上傳人：文***

認(rèn)證信息

認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：常**（實(shí)名認(rèn)證）

IP屬地：河北

IP屬地：河北 上傳時(shí)間：2024-12-22 格式：PDF 頁(yè)數(shù)：90 大?。?8.42MB 積分：12 舉報(bào) 版權(quán)申訴

第31講空間向量及其應(yīng)用

（10類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第6題,5分線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

2024年天津卷，第17題,15分證明線面平行面面角的向量求法點(diǎn)到平面距離的向量求

2023年天津卷，第17題,15分證明線面平行廣求點(diǎn)面距離求二面角

2022年天津卷，第17題,15分空間位置關(guān)系的向量證明線面角的向量求法，面面角的向量求法

2021年天津卷，第17題,15分空間位置關(guān)系的向量證明線面角的向量求法，面面角的向量求法

2020年天津卷，第17題,15分空間向量垂直的坐標(biāo)表示線面角的向量求法面面角的向量求法

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為15分

【備考策略】1.理解、掌握空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算，掌握共線、共面問(wèn)題。

2.能掌握線線角，線面角，與面面角問(wèn)題。

4.會(huì)解空間中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，會(huì)解決空間中的動(dòng)點(diǎn)含參問(wèn)題。

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給幾何體，求解夾角問(wèn)題，與空間中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。

HA.考點(diǎn)梳理?

1

｛考點(diǎn)一、空間向量加減數(shù)乘運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)一.空間向量的有關(guān)概念

1.共線向量定理考點(diǎn)二、空間向量基本定理

知識(shí)點(diǎn)二.空間向量的有關(guān)定理Y2.共面向量定理v考點(diǎn)四、共線問(wèn)題

3.空間向量基本定理考點(diǎn)五、共面問(wèn)題

1

1.數(shù)量積

知識(shí)點(diǎn)三.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律考點(diǎn)三、空間向量數(shù)量積運(yùn)算

2.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

空間向量及其應(yīng)用1.直線的方向向量

知識(shí)點(diǎn)四.空間位置關(guān)系的向量表示＜2.平面的法向量

3.空間位置關(guān)系的向量表示

1.異面直線所成的角

考點(diǎn)六、線線、線面角問(wèn)題

2.直線與平面所成的角

知識(shí)點(diǎn)五.夾角相關(guān)考點(diǎn)七、面面角問(wèn)題

3.平面與平面的夾角

考點(diǎn)八、點(diǎn)面、線面、面面距

1.點(diǎn)到直線的距離

知識(shí)點(diǎn)六.距離相關(guān)考點(diǎn)九、點(diǎn)線、線線距

點(diǎn)到平面的距離

2?考點(diǎn)十、空間中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.空間向量的有關(guān)概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量

表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行

共線向量(或平行向量)

或重合的向量

共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

知識(shí)點(diǎn)二.空間向量的有關(guān)定理

1.共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量“，N%0),“〃分的充要條件是存在實(shí)數(shù)九使。=勸.

2.共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)?/p>

數(shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb.

3.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa

+yb+zc,｛a,b,c｝叫做空間的一個(gè)基底.

知識(shí)點(diǎn)三.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

1.數(shù)量積

非零向量a，方的數(shù)量積。4=同向cos(a,b).

2

2.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)。=（01，02,03），b—（b\,bi,bi）.

向量表不坐標(biāo)表示

數(shù)量積a*b4161+4262+4363

共線a=%（b柳,AeR）?1=761,42=丸岳，的=7Z?3

垂直〃力=0（中0,厚0）4仍1+4262+〃363=0

模|?|弋山+脛+底

（1?h/,\Qlbl+a2b2+的加

夾角余弦值COS〈〃，力〉=---（〃邦，〃邦）cos\a,b）—1-------------i-------------

同回+■+a47bq+叫+左

知識(shí)點(diǎn)四.空間位置關(guān)系的向量表示

1.直線的方向向量：如果表示非零向量。的有向線段所在直線與直線/平行或重合，則稱此向量"為直線/

的方向向量.

2.平面的法向量：直線/_La,取直線/的方向向量。，則向量。為平面a的法向量.

