集合與常用邏輯用語（解析版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第01講集合與常用邏輯用語

（8類核心考點(diǎn)精講精練）

1%.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第1題,5分交集的概念與運(yùn)算

充分條件的判定及性質(zhì)、必要條件的判定及性質(zhì)、比較指數(shù)幕的大小、判

2024年天津卷，第2題,5分

斷一般幕函數(shù)的單調(diào)性

2023年天津卷，第1題,5分并交補(bǔ)混合運(yùn)算

2023年天津卷，第2題,5分必要條件的判斷與性質(zhì)

2022年天津卷，第1題,5分交集的概念及運(yùn)算、交并補(bǔ)混合運(yùn)算

2022年天津卷，第2題,5分判斷命題的充分與必要條件

2021年天津卷，第1題,5分并交補(bǔ)混合運(yùn)算

2021年天津卷，第2題,5分判斷命題的充分與必要條件

2020年天津卷，第1題,5分并交補(bǔ)混合運(yùn)算

2020年天津卷，第2題,5分判斷命題的充分與必要條件

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，充分條件與必要條件的判斷，能夠判斷元素與集合、集合與

集合的關(guān)系，能夠判斷命題的充分條件與必要條件

2.能掌握集合交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算和性質(zhì)，會(huì)判斷充分條件與必要條件

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助Venn圖、數(shù)軸等工具解決集合的計(jì)算問題，會(huì)利用集

合間的關(guān)系解決充分條件必要條件問題

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給兩個(gè)集合，要求通過解不等式求出一個(gè)集合，然

后通過集合的運(yùn)算得出答案，一般給出兩命題，要求判斷兩個(gè)命題的充分條件與必要條件等。

12?考點(diǎn)梳理

集合的概念

常用數(shù)集及其記法考點(diǎn)一.元素與集合的關(guān)系

r知識(shí)點(diǎn)一.集合的含義與表示＜集合與元素間的關(guān)系

集合的表示法（考點(diǎn)二.集合中元素的特征

集合的分類

子集

知識(shí)點(diǎn)二.集合間的基本關(guān)系真子集考點(diǎn)三.集合間的基本關(guān)系

相等I

集合與常用邏輯用語,

知識(shí)點(diǎn)三.子集與元素之間的關(guān)系考點(diǎn)四.子集個(gè)數(shù)問題

集合的并交補(bǔ)運(yùn)算

考點(diǎn)五.集合的并交補(bǔ)運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)四.集合的基本運(yùn)算集合的包含關(guān)系

考點(diǎn)六.Venn圖的運(yùn)用

重要結(jié)論

命題

考點(diǎn)七.充分條件與必要條件

知識(shí)點(diǎn)五.命題、充分條件、必要條件與充要充分條件、必要條件與充要條件

考點(diǎn)八.全稱量詞命題與存在量詞命題

條件全稱量詞與存在量詞

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.集合的含義與表示

1.集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性

2.常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N,表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，0表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集

3.集合與元素間的關(guān)系

對象a與集合M的關(guān)系是aGM,或者aCM,兩者必居其一。

4.集合的表示法

①自然語言法:用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?/p>

②）列舉法把集合中的元素-列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合

③描述法:{xlx具有的性質(zhì)},其中x為集合的代表元素、

④圖示法:用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合

5.集合的分類

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集

②含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集

③不含有任何元素的集合叫做空集(0)

知識(shí)點(diǎn)二.集合間的基本關(guān)系

名稱記號(hào)意義麗示意圖

（1）A￡A

（2）0￡A

A（或或

子集A中的任一元素都屬于B

（3）若acB且Buc,貝！ac

83A）

（4）若acB且8ua,貝！M=B

真子AcB（或AQB，且B中至少有一元（1）0C71（A為非空子集）（2）若

集BoA）素不屬于AAuB且8uC,則AuC

集合A中的任一元素都屬于B,

A=B（1）ACB（2）BCA

相等B中的任一元素都屬于A

知識(shí)點(diǎn)三.子集與元素之間的關(guān)系

已知集合4有幾何＞1)個(gè)元素，則它有2n個(gè)子集，它有2n-1個(gè)真子集，它有2n-1個(gè)非空子集，它有2n-2

非空真子集.

