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第21講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

（4類核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算

2024年天津卷，第14題,5分

律數(shù)量積的坐標(biāo)表示

余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式

2023年天津卷，第14題,5分

求積的最大值

2022年天津卷，第14題,5分用基底表示向量向量夾角的計(jì)算

2021年天津卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律

2020年天津卷，第15題,5分已知向量共線（平行）求參數(shù)用定義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標(biāo)表示

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握平面向量的基本定理

2.能掌握空間直角坐標(biāo)系的點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)算

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)坐標(biāo)解決向量共線問題

4.會(huì)利用向量點(diǎn)坐標(biāo)的公式求解向量共線以及加減數(shù)乘問題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出圖形，求解向量的線性表示與模長(zhǎng)數(shù)量積問題。

Gt.考點(diǎn)梳理，

1

L知識(shí)點(diǎn)一.平面向量基本定理j考點(diǎn)一、平面向量基本定理的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)二.平面向量的正交分解

、q_---但1.向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模土上一4'-3

平面向量基本定理及坐標(biāo)表示，4知Tl識(shí)n點(diǎn)二.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2.向量坐標(biāo)的求法考點(diǎn)一、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

5、□4E1正赤白息丹法的巫尸主一考點(diǎn)三、利用向量共線求參數(shù)

知1八點(diǎn)四.平面向量八線的坐標(biāo)表示考點(diǎn)四、利用向量共線求向量與點(diǎn)坐標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)五.平面向量基本定理的推論

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.平面向量基本定理

如果內(nèi)，&是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量。，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九,盡

使。=九01+4202.

若ei,e2不共線，我們把｛ei，e2｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

知識(shí)點(diǎn)二.平面向量的正交分解

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

知識(shí)點(diǎn)三.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模

設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,y2),貝U

a+B=(xi+.,yi+了2),a—6=(xi-X2,.vi一竺),貓=(屆，攸),\a\—\lxl~\-yl.

2.向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)/(XI，>1),5(X2,y2)>則海=(X2—XI,V2-vi),\A^\=yj(x2-xi)2+(y2-y1)2.

知識(shí)點(diǎn)四.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)〃=(xi,yi)fb=(xi,yi),其中厚0,貝Uall〃=xi”2——X2yi=0

知識(shí)點(diǎn)五.平面向量基本定理的推論

1.設(shè)〃=九61+丸2c2，力=23?1+44?2(41，丸2，丸3，，￡R),且《1，。2不共線，右a=b,則丸1=23且Z2=%4.

2.若〃與〃不共線，且%〃+〃〃=0,則%=〃=0.

IA

O

3.平面向量基本定理的推論:

2

①已知平面上點(diǎn)O是直線/外一點(diǎn)，A,3是直線/上給定的兩點(diǎn)，則平面內(nèi)任意一點(diǎn)尸在直線/上的充要

—>—>—>

條件是：存在實(shí)數(shù)f,使得OP=(1—0O4+QA特別地，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)尸是線段的中點(diǎn).

②對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)。，有尸，A,8三點(diǎn)共線Q存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)3〃，使得。尸且計(jì)

〃=1.

pi+%2yi+y]

4.常用結(jié)論：已知A45C的頂點(diǎn)4(陽，6)，5a2,8)，C(x3,y3),則線段45的中點(diǎn)坐標(biāo)為122J,

pl+%2+%3.+”+對(duì)

AABC的重心坐標(biāo)為I33J.

考點(diǎn)一、平面向基本定理的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.(2022?天津?高考真題)在△ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足方=2證.記8?=其方=豆用,萬

表示屁=,若力B1DE,貝此4cB的最大值為

【答案】轉(zhuǎn)-京？

LZO

【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出麻，以低，可為基底，表示出血，示，由ABIDE

可得3萬2+互2=4萬.正再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點(diǎn)E為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0,0),8(1,0),C(3,0),4(x,y),由，DE可得點(diǎn)2的軌跡為以

“(一1,0)為圓心，以r=2為半徑的圓，方程為(*+1)2+y2=4,即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)C4

與OM相切時(shí)，NC最大，即求出.

