉(zhuǎn)時間為r秒射線平分/AO/,射線CW平分/反〃，射線。尸平分

AMON.|^：是否存在r的值使得NAO/與/P。/互為"伙伴角"？若存在，求出"直；若不

存在，請說明理由.

【課后練習(xí)】

1.已知NAO3=150。，OC為一AO3內(nèi)部的一條射線，NBOC=60°.

EC

OB0B(F)OBOB

備用圖

(1)如圖1,若OE平分NAO瓦OD為ZBOC內(nèi)部的一條射線，NCOD=g/BOD,貝|

/DOE=_；

⑵如圖2,若射線OE繞著。點從開始以每秒15。的速度順時針旋轉(zhuǎn)至08結(jié)束、OF繞

著。點從02開始以每秒5。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)至。4結(jié)束，當(dāng)一條射線到達(dá)終點時另一條射

線也停止運動.若運動時間為t秒，當(dāng)=時，求f的值；

⑶如圖3,若射線繞著。點從開始以每秒15。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)至03結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)

過程中，ON平分，A0M,試問：在某時間段內(nèi)是否為定值？若不是，請

畫出圖形,并說明理由;若是，請畫出圖形，并直接寫出這個定值以及f相應(yīng)所在的時間段.(題

中的角均為大于0°且小于180°的角)

2.對于四條具有公共頂點的射線，如果其中兩條射線構(gòu)成的角a位于另兩條射線構(gòu)成的角

￡內(nèi)，且a等于￡的一半，那么我們把角a稱為角￡的內(nèi)半角，這四條射線稱為成內(nèi)半角射

線組.

(1)如圖1,已知NAO3=140。，ZAOC^15°,NCOD是N2OB的內(nèi)半角，則度.

圖1

⑵下列各圖中，已知NAO3=40。，ZS(9C=50°,ZB(9D=60°,那么其中射線。4、OB、

OC、OD為成內(nèi)半角射線組的是

(3)如圖2,已知ZAOB=30。，現(xiàn)將射線OA、OB同時繞頂點。以5度/秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，

對應(yīng)得到射線OC、OO.問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線。4、OB、OC、OD能否為成

內(nèi)半角射線組？如果能，請直接寫出旋轉(zhuǎn)的時間；如果不能，請說明理由.

3.綜合應(yīng)用：

三角尺是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)常見的工具，同時也因它的應(yīng)用廣泛性，常常作為命題的素材.

【數(shù)學(xué)來源于生活】

動手實踐：將一副三角尺按甲、乙、丙、丁四種不同方式擺放.

甲乙丙丁

⑴在的擺放方式中Na與4互余;在的擺放方式中Ne與4互補(bǔ)

⑵在哪種擺放方式中/e與“相等？請說明理由.

(3)【抽象數(shù)學(xué)問題】如圖1所示，將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起.若"CE=25。,

則NACB=°；若ZACB=130。，則/￡)CE=°.

⑷如圖2所示，若兩個同樣的三角板，將60。銳角的頂點A疊放在一起，則與NC4E

有何數(shù)量關(guān)系，請說明理由.

4.已知NCOD在—AQB的內(nèi)部，ZCOD.ZAOB=1:1,NCOD是—AOB補(bǔ)角的工.

2

（本題出現(xiàn)的角均指不大于平角的角）

⑴如圖1,求NC8的值；

（2）在（1）的條件下，OC平分/AOD,射線31滿足NMOC=4NMO3,求NMO3的大??；

⑶如圖2,若NAOC=30。，射線OC繞點0以每秒30。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時射線O少以

每秒10。的速度繞點0順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與02重合后，再以每秒5。的速度繞點。逆

時針旋轉(zhuǎn).設(shè)射線OD,OC運動的時間為t秒（0<*9）,當(dāng)|/3。。一/3。。|=50。時，請

直接寫出/的值_____.

5.如圖1,如圖點。為線段上一點，一副直角三角板的直角頂點與點。重合，直角邊

DO,30在線段MN上，ZCOD=ZAOB=90°.

MN

6

備用圖2

⑴將圖1中的三角板COD繞點。沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，若NAOC=35。,

則N3OD=；猜想/AOC與/80。的數(shù)量關(guān)系為；

⑵將圖1中的三角板COO繞點0沿順時針方向按每秒12。的速度旋轉(zhuǎn)一周，三角板不

動，請問幾秒后OD所在的直線平分-AOB?

⑶將圖1中的三角板COD繞點。沿逆時針方向按每秒9。的速度旋轉(zhuǎn)兩周，同時三角板AO3

繞點。沿逆時針方向按每秒3。的速度旋轉(zhuǎn)（隨三角板COD停止而停止），請直接寫出幾秒

后OC所在的直線平分NAON?

6.已知—AO3,過頂點。作射線。尸，若ZBOP=L/AOP,則稱射線。尸為—AO3的“好

2

線”，因此203的“好線"有兩條，如圖1,射線0P1,0P2都是402的“好線

⑴已知射線