知識(shí)點(diǎn)四.集合的基本運(yùn)算

1.集合的并交補(bǔ)運(yùn)算：

?ADB={H|BWA,且工WB}-AUB={①IzCA,或遼6B}-CuA={z|了￡17,且zWA}

2.集合的包含關(guān)系:ACA;0CA；

3.識(shí)記重要結(jié)論：4nB=a=aa8；4uB=a=a?B；

CV(AUB)=CyAnCUB\Cy(XClB)=CVAUCUB

知識(shí)點(diǎn)五.命題、充分條件、必要條件與充要條件

1、命題:可以判斷真假的語句叫命題。

邏輯聯(lián)結(jié)詞:“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞。

簡單命題:不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。

復(fù)合命題:由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題常用小寫的拉丁字母p,q,r,s,.表示命題

2、充分條件、必要條件與充要條件

(1)、一般地，如果已知p=q,那么就說:p是q的充分條件，q是p的必要條件；

若P=q,貝打是q的充分必要條件，簡稱充要條件

(2)、充分條件，必要條件與充要條件主要用來區(qū)分命題的條件p與結(jié)論g之間的關(guān)系

3、從邏輯推理關(guān)系上看：

①若p=>q，則p是q充分條件，q是p的必要條件；

②若p=q，但q冷p,貝1]p是q充分而不必要條件：

③若p分q，但q=>p，則p是q必要而不充分條件；

④若p=q且q=>p，則p是q的充要條件；

⑤若p分q且q分p,則p是q的既不充分也不必要條件，

4、從集合與集合之間的關(guān)系上看：

已知A={x|x滿足條件p},B={x|x滿足條件q}

①AUB,則p是q充分條件；

②若BUA,則p是q必要條件；

③若A,則p是q充分而不必要條件；

④若B缶A,則p是q必要而不充分條件；

⑤若A=B,貝Up是q的充要條件；

⑥若ACB且BCA,則p是q的既不充分也不必要條件

5、全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱命題

短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“V”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命

題

(2)存在量詞與特稱命題

短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)"于'表示.含有存在量詞的命題，叫做特

稱命題

（3）全稱命題與特稱命題的符號(hào)表示及否定

①全稱命題p：vxeM，P（X）,它的否定rp：M,-1P（X。）.全稱命題的否定是特稱命題

②特稱命題p：3XoGM,p（x。）,它的否定rp：VXeM,rp（x）.特稱命題的否定是全稱命題

考點(diǎn)一、元素與集合的關(guān)系

典例引領(lǐng)

1.（2022?全國?高考真題）設(shè)全集U={1,234,5},集合M滿足={1,3},則（）

A.2eMB.3eMC.4eMD.5?M

【答案】A

【分析】先寫出集合M,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可

【詳解】由題知M={2,4,5},對比選項(xiàng)知，A正確,BCD錯(cuò)誤

故選:A

2.（2024?四川?模擬預(yù)測）已知全集U={-2,-L0,l,2},4nB={-l,l},4uO={-2,-l,l,2},則（）

A.-1G-1￡BB.2EA,2EB

C.一2生A,一2住BD.0gAOgB

【答案】D

【分析】由交集和并集的定義對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】由U={-2,—1,0,1,2},4CB=={-2,-1,1,2}知，

-1GA-16B,2不同時(shí)在集合4B中，一2必在集合4B之一中，

集合4B中都不含0.

故選：D.

即時(shí)性測

1.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知4=卜|吧龍W0],若264則m的取值范圍是（）

A.-1<m<|B.-1<m<|C.mW—[或6>巳D.znW—1或爪2]

【答案】A

【分析】將％=2代入注<0,然后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解可得.

mx-1

【詳解】因?yàn)?C4所以產(chǎn)W0,等價(jià)于]（2爪01）（27-2W0,

2m-iI2m—1W0

解得一!<m<|.

故選：A

2.(2024?河南信陽?模擬預(yù)測)已知非空集合2=(x\a<x<a2],則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,1)B.(-co,0)

C.(—co,0)U(1,4-00)D.(—co,—1)(J(0,+oo)

【答案】C

【分析】由題意可得。2>處解不等式可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】因?yàn)榧?=(x\a<x<a2}是非空集合，

所以a?>a,解得a<。或a>1,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,0)U(1,+8),

故選：C

3.(2024?北京?三模)已知集合4=<1},若a24,則a可能是()

A.-B.1C.2D.3

e

【答案】D

【分析】解對數(shù)不等式化簡集合A,進(jìn)而求出a的取值集合即得.

