幾何壓軸題-2023年天津中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分類匯編（解析版）

專題06幾何壓軸題

1.(2022?天津)將一個矩形紙片O4BC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點。(0,0),點4(3,0),點C(0,6),點尸

在邊。。上(點尸不與點O,C重合)，折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點尸，并與x軸的正半軸相交

于點。，且NOPQ=30。，點。的對應(yīng)點。落在第一象限.設(shè)。。=心

(I)如圖①，當(dāng)，=1時，求的大小和點。，的坐標(biāo)；

(II)如圖②，若折疊后重合部分為四邊形，O'Q,分別與邊相交于點E,尸，試用含有f的式子

表示。上的長，并直接寫出f的取值范圍；

(III)若折疊后重合部分的面積為36，貝卜的值可以是—(請直接寫出兩個不同的值即可).

【答案】(I)NCTQH=60°,O'(-,-y)；(II)EO'=3f-6(2<f<3)；(III)3或彳

【詳解】(I)如圖①中，過點。作。于點

圖①

在RtAPOQ中，ZOPQ=30°,

ZPQO=60°,

由翻折的性質(zhì)可知QO=QO'=\,APQO=APQO'=60°,

AO'QH=180°-60°-60°=60°,

i巧

:.QH=QO'-cos60°=~,O'H=43QH=^~,

3

:.OH=OQ+QH,

);

-,'o，(rT

OA=3,

OQ=t,

AQ=3—t.

???/EQA=60°,

:.QE=2QA=6-2t,

vOQ,=OQ=t,

,EO,=t-(6-2t)=3t-6{2<t<3)；

(III)如圖③中，當(dāng)點。與/重合時，重疊部分是A4PF,過點尸作PGL/8于點G.

圖③

在RtAPGF中，PG=OA=3,ZPFG=60°,

PG

PF==2A/3，

sin60°

???ZOPA=ZAPF=ZPAF=30°,

：.FP=FA=26

:.S^PF=；.AF-PG=；x203=36,

觀察圖象可知當(dāng)3”t<2百時，重疊部分的面積是定值36，

滿足條件的t的值可以為3或W(答案不唯一).

3

故答案為：3或W.

3

2.(2021?天津)在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，AO48是等腰直角三角形，ZOBA=90°,BO=BA,

7

頂點N(4,0),點8在第一象限，矩形OCDE的頂點E(-],0),點C在y軸的正半軸上，點。在第二象限,

射線。C經(jīng)過點2.

(I)如圖①，求點2的坐標(biāo)；

(H)將矩形OCDE沿?zé)o軸向右平移，得到矩形。，點O,C,D,￡的對應(yīng)點分別為O,C,

D',E'.設(shè)。O=f,矩形。O#與AO4B重疊部分的面積為S.

