平面向量的概念及線性運(yùn)算（解析版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第20講平面向量的概念及線性運(yùn)算

（3類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算

2024年天津卷，第14題,5分

律數(shù)量積的坐標(biāo)表示

余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式

2023年天津卷，第14題,5分

求積的最大值

2022年天津卷，第14題,5分用基底表示向量向量夾角的計(jì)算

2021年天津卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律

2020年天津卷，第15題,5分已知向量共線（平行）求參數(shù)用定義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標(biāo)表示

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握向量的概念，能夠熟練使用三角形法則與平行四邊形法則

2.能掌握向量共線的性質(zhì)

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助建系解決線性表示與共線的問(wèn)題

4.會(huì)利用共線定理解決含參問(wèn)題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出圖形,運(yùn)用三角形的加減法法則進(jìn)行線性表示,

以及求參。

IN?考點(diǎn)梳理。

1.向量

2.零向量

3.單位向量

r知識(shí)點(diǎn)一.向量的有關(guān)概念《

4.平行向量考點(diǎn)一、平面向量的概念

5.相等向量

6.相反向量

平面向量的概念及線性運(yùn)算1.加法

知識(shí)點(diǎn)二.向量的線性運(yùn)算2.減法考點(diǎn)二、平面向量線性運(yùn)算

3.數(shù)乘

知識(shí)點(diǎn)三.向量共線定理考點(diǎn)三、向量共線定理的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)四向量的常用結(jié)論

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.向量的有關(guān)概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.

2.零向量：長(zhǎng)度為小的向量，其方向是任意的.

3.單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.

4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任意向量共線.

5.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向想圓的向量.

6.相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

［注意］1.向量不同于數(shù)量，向量不僅有大小，而且還有方向.

2.任意向量a的模都是非負(fù)實(shí)數(shù)，即

知識(shí)點(diǎn)二.向量的線性運(yùn)算

向量法則（或幾

定義運(yùn)算律

運(yùn)算何意義）

交換律：a~\~b=b+a；

二a,

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則結(jié)合律：（Q+》）+C=E

+S+c）

平行四邊形法則

減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a—>=a+(—b)

a

三角形法則

數(shù)乘求實(shí)數(shù)力與向量a的|Aa\=KI|a|,當(dāng)/1>0時(shí),Ma)=；

積的運(yùn)算與。的方向相同;(A+—丸。+〃_。；

當(dāng)2<0時(shí)，加與〃的X(a+5)=Aa+肪

方向相反;

當(dāng)2=0時(shí)，

A?=0

知識(shí)點(diǎn)三.向量共線定理

向量”（a力））與》共線的充要條件是：存在唯---個(gè)實(shí)數(shù)九使b=K.

知識(shí)點(diǎn)四.向量的常用結(jié)論

1.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即再屈十

A2A3+A3A4+...+An-iAn=A\^n,特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量.

2.若尸為線段的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則改=/次+份）.

3.若A,B,C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則可+何+由=0o尸為AABC的重心，宿.

4.對(duì)于任意兩個(gè)向量a,b,都有眄一網(wǎng)留。土方區(qū)同+|臼.

考點(diǎn)一、平面向量的概念

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三下.江蘇揚(yáng)州.階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（）

A.若同=|同,則2=1B.若同〉同,則2>3

C.若>=刃,貝展〃另D.若到瓜力/冷則a//c

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.

【詳解】對(duì)于A：若同=|可，貝煩E只是大小相同，并不能說(shuō)方向相同，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若a=3,則2,3方向相同，C正確；

對(duì)于D：若切/3,孫/冷如果3為零向量，則不能推出H平行，D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.（22-23高三上?福建廈門(mén)?開(kāi)學(xué)考試）下列命題不正確的是（）

A.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量

B.零向量的長(zhǎng)度等于0

c.若窗B都為非零向量，則使普+東=6成立的條件是a與詼向共線

\a\\b\

D.若五=b,b=c,則五=c

【答案】A

【分析】AB選項(xiàng)，由零向量的定義進(jìn)行判斷；C選項(xiàng)，根據(jù)共線向量，單位向量和零向量的定義得到C正

確；D選項(xiàng)，根據(jù)向量的性質(zhì)得到D正確.

