平面向量與復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

第05講平面向量與復(fù)

(新高考專用)

一、單項選擇題

1.(2024?北京?高考真題)設(shè)五,方是向量，則“@+分@一石)=0"是*=一：或3=1”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知@+為?0-為=0等價于同=同，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【解答過程】因為@+了＞@—石)=方2—京=0,可得珍2=京,即@=同，

可知@+刃),@-了)=0等價于可=同,

若3=了或五=一了，可得同=同，即@+了)?@一方)=0,可知必要性成立；

若0+b)?(3—b)=0,即同=也|,無法得出N=b或N=—6,

例如N=(1,0),h=(0,1),滿足同=同，但匯豐5且N4一反可知充分性不成立；

綜上所述，“@+為?Q-司=0”是*H石且方力-左的必要不充分條件.

故選：B.

2.(2024?全國?高考真題)設(shè)向量工=(久+l,x)I=(x,2),貝！|()

A."％=-3”是定的必要條件B.“久=-3”是%〃針的必要條件

C.氣=0”是%，物的充分條件D.“x=-1+g”是*//E”的充分條件

【解題思路】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【解答過程】對A,當(dāng)方，了時，貝皈?石=0,

所以x-(x+l)+2;c=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A錯誤；

對C,當(dāng)x=0時，a=(1,0),b=(0,2),故N,b=0,

所以之,工，即充分性成立，故C正確；

對B,當(dāng)工〃石時，則2(x+l)=/,解得x=l±V^,即必要性不成立，故B錯誤；

對D,當(dāng)x=—1+百時，不滿足2(久+1)=/,所以引/石不成立，即充分性不立，故D錯誤.

故選：C.

3.(2024?全國?高考真題)已知向量小方滿足同=1,怔+2同=2,且佰-23)1瓦則同=()

A.-B.—C.—D.1

222

【解題思路】由歷一22)1了得京=2五.反結(jié)合同=1,忖+2同=2,得1+4方4+4京=1+6京=4,

由此即可得解.

【解答過程】因為0—2萬)，丸所以年一22)不=0,即京=2五及

又因為同=1,\a+2b\=2,

所以1+4方,b+4爐=1+6b2—4,

從而同=當(dāng)

故選：B.

4.(2024?全國?高考真題)已知向量方=(0,1)1=(2,x),若了,0―4N),則％=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解題思路】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運算可求”的值.

【解答過程】因為1,巧一4五)，所以石—42)=0,

所以匕2—43?b=0即4+d—4久=0,故久=2,

故選：D.

5.(2023?北京?高考真題)已知向量落了滿足方+1=(2,3),N—1=(-2,1),則同2一的2=()

A.-2B.-1C.0D.1

【解題思路】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.

【解答過程】向量甚了滿足工+了=(2,3),a-b=(-2,1),

所以畫2-麗2=0+5).①―另)=2義(-2)+3x1=—1.

故選：B.

6.(2024?北京?高考真題)已知2=—l—i,貝!]z=()

1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【解題思路】直接根據(jù)復(fù)數(shù)乘法即可得到答案.

【解答過程】由題意得z=i(-l—i)=1—i.

故選：C.

7.(2024?全國?高考真題)設(shè)z=V^i,則z-7=()

A.-2B.V2C.-V2D.2

【解題思路】先根據(jù)共軻復(fù)數(shù)的定義寫出2,然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算.

【解答過程】依題意得，z—V2i,故z2=—2i2=2.

故選：D.

8.(2024?全國?高考真題)若z=5+i,貝iji(2+z)=()

A.10iB.2iC.10D.2

【解題思路】結(jié)合共輾復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的基本運算直接求解.

【解答過程】由z=5+i=2=5-i,z+2=10,則i(2+z)=10i.

故選：A.

9.(2024?全國?高考真題)已知z=—l—i,貝ij|z|=()

A.0B.1C.V2D.2

【解題思路】由復(fù)數(shù)模的計算公式直接計算即可.

【解答過程】若Z=—1—i,貝“Z|=J(-1/+(-1)2=V2.

故選：C.

10.(2024?全國?高考真題)若3=i+i,則2=()

z—1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【解題思路】由復(fù)數(shù)四則運算法則直接運算即可求解.

i

【解答過程】因為一？=y=l+27=l+i，所以z=l+L=l-i.

z—1z—1z—11

故選：C.

11.(2023?北京?高考真題)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(-1,遮)，貝！|z的共根復(fù)數(shù)2=()

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1一V3i

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)z,然后利用共輒復(fù)數(shù)的定義計算.

【解答過程】z在復(fù)平面對應(yīng)的點是(-1,遮)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，z-1+V3i,

由共輾復(fù)數(shù)的定義可知，z=-1-V3i.

故選：D.