①如圖②，當(dāng)點E在x軸正半軸上，且矩形OC77E，與AO/S重疊部分為四邊形時，0E與相交于點

F,試用含有I的式子表示S,并直接寫出，的取值范圍；

【詳解】(I)如圖①，過點8作垂足為〃,

由點/(4,0),得。/=4,

???BO=BA,AOBA=90°,

OH=BH=—OA=—x4=2,

22

:?點、B的坐標(biāo)為(2,2)；

7

(II)①由點頤一5，0),

得OE=Z，

2

由平移知，四邊形O'C'D?是矩形，

7

得NOFD'=90。,O,E,=OE=-,

2

7

;.OE'=OO'—O'E'=t」,ZFEfO=90°,

2

???BO=BA,AOBA=90°,

ZBOA=ABAO=45°,

/OFE'=90°-/BOA=45°,

NFOE'=AOFE',

7

FE'=OE'=t——，

2

ii7

.-.5.=—OE',FE'=—(t——)2,

AFOK222

117

-S=S..-S.=—x4x2——(t——)92,

△OnABRAFOE22'2，

?1271711

即RnS=——t+-t-----(4?/〈一)；

2282

②a.當(dāng)4<乙2時，由①知S=—L/+Z7_1Z=—L?—N)2+4,

222822

.?.當(dāng)％=4時，S有最大值為衛(wèi)，當(dāng)￡=2時，S有最小值為工，

822

二.止匕時工”S<—；

28

7

b.當(dāng)一<力,4時，如圖2,令OC與交于點DE與DB交于點N,

2

7\2、22、2

ScScScSc=441/101581.1563

?>-=^AB~^OE'N~^O'AM"T(r-T)=一+7一-/+77,

2222o410

此時，當(dāng)仁"時，S有最大值為國，當(dāng)/=4時，S有最小值為衛(wèi)，

4168

.衛(wèi)史

卡”16；

57

c?當(dāng)時，如圖3,令OC，與交于點〃，此時點。位于第二象限，

22

S=S\OAB_S.O'AM=4-g（4-/）2+4/-4=-g（/-4）2+4,

此時，當(dāng)/=3時，S有最小值為軍，當(dāng)公,時，S有最大值為漢,

2828

.2331

?'T""T'

綜上，S的取值范圍為空,,S,國；

816

圖①圖2

圖3

3.（2020?天津）將一個直角三角形紙片CM2放置在平面直角坐標(biāo)系中，點0（0,0）,點/（2,0）,點8在第

一象限，AOAB=90°,48=30。，點尸在邊08上（點尸不與點。，2重合）.

（I）如圖①，當(dāng)。尸=1時，求點尸的坐標(biāo)；

（II）折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點尸，并與x軸的正半軸相交于點。，且。。=。尸，點。的對

應(yīng)點為。'，設(shè)。尸=/.

①如圖②，若折疊后尸。與ACUB重疊部分為四邊形，O'P,。'。分別與邊相交于點C,。，試用

含有/的式子表示O'。的長，并直接寫出/的取值范圍；

②若折疊后△。'尸。與AO/3重疊部分的面積為S,當(dāng)1,",,3時，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

圖①

【答案】(1)嗎，爭；(II)①。，。=3/4,/<2；②W

【詳解】(I)如圖①中，過點尸作尸于〃.

圖①

NOAB=90°,/B=30°,

NBCM=90。—30。=60。，

ZOPH=90°-60°=30°,

OP=\,

,-.OH=-OP=-,PH=OP-cos300=—,

(II)①如圖②中,

由折疊可知，XOPQx'OPQ,

：.OP=O,P,00=00,

OP=OQ=t,

,,

:OP=OQ=OP=OQ,

四邊形O尸(7。是菱形，

QOr//OB,

:.ZADQ=ZB=30°,

???4(2,0),

:.OA-2,QA=2—t9

在RtAAQD中，00=204=4—2/,

rf

OD=OQ-QD=3t-4f

②當(dāng)點。落在上時，重疊部分是AP。。，此時f=g,5=也（；）2=殍，

當(dāng)。＜/,,2時，重疊部分是四邊形PQDC,5=牛/2一日（3/一4）2=-尊/+3.一26,

當(dāng)/=——巫時，S有最大值，最大值=拽，

2x（-雪77

當(dāng)心1時,S=—,當(dāng)t=3時,

4

V3c473

綜上所述,T"邑—'

4.（2019?天津）在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，點/（6,0）,點8在y軸的正半軸上，ZABO=30°.矩

形CODE的頂點。，E,C分別在。/,AB,05上，00=2.

（I）如圖①，求點E的坐標(biāo);

（II）將矩形CODE沿x軸向右平移，得到矩形。。77月，點C,O,D,E的對應(yīng)點分別為。，O',

D',E'.設(shè)。O=f,矩形。O7XE7與AAB。重疊部分的面積為S.