【詳解】A選項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0,故B正確；

C選項(xiàng)，因?yàn)?與[都是單位向量，所以只有當(dāng)，與得是相反向量，即B與石是反向共線時(shí)尚+得=6才成立，

\a\\b\\a\\b\\a\\b\

故C正確；

D選項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確.

故選：A

1.（2018高三?全國(guó)?專題練習(xí)）給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②兩個(gè)向量

不能比較大小,但它們的模能比較大??；③若2a=6（九為實(shí)數(shù)），則入必為零;④已知九,口為實(shí)數(shù)，若aa=訪

則a與3共線.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】運(yùn)用向量定義、模、共線向量的定義及向量的數(shù)乘運(yùn)算即可判斷.

【詳解】①錯(cuò)誤.兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn).

②正確.因?yàn)橄蛄考扔写笮。钟蟹较?，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小.

③錯(cuò)誤.因?yàn)?^=6,所以久=0或a=丘

④錯(cuò)誤.當(dāng)九=N=0時(shí)，Aa=[ib,此時(shí)，2與1可以是任意向量.

所以錯(cuò)誤命題有3個(gè).

故選：C.

a_b

2.（2023?北京大興?三模）設(shè)明）是非零向量，愀”是“4=人”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.

a_b

【詳解】由忖W表示單位向量相等，則凡°同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出a=b,

ab

b

由a=》表示凡力同向且模相等，則H\\,

ab

所以“忖W”是=力，的必要而不充分條件.

故選：B

3.（2022?江蘇?三模）已知向量”=（6,2）,與。共線且方向相反的單位向量匕=

（3MA/TO^I

10

【答案】

a

【分析】利用與。共線且方向相反的單位向量為H,即可得出答案.

【詳解】"=（6,2）,M=廊百=2M，所以與。共線且方向相反的單位向量是:

h-a-3M

H-10

3A/10A/10

1010

故答案為:

考點(diǎn)二、平面向量線性運(yùn)算

典例更也

1.（23-24高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）中國(guó)文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解釋自然、社會(huì)現(xiàn)象.如圖

（1）是八卦模型圖，將其簡(jiǎn)化成圖（2）的正八邊形ABCDEFGH,若AB=1,則|荏一麗|=（）

C.3D.V2+1

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理，計(jì)算出04的值，根據(jù)向量運(yùn)算，把|同一礪|化成|而利用余弦定理

計(jì)算其長(zhǎng)度得答案.

【詳解】

則/+x2-2X2COS45°=1,所以產(chǎn)=

2

所以I荏一礪I=I通+而I=\AD\=V%2+x2_2%2COS135°=J（2+V2）X=V2+1.

故選：D.

2.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知非零平面向量窗b,那么*=/”是"|2+同=旭|—|訓(xùn)”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】在向量為石非零向量的情況下，

若|五+b|=||a|-|b||,即怔+同之=（同一間

即有同2+2a-b+\b\2=\a\2-2\a\\b\+\b\2,即H.另=-\a\\b\.

又江-b—|a||b|cos（a,b）,故cos值司=-1,

又值，研所以值,3）=兀，即日石方向相反,故己=屈（〃<0）,

即方=〃薩是“忖+同=旭|一|磯”的必要條件；

若a=而,貝！ia,刃共線，但a與石的方向可能相同也可能相反，

所以由a=W推不出門(mén)+同=|iai-|b||,故充分性不成立；

綜上所述，“a=”薩是“怔+同=|⑷-1磯”的必要而不充分條件.

故選：B.

匕即時(shí)建

1.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形4BCD中，AE=2EC,EF=FB,貝！J（）

A.AF=-AB+-ADB.AF^-AB+-AD

3636

C.AF=-AB+-ADD.AF^-AB+-AD

6363

【答案】c

【分析】運(yùn)用平行四邊形法則和三角形法則，結(jié)合線性運(yùn)算法則解題即可.