12.(2023?全國?高考真題)已知向量訝=(3,1通=(2,2),則cos值+了,工一力=()

A.工B.旦C.或D.辿

171755

【解題思路】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得忖+同,忖-司+為?@-為，從而利用平面

向量余弦的運算公式即可得解.

【解答過程】因為E==(2,2),所以方+了=(5,3),五一石=(1,一1),

則忖+同=V52+32=V34,|a-b|=VlTT=V2,(a+b)-(a-h)=5x1+3x(-1)=2,

@+1)?@一萬)_2V17

所以cos值+b,~a—b)

|a+b||a-h|-V34xV217，

故選：B.

13.（2023?全國?高考真題）已知向量甚左2滿足同=\b\=l,|c|=V2,且/+1+2=6,則cos位一君另一0=

（）

【解題思路】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【解答過程】因為五+刃+下=6,所以五+1=一匕

即22+b2+Za-b=矛,即l+1+Za-b^2,所以工?了=0.

如圖，設(shè)成=蒼礪=了,而=下，

C

由題知,02=0B=1,0C=a,△0aB是等腰直角三角形，

AB邊上的高OD=',AD=y,

所以。。=。。+。。=魚+1=孚，

AJ-)IQ

tan乙4CD=-=-cos^ACD=心,

CD3'fVlO5

cos(a—~c,b—c)=cosZ-ACB=cos2z.ACD=2cos2Z-ACD-1

故選:D.

14.（2023?全國?高考真題）已知。。的半徑為1,直線E4與。。相切于點4,直線必與。。交于5,C

兩點，。為8C的中點，若伊。|=魚，則而?雨的最大值為（）

A1+V2「1+2V2

A.-----B.-------

22

C.1+V2D.2+V2

【解題思路】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得西?麗=1-^sin(2a-

￡),或可.而=[+乎sin(2a+：)然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定可?方的最大直

【解答過程】如圖所示，|0*=1,|OP|=VL則由題意可知:乙4P。=夕

由勾股定理可得|P川=70P2—。力2=1

當(dāng)點4。位于直線P。異側(cè)時或P8為直徑時，設(shè)NOPC=a,0<a<\

4

則：PA-PD=\PA\-|PP|cos(a+^)

^

=1xV2cosacos(a7

^

V-2

=V2coscr2

=cos2a—sinacosa

1+cos2a1

——sin2a

22

1V2/TC\

———sin[2a

22V4/

0<a<-,則一百工2。一百<2

4444

???當(dāng)2a-；=-:時，麗?所有最大值1.

當(dāng)點4。位于直線P。同側(cè)時，設(shè)NOPCa,0<a<J,

4

則：PA-PD=\PA\-\PD\cos(a-J)

=1xV2cost￥cos(a

V-2

=v2cosa2

=cos2^a+Is■inacosa

1+cos2a1

=----------1-2sin2a

=1+Tsin伽+》

0<a<-,貝仁W2a+E<啊

4444

???當(dāng)2a+3=弱寸，PA-而有最大值等.

綜上可得，麗?麗的最大值為等.

故選：A.

15.(2023?全國?高考真題)已知向量君=(1,1),了=(1,一1),若@+昉)，@+而)，則()

A.4+〃=lB.4+〃=—1

C.A/i=lD.X[i=-1

【解題思路】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出五+點，a+tib,再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【解答過程】因為方=(1,1),b=(1,—1),所以方+AZ?=(1+A,1—A),工+=(1+出1一〃),

由0+4b)_L0+曲)可得,(a+Xb)-(a+gfe)=0,

即(1+/1)(1+〃)+(1—儲(1—〃)=0,整理得：4〃=—L

故選：D.

16.(2023?全國?高考真題)|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.V5D.5

【解題思路】由題意首先化簡2+i?+2i3,然后計算其模即可.

【解答過程】由題意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i,

則|2+i2+2i3|=|1-2i|=JN+(一2尸=底

故選：C.

17.(2023?全國?高考真題)()

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的四則運算求解即可.

【解答過程】=卓=1_

(2+i)(2—1)5

故選：C.

18.(2023?全國?高考真題)設(shè)aWR,3+i)國一山)=2,,則丁=(

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運算以及復(fù)數(shù)相等即可解出.

【解答過程】因為(a+i)(l—CLI)=a—/]+j+。=2a+(1—=2,

所以｛l"jlo,解得：a=l.

故選：C.

19.(2023?全國?高考真題)設(shè)2=卓=，貝吃=()

l+r+r

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【解題思路】由題意首先計算復(fù)數(shù)z的值，然后利用共軌復(fù)數(shù)的定義確定其共輾復(fù)數(shù)即可.

【解答過程】由題意可得z==鼻=粵=與=1—2i,

l+r+rl—l+ir—1

則Z=1+2i.

故選：B.

20.(2023?全國?高考真題)已知Z=*T，貝!Jz—，=()

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出z,再由共輒復(fù)數(shù)的概念得到2,從而解出.