【詳解】由Inx<1,得0<尤<e,則4={x[0<x<e},CRH={x|xW0或2e},

由a04,得aeCR力，顯然選項(xiàng)ABC不滿足，D滿足.

故選：D

4.(2023?北京房山?二模)設(shè)集合4={(x,y)|x-y20,ax+yN2,x-ayW2},則()

A.當(dāng)a=l時(shí)，(1,1)任AB.對任意實(shí)數(shù)a,(1,1)GX

C.當(dāng)a<0時(shí)，(1,1)WAD.對任意實(shí)數(shù)a,(1,1)gA

【答案】C

【分析】依據(jù)選項(xiàng)將點(diǎn)(1,1)代入驗(yàn)證即可.

【詳解】當(dāng)a=l時(shí)，A={(x,y)|x-y>0,x+y>2,x-y<2),

1-120

將(LI)代入A得：1+IN2成立，故(LI)€4即A錯(cuò)誤；

1-1<2

若a=0時(shí)，此時(shí)將(1,1)代入a%+y=122不成立，即B錯(cuò)誤；

當(dāng)a<0時(shí)，此時(shí)將(1,1)代入a%+y=a+1>2不成立，即C正確；

1-120

若a=2時(shí)，此時(shí)將(1,1)代入A得2+122成立，即D錯(cuò)誤；

,1—242

故選：C.

5.(23-24高三上.北京海淀?階段練習(xí))己知集合2={x\x>a(a—1)},0￡71,則a的取值范圍是

【答案】0<a<1

【分析】由題意可得a(a-l)<0,解之即可得解.

【詳解】因?yàn)榧?={%Ix>a(a-1)},0￡X,

所以a(a-1)<0,解得0<a<1.

故答案為：0<a<l.

6.(23-24高三上?上海普陀?期末)已知06{2,x2-1},則實(shí)數(shù)x=.

【答案】±1

【分析】直接根據(jù)/—1=0求解即可.

【詳解】??-0G(2,x2-l},

■■■x2—1—0,

解得x=±1.

故答案為：±1.

考點(diǎn)二、集合中元素的特征

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國?高考真題)己知等差數(shù)列{即}的公差為與，集合S={cosan|nGN*},若S={a,b},則ab=()

A.-1B.--C.0D.-

22

【答案】B

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理

作答.

【詳解】依題意，等差數(shù)列{即}中，an=ai+(n-1)-=yn+(Q1-y),

顯然函數(shù)丫=cosgn+(由-爭]的周期為3,而zieN*,即coscin最多3個(gè)不同取值，又{cosaM"6N*}=

[a,b],

貝U在cosai，cosQ2，cosa3中，cos%=cosa2WCOSCI3或cosa】Wcosa2=cos%,

于是有cose=cos(e+g),即有e+(e+勺=2/c為k￡Z,解得e=?—

所以々GZ,ab—COS(/C7l—^)cos[(k7l—^)+y]=—COS(fc7l—^)COS/C7l=—cos2/c兀cosg=—

故選:B

2.(23-24高三上?遼寧丹東?期中)已知集合4={0,1,a?},8={1,0,2a+3},若4=B,貝Ua=()

A.-1或3B.0C.3D.-3

【答案】C

【分析】由集合相等的含義得a2=2a+3,求解并驗(yàn)證互異性即可.

【詳解】=

a?=2a+3,解得a=-1或3,

當(dāng)a=-1時(shí)，a2=2a+3=1,

不滿足集合中元素的互異性，舍去.

當(dāng)a=3時(shí)，a2=2Q+3=9,

此時(shí)4=B={0,1,9},滿足題意.

綜上，a=3.

故選：C.

1.（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測）已知集合4={1,3,a?},集合B={l,2+a},若4uB=4則。=—.

【答案】2

【分析】根據(jù)集合中元素的互異性和集合并集的運(yùn)算可求a的值.

【詳解】因?yàn)閍UB=4所以2+a=3或=2+a.

若2+a=3,則a=1,此時(shí)a?=1,集合4中的元素不滿足互異性，故a=1舍去.

若a?—2+a則a=—1或a=2.

當(dāng)a=-l時(shí)，a2=1,集合4中的元素不滿足互異性，故a=—1舍去；

當(dāng)a=2時(shí)，A={1,3,4},B={1,3}，Au8=4故a=2符合題意.

故答案為：2

2.（23-24高三上.河南南陽?階段練習(xí)）集合{y|y=+，xeZ,yez}中的元素個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)xez,yez,取值驗(yàn)證即可得集合中所有元素.