【詳解】如圖，由題意荏=2阮,可知版=|就=|（荏+而），F(xiàn)是BE的中點(diǎn),

所以*=++^（AB+AD"）=|XB+|Z5.

故選：c.

2.（2019高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖所示，在正方形ZBCD中，E為的中點(diǎn)，尸為CE的中點(diǎn)，則方=（）

C.-AB+ADD.-AB+-AD

242

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)镋為4B的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，

所以標(biāo)=式版+硝=^AB+AB+AD）=|屈+..

故選：D.

3.（2024?山西呂梁?三模）已知等邊△力BC的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)D,E分別為力B,BC的中點(diǎn)，若而=3而，則方=（）

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【答案】B

【分析】?。?，荏｝為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.

【詳解】在AaBC中，?。埃螅秊榛?，

A

A

貝I]I尼I=|AB|=2,(AC,AB)=60°,

因?yàn)辄c(diǎn)D,E分別為的中點(diǎn)，DF=3EF,

所以麗=工尻=工前，

24

所以羽=族+麗=5口+硝+渾=海+河.

故選：B.

4.(2024廣東汕頭三模)已知四邊形ZBCD是平行四邊形，~BE=2EC,DF=FC,則而=()

A.--AB+-ADB.--AB--AD

2323

C.--AB+-ADD.--AB--AD

3232

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的加法，結(jié)合共線向量求解即得.

【詳解】在團(tuán)48CD中，由星=2前，DF=FC,

得麗=就+存=工前+工歷=--AB+-AD.

3223

故選：A

5.(2024.重慶.模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)G是的重心，點(diǎn)M是線段4C的中點(diǎn)，若前=2荏+〃前，則4+〃=

()

A.--B.-C.--D.——

126612

【答案】c

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)前=4屈+〃左，求得尢〃，進(jìn)而求得正確答案.

【詳解[GM=^BM-AB)+^AC,

所以)=-]“=*,)+4=一1

5oo

故選：c

A

考點(diǎn)三、向量共線定理的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）己知點(diǎn)是直線［上相異的三點(diǎn)，。為直線陰一點(diǎn)，且2初=3而+4沆，則

4的值是（）

11

A.TB.IC.--D.-

【答案】A

【分析】化簡(jiǎn)得瓦？=|赤+（沆，再利用三點(diǎn)共線系數(shù)和為1的結(jié)論即可得到方程，解出即可.

【詳解】2瓦5=3赤+2反，即瓦？=|旗+（反，

因?yàn)辄c(diǎn)4是直線Z上相異的三點(diǎn)，則點(diǎn)4BC三點(diǎn)共線，

貝U|+（=l,解得2=—1.

故選：A.

2.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?二模）已知出B是兩個(gè)不共線的向量，命題甲：向量以+石與4-共線；命題乙：t=

則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用向量共線定理即可判斷.

【詳解】對(duì)于命題甲，可設(shè)td+另=4（五一2了），BPta+d=Aa—2A.b,

則｛；:和所以

對(duì)于命題乙，t=—2時(shí)，tN+b=—1?伍?-26）,則有向量tl+b與五—2b共線.

故甲是乙的充要條件.

故選：C.

即時(shí)

1.（2024?廣東?二模）已知向量日與3能作為平面向量的一組基底，若d+kB與（k+l）N+B共線（keR）,則

k的值是（）

人-14-V5n—1±V5「-1—V5八1+V5

A.----------o.----------C.----------D?--------

2222

【答案】B

【分析】引入?yún)?shù)九由平面向量基本定理建立方程組即可求解.

【詳解】若2+屈與（k+l）a+另共線，則設(shè)江+kb=A[（fc+l）a+b]=2（fc+l）a+Ab,

因?yàn)橄蛄浚c了能作為平面向量的一組基底，

所以0=4（”1）,所以/+卜一i=o,解得/,=二芳.

1k=a2

故選：B.