故選：A.

21.(2023?全國?高考真題)在復(fù)平面內(nèi)，(l+3i)(3-i)對應(yīng)的點位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【解答過程】因為(1+3i)(3一i)=3+8i-3i2=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為(6,8),位于第一象限.

故選：A.

22.(2022?全國?高考真題)已知向量H=(3,4),方=(1,0),下=H+房，若＜心下＞=〈下,下＞,則土=()

A.-6B.-5C.5D.6

【解題思路】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得

【解答過程】解：/=(3+t,4),cosv5K>=cos<b,">,即t鬻，解得力=5,

5ml\c\

故選：C.

23.(2022?全國?高考真題)已知向量H=(2,1),萬=(—2,4),則忖一可()

A.2B.3C.4D.5

【解題思路】先求得萬，然后求得怔一印

【解答過程】因為3-b=(2,1)—(-2,4)=(4,—3),所以忖―=54?+(-3尸=5.

故選：D.

24.(2022?全國?高考真題)已知向量乙方滿足同=1,向=b,口一2萬|=3,則H?萬=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解題思路】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.

【解答過程】解：:耳一2H2=回2_狽.刃+4同2,

又：同=1,\b\=V3,|a-2b\=3,

.,.9=l-4a-fo+4x3=13-4a-fo,

a-b—1

故選：C.

25.(2022?全國?高考真題)在△ABC中，點。在邊N8上，BD=2DA.記@5=沅，而=五,則詬=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【解題思路】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出.

【解答過程】因為點。在邊上，BD=2DA,所以前=29，即,一歷=2(/一前)，

所以CB=3CD-2c4=37?—2沅=—2m+3n.

故選：B.

26.(2022?浙江?高考真題)已知。/64￡1+31=(6+)。為虛數(shù)單位)，則()

A.a—l,b――3B.a-l,b—3C.a――1,b-3D.a—1,b—3

【解題思路】利用復(fù)數(shù)相等的條件可求a,6.

【解答過程】a+3i-1+bi,而a,b為實數(shù)，故a=—1,b=3,

故選：B.

27.(2022?全國?高考真題)(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2—4iC.6+2iD.6—2i

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【解答過程】(2+2i)(l一2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

故選：D.

28.(2022?全國?高考真題)設(shè)(l+2i)a+b=2i,其中a,6為實數(shù)，貝！I()

A.a=l,b=-1B.a=l,b=1C.a=—l,b=lD.a=-1,b=—1

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及復(fù)數(shù)相等的概念即可解出.

【解答過程】因為a,6€R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得：a=l,6=—l.

故選：A.

29.(2022?全國?高考真題)若z=1+i.貝！||iz+32|=()

A.4V5B.4V2C.2V5D.2V2

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則，共輒復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)模的計算公式即可求出.

【解答過程】因為z=1+i,所以iz+32=i(l+i)+3(1—i)=2-2i,所以|iz+3團=V4T4=2位.

故選：D.

30.(2022?全國?高考真題)若z=—l+Wi,則3=()

ZZ—1

A.-1+V3iB.-1-V3iC.-i+―iD.—i

3333

【解題思路】由共輾復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算即可得解.

【解答過程】Z=—1-bi,zZ=(—1+Bi)(-1—Hi)=1+3=4.

z-1+V3i1V3

------------------------------1-----i

zz—1333

故選：C.

31.(2022?北京?高考真題)若復(fù)數(shù)z滿足i-z=3-4i,則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【解題思路】利用復(fù)數(shù)四則運算，先求出z,再計算復(fù)數(shù)的模.

【解答過程】由題意有2=上曳=@渭N=—4—3i,故團=〃一4)2+(-3)2=5.

故選：B.

32.(2022?全國?高考真題)若i(l—z)=l,貝物+%=()

A.—2B.-1C.1D.2

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法可求z,從而可求z+Z.

【解答過程】由題設(shè)有1一Z=：=/=-i,故2=1+i,故Z+7=(1+i)+(1—i)=2,

故選：D.

二、填空題

33.(2024?上海?高考真題)已知彼=(2,5),石=(6,k),且五〃及則k的值為15

【解題思路】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.

【解答過程】?■a//b,2fc=5x6)解得k=15.

故答案為：15.

34.(2024?天津?高考真題)在邊長為1的正方形4BCD中，點E為線段CD的三等分點，CE=加年=廊+

面,則％+〃=_二；F為線段BE上的動點，G為ZF中點，則赤?瓦的最小值為—亮

31O

【解題思路】解法一：以｛瓦i阮｝為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求前，即可得4+〃，設(shè)品=卜鋸，求

AF.DG,結(jié)合數(shù)量積的運算律求族?麗的最小值；解法二：建系標(biāo)點，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求戰(zhàn)，即可得

2+4，設(shè)尸(a,-3a),a€求赤，麗，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運算求喬?麗的最小值.