3.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

h//hn\//=〃2（2￡R）

直線/1,/2的方向向量分別為“1,"2

Zl±；2〃2=0

直線/的方向向量為"，平面a的法向I//anA.m^>nm=0

量為m,1tal-Lan//m^n=癡（丸￡R）

a//pn///?=〃=￡R）

平面a,￡的法向量分別為小tn

alfin.Lm^nm=0

4.常用結(jié)論

1.三點(diǎn)共線：在平面中4B,。三點(diǎn)共線Q次=式協(xié)+7歷（其中x+y=l）,。為平面內(nèi)任意一點(diǎn).

2.四點(diǎn)共面：在空間中尸，A,B,C四點(diǎn)共面仍+z虎（其中x+y+z=l）,。為空間中任意

一點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)五.夾角相關(guān)

1.異面直線所成的角

若異面直線/1,/2所成的角為仇其方向向量分別是“，V,則cosd=|cos〈"，V〉|=

l?l|v|

2.直線與平面所成的角

如圖，直線與平面a相交于點(diǎn)2,設(shè)直線N2與平面a所成的角為仇直線的方向向量為"，平面a的法

3

3.平面與平面的夾角

如圖，平面a與平面.相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90。的二面角稱為平面a與平面￡

的夾角.

若平面a,￡的法向量分別是"1和”2’則平面a與平面￡的夾角即為向量"1和見(jiàn)的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面a與

平面￡的夾角為仇則cosd=|cos〈"1,“2〉尸地

|?1||?2|

知識(shí)點(diǎn)六.距離相關(guān)

1.點(diǎn)到直線的距離

如圖，已知直線/的單位方向向量為“，/是直線/上的定點(diǎn)，尸是直線/外一點(diǎn)，設(shè)#=a,則向量力在直

線/上的投影向量0=在RtAAP。中，由勾股定理，得尸0=/|#|2_|直|2="2一2.

AQ

2.點(diǎn)到平面的距離

如圖，已知平面a的法向量為"，N是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面a外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)尸作平面a的垂線/,交平面a

于點(diǎn)0,則〃是直線/的方向向量，且點(diǎn)P到平面a的距離就是/在直線/上的投影向量辦的長(zhǎng)度，因此

考點(diǎn)一、空間向量加減數(shù)乘運(yùn)算

典例引領(lǐng)

4

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形力BCD中，E,尸分別是BC,CD的中點(diǎn)，則（正+；麗+麗=

（）

A.BAB.AFC.ABD.~EF

【答案】A

【分析】借助向量線性運(yùn)算法則計(jì)算即可得.

11

--

22~BD+~FA=~BE+EF+~FA=~BA.

故選：A.

2.（23-24高二上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，空間四邊形。ABC中，OA=a,OB=b,無(wú)=二點(diǎn)M在。力

上，且麗=|瓦?，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則而等于（）

A1-IITITn2一IT.1—

A.-a+-b——cB.——a+-D+-c

222322

?一2一1一2T2T1t

C.-a+-6--cD.--a^-b--c

332332

【答案】B

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算法則求解.

【詳解［MN=^4A+AN=^OA+^（AB+AC）=^OA+-Ul）+-Ul）++

2_,ir11-

=——a+-D+-c.

322

故選：B.

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。一久當(dāng)?shù)男≈校阎猀=荏+=前+白苑，截面4。止

24

與正方體側(cè)面BCCiBi交于線段MN,則線段MN的長(zhǎng)為（）

5

A.1B.加C.券D.2V2

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，得到說(shuō)=*麗，再由面面平行的性質(zhì)，證得ADJ/MN,結(jié)合MN=：BCi，即可求解.

【詳解】如圖所示，因?yàn)榉?荏+：而+工麗\所以前=：而+工標(biāo)=工就+工西，

242424

因?yàn)槠矫鍭DD1&〃平面BCC/i，設(shè)平面力。$。平面4DD14=4￡>i，平面力D*C平面BCQBi=MN,所

以4D1//MN,

又因?yàn)?D1/8C1，所以MN〃BCi

過(guò)點(diǎn)P作PE1BC,PF1BBi,可得前^BE+BF=^BC+:西，

則E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BBi的四等分點(diǎn)，

又因?yàn)镸N〃BCi，所以M為BC的四等分點(diǎn)，所以MN=*BCi=誓.

