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第19講解三角形

（U類核心考點精講精練）

IN.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

用和、差角的余弦公式化簡、求值二倍角的正弦公式正弦定理解三角

2024年天津卷，第16題,14分

形余弦定理解三角形

用和、差角的正弦公式化簡、求值正弦定理解三角形余弦定理解三角

2023年天津卷，第16題,14分

形

用和、差角的正弦公式化簡、求值二倍角的余弦公式正弦定理解三角

2022年天津卷，第16題,14分

形鄉(xiāng)余弦定理解三角形

用和、差角的正弦公式化簡、求值正弦定理邊角互化的應(yīng)用余弦定理

2021年天津卷，第16題,14分

解三角形

2020年天津卷，第16題,14分正弦定理解三角形余弦定理解三角形

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為14分

【備考策略】1.理解、掌握正余弦定理，能夠運用正余弦定理解三角形

2.能掌握正余弦定理與三角形的面積周長問題

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會靈活運用三角形的知識點解決中線，高線，角平分線問題

4.會解三角形的最值與取值范圍問題

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出三角形，解決三角形中的周長與面積，同時解

三角形會與兩角和差二倍角進行結(jié)合，求解湊求值問題。

考點梳理。

1

考點一、正弦定理解三角形

考點二、正余弦定理的邊角互化

1.定理內(nèi)容：考點三、三角形的形狀

知識點一.正弦定理、余弦定理J

2.在4ABC中，已知a,b和A時，解的情況考點四、三角形的周長

考點六、三角形個數(shù)問題

考點七、中線問題

三角形內(nèi)角和定理

1.考點八、角平分線問題

三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

2.考點九、高線與多三角形問題

知識點四.常用結(jié)論三角形中的射影定理

3.考點十、基本不等式求最值與取值范圍問題

三角形中的大角對大邊

4.考點十一、三角函數(shù)求最值與取值范圍問題

知識講解

知識點一.正弦定理、余弦定理

1.定理內(nèi)容:

在中，若角4B,C所對的邊分別是a,b,c,〃為△/6C外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a—ID+C2—2ACCOSJ；

—="=，=2E

內(nèi)容R=c+4—2cacos8；

sinAsinBsinC

c=aID—2abcosC

<3=27?sinJ,b=2Rsix\B,c=27fcin。；

i2I22

.b-rc-a

.?a.門b?ccosA=-------------；

smA———,sinB=——,smC=——；2be

2R2R2R

2I2r2

“c-va~b

變形a\b\c=sinA:sinB:sinC；cos8=-------------；

Zac

asinB=bsinA,

2I122

八a-vb—c

Z?sinC=csinB,cosC=-------------

2ab

asinC—csinA

1.兩角一邊求角1.三邊求角

使用條件

2.兩邊對應(yīng)角2.兩邊一角求邊

2.在△/SC■中，已知a,力和/時，解的情況

/為銳角/為鈍角或直角

zil-ccc

晨*

圖形

ABA」B

關(guān)系式a=bsinA6sinA〈水ba^ba>b

2

解的個數(shù)一解兩解一解一解

知識點二.三角形常用面積公式

⑴s=-a?力aSa表示邊a上的高）；

2

(2)5=-aZ?sinC=~acsix\B=~bcsinA；

222

（3）S=1r（a+6+c）①為三角形內(nèi)切圓半徑）.

2

知識點三.測量中的有關(guān)幾個術(shù)語

術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示

1/目標

在目標視線與水平視線所成的角中，目標視線在水/視線

命角水平

仰角與俯角平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方覆卜唬循視線

、目標

的叫做俯角視線

從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線北］

方位角之間的夾角叫做方位角.方位角。的范圍是

0°W?！?60°

例：（1）北偏東

北］

正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常

方向角

表達為北（南）偏東（西）a（2）南偏西a：

北I東

坡面與水平面所成二面角的度數(shù)叫坡度；坡面的垂

坡角與坡比

直高度與水平長度之比叫坡比

1

知識點四.常用結(jié)論

1.三角形內(nèi)角和定理：在△/笈中，A+B+C=JT；變形：世包=三一e

222

2.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

j_i_D「A\D「

⑴sin(2+0=sinC.⑵cos(4+因=—cosC.(3)sin----=cos-.(4)cos----=sin一.