【詳解】方法一：

AB=CB-CA=b-atABIDE

(3b—,(b—fl)=0,

3b2+a2=4a-b=cos44cB=言言=今備之等普=f,當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)取等號(hào)，而0V

\a\\b\4\a\\b\4|a||b|2II

AACB<K,所以乙4CBW(0,1

故答案為：\

ZZo

方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系:

3

(1-%,-y),

DEA.AB(^)(x-1)+^=0(x+l)2+y2=4,所以點(diǎn)4的軌跡是以M(—1,0)為圓心，以r=2為

半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)C4與OM相切時(shí)，NC最大，此時(shí)sinC=￡=；==g

CM426

故答案為：—^a；g

226

2.(2024?陜西銅川?模擬預(yù)測(cè))在aABC中，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足元=2瓦5,若布=4而+面,

則4+〃的值為()

A.-B.-C.--D.--

2424

【答案】D

【分析】利用平面向量基本定理根據(jù)題意將屈用而，麗表示出來，從而可求出尢“，進(jìn)而可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足而=2麗，

所以［一上杼一,所叫翅=型+巴

BE=AE-AB=-AC-AB^BEAC-3AB

I3

消去左，得2屈-3就=4卷，

所以方=^AD-^BE=AAD+fiBE,

所以4='|,〃=一：,所以4+〃=_1.

故選：D.

即時(shí)找W

1.(2024?上海浦東新?三模)給定平面上的一組向量久、篤，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的

4

是（）

A.2五+與和五一與B.可+3與和石+3五

C.3e7—孩和2^2—6可D.五和西+石

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合選項(xiàng)，進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】對(duì)A：不存在實(shí)數(shù)人使得2瓦+冕=4（可-a），

故2久+而和久-京不共線，可作基底；

對(duì)B：不存在實(shí)數(shù)人使得久+3冕=4?+3瓦），

故再+3孩和慈+3久不共線，可作基底；

對(duì)C：對(duì)3汽-石和2/-6瓦，因?yàn)橥撸遣还簿€的兩個(gè)非零向量，

且存在實(shí)數(shù)-2,使得2/—6可=-2（3瓦-/），

故3瓦-石和2直-6匹共線，不可作基底；

對(duì)D：不存在實(shí)數(shù)人使得a=4（再+砌，故可和百+互不共線，可作基底.

故選：C.

2.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）在△4BC中，DC=2'BD,M為線段AD的中點(diǎn)，過M的直線分別與線段力B、4C

交于P、Q,且而=AQ=AAC,貝=（）

A.-1B.-11C.-2D.-

6323

【答案】B

【分析】作出圖形，由沆=2而，可推得而=?!荏+:前，利用條件將其化成2前=而+!而，再運(yùn)用

33DA

平面向量基本定理得5+5=1,解之即得.

ZoX

【詳解】

如圖，因反=2而，則前一而=2（而一荏），即而=|同+g前（*）,

5LAM=^-ADjP=lAB,而=4左，代入（*）得，2前=都十三而，

即前=9族+[而，因P,M,Q三點(diǎn)共線，故;+[=1,解得，4=]

L6XZ6X3

故選：B.

3.（2024?貴州六盤水?三模）已知點(diǎn)0為△4BC的重心，AC=AOA+fiOB,則;I+〃=（）

A.-3B.-2C.1D.6

【答案】A

5

【分析】作出圖形，將6I礪作為基底，先把前用市，礪，就表示，再將近也用64礪表示，將等式整理

得到推導(dǎo)出前=-2瓦？-而，結(jié)合平面向量基本定理算出無〃的值，進(jìn)而算出答案.

【詳解】根據(jù)向量加法三角形運(yùn)算法知照=希+前=布+礪+近（*）；

0F為8C中點(diǎn)，則就=2加=2（前+U?）（**）；

點(diǎn)0為44BC的重心，則方=

代入（**）得至U，BC2（B0+|lO）=2B0+AO,

代入（*）得至!），AC=A0+0B+2B0+A0=-20A-OB,

結(jié)合4C-AOA+林OB,可得4=—2,〃=—1,所以％+〃=-3.