【解答過程】解法一：因為CE=[Z)E,即=則露=近+而=(瓦？+阮，

可得4='!，〃=1,所以％+〃=*

由題意可知：|前|=|瓦5|=1,瓦？?近=o,

因為F為線段BE上的動點，設(shè)麗=kBE=^kBA+kBC,ke[0,1],

則而^AB+BF^AB+kBE=-1)函+kBC,

又因為G為力F中點，則麗=DA+AG=-BC+^AF=|Qfc-1)+Q/c-1)BC,

可得存?而=l)51+fcBc]?Qfc-1)BC]

+fcQfc—

又因為ke[0,1],可知：當(dāng)k=l時，而?前取到最小值

1O

解法二：以8為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則4(一1,0),B(0,0),C(0,l),0(-1,1),E(—p1),

可得瓦5=(-1,0),BC=(0,1),BF=

因為南=4瓦？+〃阮=(-4,4),貝J_4=_W,所以4+〃=3

I〃=13

因為點F在線段BE:y=_3與xe[—g,0]上，設(shè)F(a,-3a),aW[-g0卜

且G為中點，則G

可得力F=(a+1,-3a),DG——|a-

則而-DG=史盧+(-3a)(―|a—1)=5(a+J—奈

且ae[—go],所以當(dāng)a=—1時，4尸,DG取到最小值為—福；

故答案為:p-套

35.(2024?上海?高考真題)已知虛數(shù)z,其實部為1,且z+4=m(>neR),則實數(shù)?n為2.

Z

【解題思路】設(shè)z=l+歷力CR且bKO,直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，再根據(jù)復(fù)數(shù)分類即可得到答案.

【解答過程】設(shè)z=1+bi,bGR且b豐0.

則z+j=i+bi+磊=(鬻+(睛i=m,

"=巾

mER,,解得ni=2,

【三t=。

故答案為：2.

36.(2024?天津?高考真題)已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(逐+i)?(逐—2i)=7—底.

【解題思路】借助復(fù)數(shù)的乘法運算法則計算即可得.

【解答過程】(聲+i)?(代—2i)=5+代］一2V5i+2=7-V5i.

故答案為：7-V^i.

37.(2023?全國?高考真題)已知向量灑了滿足忖—同=百，忖+司=團一司，則同=圓.

【解題思路】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令下=E一及結(jié)合數(shù)量積的

運算律運算求解.

【解答過程】法一：因為忖+司=固一同，即0+司2=(2工一司之，

則22+Za-b+b2=4a2-4a-fe+b2,整理得聲-2a-0,

又因為忖一同=百，即@一司2=3,

貝(/一2萬.b+川=扶=3,所以也|=舊.

法二：設(shè)？=/一反則同=■3+1=2+252/一萬=2乙+了，

由題意可得：(c+2b)=(2c+b),貝仔+4下?了+4京=4不+4??1+京，

整理得：c2=b2,即同=?=瘋

故答案為：V3.

38.(2023?天津?高考真題)已知i是虛數(shù)單位，化簡甥的結(jié)果為」

【解題思路】由題意利用復(fù)數(shù)的運算法則，分子分母同時乘以2-3i,然后計算其運算結(jié)果即可.

52+13i

【解答過程】由題意可得答4+L

2+31(2+31)(2-31)13

故答案為：4+i.

39.(2022?天津?高考真題)在△力BC中，&?=方,屈=反。是/C中點，麗=2BE,試用五，石表示歷為_|五二

氣，若同，爐，則乙4cB的最大值為_g_.

Zo

【解題思路】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出示，以低，可為基底，表示出南，既，由48,

DE可得3萬2+/=4萬也，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點E為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0,0),B(l,0),C(3,0),4Q:,y),由力B，DE可得點力的軌跡為以

M(-1,0)為圓心，以r=2為半徑的圓，方程為。+1)2+必=%即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)C4

與OM相切時，NC最大，即求出.

【解答過程】方法一：

A

D

___、___k、a----k1、、___k----9b、___、-h----k

DE=CE-CD=扣-扣,AB=CB-CA=b-a,AB1DEn(3h-a)?(b-a)=0,

3序+/=鉉不"os乙4cB=贏=褊2嘴臀=今當(dāng)且僅當(dāng)問=遮忖時取等號，而°<

AACB<TT,所以N4CB6(0,勺.

6

故答案為：—^a；g

226

方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系:

E(0,0),B(l,0),C(3,0)M(x,y)>加=(二,一(),而=(".y),

瓦1都今(學(xué))(x-l)+?=0=(x+l)2+y2=4,所以點A的軌跡是以M(—1,0)為圓心，以r=2為

半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)C4與OM相切時，NC最大，此時sinC=