①如圖②，當(dāng)矩形。077/與AA8。重疊部分為五邊形時，CE',￡77分別與N8相交于點M,尸，試

用含有t的式子表示S,并直接寫出r的取值范圍;

②當(dāng)6,,S,5月時，求，的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

a5

【答案】（I）（2,473）；（II）①S=-1-?+8月，其中，的取值范圍是：0<?<2；?-?/?6-V2

【詳解】（I）,?,點4（6,0）,

OA-6,

???OD=2,

.\AD=OA-OD=6-2=4,

?.?四邊形CODE是矩形，

:.DE//OC,

ZAED=ZABO=30°,

在RtAAED中，AE=2AD=8,ED=\lAE2-AD2=-42=4G,

OD=2,

.?.點E的坐標(biāo)為（2,4百）；

（II）①由平移的性質(zhì)得：077=2,E'D'=473,ME'=OO'=t,D'E'//O'C/!OB,

ZE'FM=ZABO=30°,

在RtAMFE,中，MF=2ME'=2t,FE，=4MF--ME'2=g?_產(chǎn)=?,

???s麗E，=aME?FE，=]Xtx亞=%，

丁S短形C，O，D，E，=O'D,E，D，=2x4#=8#，

S—S矩形c，o,o，E，一^\MFE'=8#_-，

2

:.S=--t+^1其中，的取值范圍是：0</<2；

2

②當(dāng)S=G時，如圖③所示：

O,A=OA-OO,=6-t,

ZAO'F=90°，ZAFO'=ZABO=30°，

：.O'F=y/3O'A=y/3(6-t)

；.s=；(6-1)X瓜6-1)=6,

解得：t=6—y/2,或/=6+V^(舍去),

t=6—V2；

當(dāng)S=5石時，如圖④所示：

O'A=6-t,D'A=6-t-2=4-t,

O,G=A/3(6-Z),D，F(xiàn)=^(4-t),

S=1[V3(6-?)+73(4-/)]x2=573,

解得：/△，

2

當(dāng)AS?5A/3時，t的取值范圍為f”6-板.

2

5.(2018?天津)在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形工。2。是矩形，點0(0,0),點/(5,0),點8(0,3).以點/

為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形/O8C,得到矩形尸，點O,B,C的對應(yīng)點分別為。，E,F.

(I)如圖①，當(dāng)點。落在3c邊上時，求點。的坐標(biāo);

(II)如圖②，當(dāng)點。落在線段上時，4D與BC交于點H.

①求證\ADB=AAOB；

②求點〃的坐標(biāo).

(III)記K為矩形/。3c對角線的交點，S為AKDE的面積，求S的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).

3)(III)

；44

圖①

V45,0),8(0,3),

/.OA=5,OB=3,

?.?四邊形NO8C是矩形,

，AC=OB=3,OA=BC=5,AOBC=AC=90°,

V矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到,

AD=AO=5,

在RtAADC中，CD=y/AD2-AC2=4，

...BD=BC-CD=\,

圖②

由四邊形ADEF是矩形，得到=90°，

?.,點。在線段BE上，

NADB=90°,

由(I)可知，AD=AO,又AB=AB,ZAOB=90°,

RtAADB=RtAAOB(HL).

②如圖②中，由AADB=AAOB,得到ZBAD=ZBAO,

又在矩形NO3C中，OA//BC,

ACBA=ZOAB,

ABAD=NCBA,

BH=AH,設(shè)AH=BH=m,則77C=—=5—機，

在RtAAHC中,???AH2=HC2+AC2,

m2=32+(5-m)2,

（III）如圖③中，當(dāng)點。在線段8K上時，ADEK的面積最小,

最小值=LDE-DK=；x3x（5一呼）=30一:扃,

最大面積=；*。￡，*"=；><3><（5+理）=里土譽.

綜上所述，30一3.,,s,30+3后.

44

6.(2022?和平區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系中，A4O5為直角三角形，點。(0,0),點/(0,3),點2在x軸正

半軸上，NCM8=30。，點尸為N8的中點.

(I)如圖①，求點尸的坐標(biāo)；

(II)以點。為中心，順時針旋轉(zhuǎn)A4。尸，得到△4。耳，記旋轉(zhuǎn)角為&(0。<&<180。)，點/,尸的對應(yīng)

點分別4，耳.