故選：A.

4.（23-24高三上?天津武清?階段練習(xí)）在△4BC中，BD^^BC,E是線段力。上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），

設(shè)厘=xCA+yCB,則2，+3〃+孫的最小值是（）

xy

A.10B.4C.7D.13

【答案】D

【分析】由已知條件結(jié)合平面向量基本定理可得x+1y=1,x>0,y>0,則2，+3尸+孫=1+[+]=\+

2xyyx\y

￡）（%+|y）+l，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可得答案.

【詳解】因?yàn)辂?3前,所以施=|而，

因?yàn)辂?+y3，所以在=xg?+|y而，

因?yàn)?D,E三點(diǎn)共線，所以x+^y=l,x>0,y>0,

2%+3y+xy2323、x+|y)+1

=一+—+1=一+一

yx>

在+3+3+型+1=7+在+型27+2

y2xy2x

2x_9y

工:元,即

當(dāng)且僅當(dāng)1時(shí)取等.

,3

x+-y=1y=7

故選：D.

6

A

5.（23-24高三上?江蘇南京?期中）在△力BC中，已知點(diǎn)D滿足前=4麗，若前=3左一2荏，則

A=.

【答案】扣.5

【分析】先根據(jù)阮=%而得而與屈、前的關(guān)系式，再結(jié)合前=3前-2屈得對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可得解.

【詳解】由題可得而=標(biāo)+而=芯+?正=前+：（左一四）=一：荏+乎前，

因?yàn)槎?3AC-2AB,

所以一：=—2且牛=3,解得2=]

AAN

故答案為：:.

6.（23-24高三上?天津和平?期末）如圖，在△4BC中，B0=30C,過點(diǎn)。的直線分別交直線AB,AC于不同

的兩點(diǎn)MN,記AB=~a,AC-b,用瓦Z?表示4。=；設(shè)ZB=mAM,AC=nAN,若m>0,n>0,則白+-

mn

的最小值為一.

A

【答案】-a+-b巴辿

444

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算、用基底表示向量，結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】由題知，AO^AB+BO^AB+-BC

4

=AB+^（AC-AB）=^AC+^AB,

>O—>1

即力。^-b+-a.

44

由前=三前+二屈，AB=mAM,AC=nAN,

44

所以同=2俞+衛(wèi)麗，

44

因?yàn)镸、N、。三點(diǎn)共線，

所以2+即=1,

44

所以2+工=（2+9^+?）

mn\mn/\447

7

_13m3n55+2巡

二=+二+7；—HT—之二+92

244n2m44

當(dāng)且僅當(dāng)三=—,即m=4返-8,幾=箜二包時(shí)等號(hào)成立.

4n2m3

故答案為：+吟^

444

考點(diǎn)二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知向量屈=(2,-1),AC=(3,2),點(diǎn)C(—l,2),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()

A.(-2,-1)B.(0,5)C.(2,—5)D.(2,-1)

【答案】A

【分析】由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求解即可.

【詳解】由題意得，而=說一前=(2,-1)一(3,2)=(—1,—3),

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y),則荏=(x+l,y—2)=(-1,-3),所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,-1).

故選：A.

2.(22-23高三?全國(guó)?對(duì)口高考)已知向量方=(百,1),1=(0,-2).若實(shí)數(shù)k與向量?滿足方+2刃=公，貝必

可以是()

A.(V3,-1)B.(-1,-V3)

C.(-V3,-1)D.(-1,73)

【答案】D

【分析】設(shè)下=(x,y),先求出方+2了的坐標(biāo)，利用工+2了=次建立方程組，找出x,y的關(guān)系來判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】設(shè)J”),

因?yàn)橄蛄课?(V3,1)5=(0,-2),

所以五+=(V3,1)+2(0,-2)=(V3,-3),

又2+2刃=He,

所以(瘋-3)=fc(x,y)=謂:當(dāng),

fc=0時(shí)不成立，所以kH0,

所以y=-V3x,

選項(xiàng)A,c=(V3,-1)不滿足y=-V3x,

選項(xiàng)B,c=(-1,-b)不滿足y=-V3x,

選項(xiàng)C,c=(-V3,-1)不滿足y=-V3x,

選項(xiàng)D,"?=(-1,b)滿足y=-8%,

8

故選：D.