【詳解】因?yàn)閥ez,即提ez,所以x+2的可能取值為±1,±2,±3,±6,

分別代入可得y=-6,-3,-2,-1,1,2,3,6,所以集合中共有8個(gè)元素.

故選：D

3.（22-23高三上?天津河西?期中）含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成又可表示成{M,a+b,0},則

a2022+b2022=.

【答案】1

【分析】根據(jù)集合相等，則元素完全相同，分析參數(shù)，列出等式，即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閧a,\l}={a2,a+b,0},

顯然a*0,故2=0,貝柏=0；

a

此時(shí)兩集合分別是{a,1,0},{a,a2,0）,

則小=1,解得a=1或一1.

當(dāng)a=l時(shí)，不滿足互異性，故舍去；

當(dāng)@=一1時(shí)，滿足題意.

所以Q2022+fo2022=（_1）2。22+（）2022=1

故答案為：1.

考點(diǎn)三、集合的基本關(guān)系

典例引領(lǐng)

1.（2024.陜西商洛?模擬預(yù)測）在下列選項(xiàng)中，能正確表示集合4={-3,0,3}和8={%|x2+3x=0}的關(guān)系的

是（）

A.A=BB.X2BC.AQBD.2CB=0

【答案】B

【分析】先求出集合B,然后利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【詳解】由B={x\x2+3%=0],可得B={-3,0},又4={-3,0,3）,所以A3B

故選:B

2.（2024?遼寧?三模）若全集U=R,A=[x\x<2},B={y\y=ex,xeR},則下列關(guān)系正確的是（）

A.AQBB.BQAC.BUCMD.CVAcB

【答案】D

【分析】求出集合B中函數(shù)的值域，得到集合B,判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系.

【詳解】全集U=R,A={x\x<2},則C（p4={x\x>2）,

B={y\y-ex,xER）={y\y>0],所以QA￡B.

故選：D

??即時(shí)檢測

1.（2024?重慶.三模）已知集合4={x|/一1=0},集合8={a+1,a—1,3},若AUB,則。=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】利用子集的概念求解.

【詳解】集合4--{x\x2-1=0}={-1,1}，集合B=（a+1,a—1,3）,

t

若4UB,又a+l>a-l,所以{：）1;，解得a=0.

故選：B

2.（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）已知集合2=（x\^=a,a,bGR},B=[b,^,AcB,則a的取值集合為.

【答案】{0。22}

【分析】本題根據(jù)集合之間的關(guān)系，對參數(shù)分類討論，即可確定參數(shù)的取值.

【詳解】由題意可知：%W0,bW0,bH±1,

因?yàn)?MB,所以當(dāng)4=0時(shí)，a=0；

當(dāng)44。時(shí)，則久

a

則色=b或△=［解得Q=1或a=b2,

綜上得，a的取值集合是［0,1,爐}.

故答案為：［0,1,b2}

3.(23-24高三下?河南鄭州?階段練習(xí))已知集合力={%|x2-3%<0］,B={%|-2<%<2},C={%|x<a］,

且Q4nB)￡C,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】2+8)

【分析】解不等式化簡集合A,再利用交集的定義及集合的包含關(guān)系求解即得.

【詳解】依題意，X={x|%2—3%<0}={x|0<x<3},則AnB={x|0<x<2},

由G4C8)UC,得a22,所以a的取值范圍是［2,+8).

故答案為：2+8)

考點(diǎn)四、子集個(gè)數(shù)問題

典例引領(lǐng)

1.(2024?安徽?模擬預(yù)測)已知集合a={xeN|2/—5xW0},則4的子集個(gè)數(shù)為()

A.4B.7C.8D.16

【答案】C

【分析】求出集合4中元素，進(jìn)而求出集合4的子集個(gè)數(shù).

【詳解】由題意得，4={%SN|0<%<|}={0,1,2),

則4的子集個(gè)數(shù)為23=8,

故選：C.

2.(23-24高三下?遼寧?階段練習(xí))已知集合4={0,1,2,3},B={x\y=ln(-x2+4x)),貝妹nB子集的個(gè)數(shù)

為()

A.4B.8C.15D.16

【答案】B

【分析】先求出集合B,再根據(jù)交集的定義求出anB,由此可判斷4nB子集的個(gè)數(shù).

【詳解】B={x\y=ln(—%2+4x)}={x\y=—x2+4x>0}={x|0<x<4］,

所以4cB={1,2,3},

所以anB子集的個(gè)數(shù)為23=8個(gè).