故選：C.

2.(23-24高三上?江蘇?階段練習(xí))若空間中四點(diǎn)4B,C,D滿足4瓦？+前=4礪，則博=()

\BC\

113

A.-B.3C.-D.-

344

【答案】A

【分析】利用向量的運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】V4E4+ZC=4DB,

???AC=4(礪-ZM)=4AB

■■.AB+BC=4AB,

即品=3福則需=1

故選：A.

3.(2024?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?模擬預(yù)測(cè))在空間直角坐標(biāo)系中,已知4(0,3,0),3(0,0,0),C(4,0,0),。(0,3,2),

則四面體ABCD外接球的表面積為()

A.29nB.28兀C.32TlD.30兀

【答案】A

【分析】首先由四點(diǎn)的坐標(biāo)，確定幾何體的關(guān)系，利用補(bǔ)體法，求四面體外接球的半徑，即可求球的表面

6

積.

【詳解】根據(jù)已知4個(gè)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)可得，AD，平面4B&4B1BC,AD=2,AB=3,BC=4,

所以四面體ABCD可以補(bǔ)成長(zhǎng)、寬、高分別為4,3,2的長(zhǎng)方體，

所以四面體ABCD外接球的半徑R=/+；+42=?，

所以四面體ABCD外接球的表面積為4TTR2=29n.

故選：A

4.(2024?浙江嘉興?模擬預(yù)測(cè))設(shè)黑，y6R,a=(1,1,1)而=(l,y,z),c=(%,-4,2),且工l~c,b||c,貝+同=

()

A.2V2B.0C.3D.3夜

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的垂直和平行，先求出％,y,z的值，再求所給向量的模.

【詳解】由萬(wàn)1c=>a-~c=0=>x—4+2=0=>x=2,

由了||下==5=>y=-2,z=1.

2-42,

所以固+同=|2(1,1,1)+(1,—2,1)|=|(3,03)|=3V2.

故選：D

考點(diǎn)二、空間向量基本定理

中典例引領(lǐng)

1.（20-21高三上?浙江寧波?階段練習(xí)）已知。，A,B,C是空間中的點(diǎn)，則“初,磴，泥”不共面是“對(duì)于任意

的光,yeR,向量M+x瓦與向量赤+y配都不共線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】根據(jù)命題：若DX砧，市不共面，則對(duì)于任意的%,yeR,向量市+x配與向量砒+yDT都不共線

與命題：若對(duì)于任意的x,yeR,向量Dl+x求與向量加+y瓦共線，則而,沆共面是等價(jià)命題，結(jié)合

邏輯條件的定義判斷.

【詳解】因?yàn)槊}：若DX或，衣不共面，則對(duì)于任意的%,yeR,向量Dl+x亦與向量歷+y比都不共線

7

與命題：若對(duì)于任意的X,yeR,向量市+久況與向量加+y配共線，則DX歷,配共面是等價(jià)命題，

當(dāng)向量9+乂配與向量?jī)?y玩共線時(shí)，則存在4,使得為+無(wú)配=4（礪+yQT）,即初=%市+（辦/一

x）OC,所以DX而，沈共面，故充分；

若05,反共面，當(dāng)x=y=-l時(shí)，0A+xOC=0A-0C=CA,0B+yOC=0B-0C=CB,如圖所示,

向量G5,就不共線，即Dl+x配與向量加+y永不共線，故不必要，

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查以空間向量共線和共面為載體判斷充分條件和必要條件，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想

和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知體積為V5的正三棱錐P-2BC的外接球的球心為。，若滿足瓦？+而+

前=6,則此三棱錐外接球的半徑是（）

A.2B.V2C.V2D.V4

【答案】D

【分析】先確定三角形力BC的位置以及形狀，利用球的半徑表示棱錐的底面邊長(zhǎng)與棱錐的高，利用棱錐的體

積求出該三棱錐外接球的半徑，從而可得結(jié)果.