即時(shí)檢測(cè)

[___________________

1.(2024?湖北武漢?二模)已知點(diǎn)4B,C,D為平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，若麗=2-3DC,且前=（一2,1）,則

AB=______

【答案】(一6,3)

【分析】利用向量的線性運(yùn)算，即可得解.

【詳解】由麗=2瓦5-3沆得：BD+DA^3DA-3DC3CA,即法3AC,

又因?yàn)榍?(-2,1),所以屈=3AC=3(-2,1)=(-6,3),

故答案為：(一6,3).

2.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))菱形ABCD中,AB=麗=(2,2),貝1=

【答案】-3

【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直，向量的數(shù)量積為0,列方程求出t的值.

【詳解】由題意，

在菱形ABCD中，AB=BD=(2,2),

可得證=而=南+麗=(3,1+2),

前=四+就=(1,t)+(3,t+2)=(4,2t+2),

：.AC-RD=4x2+2(2t+2)=0,

解得：t=—3.

故答案為：-3.

3.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?三模)如圖，在四邊形ABCD中，4DAB=120°,Z.DAC=°,AB=1,力。=3,AD=2,

【答案】A

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得相關(guān)向量的坐標(biāo),=xAB+yAD,結(jié)合向量

9

的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得答案.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以4。為x軸，過點(diǎn)A作4D的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

則4(0,0),B(_g當(dāng),C(￥，|),0(2,0),

故市=(誓,|),屈=(-(片),而=(2,0),

則由尼=x而+y而可得m=(卓幣=》(-9當(dāng))+3(2,0)，

3V3_1,Q,廣

—=--x+2y=

{22

故x+y=2V3,

故選：A

4.(2023?江西?模擬預(yù)測(cè))在平面四邊形4BCD中，AB1BC,AC1CD,AB=BC=CD,若前=4萬+〃詬,

則4+〃=()

A.-B.V2C.-D.2

32

【答案】B

【分析】設(shè)48=企，建立以4C所在直線為x軸，力C的垂直平分線為y軸的平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量

的坐標(biāo)法即可得答案.

【詳解】設(shè)4B=VL

如圖，以4C所在直線為x軸，4c的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則2(-1,0),8(0,—l),C(l,0),￡)(l,V2),AC^(2,0),同=(1,-1),AD=(2,V2),

因?yàn)榍?2萬+〃前，所以(2,0)=A(1,-1)+M(2,V2),

所b以-L(a++2何〃==20，

解得a=2V2—2,〃=2—V2,所以a+〃=V2.

故選：B

10

5.（2024?北京?三模）已知向量甚了］在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若7=立+而（無"CR）,貝年的

【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后表示出,瓦印勺坐標(biāo)，代入/=府+而（4,〃eR）中可求出無〃

的值，從而可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則N=(0,4)-(1,6)=(-1,-2),b=(7,2)-(1,6)=(6,-4),c=(2,0)-(7,2)=(-5,-2),

所以Ad+林b—4(—1,-2)+4(6,—4)=(—A+—2.A—4〃)，

因?yàn)??=歸+而(尢〃€7?),

所以(—5,—2)—(—A+6〃,-24—4/1),

所以二"解得4=2,M=-p

所以"-4.

故答案為：-4

考點(diǎn)三、利用向量共線求參數(shù)

11

典例引領(lǐng)

1.(2024?內(nèi)蒙古包頭?三模)已知向量五=(1,一1),b=(m+1,2m-4),若(3+b)〃0-8),則m=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量平行定義計(jì)算即可得.