2.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知向量瓦，備是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且說(shuō)=瓦+2備，前=-3瓦+2各，

DA=3er-6e2,則（）

A.4、B、C三點(diǎn)共線B.4、B、。三點(diǎn)共線

C.4、C、。三點(diǎn)共線D.B、C、。三點(diǎn)共線

【答案】C

【分析】根據(jù)向量共線則a=焉（26R）判斷即可.

【詳解】對(duì)A,因?yàn)檎f(shuō)=瓦+2備，近=—3瓦+2各，不存在實(shí)數(shù)4使得屈=2阮，故4B、C三點(diǎn)不共

線，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,因?yàn)槟?瓦+2備，市=3瓦―6備，不存在實(shí)數(shù)2使得說(shuō)=2/，故4B、O三點(diǎn)不共線，故B

錯(cuò)誤；

對(duì)C,因?yàn)榍?荏+阮=一2瓦+4隙，瓦？=3瓦一6詼，則尼=-|瓦5,故4、C、。三點(diǎn)共線，故C正

確；

對(duì)D,因?yàn)榫?-3句+2e2,BD=-DA一荏=病=-3可+6e2-et-2e2=一%+4e2,不存在實(shí)數(shù)

2使得前=4而，故B、C、D三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤.

故選：C

3.（2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，BD=2DC,過(guò)點(diǎn)D的直線分別交直線4B、4C于點(diǎn)E、F,且荏=

mAB,AF=nAC,其中m>0,n>0,則m+2n的最小值為（）

A.2B.V2C.3D.-

3

【答案】c

【分析】根據(jù)題意以荏，前為基底表示出而，再根據(jù)E,F,D三點(diǎn)共線，利用共線定理可得2+f=1,再

3m3n

由基本不等式即可求得爪+2n的最小值為3.

【詳解】如下圖所示:

因?yàn)榍?2DC,易知前^AB+BD^AB+|fiC=AB+|(XC-AB)=|AB+|XC,

又版冠"=標(biāo)，所以而號(hào)國(guó)+|冠=/族+套幅

易知E,F,D三點(diǎn)共線，利用共線定理可得二+二=1,

又m>0,n>0,

所以m+2n=(m+2m島+￡)*+符+宗+念2-2m----2-n-F5-=2QX-2+-5=3Q；

3n3m333

當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)=空，即巾=71=1時(shí)，等號(hào)成立,

3n3m

所以m+2幾的最小值為3.

故選：C

4.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，。是BC的中點(diǎn)，直線I分別與48,4。,2C交于點(diǎn)M,E,N,且荏，前,

AE=2ED,AC=XAN,貝設(shè)=（）

A.-B.-C.-D.-

5342

【答案】B

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算法則，利用前，麗表示族，結(jié)合向量三點(diǎn)共線的定理列式運(yùn)算求解.

【詳解】由族=2前，得族=|同=：（屈+而）俞+2前）=：前+5麗.

因?yàn)镸,E,N共線，所以：+：=1,解得4=:

故選：B.

5.（2021.江西新余?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三角形OPQ中，M、N分別是邊。尸、OQ的中點(diǎn)，點(diǎn)R在直線MN上,

且而=xOP+yOQ（x,yER）,則代數(shù)式』婷+y2—x—y+:的最小值為（）

2642

【答案】c

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合共線向量定理的推論可得2x+2y=1,再消元借助二次函數(shù)求出最小值.

【詳解】由M、N分別是邊。P、0Q的中點(diǎn)，得加=2南，麗=2而L而麗=xU?+y而，

于是麗=2%而+2y而，又點(diǎn)R在直線MN上，因此2x+2y=l,即y=[-x,

則J32+y2一久_y+]=J%2+G—X)2-X—G-久)+]=工2%2_x+[,

所以當(dāng)X=；時(shí)，,2+y2-X一y+；取得最小值手.