【詳解】正三棱錐。一力BC的外接球的球心。滿足萬(wàn)5+礪=前，

說(shuō)明三角形力BC在球。的大圓上，并且為正三角形，

設(shè)球的半徑為R,根據(jù)對(duì)稱性易知：正三棱錐中頂點(diǎn)P到底面4BC的距離為球的半徑，

由正弦定理有底面三角形4BC的邊長(zhǎng)為2Rsin60°=百R,

棱錐的底面正三角形4BC的高為技?xsin60。=y,

2

正三棱錐的體積為9x苧x（V37?）xR=b，解得R3=4,

則此三棱錐外接球的半徑是R=V4.

故選：D.

即時(shí)檢測(cè)

8

1.（2024?山東濟(jì)南?一模）在三棱柱ABC—&BiCi中，AM=2MF,ZjV=mAxc[,且BN〃平面&CM,則m

的值為.

【答案嗎/0.5

【分析】利用三棱柱模型，選擇一組空間基底荏=益前=石,砧=已將相關(guān)向量分別用基底表示，再利

用BN〃平面&CM,確定前，兩，前必共面，運(yùn)用空間向量共面定理表達(dá)，建立方程組計(jì)算即得.

【詳解】

如圖，不妨設(shè)力B==b,44i=3依題意，AM-^ci,MAX—MA+AA1———~c—|cz,

MC^AC-AM=b--a,

3

因而7=血而7=同，則麗=與有+不討=/一方+盜，

又因BN〃平面&CM,故前，西標(biāo)必共面，

即存在％/zGR,使BN=XMA[+iiMC,即下—a+mb=A(c—|a)+—|a),

一久2+〃)=-1/1

從而有[I=m9解得血=--

A=1

故答案為：

考點(diǎn)三、空間向量數(shù)量積運(yùn):

?。旱淅I(lǐng)

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)4B,C三點(diǎn)在棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上，則荏?刀的最小值為（）

934

A.--B,-2C,--D,--

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，不妨假設(shè)A在平面％Oy中，設(shè)/@,。2，。），8（匕1也也），。（"。2，。3），

BMb2,0）和Ci（q,c2,0）分別是點(diǎn)B,C在平面xOy上的投影,利用向量不等式可得:福?宿+b3c3>福?

宿n-?麗川福>|2一（畫(huà)q陽(yáng)%即可求解

【詳解】將正方體置于空間直角坐標(biāo)系。-xyz中，且A在平面xOy中，點(diǎn)。和點(diǎn)（2,2,2）的連線是一條體對(duì)

9

角線.

Zj

設(shè)4(ai，。2,0),8(￡>1，如星),C(ci，c2,c3),

Bg,b2,0)和CI(Q,c2,0)分別是點(diǎn)B,C在平面xOy上的投影.

可得瓦另=(0,0,/)，C^C=(0,0,c3),AB^-C^C=0,AQ-B^B=0

則四?AC=(AB^+O)?(宿+Gc)=函.宿+麗.,+而.O+O-c^c

=AB,AC+b3c3,

因?yàn)楹?宿+63c3>福?宿>-\ABl\■|宿I>-,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C為當(dāng)?shù)牡闹悬c(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，

可得一(|題:陽(yáng)I/=_[?瓦2_2,

所以四?近2-2,當(dāng)4(1,1,0),l6i-cj=\b2-c2\=2,且b3c3=0時(shí)等號(hào)成立.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題形式簡(jiǎn)潔，但動(dòng)點(diǎn)很多，且?guī)缀鯖](méi)有約束條件，這時(shí)就需要學(xué)生對(duì)于動(dòng)點(diǎn)所在

的位置進(jìn)行分類討論，討論的順序、對(duì)于對(duì)稱性的使用都對(duì)學(xué)生提出了很高的要求.從幾何角度來(lái)看，點(diǎn)B,

C不會(huì)位于A所在面的一側(cè)，故如果采用坐標(biāo)形式計(jì)算數(shù)量積，一定會(huì)有一項(xiàng)是非負(fù)的，且可以取到0.找

到這一突破口后，即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面向量的問(wèn)題，也就很容易得到結(jié)果了.