【詳解】由五=(1,一1),b-(m+1,2m-4),

則N+b=(m+2,2m—5),~a—b=(—m,3—2m),

由0+b)//(a—b),則有(m+2)(3—2m)+m(2m-5)=0,

即6-6m=0,故zn=1.

故選：D.

2.(2024?陜西渭南?二模)已知向量工=(t一3,-1),b=則“t=2”是7〃主的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，求出t=l或2,從而結(jié)合充分條件、必要條件判斷出結(jié)論.

【詳解】若N〃反則t(t—3)—(—l)x2=0,解得t=l或2,

故“t=2”是B〃物的充分不必要條件.

故選：A

即0睜(

1.(2024?江西南昌?模擬預(yù)測(cè))已知五=(1,2)范=(―1,3),若(布+石)〃(2五—E),貝必的取值為.

【答案】-2

【分析】借助向量坐標(biāo)運(yùn)算與向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得.

【詳解】因?yàn)?=(1,2),石=(一1,3),所以2五一方=(3,1),ka+b=(k-l,2k+3),

由(而+1)〃(2N—了)，則有3x(2k+3)-lx(k—1)=0,解得卜=一2.

故答案為：-2

->TT——TT

2.(23-24高三上?江西?期中)已知平面向量(1,a)，b=(—2,l),。=(幾2),若alb,b〃c,則

m+n=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)向量平行和垂直的坐標(biāo)表示得出參數(shù)計(jì)算即可.

T—TT

【詳解】因?yàn)閍=(1,m),b=(-2,1),alb,所以1x(-2)+lx/n=0,7n=2,

12

T—TT

因?yàn)閏=(n,2),b=(—2,1),c//b,所以1xn=2x(—2),n=—4,

所以TH+n=2—4=—2.

故答案為：-2.

考點(diǎn)四、利用向量共線求向量與點(diǎn)坐標(biāo)

典例引領(lǐng)

1.(?上海?高考真題)已知點(diǎn)4(1,—2),若向量而與介(2,3)同向，|而|=2713,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

【答案】(5,4)

【分析】設(shè)B(x,y),則麗=就A>0,則(％-l,y+2)=(243由,|而|=40,解得;1=2,得到答案.

【詳解】設(shè)B(x,y),則存=瓶，2>0,貝!］(x-l,y+2)=(24,34),故［t；，

\AB\=A|a|=AV13=2V13,故4=2,故｛；_:.

故答案為：(5,4).

【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行，向量的模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知M(4,—2),N(—6,—4),且加=一［而，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(1,1)B.(9,—1)C.(-2,2)D.(2,-1)

【答案】B

【分析】由MN的坐標(biāo)得出而，設(shè)點(diǎn)PO,y),得出市，根據(jù)麗=一：而列出方程組求解即可.

【詳解】因?yàn)镸(4,—2),N(—6,—4),

所以一(而=一^(―10,-2)=(5,1),

設(shè)P(x,y),則麗=(x-4,y+2),

又麗=一:而，

所以m解得｛二3

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(9,—1).

故選：B.

g即鶴號(hào)

1.(2024?陜西寶雞?三模)已知向量社=(ni,2)與1=(一2,-4)共線，則2工—方=()

A.(10,8)B.(4,8)C.(0,0)D.(1,2)

【答案】B

13

【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示即可求解

【詳解】因?yàn)?=(血,2),b=(-2,-4)共線，

所以—4血=一4,解得m=l,

所以Q=(1,2)=>2a=(2,4),

所以2a—b=(4,8).

故選：B

2.(2024?河南信陽?模擬預(yù)測(cè))拋物線氏丫2=4%的焦點(diǎn)為凡直線。。過F分別交拋物線E于點(diǎn)4B,C,

D,且直線A。，8C交工軸于N,M,其中N(2,0),則M點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】6,0)/(0.5,0)

【分析】設(shè)出直線4B的方程，與拋物線方程聯(lián)立，用點(diǎn)8的坐標(biāo)表示點(diǎn)2的坐標(biāo)，同理用點(diǎn)C的坐標(biāo)表示點(diǎn)。

的坐標(biāo)，再利用共線向量的坐標(biāo)表示求解即得.