2222

3.三角形中的射影定理

在△48。中，a=Z?cosC+ccosB；Z?=acosC+ccosA；c=bcos4+acosB.

4.三角形中的大角對大邊

在△ABC中，4>8oa>6<=?sin4>sinA

考點一、正弦定理解三角形

典例引領(lǐng)

1.（2024?北京東城?二模）在△ABC中，A=C=二，b=V2,則。=（）

412

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】D

【分析】由題意可得：8=：,結(jié)合正弦定理運算求解.

6

【詳解】由題意可得：B=Ji-A-C=^,

6

由正弦定理號=--可得a=縹+=2.

sin/lsmBsmb

2

故選：D.

2.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測）在△4BC中，已知NB=30°,c=2,貝!I"b=夜”是“乙C=45?！背闪?/p>

的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理以及“大邊對大角”即可判斷出結(jié)果.

【詳解】由正弦定理得上=三，即卒=三，

smBsinCismC

2

sinC=y,又因為c>b,

C=45°或C=135°；

則“6=夜”是“NC=45?！背闪⒌谋匾怀浞謼l件.

故選：B.

即時校（

1.（2024?河北滄州?一模）在△力BC中，AC=1,tanB=tanC=y,貝!I（）

A.4B.cos2B=yC.BCD.△ZBC的面積為手

【答案】D

【分析】通過條件可得B,C,進而可得4cos2B,利用正弦定理求BC,利用面積公式求面積.

【詳解】因為tanB=tanC=',且在△ABC中,

可得B=C=―,則4=Ji—B—C-,A錯誤；

63

4

C0S2B=COSy=pB錯誤；

V3

由正弦定理當=當，則鳳?=智=」?=百，c錯誤;

sirii4sinnsmB-

2

S4ABC=；xBCxACxsinf=；xV3x1x

故選：D.

2.（2024?江西贛州?一模）在△ABC中，AB=-/7fAC=2fC=120°,則sinA=（）

V7V215V73Vn

AA.—nD.-----L.-----nD.-------

14141414

【答案】B

【分析】由已知利用余弦定理可求BC的值，根據(jù)正弦定理可求sinA的值.

【詳解】；48=近,4C=2,C=120°,

由余弦定理AB?=BC2+AC2-2BC-ACcosC可得：BC2+2BC-3=0,

二解得：BC=1,或一3（舍去），

二由正弦定理可得：sinA=些奢=等.

AB14

故選:B

3.（2024?廣東江門?一模）在△ZBC中，8=30。,。=2,c=2魚，則角A的大小為（）

A.45°B.135°或45°C.15°D.105°或15°

【答案】D

【分析】利用正弦定理求得角C,根據(jù)三角形內(nèi)角和，即可求得答案.

【詳解】由題意知△ABC中，B=3（F,b=2,C=2A/2,

士心b_c日門._csinB2V2xsin30°V2

故/=薪'即smrC=-^=-2—=3,

由于c>b,故C>B=30。，則C=45°或135°,

故A的大小為180°-30°-45°=105°或180°-30°-135°=15°,

故選：D

4.（2024?浙江金華?三模）在△ABC中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c.若a=夕，b=2,4=60。，則

c為（）

A.1B.2C.3D.1或3

【答案】C

【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.

【詳解】由余弦定理得cos4=空了，

2bc

即2+c-（V7）=工，即—2c—3=0,解得c=3或c=—1（舍）.

2x2c2

故選：C.

5.（2024?云南昆明?三模）已知△ABC中，AB=3,BC=4,AC=術(shù),則△ABC的面積等于（）

5

A.3B.VTlC.5D.2V5

【答案】B

【分析】由余弦定理及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得出sinB,再根據(jù)三角形面積公式計算即可.