故選：B.

即時(shí)

1.（2024?安徽安慶?二模）若集合P={%[-2<x<m-機(jī)2,久eZ},當(dāng)m=決寸，集合P的非空真子集個(gè)數(shù)

為（）

A.8B.7C.6D.4

【答案】C

【分析】先確定集合P中的元素，再求其非空真子集個(gè)數(shù).

【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)巾=之時(shí)，

集合P=[xI-2<x<6zj={-2,-1,0）,

集合P中有3個(gè)元素，所以集合P的非空真子集個(gè)數(shù)為23-2=6.

故選：C

2.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）設(shè)集合4=k嗎竽},B={2,lne3,y},則AUB的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡集合4、B,即可求出4UB,再判斷其子集個(gè)數(shù).

【詳解】因?yàn)?=使2,竽}={2號(hào)},B={2,3圖,

所以4UB={2,3,7},則4UB的子集有23=8個(gè).

故選：C

3.（2024.福建泉州.模擬預(yù)測）設(shè)集合M={%eZ|^|<0）,則集合M的非空真子集個(gè)數(shù)為（）

A.16B.15C.14D.13

【答案】C

【分析】解不等式求得集合M,再根據(jù)子集定義得結(jié)論.

【詳解】由詈<0得（%—2）。+3）<0,-3<x<2,所以M={-2,-1,0,1},

因此M的非空真子集個(gè)數(shù)為24-2=14,

故選：C.

4、（2024?天津和平?一模）已知集合4={久6N|-2W久<2},B={久eZ||x|<2},集合C=4nB,則集合

C的子集個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算求得集合C,然后可解.

【詳解】因?yàn)閍={o,i},B={—1,0,1},

所以C—Ar\B—[0,1},

所以集合C的子集個(gè)數(shù)為22=4.

故選:D

考點(diǎn)五、集合的并交補(bǔ)運(yùn)算

■典例引領(lǐng)

1.(2023，天津.高考真題)已知集合U={1,2,3,4,5},4={1,3},B={1,2,4},則QBUX=()

A.{1,3,5}B.{1,3}C.{1,2,4}D.{1,2,4,5}

【答案】A

【分析】對集合B求補(bǔ)集，應(yīng)用集合的并運(yùn)算求結(jié)果；

【詳解】由CuB={3,5},而4={1,3},

所以QBU=={1,3,5).

故選：A

2.(2024?天津?高考真題)集合4=口,2,3,4},B=[2,3,4,5},則AnB=()

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{1}

【答案】B

【分析】根據(jù)集合交集的概念直接求解即可.

【詳解】因?yàn)榧?={123,4},B={2,3,4,5},

所以4cB={2,3,4},

故選：B

??即時(shí)啊

1.(2024?北京?高考真題)已知集合M={%|-3<%<1],N={x\-1<x<4},則MUN=()

A.{x|-1<x<1}B.{x\x>—3}

C.{x|-3<x<4}D.{x\x<4}

【答案】C

【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.

【詳解】由題意得MUW=(%|-3<x<4].

故選：C.

2.(2024?全國?高考真題)已知集合力={久|一5<久3<5},B={-3,-1,0,2,3},則4CB=()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

【答案】A

【分析】化簡集合4由交集的概念即可得解.

【詳解】因?yàn)閍={燈一遮<x<四},B={—3,-1,0,2,3},且注意到1<V5<2,

從而4CB={-1,0}.

故選：A.

3.(2024.全國?高考真題)已知集合2={1,2,3,4,5,9},B={引?64},則金缶08)=()

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【分析】由集合B的定義求出B,結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)?={1,2,3,459},B={對?EA],所以B={1,4,9,16,25,81),

則4nB={1,4,9},服缶C8)={2,3,5)

故選：D

4.(2024?全國?高考真題)若集合4={1,2,3,459},B={x\x+1€4},則4nB=()

A.{1,3,4}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4,9}

【答案】C

【分析】根據(jù)集合B的定義先算出具體含有的元素，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.

【詳解】依題意得，對于集合B中的元素x,滿足x+1=1,2,3,459,

則％可能的取值為0,1,2,3,4,8,即2={0,1,2,3,4,8},

于是anB={1,2,3,4).