【詳解】依題意，F(xiàn)(l,0),顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線4B的方程為％=b+1,

2

y2消去工得：y-4ty-4=0,設(shè)4(,y。8(會(huì)見)，則y/o=-4,即y1=一常

于是點(diǎn)4(芻,——),設(shè)點(diǎn)C(匕、2)，同理得。(金,—3),M4=(當(dāng)—2,——ND—(-3—2,——)?

yoyo4y2y2yoyoyiyi

顯然M4〃NO,則-2)=_'(0_2),整理得=-.，即點(diǎn)C(J—2),

設(shè)MgO),則麗=(4一血心),祝=(點(diǎn)一成一處而麗〃前，

因此一馬(乎一m)=yo(A_m)?整理得一斗+2m=1-myQ,即(2+yo)m=1+當(dāng)

yo4yo22

解得m=g,所以M點(diǎn)坐標(biāo)為弓,0)

故答案為：6,0)

3.(2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))已知向量同=3,b=(1,2),且工〃工，則向量N的坐標(biāo)為

【答案】律磬)或(-等，-W).

【分析】設(shè)/=(久,y),然后根據(jù)已知條件列方程組求解即可.

【詳解】設(shè)五=(x,y),

14

因?yàn)橄蛄客?3,6=（1,2）,且力/反

3V5（3V5

X2+V2=9X一~X=------

所以_y，解得:或《%

X——6V56V5

-2”一三

y5

于昨（哈W）?=（TT）.

故答案為：（卓,『）或（—誓,-等）.

4.（22-23高三?全國(guó)?對(duì)口高考）已知點(diǎn)4（1,一2）,若說與方=（2,3）的夾角是180。，|荏|=2m，則點(diǎn)B

坐標(biāo)為.

【答案】（-3,-8）

【分析】由向量近與2=（2,3）的夾角是180。，知向量四與方方向相反，設(shè)B（x,y）,貝?。莘?疝，4<0,貝!］（%-

1,y+2）=（2A,34）,\AB\=|2||a|,解得人得到答案.

【詳解】由向量說與N=（2,3）的夾角是180。，

所以向量ZB與方方向相反，

設(shè)B（x,y）,則屈=2落A<0,

則（久一l,y+2）=（24,34）,

<=24+1

=3"2'

所以M同=|A||a|=|A|V13=2V13,

故|川=2=4=±2,由4<0,

所以"一2,故［；二］

故答案為：（—3,—8）.

電.好題沖關(guān)?

A基礎(chǔ)過關(guān)

1.（23-24高三上?天津?期中）與向量/=（3,-1）和1=（1,3）的夾角均相等的單位向量為（）

A.律普或（-當(dāng)-令

B.停夕或（一今一甯

c.（WT）或（-？金

D.得-2或（看等）

【答案】A

15

【分析】根據(jù)題意可得|司=I同，故所求向量與N+刃共線，再根據(jù)共線向量的性質(zhì)求解即可.

【詳解】設(shè)所求向量為已因?yàn)橥?VIU=網(wǎng)，又?與優(yōu)刃的夾角均相等，由平行四邊形法則可得與N+石

共線，

設(shè)？=4（方+司=4（4,2）,則區(qū)1=2花|用，又=可得2得田=1,解得2=士奈

故殷悟珈（弋，-今

故選：A.

2.（23-24高三上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）在△4BC中，M是4c邊上一點(diǎn)，且前=2標(biāo)，若前=怎1+曠阮,

則y的值為（）

1122

A.二B.-C.--D.-

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形的特征，則向量的線性運(yùn)算，把麗?用瓦I就表示，得到y(tǒng)的值.

