利用導數研究雙變量問題（原卷版）-2025年高考數學一輪復習

第07講利用導數研究雙變量問題

目錄

第一部分：基礎知識..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................2

第三部分：高頻考點一遍過............................................2

高頻考點一:分離雙參，構造函數....................................2

高頻考點二：糅合雙參（比值糅合）.................................4

高頻考點三：糅合雙參（差值糅合）.................................6

高頻考點四：變更主元法...........................................7

高頻考點五：利用對數平均不等式解決雙變量問題....................8

第四部分：新定義題10

第一部分：基礎知識

1、導數中求解雙變量問題的一般步驟：

（1）先根據已知條件確定出變量再應滿足的條件；

（2）將待求的問題轉化為關于公三的函數問題，同時注意將雙變量轉化為單變量，具體有兩種可行的方法：

①通過將所有涉及不，%的式子轉化為關于土的式子，將問題轉化為關于自變量上（迤亦可）的函數問題；

②通過為，工的乘積關系，用再表示七（用馬表示占亦可），將雙變量問題替換為用（或Z）的單變量問題；

（3）構造關于土或士的新函數，同時根據已知條件確定出土或占的范圍即為新函數定義域，借助新函數

的單調性和值域完成問題的分析求解.

2、破解雙參數不等式的方法：

一是轉化，即由已知條件入手，尋找雙參數滿足的關系式，并把含雙參數的不等式轉化為含單參數的不等

式；

二是巧構函數，再借用導數，判斷函數的單調性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果

第二部分：高考真題回顧

1.(2022?浙江?高考真題)設函數/(%)=丁+lnx(x>0).

2x

⑴求了(九)的單調區(qū)間；

(2)已知a,beR,曲線y=f(x)上不同的三點(x1,/(x1)),(x2,/(x2)),(x3,/(^3))處的切線都經過點3%.證

明：

(i)若o〉e,則°<匕一/(。)<；(￡一11；

..2Q-a112e-〃

<+<-

(ii)若0<ave,玉v/<%，則"+ge2_~-6,.

(注：e=2.71828.是自然對數的底數)

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一:分離雙參，構造函數

典型例題

例題1.(23-24高三上?黑龍江哈爾濱?階段練習)已知函數/(x)=21nx-(a+l)x2—2a%+l,6/GR.

⑴當a=1時，求函數/(x)在點(1]⑴)處的切線方程；

⑵若函數/(九)有兩個零點花，巧，求實數。的取值范圍；

2

⑶在(2)的條件下，證明：%+%〉一7.

a+1

例題2.(22-23高二下?福建龍巖?期中)已知函數/(x)=lnx-。(尤-2)(aeR).

(1)討論/(X)的單調性；

3

(2)若“X)有兩個零點X1,%,(%<%,),證明：玉+3x,>—+2.

a

練透核心考點

1.(22-23高二下?河北邢臺?期末)已知函數/(耳=?%2-(a-2)x—2xlnx.

⑴若〃力為增函數,求。；

4

⑵若0<a<2,/'(X)有兩個零點七，々，且無i<%，證明：々-無］>--2.

2.(2023?海南?？?模擬預測)已知函數/(x)=xe*.

(1)求了。)的最小值；

⑵設尸(x)=f{x)+a(x+1)"。>0).

(i)證明：尸(無)存在兩個零點七，巧；

(ii)證明：/(無)的兩個零點為，巧滿足玉+%+2<0.

高頻考點二：糅合雙參（比值糅合）

典型例題

例題1.（23-24高三上?河北滄州?階段練習）已知函數/（x）=alnx-.

⑴討論J（x）的單調性;

（2）若存在不相等的實數不，尤2,使得〃占）=〃芻），證明：0<2a<%+%.

例題2.（23-24高三下?甘肅?開學考試）己知函數〃x）=￡?+lnx（aeR）.

（1）若在（0,+動上單調遞增，求。的取值范圍；

⑵若/（無）有2個極值點4%2（芯>工2>°），求證：々（才+考）>2

例題3.（2024?四川?一模）已知函數/（%）=辦2+%一1n%一々.

⑴若〃=1,求/（力的最小值；

⑵若/（%）有2個零點看，九2，證明：4（%+%2）2+（七+%2）>2.