4V24

故選：C

IA.好題沖關(guān)

A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.(21-22高三上?山東煙臺(tái)?開(kāi)學(xué)考試)。是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP=OA+A(AB+AC),Ae[0,+oo),則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的()

A.外心B.垂心C.內(nèi)心D.重心

【答案】D

【分析】取線段BC的中點(diǎn)E,則荏+前=2荏，依題可得而〃族，即可得答案.

【詳解】取線段8c的中點(diǎn)E,則荏+照=2荏.

動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP^OA+A(AB+AC),Ae[0,+oo),

貝(I而-02=24族，即而=24荏，所以布//Z瓦

又4Pn/lE=4所以4,E,P三點(diǎn)共線，

則直線4P一定通過(guò)44BC的重心.

故選：D.

AC

2.（23-24高三上.安徽.階段練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)M是線段BC上靠近B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是線段4C的中點(diǎn),

則前=（）

A.-~BN+-ACB.--BN+-AC

333

C.-BN+-ACD.--BN+-AC

333

【答案】D

【分析】結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算的定義進(jìn)行運(yùn)算可得.

【詳解】作出圖形如圖，則前=瓦？+前=一荏+之前，

所以前=屈+前=屈+萍=屈+式前一硝=|XB+|XC=|（^4S-|ZC）+|ZC=一|前十

-AC,

3

故選：D.

3.（2020?天津河?xùn)|?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于非零向量4、b,"2之=左是4,3共線”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】利用向量共線定理以及充分條件、必要條件的定義即可求解.

【詳解】由2之=人則本3共線同向，充分性滿足；

非零向量2、b,當(dāng)作石共線時(shí)，則石=2五（Ae/?）,必要性不滿足；

故"2江=亦是*,另共線”的充分不必要條件.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了充分條件、必要條件的定義、向量共線定理，理解充分條件、必要條件的定義是解題

的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

4.（23-24高三上?天津紅橋?階段練習(xí)）已知向量3=（-3,1）,則與反方向相反的單位向量是.

【答案】（嘴,一事）

【分析】利用給定向量，結(jié)合單位向量的意義求解.

【詳解】向量3=（—3,1）,則與3方向相反的單位向量是—卷=—高（—3,1）=（甯，一第

故答案為：（誓，-甯）

5.（2022?天津河北.模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)M是ATIBC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：箱=|詬+|左.則aABM與

△力BC的面積之比為.

【答案】|/0.4

【分析】根據(jù)給定的向量等式，確定點(diǎn)M的位置，再借助面積關(guān)系計(jì)算作答.

--*o、2、、、？、、、?、

【詳解】HXM=+jXC,則=（（40-48）,即BM=：8C,

于是得點(diǎn)M在邊8C上，并且|麗|=；|前I，有沁^(guò)=鬻=占

5S"BC\BC\5

所以A48用與4ABC的面積之比為|.

故答案為：|

6.（21-22高三上?山東日照?開(kāi)學(xué)考試）在三角形04B中，點(diǎn)P為邊4B上的一點(diǎn)，且Q=2萬(wàn)，點(diǎn)Q為直線0P

上的任意一點(diǎn)（與點(diǎn)。和點(diǎn)Q不重合），且滿足而=4同+友福則言=.

【答案】|

【分析】以示，礪為基底，其他向量用基底表示后，結(jié)合O,Q,P共線可得.

【詳解】由已知op=oa+ap=oa+：aB=oa+：（OB—OA）=：oa+（OB,OQ=^OA+^OB,

而，市共線，所以孕=孕，所以

—3—3Ao2.

故答案為：

能力提升

1.（23-24高三上?天津南開(kāi)?階段練習(xí)）△ABC是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)

較大的等邊三角形，若后：=3而，|萬(wàn)|=3,且萬(wàn)=4屈+/zm，則;1+〃=（）.