【詳解】由余弦定理得，cosB=望霽*=當苦工=],因為B為三角形內(nèi)角，

LAD-DC2X3X40

則sinB=V1-cos2^=—,

6

所以S.BC=-AB-BC-sinB=^x3x4x@=Vil,

226

故選：B.

考點二、正余弦定理的邊角互化

典例引領(lǐng)

1.(2024?江西九江?三模)在△ABC中，角所對的邊分別為a,瓦c,已知2c-a=26cos4則8=

()

A.-B.-C.絲D.絲

6336

【答案】B

【分析】運用正弦定理進行邊角互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式即可解決.

【詳解】因為2c—a=2bcos4

由正弦定理，2sinC-sinZ=2sinBcosZ,

因為A+B+C=n,:.2s為(A+B)-2sinBcos?l=sinZ,

展開化簡2sirh4cos8=sinA.vsin/>0,ACOSB=

又Be(0,JIB=y.

故選:B.

2.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)在△力BC中，三個內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acos(B+J=

bsinA,若a=k，c=2,貝！|b=()

A.1B.2C.2V3D.4

【答案】A

【分析】利用正弦定理和三角恒等變換的化簡計算可得B=結(jié)合余弦定理計算即可求解.

6

【詳解】acos(B+—)=bsinA,

由正弦定理得sin>lcos(B+—)=sinBsinA,

又/E(0,0,sin4>0,所以cos(B+=*)=sinB,

6

即fcosB—|sinB=sinB,

6

得cosB=V3sinB,即tanB=—,

又OvB<兀，所以8=3，而a=K,c=2,

由余弦定理得￡>=Va2+c2—2accosB=^3+4—4V3xy=1.

故選：A

1.（2024?吉林?模擬預(yù)測）在△ABC中，角ABC所對的邊分別為a,b,c,“acosB=bcosA"是UA=B"

（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)正弦定理和正切函數(shù)的性質(zhì)以及充要條件的判定即可得到答案.

【詳解】當acosB=bcosA,根據(jù)正弦定理得sinXcosB=sinBcos4顯然A,B豐三,

則tanA=tanB,因為A,B為三角形內(nèi)角，則力=B,則充分性成立；

當力=B,因為A,B為三角形內(nèi)角，則不會存在2=B3的情況，則A,B地,

則tanA=tanB,則sinXcosB=sinBcosX,根據(jù)正弦定理則acosB=bcosA,故必要性成立；

則“acosB=bcosA"是“力=B”的充分必要條件.

故選：C.

2.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）己知△ABC的三個角力，B,C的對邊分別是a,b,c,若3a=2b,B=2A,

則cosB=（）

7711

A.--B.—C.--D.-

161688

【答案】D

【分析】利用正弦定理將邊化為角，利用題設(shè)將8換為4從而求出COS4再利用二倍角公式求出cosB.

【詳解】因為3a=2b,所以3siru4=2sinB=2sin24=4sin4cos4

因為ZE（0,兀），所以sinZ>0,

所以3=4cos4即cosZ=

4

所以cosB=cos24=2cos24-1=2x（；）—1=|.

故選：D.

3.（2024?安徽?模擬預(yù)測）在銳角△ABC中，角的對邊分別為a,瓦c,若sin力=今?=3,同?尼=3,

則產(chǎn)（）

sinfi+smc

A3V3D2V212V74V21

A.D.-------Lr.Dn.---

2333

7

【答案】B

【分析】由已知條件結(jié)合向量數(shù)量積的定義、余弦定理求出a,由正弦定理可得=號,化簡即可得

sinH+sinCsmA

到答案.

【詳解】因為△力BC為銳角三角形，Sinyl=y,所以力=60。，由萬?尼=cbcos4=3,則b=2,

由余弦定理可得：a2=b2+c2—2bccosA=7,即a=V7,

怎

由正弦定理可得:b+ca2

sinF+sinCsin4sin60°31

故選：B.