故選：C

5.(2023?全國?高考真題)設(shè)全集3=Z,集合M={x\x=3k+l,kEZ},N={x\x=3k+2,kEZ},Cy(MU

N)=()

A.{x\x=3k,kGZ}B.(x\x=3k—1,kEZ}

C.[x\x=3k—2,kEZ}D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集Z={x|x=3k,keZ}u{x|K=3/c+l,keZ}u{x|K=3k+2,keZ},U=Z,所以，

Cu(MUN)={x\x=3k,kEZ].

故選：A.

6.(2023?全國?高考真題)設(shè)集合U=R,集合M=[x\x<1},N{x\-1<x<2},則{用久>2}=()

A.Cu(MuN)B.NUCuM

C.Cu(MnN)D.MUCuN

【答案】A

【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為{x|x>2}即可.

【詳解】由題意可得MUN={x|x<2},則Cu(MUN)={x|x22},選項(xiàng)A正確；

CuM-{x\x>1),則NUQM=口門>-1}，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

MnN={x\-1<x<1},貝UCu(MCN)={x\xW-1或x21},選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

CuN={x}xW-1或x22},則MUQN=[x\x<1或x22},選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：A.

7.(2023?全國?高考真題)設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},則NUQM=()

A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}

【答案】A

【分析】利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.

【詳解】因?yàn)槿?{123,4,5},集合M={1,4},所以QM={2,3,5},

又為={2,5},所以NUQM={2,3,5},

故選：A.

考點(diǎn)六、Venn圖的運(yùn)用

典例引領(lǐng)

1.（2024?湖南邵陽?三模）已知全集[/=凡集合4={劃一1<久32},5=<%|1<%<6],如圖所示，則圖

中陰影部分表示的集合是（）

A.{x|-1<x<6]B.{x\x<—1}C.{x\x>6)D.{x\x<-1或x>6}

【答案】D

【分析】先根據(jù)并集運(yùn)算求得，然后利用補(bǔ)集的概念求解陰影部分表示的集合即可.

【詳解】因?yàn)?={劃一1WxW2},B={x|l<%<6},所以4UB={劃一1WxW6},

所以圖中陰影部分表示的集合Cu（4UB）={x\x<-1或x>6}.

故選：D

2.（2024?湖北黃岡.二模）已知集合4={xGNI（x—3）（%+2）<0）,B={xI|x-1|<1},則圖中陰影部分

表示的集合為（）

C.{1,2}D.{1,2,3}

【答案】B

【分析】利用韋恩圖來理解集合的運(yùn)算即可.

【詳解】

u

BA

因?yàn)閆={%GN|(%-3)(%+2)<0}={0,l,2,3},B={x||x-l|<1}={%I0<%<2},

由韋恩圖可知，陰影部分表示(CuB)n4所以(CuB)n/={3}.

故選：B.

即時(shí)投測I

1.(23-24高三下?重慶?階段練習(xí))如圖所示，U是全集，A,B是U的子集，則陰影部分所表示的集合是()

A.Cu(AuB)B.AU(C^B)C.(如人)n(QB)D.(C(M)U(QB)

【答案】D

【分析】根據(jù)題中韋恩圖結(jié)合集合間運(yùn)算分析判斷.

【詳解】圖中陰影部分表示的集合為CuQ4CB)=(C〃l)U(C^B).

故選：D.

2.(2024?山西?三模)已知集合4B均為集合U的子集，則(CM)CB表示的區(qū)域?yàn)?)

【答案】A

【分析】根據(jù)韋恩圖及補(bǔ)集、交集的定義判斷即可.

【詳解】由韋恩圖可知C〃4包含區(qū)域①④，

所以(QM)nB表示的區(qū)域?yàn)棰?

故選：A

3.(2024?陜西咸陽.模擬預(yù)測)如圖所示的Venn圖中，力、8是非空集合，定義集合4⑤B為陰影部分表示的

集合.若A={xGZ\x2—3%—4<0},S={xGZ\\x\<2},則40B=()

AB

A.{-1,0,3}B.{-2,-1,2}

C.{-2,-1,2,3}D.{-2,-1,3)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由集合的運(yùn)算結(jié)合4(8)B的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閍={xeZ\x2-3x-4<0}={0,1,2,3),

B={xez\\x\<2}={-2,-1,0,1,2},

則4nB={0,1,2},力UB={-2,-1,0,1,2,3},

由集合a<8)8的運(yùn)算可知，a<8)8表示aUB中去掉anB的部分，

所以力<8)8={—2,—1,3}.