【答案】A

【分析】由向量加減、數(shù)乘幾何意義用屈,左表示出衣，即可得結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)荏=AB+BF=AB+|RD=^4B+|(BC+CD)=AB+|(BC+|CF)

—>2—>4—>—?—?2—?4—>8—>

=AB+-BC-^--(CA+AE)=AB+-BC-^-CA+—AF

^AB+-(AC-AB)--AC+-AF=-AB+-AC+-AF,

3'79273927

所以中衣=工荏+乙前，即方=2荏+2左，

27391919

又4尸=九48+pAC,故2+〃=

故選：A

2.(23-24高三下?天津?階段練習(xí))在△ABC中，設(shè)，屈=a,AC=3,其夾角設(shè)為。，平面上點(diǎn)滿足而=2AB,

AE=3AC,BE,DC交于點(diǎn)0,則前用表示為.若亞?屁=[反?屁，則cos。的最小值

為.

【答案】而=]+|另手

554

【分析】由0,0,C和B,O,E三點(diǎn)共線，得到而=2次+(1-和2。=iza+(3—3u)6,得出方程組

I。，求得t,a的值,得到而="+/,再由布?礪=?瓦?而，化簡(jiǎn)得到4“小=20乎+9弘

得出cos。=嚕黑轉(zhuǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解?

481al回

【詳解】因?yàn)镈,O,C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)t使得四=tAD+(l-t)AC=2ta+(1-t)6,

又因?yàn)锽,。,￡三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)u使得4。=uAB+(1-u)AE=na+(3-3u)b,

可得，解得t=|,a=g所以而=：3+|九

U—t=3-3u5555

由DE=4E-=3b-2a,DC=AC-AD=b-2d,BE=AE-AB=3b-a,

因?yàn)槟?屁-BE,

可得&+&)?(3另-2a)=1(b-2a)?(3b-a),整理得48a-b=20a2+9b2,

可得48同間cos。=20|a|2+9間所以cos。=之。魯瑞,

又因?yàn)?0|團(tuán)2+9間2>2120同2.9|32=12遍向同，

當(dāng)且僅當(dāng)20回2=9同時(shí)，即2隗同=3同時(shí),等號(hào)成立,

所以cos。的最小值為爭(zhēng)

故答案為：ao=?a+：b

3.(2024.天津和平.一模)青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，代表了我國(guó)古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶，是中國(guó)瓷器的主流

品種之一.圖一是一個(gè)由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤(pán)，已知圖二中正六邊形的邊長(zhǎng)為4,圓。的

圓心為正六邊形的中心，半徑為2,若點(diǎn)M在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)4B在圓。上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心。對(duì)稱.

(i)請(qǐng)用加，而表示祈5=；(ii)請(qǐng)寫(xiě)出蘇?麗的取值范圍

圖一圖二

【答案】^MA+^MB[8,12]

【分析】(i)根據(jù)向量線性運(yùn)算可直接得到結(jié)果；

(ii)根據(jù)向量線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，可將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為|雨『-4；根據(jù)正六邊形性質(zhì)可求得|而|

的范圍，由此可得結(jié)果.

【詳解】(i)48在圓。上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心。對(duì)稱，二。為4B中點(diǎn)，.?.而=[西5+]麗；

(ii)~MA-MB=(MO+0A)-(M0+0B)=MO2+(0A+0B)-MO+0A-OB=|M0|2-|0X|2=

|MO|2-4；

當(dāng)M為正六邊形頂點(diǎn)時(shí)，|麗|取得最大值；當(dāng)0M與正六邊形的邊垂直時(shí)，|麗|取得最小值；

,??六邊形為正六邊形，.?.△ODE為正三角形，二|麗|=。。=4；

1'max

22

作。FlDE,則尸為DE中點(diǎn)，|M0|min=\0F\=V4-2=2>/3；

|M0|2-4e[8,12],即以?麗的取值范圍為[8,12].

故答案為：|MX+|MB；[8,12].

4.(23-24高三上?天津河西?期末)在△力BC中，ABAC=120°,\AB\=\AC\=2,AB=2AE,AF=AAC^>0),

麗=2俞，且|前|=?，貝lU=；萬(wàn)？?而的值為.