4.（2024?遼寧?二模）在△力BC中，內(nèi)角的對邊分別為a,hc,且=4csinB+a,則tanA

smA

的值為（）

A.-2B.-3C.3D.2

【答案】A

【分析】正弦定理角化邊并結(jié)合余弦定理得^=sin（B+J,由基本不等式及三角函數(shù)最值得sin（B+

：）=1,求出B,再由正弦定理即可求解.

【詳解】因為62「￡+2"n8=4csinB+a,

sin4

由正弦定理得“+26=4csinB+a,即6c2+2b2=4acsinB+a2,

a

由余弦定理得6c2+2（a2+c2-2accosB）=4acsinB+a2,

化簡得8c2+a2=4ac（sinB+cosB）,即指養(yǎng)=sin+：）,

因為唆Q=sin+嚅足=1,當且僅當a=2魚0時等號成立，

4V2ac\474v2ac

又故sin（B+］）=l,因為BC（0,兀），故3+彳=萬，則8=7，

由a=2V2c,則sinA=2asinf=2V2sin+4）,

整理得sinZ=2sin/+2cos4故tan/=-2

故選:A.

5.（23-24高三下?浙江?階段練習(xí)）在△/BC中，Q,hc分別為內(nèi)角的對邊，滿足ab+sin/sinB=

2bsinAsinC,則次+按的值為.

【答案】1

【分析】根據(jù)正弦定理與一元二次方程根的判別式可得C=90。，進而可得答案.

【詳解】已矢口ab+sinZsinB=2bsin/sinC,

則由正弦定理得：4R2sinAsinB4-sinAsinB=4RsinAsinBsinC,（R為△外接圓半徑），

vsinAsinB>（）,???4Z?2+1=4RsinC,

???4R2—4/?sinf+1=0,v7?>0,

A=16sin2C-4x4xl>0,即sinCNl,

8

vsinC<1,AsinC=1,C=90°,

???A=0,???2R=1,c=2RsinC=1,

a2+b2=1.

故答案為：1.

考點三、三角形的形狀

5典例引領(lǐng)

1.（22-23高三上?河南?階段練習(xí)）某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別是5,則該

14105

三角形（）

A.是銳角三角形B.是直角三角形C.是鈍角三角形D.不存在

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形面積公式，得到a,6,c的關(guān)系，賦值得到a,b,c的值，再根據(jù)余弦定理判斷三角形的形狀.

【詳解】設(shè)4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且a,b,c邊上的高分別為上，卷,則.?七=2卷=衿

［令a=14,貝昉=10,c=5,所以cos4=所以人為鈍角，又b+c>a,所以該三角形是

3ZXJ.UX□

鈍角三角形.

故選：C

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）在△ABC中，若acosA=bcosB,則△4BC的形狀一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】利用余弦定理可得邊的關(guān)系，故可得正確的選項.

【詳解】因為acosA=bcosB,故ax"十，一°=b

2bc2ac

整理得到（原一b2）c2—（a2—Z?2）（a2+h2）=0,

故（次—h2）（c2—a2—Z?2）=0,故/=房或02=a2+ft2,

即a=b或c2=/+/,故△ARC的形狀為等腰或直角三角形，

故選：D.

即0睜（

1.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）記△4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a,b,c成等差數(shù)歹U,

以AC為直徑的圓的面積為2n,若S&ABC=2W,則△ABC的形狀為（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.非等腰三角形D.等邊三角形

【答案】D

9

【分析】根據(jù)題意可得b=2也a+c=4也利用余弦定理整理得ac=焉，結(jié)合面積關(guān)系可得B.

進而可得a=c=22，即可得結(jié)果.