2.(2024?江西贛州?二模)已知球O內(nèi)切于正四棱錐P—力BCD,PA=AB2,EF是球O的一條直徑，點(diǎn)

Q為正四棱錐表面上的點(diǎn)，則旗?麗的取值范圍為()

A.[0,2]B.[4-2V3,2]C.[0,4-V3]D.[0,4-2V3]

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用體積法求出球。半徑，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.

【詳解】令"是正四棱錐P-力BCD底面正方形中心，貝l]PH_L平面ABC。，而AH=a，

則PH=y/PA2-AH2=V2,正四棱錐P-4BCD的體積V=1x22xV2=^,

正四棱錐P-ABCD的表面積S=4XyX22+22=4(V3+1),

10

顯然球。的球心。在線段PH上，設(shè)球半徑為r,則U=gSr,即r=#=與2

在△P02中，NP力。<45。=乙4P。，于是。4>0P,又EF是球O的一條直徑，

因此詼-QF=（而+0E）■（Q0-云）=Q02-旗2=QQ2_麗2,

顯然?！?lt;QO<AO,則（礪?而）min=o,（QE-而）max=AO2-OH2=AH2=2,

所以9?麗的取值范圍為［0,2］.

即時(shí)檢測(cè)

I____________________

1.（2024?山東日照二模）己知棱長(zhǎng)為1的正方體力BCD以正方體中心為球心的球。與正方體

的各條棱相切，若點(diǎn)P在球。的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則萬(wàn)?麗的最大值為（）

A.2B.7-C.3-D.-1

444

【答案】B

【分析】取力B中點(diǎn)E,根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算得成?麗=麗2一%判斷|方|的最大值即可求解.

【詳解】取力B中點(diǎn)E,可知E在球面上，可得說(shuō)=-瓦5=-1瓦?，

所以同PB=（PE+IA'）-（PE+EB"）=（PE）2-（￡;4）2=PE2-^,

點(diǎn)P在球。的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PE為直徑時(shí)，|而|=V2,

1'max

所以24的最大值為］

故選：B.

2.（2024?上海?三模）已知點(diǎn)C在以AB為直徑的球面上，若BC=2,則福?麗=

【答案】-4

【分析】根據(jù)給定條件，可得4C1BC,再利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算得解.

11

【詳解】由點(diǎn)C在以AB為直徑的球面上，得ZC1BC,

所以四-BC=（AC+CByBC=AC-BC-BC2=-4.

故答案為：-4

3.（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體4BCD-4/1的￡?1的頂點(diǎn)均在半徑為1的球。表面上，點(diǎn)P在正方體

4BCD-4道1的。1表面上運(yùn)動(dòng)，MN為球。的一條直徑，則正方體ABCD-AiBCDi的體積是,

麗?麗的范圍是.

【答案】竿[-|,o]

【分析】由正方體的外接球的半徑求出正方體的棱長(zhǎng)，根據(jù)公式計(jì)算體積即可；將麗?麗化簡(jiǎn)為麗2—1,

結(jié)合PO2的范圍即可求解.

【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,由題意8a=2,a=^=,則正方體體積，==等，

因?yàn)辂?麗=（而+OM）-（PO+ON）

=（而+W）?（PO-麗）=奇一OM2=協(xié)_1,

因?yàn)辄c(diǎn)P在正方體ZBCD-4道1的小表面上運(yùn)動(dòng)，

所以PO2e《,l],故麗.麗范圍為卜|,0]

故答案為：苧，[-|,o].

考點(diǎn)四、共線問(wèn)題

中典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知向量2=（2機(jī)+1,3,機(jī)一1）,b=且應(yīng)/刃，則實(shí)數(shù)m的值為

（）

A.-|B.-2C.0D.一弓或-2

【答案】B

【分析】利用向量共線的性質(zhì)，直接計(jì)算求解即可.

【詳解】?.,空間向量工=（2m+1,3,血一1），~b=（2,m,-m）,且工〃反

12

???(2m+1,3,m—1)=A(2,m,-m)=(2A,Am,—Am),

r2m+1=2/1

**-3=Am，解得血=—2.

TH—1=—Am

故選：B.