【答案】|-y

【分析】根據(jù)平面向量的基本定理、向量的數(shù)量積定義及數(shù)量積運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)榉?2AE,AF=A^4C(A>0),EF=2EM,

所以府="族+殖-IQZB+AXC)=海+［沆，

又I前1=?,在AABC中，^BAC=120°,\AB\=\AC\=2,

所以左.荏=\AC\■|AB|COSZB71C=2x2x(―3=-2,

|XM|2=(前?=(［荏)2+^AC-AB+(^AC)2=X+萬(wàn)=：,

即2於一/1一3=0,解得4=|或2=—1(舍去)，

故2的值為：|.

又BF=BA+AF=-AB+AAC,CE=CA+AE=-AC+^AB,

BF?CE={-AB+XAC)-(-4c+y町=\1+-］AB?AC--(㈣-a(4C)

=(1+0(-2)-2-42=-4-5A=-y,

故麗?市的值為：-

故答案為：|;一§

5.(23-24高三上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí))在AaBC中，AD=^AB,AE=^AC,CD與BE交于點(diǎn)P,AB=2,

AC=4,用荏和前表示存，則而=；過(guò)點(diǎn)P的直線I交力B,4C于點(diǎn)M,N,設(shè)施=mAB,AN=

nAC(m>0,n>0),則m+ri的最小值為.

【答案】|ZB+|XC箋^

【分析】選取向量荏，而為基底，利用向量線性運(yùn)算把通用基底表示出來(lái)即可；用碗,前表示出而，再利

用共線向量的推論結(jié)合基本不等式求出最小值.

【詳解】如圖:

在△力BC中，AD^^AB,AE=^AC,設(shè)麗=4旗=4(0+［尼)，

則布=AB+~BP=(1-A)AB+^AC=(2-24)而+-AC,

由D,P,C三點(diǎn)共線,得2-24+(=1,解得4=|,因此》=|屈+巳近,

因?yàn)榍?m同，AN=nAC,m>0,n>0,則有?=」-俞+工前，

5m5n

而M,P,N三點(diǎn)共線，因此二+；=1,則m+n=（m+n）（二+《）

5m5n、'v5m5ny

=2（3+義+竺）”（3+2隹.竺）=士鳴當(dāng)且僅當(dāng)生=竺，即6=四幾=*取等號(hào)，

5mn5yjmn5mn5

所以當(dāng)m=與2時(shí)，m+n取得最小值二j‘.

故答案為：IAB+IAC；過(guò)千

6.（23-24高三上.天津南開(kāi)?階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，而=|荏，族=:前,CD與BE交于點(diǎn)P,AB=2,

AC=4,A?-BC=2,則荏-前的值為；過(guò)點(diǎn)P的直線1交AB,AC于點(diǎn)M,N,設(shè)前=mAB,

AN=nAC（m>0,n>0）,則m+九的最小值為.

TT—T__>__>__>

【分析】選取向量4B,4C為基底，把4P,BC用基底表示出來(lái)，再求出數(shù)量積即可；用AM,4N表示出4P,再

利用共線向量的推論結(jié)合基本不等式求出最小值.

【詳解】在AABC中，AD=^AB,版=押，設(shè)前=2屣=2（瓦?+萍），

則Q=AB+BP=（1-Z）AB+^AC=（2-2A）AD+|Zc,

由D,P,C三點(diǎn)共線，得2-22+;=1,解得;1=|,因此於=|荏+巳就，

因?yàn)?8=2,AC=4,AP-BC^2,于是正?就=（|荏+:前）?（前一福）

=-（AC2-2AB2+AB-AC}=|（42-2x22+-XC）=2,解得說(shuō).照=2；

因?yàn)獒芷?小同，AN=nAC,m>0,n>0,則有彳？=三宿+上前，

5m5n

而M,P,N三點(diǎn)共線，因此言+5=1,則m+n=（巾+幾）《+勺

=-（3+-+-）>-（3+2/---）當(dāng)且僅當(dāng)生=2，即爪=V^i=*取等號(hào)，

5mn5ymn5mn5

所以當(dāng)m=巨合時(shí)，m+n取得最小值，