【詳解】因為以AC為直徑的圓的面積為2n,可知b=4C=2&,

又因為a,b,c成等差數(shù)列，則26=a+c=4&,

22

a2+c2-b2_{a+c)—2ac—b

由余弦定理可得cosB

2ac2ac

即COSB=32-2—8,整理得知=12

2ac1+cosB’

且SMBC=3acsinB=|x二：^xsinB=2A/3,整理得BsinB=1+cosB,

V3sinF=1+cosB解得sinB=yrsinB=0

聯(lián)立方程

.sin2F+COS2F=1寸

.V3

sinDn=—n

且Be(o,it),可得-；，即3=9

cosB=-

+c=4a,解得a=c=2方,

ac=8

所以△力BC的形狀為等邊三角形.

故選：D.

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）記△4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a,b,c成等比數(shù)歹U,

以邊力C為直徑的圓的面積為4n,若△ABC的面積不小于4百，則△4BC的形狀為（

A.等腰非等邊三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得提=ac,b=4,由SMBC之48，得sinB二?即60。4BW120。，又由余弦定理結(jié)

合基本不等式得0。<8<60。，所以3=60。，此時a=c,得解.

【詳解】根據(jù)題意可得，b2-ac,b=4,

???S&ABC-jacsinB=8sinB,又S&ABC24V3,貝！IsinB>y-,

又0°<B<180°,所以60。<B<120°,

由余弦定理得，cosB=g*N『=；,

2aclac2

所以0。<8<60。，當且僅當a=c時等號成立，所以8=60。，此時a=c,

所以力=B=C,即△ABC為等邊三角形.

故選：D.

3.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）在△力BC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且a=7,b=3,c=5,

則)

A.△ABC為銳角三角形B.△力BC為直角三角形

C.△力BC為鈍角三角形D.△力BC的形狀無法確定

10

【答案】C

【分析】根據(jù)余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.

【詳解】由于cos4=WW32+52—729+25-490

30-30-

故Z為鈍角，進而三角形為鈍角三角形

故選：C

4.（2022高三?全國?專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別是a,b,c,sin1=asinF=csinX,

則該三角形的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出B,再利用正弦定理邊化角化簡asinB=csiM,可得B=C,即可判

斷出答案.

【詳解】在△4BC中，sin9=（,由于Be（0,B）,（0,三），

故9=7'"呂=1

又asinB=csin4故sinXsinB=sinCsinZ,而4G（0,兀），???sin/W0,

則sinB=sinC,而昆C€（0,兀），則8=C,B+C=n（舍），

故C=B=g,.?.?!=三，即△力BC為等邊三角形，

故選：C

5.（20-21高三上?河北?階段練習(xí)）在△4BC中，角4B,C對邊為a,6,c,且2c?cos2：=b+c,貝必48。

的形狀為（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】先根據(jù)二倍角公式化簡COS2*根據(jù)余弦定理化簡得到c2=+/即可得到答案.

【詳解】因為2c?cos25=b+c,

所以2c?I+）'=b+c,即c+ccosA=b+c,

所以ccos/=b,

在△ABC中，由余弦定理：cos4=

"#2一bc",

代入得，c-b+c~a=b,即挾+C2—/=2房，

2bc

所以c?=a24-b2.

所以△ZBC直角三角形.

故選：B

11

考點四、三角形的周長

中典例引領(lǐng)

1.（2024?北京?三模）在四棱錐P—4BCD中，底面4BCD為正方形，AB=4,PC=PD=3,APCA=45°,

則△PBC的周長為（）

A.10B.11C.7+V17D.12

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合棱錐的結(jié)構(gòu)特征，利用全等三角形性質(zhì)及余弦定理求出PB即得.

【詳解】在四棱錐P—4BCD中，連接交于0,連P。，則。為力&BD的中點，如圖，

正方形A8CD中，4B=4,AC=BD=4五,

在△POC與△P。。中，OC=OD,OP=OP,PC=PD,貝必PO%ZiP。。，

于是NPDB=LPCA=45°,

由余弦定理得P8=>JBD2+PD2-2BD-PDcosAPDB=132+9-2x4ax3Xy=g,

所以△PBC的周長為7+V17.