①如圖②，線段04交線段N2于點線段04交線段48于點N,當(dāng)AOMN為等腰三角形時，求點4

的坐標(biāo)；

②直線04交直線48于點河，直線。耳交直線N3于點N,當(dāng)A(WN為等腰三角形時，求(z的度數(shù)(直

接寫出結(jié)果即可).

【詳解】(I)?.?點。(0,0),點4(0,3),

/.AO=3,

vZOAB=30°,NAOB=90。,

：.AO=COB,

：.OB=y[3,

.?.點8(50),

■:點、P為AB的中點,

，點尸亭|);

???N/O5=90。，點尸是48的中點，

AP=OP=PB,

,\ZAOP=ZOAP=30°,AOBA=60°,

ZOPB=ZPOB=ZOBP=60°,

???以點。為中心，順時針旋轉(zhuǎn)A4O尸，得到△4Q6，

,ZAOP=N&OA=30°,CM==3,

???OM=ON,

ZONM=ZOMN=75°,

ZAOM=AOMN-AOAB=45°,

/MOB=45°,

,/AXH_L%軸，

/AQH=/OA1H=45。,

:.OH=AH=—OA

l121l2

占.3723后、

..點4（-^―，-^―）；

②如圖②，茗OM=ON,旋轉(zhuǎn)角a小于90。時，如圖②，由①可知：a=45。,

如圖③，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角=90。時，如圖③，此時點M與點3重合，

???以點。為中心，順時針旋轉(zhuǎn)A4O尸，得到

ZBON=30°=ZAOP,

???AABO=60°,

ZONB=ZABO-ZBON=30°,

ZOBN=ZONB,

:.OM=MN,

AO肱V是等腰三角形，

cc=Z.AOAX-90°；

如圖④，當(dāng)OM=ON,旋轉(zhuǎn)角a大于90。時，如圖④,

?.?以點。為中心，順時針旋轉(zhuǎn)A4O尸，得到△4。片,

NAOP=N/Q耳=30°,

:.ZMON=150°,

OM=ON,

ZOMN=ZONM=15°,

a=ZAOA1=\S00-ZOAB-ZOMN=U5°,

綜上所述：a的度數(shù)為45°或90°或135。.

7.(2022?南開區(qū)一模)將一個矩形。48c放置在平面直角坐標(biāo)系中，點/(5,0),C(0,2),點尸為BC邊上

的動點(點尸不與點8,C重合).

(I)如圖①，當(dāng)NCOP=60。時，求點P的坐標(biāo)；

(II)沿。P折疊該紙片，點C的對應(yīng)點為CL設(shè)CP=Z.

①如圖②，若點。在第四象限，PC與。/交于點。，試用含有t的式子表示折疊后重疊部分的面積，并

直接寫出，的取值范圍；

圖①圖②

【答案】(I)P(2V3,2)；(II)①%oD=[^(2<f<5)；②[,",,3

【詳解】(I)?.?四邊形/OC5是矩形，

NBCO=90°,

PC=OC-tanACPO=2-tan60°=2c，

P(2A/3,2)；

(II)①?.?四邊形4OC8是矩形，

:.OAIIBC,

ACPO=APOD,

由折疊可得，

ZCPO=ZDPO,PC=PC=t,OC'=OC=2,

/.APOD=ZDPO,

/.OD=PD,

設(shè)OD=PD=x,則。C'=/—x,

在RtADOC中，由勾股定理得，

222

OD-CD=COf

——x）2=4f

11產(chǎn)+4r-4-4

.?.重合部分S“OD=-ODOC=-----------x2=-——（2<t<5）；

222/2/

②當(dāng)0<力,2時，

當(dāng)"Lx2/=3時，

24

3

..t=一，

4

當(dāng)工x2/=?時，

26

t=—（舍去），

6

當(dāng)—?t?2時，—?S?--，

446

當(dāng)2</<5時，

1+413

2t一不'

4

/.t,=—（舍去），心=3，

3

當(dāng)，＞2時，上“+二4隨，的值增大而增大，

2t

,?2”tn3，

綜上所述-t?3，

4

8.(2022?紅橋區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點4(-2,0),8(6,0),點C在歹軸的正半軸上,

ZACB=90°.