練透核心考點

1.(2022?全國?模擬預測)設函數“x)=ln%-tzx(aeR).

①若。=3,求函數的最值；

(2)若函數g(x)=4(x)—x+a有兩個不同的極值點，記作占,巧,且不＜々，求證：1叫+2hu：2＞3.

2.(2024高三上,全國?專題練習)已知函數f(x)=a(x-lnx)+x2-2x,其中awR.

⑴當a=-2e時，求“X)的極值；

⑵當。＞。，無］＞七＞0時，證明：/(%)_/(用＜/(々)_/(上；八)天2.

3.(22-23高三下?湖北咸寧?階段練習)已知函數/(尤)=3x-sin尤-alnx.

jr

(1)當。=0時，VxeCO,-l./W^^,求實數的取值范圍;

2

(2)若三%,9e(0,+oo),%使得/(均)=/(w),求證：4XJX2<a.

高頻考點三：糅合雙參（差值糅合）

典型例題

例題L（23-24高二上?陜西西安?期末）已知函數〃力=（爐+;加+〃戶二

⑴若m=n=Q,求/（x）的單調區(qū)間；

（2）若租=4+6,n=ab,且“X）有兩個極值點，分別為々和馬。＜9），求”2一（U）的最小值.

e2-e1

例題2.（23-24高二上?江蘇鹽城?期末）設函數/（x）=ae*-2x-l,aeR,

⑴討論函數〃x）的單調性；

⑵若4，巧是函數“X）的兩個零點，且求玉+%的最小值.

練透核心考點

1.（23-24高三上?廣東深圳?階段練習）已知函數/（*）=（尤2+2ax+2〃）e\

⑴若。=0,求“X）的單調區(qū)間；

⑵若“X）有兩個極值點，分別為為和々（占＜/）,求/））-〃尤2）的最小值.

2.(22-23高二下,浙江?階段練習)已知函數/'(x)=x2+ox+；,g(尤)=liu+x.

(1)求函數g(x)在x=l處的切線方程；

⑵記函數及(x)=/(x)—g(x),且/z(x)的最小值為I'+ln及.

(i)求實數。的值；

(ii)若存在實數孫％1滿足〃百戶且仁產/,求人-目的最小值.

高頻考點四：變更主元法

典型例題

例題:1.(23-24高一上?云南?期末)若不等式V+g—4)x+4-2aN0對任意ae[O川恒成立，貝”的取值范

圍為?

例題2.(20-21高二下?黑龍江哈爾濱?階段練習)已知，(尤)=+-3x+1,若對任意的。w[-1,1],總有f(x)>0,

則x的范圍是.

例題3.(2024高三?全國?專題練習)已知二次函數y=ox2+/w+2(a,b為實數)

(1)若函數圖象過點(1,1),對VxeR,，>。恒成立，求實數。的取值范圍；

⑵若函數圖象過點(1,1),對-2,-1].y>0恒成立，求實數x的取值范圍；

練透核心考點

1.(23-24高一上?四川成都?開學考試)已知ae[-U],不等式*+(。-4)x+x—2a＞0恒成立，則x的取值

范圍_____.

2.(2024高三?全國?專題練習)設函數/(x)是定義在(-8,+到上的增函數.若不等式/(1-融-

對于任意ae[0,1]恒成立，求實數尤的取值范圍.

高頻考點五：利用對數平均不等式解決雙變量問題

典型例題

例題1.(2023高三,全國?專題練習)已知函數/(x)=---lnx+x-a.若/(x)有兩個零點占，證明：再馬＜1.

例題2.(2023?廣東廣州?模擬預測)已知函數〃x)=lnx-加.

⑴討論函數〃尤)的單調性：

(2)若占,三是方程/(x)=0的兩不等實根，求證：x；+x；＞2e；

練透核心考點

1.(2023?北京通州?三模)已知函數/(%)=依一@一Inx(a＞0)

⑴已知/(龍)在點(1,/(I))處的切線方程為＞=%T,求實數〃的值；

(2)已知/(%)在定義域上是增函數，求實數〃的取值范圍.

⑶已知g(x)=/(x)