2.(2023?山東?模擬預(yù)測(cè))已知三棱錐S—ABC,空間內(nèi)一點(diǎn)M滿足罰=-3克+4元，則三棱錐M—ABC

與S-ABC的體積之比為.

【答案】1

【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得至吃西=：豆-?!京+2元，結(jié)合空間向量的基本定理，得到在平面4BC內(nèi)存在

一點(diǎn)。，使得［前=而，得到VM-4BC=%-4BC，即可求解.

【詳解】由空間內(nèi)一點(diǎn)M滿足嬴=SA-3SB+4SC=2(|sX-+2SC),

可得［前=^SA-1SB+2SC,

因?yàn)閨+2=1,根據(jù)空間向量的基本定理，可得在平面ABC內(nèi)存在一點(diǎn)D,

使得歷=［襦—T元+2元，所以［前=歷，即點(diǎn)D為SM的中點(diǎn)，

可得UMYBC=yS-ABC＞所以三棱錐M-48C和S-ABC的體積比值為1.

故答案為：1.

即時(shí)檢測(cè)

I______________________

1.(2023?河北?模擬預(yù)測(cè))在空間直角坐標(biāo)系中，4(1,一2,。),8(031),C(瓦一1,2),若4SC三點(diǎn)共線，則

ab=.

【答案】I

【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線，可得空間向量方，前共線，即存在實(shí)數(shù)九使得屈=4前，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，

即可得答案.

【詳解】由題得標(biāo)=(-1,5,1-a),BC=(b.-4,1),

因?yàn)?B,C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù);I,使得荏=4前，

即(—1,5,1—。)=2(瓦—4,1),

13

a_9

Xb=-1-4

所以■-42=5,解得b=：,所以ab=p

55

、a=i-a

A_5

一4

故答案為：:

2.（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知向量2=（1,0,機(jī)），=（2,0,-273）,若應(yīng)/反貝！|同=

【答案】2

【分析】由向量共線求出m,得到向量方=（1,0,巾），再利用公式求同.

【詳解】向量方=（1,0,爪），b=（2,0,-2V3）,若五/用，則有2=2反

解得好一療

則2=（1,0,-百），所以國(guó)=2.

故答案為：2

考點(diǎn)五、共面問(wèn)題

5典例引領(lǐng)

1.（2024?河南三模）在四面體4BCD中，△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，。是△BCD內(nèi)一點(diǎn)，四面體4BCD

的體積為2百，則對(duì)Vx,”R,|a-拓^-y而|的最小值是（）

A.2V6B.乎C.V6D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)共面向量定理將所求最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)力到平面BCD的距離，再利用體積求解即可.

【詳解】設(shè)歷=》礪+丫反，由共面向量定理得點(diǎn)E為平面BCD內(nèi)任意一點(diǎn)，

且a-xOB-yOC^OA-OE^EA,

所以|衣礪一y反|=\EA\,

求OA—xOB—yOC的最小值，即求點(diǎn)2到平面BCD的距離，

設(shè)點(diǎn)力到平面BCD的距離為八，

由題意知S4BCD2x2sin1=V3,

四面體ABC。的體積V=lsAABC-h=2V3,

解得h=6,故所求最小值為6.

故選：D.

2.（23-24高三上?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí)）已知空間向量與=（1,2,4）,麗=（5,—1,3）,而=（科",一1）,則

14

呼,48,。四點(diǎn)共面''是"10爪+17九=—11''的()

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】結(jié)合充要條件的性質(zhì)與四點(diǎn)共面的性質(zhì)，借助空間向量運(yùn)算即可得.

【詳解】(方法一)由P,A,B,C四點(diǎn)共面，可得用，而，無(wú)共面，

設(shè)PC=xPA+yPB=(%+5y,2%—y,4x+3y)=(m,n,-1),

■x+5y=mn?__?

則2x-y^n,解得］i+4：“7；，所以"(1+2n)+5(1+4m)=0,

Ax+3y=-1—'

得10m+17n=-11,反之亦成立，

故"P,4B,C四點(diǎn)共面”是“10m+17n=-11”的充要條件.