【詳解】△ABC中，M是AC邊上一點(diǎn)，且前=2流，如圖所示，

則麗=育+俞=瓦?+|前=瓦5+式近一瓦?）=［瓦?+|瓦，

所以y的值為《

故選：D

3.（20-21高三上?天津紅橋?期中）設(shè)0<6〈會(huì)向量方=（5吊243。）,萬=做5。，1）,若山質(zhì)則tan。=（）

11

A.1B.-C.2D.-

32

【答案】D

【解析】由豆//萬可得sin26=cos?。，即得2sin。=cos。，即可求出tan。=g.

【詳解】a/fb,sin20=cos20,即2sin0cos0=cos20,

v0<0<-,?,?cos3H0,

2

2sin8=cos0,???tan。=

2

故選：D.

4.（23-24高三上?天津靜海?階段練習(xí)）已知平面內(nèi)三個(gè)向量方=（3,2）,6=（-1,2）,正=（4,1）,若0+依）〃

2b-a,貝ijk=.

【答案】一〈

【分析】先表示出行+配,21一方，再由平行向量的坐標(biāo)表示求解即可.

16

【詳解】因?yàn)镹=(3,2),3=(-1,2),c=(4,1),

~5,+He=(3,2)+fc(4,l)=(3+4k,2+k),

26-i=2(-l,2)-(3,2)=(-5,2),

因?yàn)锧+阮)〃2了一N,所以(3+4fc)-2+5(2+fc)=0,

所以13々+16=0,解得：k=—

故答案為：-

5.(21-22高三上?天津?期末)如圖，在四邊形ABC。中，48=2,AC=2V3,AD=L乙CAB=-,AD-AB

262

則?AC=；設(shè)左=mAB+nAD(m,n6R),則TH+九=.

【答案】06

【分析】根據(jù)題意和余弦定理求得BC=2,利用平面向量的數(shù)量積求出NR4D=等進(jìn)而可得4以。=會(huì)

即沏?蕉=0；以A為原點(diǎn)，以AB為x軸，y軸14B建立平面直角坐標(biāo)系，求出荏、AC,而的坐標(biāo),

根據(jù)前=小而+九沏列出方程組，解之即可求出小、n.

【詳解】因?yàn)?8=2,AC=2V3,4CAB=j

6

所以B(72=AB2+AC2-2AB-ACcos^CAB=4+12—8百x'=4,

所以BC=2,又配.通=一],|砌=最

所以而?屈=\AD\\AB\cosZ.BAD=[x2COSZ_BAD=-(，

得cos^BAD=一去故NB4D=y,

所以NCAD=ABAD-^CAB=勺一$=￡,

362

則而，庶，即沏?前=0；

以A為原點(diǎn)，以AB為X軸，y軸1建立如圖平面直角坐標(biāo)系，

則40,0),8(2,0),C(3,V3),

所以而=(2,0),4C=(3,V3),而=(一：,?)，

又能=mAB+riAD(m,n6/?),

17

所以|g4，解得所以m+n=2+4=6.

V3--nIm=2

I4

故答案為：0；6.

6.(21-22高三上?全國(guó)?階段練習(xí))在矩形ABC。中，力B=6,力。=4,E為CD的中點(diǎn)，若麗=2而，萬:=4荏+

HAD,貝1U+n=.

【答案】\

O

【分析】建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，由平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得通的坐標(biāo)，

由麗=(6尢44)，列方程組，解方程組可得4和〃的值即可求解.

【詳解】建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，

由已知得8(6,0),￡)(0,4),E(3,4),麗=(3,-4),

由麗=2而得麗=|麗=(2,一§,

設(shè)尸(x,y),則0—3,丫-4)=(2,一§,

可得｛；［：二解得｛；;：，所以網(wǎng)號(hào))，麗=6》

又因?yàn)槎?XAB+fiAD=2(6,0)+“(0,4)=(6尢4〃)，

所以-3,解得4=〃=＜，則4+,=：.

16a=5636

故答案為：

6

7.(20-21高三上?天津?期末)如圖，在邊長(zhǎng)1為正方形4BCD中，M,N分別是BC,CD的中點(diǎn)，則

AM-AC^,若羽=XAM+nBN,貝！M+乩=.