故選：D

4.(2024?廣西柳州?三模)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有90%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)

生喜歡足球,80%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()

A.70%B.60%C.50%D.40%

【答案】C

【分析】根據(jù)韋恩圖中集合的關(guān)系運(yùn)算即可.

5.(2023?四川南充?一模)已知全集{/=R,集合A={x|Iog3（x-1）>1},B={x|?+y2=1},則能表示

【答案】c

【分析】計(jì)算出集合4、B后結(jié)合集合的關(guān)系即可得.

【詳解】由log3（x—1）>1,得x-l>3,解得％>4,即4={x|x>4},

由9+y2=1,得—2<x<2,即8={x|-2<x<2},

則4nB=0,又4UU,BUU,故選項(xiàng)C正確.

故選：C.

考點(diǎn)七、充分條件與必要條件

典例引領(lǐng)

1.（2024?天津?高考真題）設(shè)a,6eR,則=加”是“3。=34”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】說明二者與同一個(gè)命題等價(jià)，再得到二者等價(jià)，即是充分必要條件.

【詳解】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，=/和3a=3》都當(dāng)且僅當(dāng)a=b,所以二者互為充要條件.

故選：C.

2.（2022?天津?高考真題）“久為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】用充分條件、必要條件的定義判斷.

【詳解】由x為整數(shù)能推出2x+l為整數(shù)，故“X為整數(shù)”是“2x+l為整數(shù)”的充分條件，

由x=|,2x+1為整數(shù)不能推出x為整數(shù)，故“X為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的不必要條件，

綜上所述，"為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的充分不必要條件，

故選：A.

??口叫螂L

1.（2024.全國.高考真題）設(shè)向量2=（x+l,x）,B=（x,2）,則（）

A."％=-3”是41戶的必要條件B.、=一3”是*〃鏟的必要條件

C.“x=0”是％16”的充分條件D.%=—1+遍”是%〃疥的充分條件

【答案】C

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【詳解】對A,當(dāng)時(shí)，則心3=0,

所以%?(%+1)+2%=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；

對C,當(dāng)％=0時(shí),a=(1,0),b=(0,2),故)-b=0,

所以213,即充分性成立，故C正確；

對B,當(dāng)石〃3時(shí)，則2(久+1)=久2,解得x=i±b,即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；

對D,當(dāng)x=-l+V^時(shí)，不滿足2(%+1)=/,所以不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.(2023?北京?高考真題)若久y中0,貝心x+y=0"是?+?=-2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】解法一：由?+?=—2化簡得到x+y=0即可判斷;解法二:證明充分性可由比+y=0得到x=—y,

代入工+?化簡即可，證明必要性可由壬+Z=-2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由

yxyx

-+2通分后用配湊法得到完全平方公式，再把X+y=0代入即可，證明必要性可由工+丫通分后用配湊法得

yxyx

到完全平方公式，再把x+y=0代入，解方程即可.

【詳解】解法一：

因?yàn)閤y40,fi-+-=—2,

yx

所以/+y2=-2xy,即％2+y2+2xy=0,BP(%+y)2=0,所以久+y=0.

所以r+y=0”是心+上=—2”的充要條件.

yx

解法二：

充分性：因?yàn)榫脃WO,且％+y=0,所以％=-y,

所以充分性成立；

必要性：因?yàn)?y。0,且2+”=—2,

yx

所以久2+y2=-2xy,即％2+y2+2xy=0,即(％+y)2=0,所以久+y=0.

所以必要性成立.

所以“久+y=0"是4+?=—2”的充要條件.

yx

解法三：

充分性：因?yàn)榫脃W0,且無+y=0,

x2+y2+2xy-2xy(x+y)2-2xy-2xy

所以三+2=3===-nZj

yxxyxyxyxy

所以充分性成立；

必要性：因?yàn)閤yKO,且三+工=一2,

yx

所以三+2=3x2+y2+2xy-2xy_(x+y)2-2xy_(x+y)2

yxxyxyxyxy

所以嚀產(chǎn)=0,所以(x+y)2=0,所以x+y=O,

所以必要性成立.

所以“x+y=。”是“；+?=-2”的充要條件.

故選：C

3.(2023?全國?高考真題)設(shè)甲：sin2a+sin2/?=1,乙：sina+cosS=0,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.