故選:C

2.(2024?四川綿陽?一模)△力BC中，角力、B、C的對邊分別為a、b、c,若sinCsin(4—B)=sinBsin。一

Z),a=5,cosZ=導(dǎo)則△ABC的周長為.

【答案】14

【分析】先利用兩角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理對題目條件進行化簡得出：2a2=b2+c2；再結(jié)合

a=5,cosA=II和余弦定理得出b+c的值即可求解.

【詳解】因為sinCsin(i4—B)=sinBsin(C—4),

所以sinCsinAcosB—sinCcosZsinB=sinBsinfcos^—sinBcosCsinZ,

BPsinCsinAcosB+sin^cosfsinX=2sin^sinCcosX.,

由正弦定理可得：accosB+abcosC=2bccosAf

由余弦定理可得：Q號眩+立尸=02+/_。2,整理得：2次=/+/.

因為Q=5,coSi4=

12

22

h+c=50b2+c2=50

所以匕2+c2_a225，整理得:

cos/=2bc=31

2bc31

貝Ub+c=VZ72+c2+2bc=A/50+31=9,

所以Q+b+c=14,

故答案為：14.

即0^(

1.(23-24高三下?四川巴中?階段練習(xí))△力BC中，力、B、C的對邊分別為a、b、c,且6cosc=2acosB-ccosB,

a=l,b=V3,則aABC的周長為

【答案】3+V3

【分析】

由題意，根據(jù)正弦定理和三角恒等變換求得B=g,結(jié)合余弦定理計算求出c即可求解.

【詳解】由題意知，bcosC=2acosB—ccosB,

由正弦定理，得sinBcosC=2sin/cosB—sinCcosB,

sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=2sinAcosB,

即sinA=2sin4cosB,又sinA>0,

所以1=2cosB,得cosB=I，又0VBV兀，

所以B=?；

由余弦定理，得cosB=Q^*,即；=上*,

2ac22c

由c>0,解得c=2,

所以△力BC的周長為a+b+c=3+百.

故答案為：3+百

2.(2024?天津北辰?三模)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足acosC+ccosA=上.

ZcosB

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若cos力=4，求sin(2A+B)的值；

(3)若△ABC的面積為竽，6=3,求△ABC的周長.

【答案】(Dy

⑵立—五

36

⑶8

【分析】(1)根據(jù)正弦定理即可求解；

(2)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，得到sinA=手，之后應(yīng)用余弦倍角公式和正弦和角公式求得結(jié)果；

13

(3)利用三角形面積公式得到加二與，結(jié)合余弦定理求得a+c=5,進而得到三角形的周長.

【詳解】(1)因為acosC+ccos/=°,

2cosF

所以sirh4cosc+sinCcosA="m",

2cos5

所以sinQ4+C)=普，所以sinB=瞿,

2cosB2cosB

因為BE(0,兀)，所以cosB=g,8=］；

(2)由已知得，sinA=V1—cos2i4=

所以sin2i4=2sinZcos4=—,

cos2/l=2cos2/l-l=-i

所以sin(2i4+B)=sin2AcosB+cos2AsinB=---------；

36

(3)因為S=gacsinB=■jac4=手，

所以QC=?由余弦定理得抉=a2+c2—2accosB=(a+c)2—2ac—2accosB,

所以9=(a+c)2—3x與，所以a+c=5,

所以△4BC的周長為a+b+c=8.

3.(2024,陜西商洛?模擬預(yù)測)在①2sinB=V^sin力；②6cosc+ccosB=4cosB這兩個條件中任選一個,

補充在下面的問題中并解答.

設(shè)△4BC的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA-sinC=sin(4—B),b=V3.

⑴求B；

(2)若,求△ABC的周長.

注：若選擇條件①、條件②分別解答，則按第一個解答計分.

【答案】⑴8=三

(2)3+V3

【分析】(1)根據(jù)sinC=sin(A+B),化簡求得cosB,即可求解角B的值；

(2)若選①，根據(jù)(1)的結(jié)果求其它角，再求邊長，即可求解；若選②，根據(jù)余弦定理化簡求a,再根據(jù)

余弦定理求c,即可求解三角形的周長.