(方法二)設(shè)平面PAB的法向量為方=(x,y,z),

則g.%=x+2y+4z=0,令/I。,得

ia'PB=5x—y+3z=0

由P,a,B,C四點(diǎn)共面，得五?玩=10m+17n+11=0,

即10m+17n=-11,反之亦成立，

故，,45C四點(diǎn)共面”是“10m+17n=—11”的充要條件.

故選：B.

即0睜(

1.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))在四面體。-4BC中，空間的一點(diǎn)M滿足加=1OA+|OB+AOC.^MA,MB.

前共面，貝壯=.

【答案】；

【分析】依題意可得M,A,B,C四點(diǎn)共面，根據(jù)空間四點(diǎn)共面的充要條件得到方程，解得即可.

【詳解】因?yàn)榧?、MB.標(biāo)共面，所以M,A,B,C四點(diǎn)共面，

又麗=|o2+|OB+AOC,

根據(jù)四點(diǎn)共面的充要條件可得:+《+4=1，解得％=；.

236

故答案為：J

6

2.(23-24高三上?上海寶山?期末)已知空間向量刀=(1,2,4),而=(5,—1,3),PC=(m,n,-1).若P,A,B,C

四點(diǎn)共面，則10m+17n=.

【答案】-11

【分析】根基空間向量共面定理結(jié)合空間向量坐標(biāo)表示的線性運(yùn)算即可得解.

15

【詳解】因?yàn)镻,A,B,C四點(diǎn)共面，所以用，而，而共面,

所以存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)@y),使得麗^xPA+yPB,

'm=x+5y

1+2n=—5y

即n=2x—y,所以｛

1+4m=17y

—1=4%+3y

所以17(1+2n)+5(1+4/n)=0,

所以10m+17n=-11.

故答案為：-11.

3.(23-24高三上?河北張家口?階段練習(xí))若向量方=(1,—2,—n)]=&—(0,1,—(J共面，則

n=.

【答案】一夕-3.5

【分析】根據(jù)空間向量共面定理可設(shè)社=心+資，即可解得九=-：

【詳解】由于N=(1,-2,-rt),~b=Q,=(0,1,-1)共面，

可設(shè)N—xb+yc,

即(1,-2,-n)=Qx,+(0,y,-|y)=Qx,y-|x,x-]y),

[1=7Xrx=2

可得,2=y—解得y「；

3n——

y—n=x--y'2

故答案為：-g

4.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，在正三棱柱力BC—4/Ci中，AB=4,A4=3,M是4B的中點(diǎn)，AN=

2M4i，點(diǎn)P在8iN上，且取=4瓦H(0W4W1).是否存在實(shí)數(shù)九使C,M,P,4四點(diǎn)共面？若存在，求4

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

【分析】取BC的中點(diǎn)。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，若GMP,&四點(diǎn)共面，則存在X,yeR滿

足方=尤加+yE，列方程組求；I的值.

【詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)加使C,M,P,公四點(diǎn)共面.

由正三棱柱的性質(zhì)可知△4BC為正三角形，取BC的中點(diǎn)。，連接4。，貝MO1BC.

16

又平面ABCJ-平面BCC/i，平面ABCn平面BCC/i=BC,4。u平面ABC,

所以4。_L平面BCCiBi.

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。昆。力所在直線分別為x,z軸，

在平面BCC/i內(nèi)，以過(guò)點(diǎn)。且垂直于0B的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

貝山(0,0,2次)，5(2,0,0),C(-2,0,0),力式0,3,2百)，々(2,3,0),M(l,0,⑹，N(0,2,26),

則屈=(3,0,禽)，鬲=(2,3,2百)，場(chǎng)=(4,3,0),BJV(-2,-1,273).

因?yàn)榈?ABJV(O<A<1),

所以次=西+聒=西+4取=(4,3,0)+2(-2,-1,273)=(4-2A,3-A,2V3A).

若C,M,P,A1四點(diǎn)共面，則存在x,yGR滿足而=xCM+y兩，

f4-2A=3x+2yfz-7

XxCM+yCA^-(3x+2y,3y,V3x+2V3y),所以13-A=3y,解得(y=',

(^2V3A=V3x+2V3yK_6

故存在實(shí)數(shù)4=與，使C,M,P,4四點(diǎn)共面.