【詳解】當(dāng)siMa+siM/?=1時(shí)，例如a=],/?=0但sina+cos^W0,

即sin2a+sin2/?=1推不出sina+cos/?=0；

當(dāng)sina+cos/?=0時(shí)，sin2a+sin2s=(-cos/?)2+sin2/?=1,

即sina+cosp=0能推出sin2a+sin2s=1.

綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.

故選：B

4.(2023?天津?高考真題)已知6R,6ia2=爐”是“標(biāo)+爐=2曲”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分、必要性定義判斷條件的推出關(guān)系，即可得答案.

【詳解】由小=b2,則a=±6,當(dāng)a=—b中0時(shí)a?+貶=2ab不成立，充分性不成立；

由小+52=2由)，貝lj(q—b)2=o,即。=人，顯然小二爐成立，必要性成立；

所以小=擾是小+爐=2ab的必要不充分條件.

故選：B

5.(2023?全國?高考真題)記與為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：｛an｝為等差數(shù)列；乙：第為等差數(shù)列，貝。(

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判

斷作答?,

【詳解】方法1,甲：｛0｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為由,公差為d,

則=+^^也包=%+曰d=2幾+(11—如一包=色，

7112n12212n+1n2

因此｛?｝為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；

反之，乙：/4為等差數(shù)列，即廷—昆=nSn+i：(E)S"=為常數(shù),設(shè)為如

nn+lnn(n+l)n(n+l)

即=t,則%=nan+1-t-n(n+1),有—(ji-l)an—t-n(n—l),n>2,

兩式相減得：=nan+i-(n—l)an—2tn,即an+1—&1=23對n=1也成立，

因此｛%J為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛&J為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛&J的首項(xiàng)內(nèi)，公差為小即Sn=mii+若Ud,

則學(xué)=的+與，=。+的號(hào)，因此尊為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；

反之，乙：曲為等差數(shù)列，即署—?=￡?,?=Si+(『l)D,

即%=iiS]+n(n—1)D,^n-i=(九-1)S^+(n-1)(n—2)0>

當(dāng)n22時(shí)，上兩式相減得：5兀-Sn-i=Si+2(n-1)D,當(dāng)n=l時(shí)，上式成立，

于是%i=a1+2(n—1)。，又%1+1-=a1+2nD-[a[+2(71—1)0]=2D為常數(shù)，

因此｛%J為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

6.(2024.天津.模擬預(yù)測)已知p:/+2x—3<0,q:x2+x-2<0,貝Up是q的()條件

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】分別求得對應(yīng)命題的范圍，根據(jù)集合語言和命題語言的關(guān)系，即可判斷.

【詳解】由p:/+2久一3<0得一3<x<1,

由q:/+%—2<0得—2<%<!.,

則p是q的必要不充分條件.

故選：B.

考點(diǎn)八、全稱量詞命題與存在量詞命題、

典例引領(lǐng)

1.（2024?全國?高考真題）已知命題p：VxeR,|x+1|>1；命題q：3%>0,x3=x,則（）

A.p和q都是真命題B.rp和q都是真命題

C.p和->q都是真命題D.-ip和-iq都是真命題

【答案】B

【分析】對于兩個(gè)命題而言，可分別?。?-1、%=1,再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.

【詳解】對于p而言，取久=一1,則有|久+1|=。<1,故p是假命題，rp是真命題，

對于q而言，取x=l,則有/=13=1=尤，故q是真命題，rq是假命題，

綜上，->p和q都是真命題.

故選:B.

2.（2020?山東?高考真題）下列命題為真命題的是（）

A.1>0且3>4B.1>2或4>5

C.BxeR,cosx>1D.XfxER,x2>0

【答案】D

【分析】本題可通過4>3、1<2、4<5、cosx<Kx2>0得出結(jié)果.

【詳解】A項(xiàng)：因?yàn)?>3,所以1>0且3>4是假命題，A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)：根據(jù)1<2、4<5易知B錯(cuò)誤；

C項(xiàng)：由余弦函數(shù)性質(zhì)易知cosxW1,C錯(cuò)誤；

D項(xiàng)：/恒大于等于0,D正確，

故選：D.

即時(shí)性測

1.（22-23高三上?天津?yàn)I海新?期中）若命題“V%€R,m之sin%+cos%”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

是.

【答案】m>V2

【分析】若命題“V%6R,m>sinx4-cos%”為真，則m>（sinx4-cos%）max,因此求出（sin%+cos%）的最大

值即可.

【詳解】令/（%）=sinx+cosx=V2sin（%+：），/（%）max=