【詳解】(1)sinC=sin(n—A—B)—sin(4+B),

所以sirtA—sinC=sin(4一B)QsinX—sin(4+B)=sin(4—B),

sinX—sinXcosB—cosXsinB=sin^cosB—cosXsinB,

則sin4=2sim4cosB,因sin>l>0,

所以cosB=g,BG(O,Jt),則B=g

(2)若選①，2sinB=bsin4貝!]2x?=V3sin/1,則sinA=1,

14

則Z=g,C=三---^~=g，且B=g,b=V3,

22363

則c=b-tanC=V3x=1,a=2,

所以△/BC的周長為2+1+8=3+b；

若選②bcosC+ccosB=4cosB,

222222

則bxa+b-c.a+c-b4cosB,

整理為a=4cosB=2,又b=g,

根據(jù)余弦定理/=a2+c2-2accosB,即c?—2c+1=0,得c=1,

所以△ABC的周長為2+1+百=3+g.

4.(2024?江蘇南通?三模)在△力BC中，角4B,C的對邊分別為a,hc,(2b—c)cos4=acosC.

⑴求4

(2)若△4BC的面積為舊,BC邊上的高為1,求△A8C的周長.

【答案】(Df

(2)2V6+2V3

【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等變換得cos4=(,則得到4的大?。?/p>

(2)利用三角形面積公式得幾=4,再結(jié)合余弦定理得b+c的值，則得到其周長.

【詳解】(1)因為(2b-c)cosZ=acosC,

由正弦定理，得(2sinB-sinC)cos>l=sirh4cosC,

即2sinBcos4=sirL4cosc+sinCcos/,即2sinBcosA=sinB.

因為在△ABC中，sinBAO,

所以cosA=

又因為0V4V兀，所以

(2)因為△/BC的面積為

所以Iax1=W,得a=2A/3.

由［bcsinZ=V3,即:be=V3,

所以be=4.由余弦定理，得小=b2+c2-2bccosA,即12=62+c2—be,

化簡得(b+c)2=3bc+12,所以(b+c)2=24,即b+c=2①，

所以△ZBC的周長為。+b+c=2乃+2V3.

考點五、三角形的面積

典例引領(lǐng)

1.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)在△A8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=V6,V6cosF=(3c-

15

b')cosA,則△ABC面積的最大值為.

【答案】苧/|企

【分析】由已知條件，運用正弦定理把邊化角，求得cos4=(,再利用余弦定理和基本不等式求解△ABC

面積的最大值.

【詳解】因為a=V6,V6cos^=(3c—b)cos4所以V^cosB=acosB=(3c—b)cos4

由正弦定理可得sinAcosB=3sinCcos/—sinBcosA,即sin(4+B)=3sinCcos4

sinC=3sinCcos?l,因為CG(0,幾),所以sinCW0,故cos4=

由余弦定理/=Z)2+c2—2bccos4得(茄)=62+c2~~bc,

所以6=b2+c2—三be>2bc—|bc,即be<當且僅當b=c=苧時取等號，

由cosA=I，4E(0,兀)，得sin/=

匚匚i、ic17i2V2,，遮93V2

所以S/XABC=2besmZ=-xbe<-x-=

故答案為：言.

2.(2024?山西?模擬預(yù)測)在△力BC中，C=三，且石？?麗=4b，則△ABC的面積是____.

6

【答案】2

【分析】由C=CA-CB=4次得至IJC4?CB=8,再利用三角形面積公式求解.

【詳解】解：由刀?詬=CA-CB-cosC=4V3nCA?CB=8,

故SA4BC—|sinCxCAxCB—2.

故答案為：2

?即時檢測

1.(2024?安徽?三模)在△力BC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊，且滿足a=百,(a+c)(sin4+

sinC)=bsinB+3cs