考點(diǎn)六、線線、線面角問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知平行六面體力BCD-&B1C1D1中，棱力公,4兩兩的夾角均為60。,

AA!=2AB,AB=AD,E為當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)，則異面直線B4與小E所成角的余弦值為（）

【答案】D

【分析】依題意分別說(shuō)，前，可為基底表示出國(guó)，瓦瓦求出|西|席再結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律求出兩?

17

D1E,根據(jù)向量夾角計(jì)算公式可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意以四，而，鞏為基底表示出瓦吐瓦可得：

--->-->--->-->--->--->---->--->-->〔-->

BA^=BA+AA1=—AB+AA1,D^E—+C^E=AB——71￡),

又棱441，4B,ZD兩兩的夾角均為60。,不妨取4B=AC=1,則陰=2；

所以I西I=l(-AB+A^f=JAB2+磯2-2版■京=V12+22-2x1x2cos600=V3；

\D^E\=J腳一四j=JAB2+^AD2-AB-AD=Jl2+1-1x1xcos600=y；

又西?O=(-AB+碼)?(AB-=-AB2+-AD+AA^-AB-g麗<-AD

o111

=—l2+-xlxlxcos60°+2x1xcos60°—x2x1xcos60°=——；

224

__>__>_1

所以cos(BX1,。㈤=靛磊=豆#=-3，

因此異面直線與所成角的余弦值為之

O

故選：D

2.（24-25高三上?四川成都?開(kāi)學(xué)考試）已知M,N分別是正四面體4BCD中棱AD,BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)E是

棱CD的中點(diǎn).則MN與AE所成角的余弦值為（）

A.-遺B.qC.-理D.亞

3366

【答案】D

【分析】將刀，而，而選為空間一組基底，將而，荏用基底表示后計(jì)算向量夾角余弦值，再得到線線所成角

余弦值即可.

【詳解】

A

由于不，荏，加兩兩夾角60。，可以作為空間基底.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2.

則襦?麗=2x2cos60°=2,同理刀?而=2.CB-CD=2.

-----?-----?---->---->1---->---->1----?1--->---->----?1---->1--->1----?1---->

MN=MD+DC-VCN=-AD-CD+-CB=-(AC+CD)-CD+-CB=--CA--CD+-CB,

222、72222

AE=AC+CE=-CA+-CD.

2

因此

18

|麗=J(|cl+|c5-|cB)2=cl2+ic52+icB2+iC\4-CD-^CA-CB-^CD-CB^^2,\AE\=

l(-CA+^CD)2=J^CD2-CA-CD+CA2-V3.

MN-4E=(-七G4-±CD+±CB)-(一G4+七CD)=±G42+±CD?-±CB?C4-±CO2+±CO?CB=L

v2227v2724G4244

故cos(MN,AE}=黑會(huì)==￡則MN與AE所成角的余弦值為,

''\MN\\AE\V2xV366

故選：D.

即時(shí)檢測(cè)

I________L_________

1.(2024?廣東?一模)在正方體ABCD-48也10中，點(diǎn)P、Q分別在&Bi、Ci￡>i上，且&P=2PBr,CxQ=2Q%,

則異面直線BP與DQ所成角的余弦值為

【答案】加8

【分析】以D為原點(diǎn)，￡M為x軸，DC為y軸，。/為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面

直線BP與DQ所成角的余弦值.

【詳解】設(shè)正方體488-4把1的小中棱長(zhǎng)為3,

以D為原點(diǎn)，。力為x軸，DC為y軸，為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),<2(0,1,3),B(3,3,0),P(3,2,3),BP=(0,-1,3)>麗=(0,1,3),

設(shè)異面直線8P與DQ所成角為仇則。<^=隔=3=(

即異面直線8P與DQ所成角的余弦值為！

故答案為：

2.(2022?全國(guó)?高考真題)在四棱錐P—ZBC。中，PC1底面4BCD,CDIIAB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=

V3.

19

⑴證明:BD