18

DN

【答案】II

【解析】設(shè)向量費(fèi)=乙而=區(qū)根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，可求得瓦iT就，再根據(jù)向量的線性運(yùn)算

法，化簡(jiǎn)得尢物+〃麗=(4一■|〃)豆+(/+〃)萬和前=H+萬，列出方程組，即可求解.

【詳解】設(shè)向量ZB=a,AD=b,則@=|b|=l,H，b二。

可得就?尼=(a+1h)-(a+h)=a2+|a-h+|62=1+0+|=|,

XAM+{iBN=+BM)+R(BD+DN)=A(AB+jAD)+〃[(Z0-AB)+DN)J=A(a+1h)+〃(5-

軟)=(%-+(/+H)b,

fA——(I=119a

又因?yàn)?C=H+b,可得，2，解得a=『〃=『所以4+〃=工.

(|A+/1=1555

能力提升

1.(2024?天津?模擬預(yù)測(cè))如圖，在△ABC中，4B=2,4C=5,cos^CAB=|,D是邊BC上一點(diǎn)，且麗=2DC.

若前=3前，記麗=4通+〃前(4,〃eR),貝iM+“=；若點(diǎn)P滿足前與而共線，PALPC,

則黑的值為.

【分析】把前=2瓦兩邊用而，而，尼表示即可得解；利用共線向量建立加，而之間的數(shù)乘關(guān)系，進(jìn)而結(jié)

合第一空把刀，而用四，前表示，利用垂直向量點(diǎn)積為零可得解.

【詳解】BD=2DC,

：.AD-AB2(AC-AD~),

：.AD^-AB+-AC,

33

19

則麗=前一前=1近-3而=式芯-硒-1那+押）

=--AB+-AC,

126

又PD=AAB+[1AC9?*.A=—~,〃=J

所以2+〃=一；；

???市與前共線，

???可設(shè)前=乂而，XER,

9：AD=-AB+-AC,

33

>y>2V>

：.BP=-AB

33

：.PA=~PB+~BA

=-BP-AB

7+)四號(hào)篦

元=而+尼一停+i)運(yùn)+(i-?瓦

.-.^4.PC=g+l)2XB2+(f+l)(^-l)^F-XC-1(l-f)XC2,①

'：AB=2,AC=5,COSZ.CAB=j3,

：.AB2=4,砂=25,AB-AC=6,②

把②代入①并整理得：

：.PA-PC=^-X2-8X-2,

'：PA1PC,

：.PA-PC=0,

/.——8%—2=0,

9

解得：X1=9,“2=-*

41O

.嚼=|久|.或3，

故器的值為沔春

故答案為：，或。.

4416

2.(2024?天津?二模)在四邊形/BCD中，乙4二120。，AC=1,AB=2DCfM為40中點(diǎn).記通=乙與=方,

用反了表示前=；若前=；沆，則而?前的最大值為

4

【答案】^a-b

216

【分析】利用給定的基底，利用向量的線性運(yùn)算求出前；利用數(shù)量積的運(yùn)算律及定義，余弦定理、基本不

等式求出最大值即得.

20

【詳解】由M是力。中點(diǎn)，AD=a,AB=b,得麗=詢-荏=頡-Z；

在四邊形ABCD中，令4。=犯。。=n，由屈=2反，得4B〃CD,4B=2幾,

由4艮4。=120。，得乙WC=60。，在△4DC中，由余弦定理得,

AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosZ-ADC,BP1=m2+n2—mn>mn,當(dāng)且僅當(dāng)m時(shí)取等號(hào)，

由前=白皮，得前=工反而=而一前一工了，

488

因此N1-BM=（a--b~）?（-~a-b）=-a2+-b2——~a-b=-m2,+-n2——?m?2ncosl20°

8228162216

1，2?2、?171,25,1?2533

=-（m4+九）H-mn="H—mn<-H—=一,

2%J16216