(I)如圖①，求點。的坐標(biāo)；

(II)將A4OC沿％軸向右平移得△40，。，點/,C,。的對應(yīng)點分別為H,O',C.設(shè)OO，=E,△

A'O'C與\OBC重疊部分的面積為S.

①如圖②，△4。，。與AO8C重疊部分為四邊形時，A'C,分別與8c相交于點。，E,試用含有f

的式子表示S,并直接寫出，的取值范圍；

②當(dāng)S取得最大值時，求，的值(直接寫出結(jié)果即可).

圖①圖②

【答案】(I)C(0,2回(II)①5==-%+2向2“f<6)；②/喑時，S有最大值.最大值為

2473

13

【詳解】(I)如圖①，???4-2,0),2(6,0),

:.OA-2,OB=6,

???AAOC=ZBOC=ZACB=90°,

ZACO+ABCO=90°,ZBCO+ACBO=90°,

:./ACO=/CBO,

AAOC^^COB,

.AOCO

,~CO~~OB'

CO2=OA-OB=n,

co>o,

OC=2百，

C(0,26)；

(II)①如圖②中,

OA

ACAO=60°,

NACO=ZC=/ABC=30°,

??.OO'=t,

BOf=6-t,

一），

CEf=273-—(6-0=—

33

D'E'=-C'E'=—t,C'D'=^3D'E'=-t

262

2

?v_vS?C，DE=-x2x2V3--x—Zxl/=-—?+273(2,,f<6)；

,?0~^^A'O'C△226224

13vL24、22473

——)+——

241313

.?"=色時，S有最大值，最大值為處g,

1313

當(dāng)2,,/<6時，t=2時，S的最大值為小8,

6

11V32473

------<-------，

613

.」=二時，s有最大值.最大值為處8.

1313

9.(2022?河西區(qū)模擬)如圖，將一張矩形紙片48CD放入平面直角坐標(biāo)系中，/(0,0),8(8,0),￡>(0,6),

尸為邊上一點，將A48尸沿AP翻折，折疊后點N的對應(yīng)點為4.

(I)如圖①，當(dāng)折疊后點工的對應(yīng)點4正好落在邊。C上時，求HC的長和H的坐標(biāo)；

(II)如圖②，當(dāng)點尸與點。重合時，點工的對應(yīng)點為4,與。C相交于點E,求點E的坐標(biāo)；

(III)如圖③，若沿翻折后尸H與CO相交于點E,恰好用4'=￡0,84與CD相交于點尸，求點尸的

坐標(biāo).(直接寫出答案)

【答案】(I)A'C=2S,

【詳解】(I)?.?矩形A8C?，由題知2O=3C=6,AB=DC=8,

由折疊知，02=48=8,

在RtABCA'中，ZC=90°,

由勾股定理得，A'B2=A'C2+BC2,

HC=M-6。=2療,

:.A'D=8-2班,

:.A1鎧-2幣,6）；

(II)?.?四邊形/BCD是矩形，

DC//AB,

NABD=ZBDC,

由折疊知，ZABD=ZA'BD,

NBDC=ZA'BD,

ED=EB,

設(shè)DE=x,貝!|E8=x,EC=8-x,

在RtAECB中，EB-=EC2+BC2,

即X2=62+(8-X)2,

解得x=空,

4

:.DE=—,

4

號，6)；

(III);NA'EF=NDEP,EA'=ED,AA'=APDE=90°,

KEFA=APED(ASA),

EF=PE,A'F=PD,

令PD=y,貝！］尸8=尸=8-y,FC=DC-DE-EF=CD-PA'=8-(6-y)=2+y,

BC=6,

由勾股定理得，F(xiàn)B2=FC2+BC2,

即(8-y)2=(2+4+62,

解得y=g，

力尸=6)=土

55

24

.■-my).

10.(2022?和平區(qū)二模)將一個直角三角形紙片/5C放置在平面直角坐標(biāo)系中，N/C5=90。，點/(4,0),

點C(0,2),點。(0,0),點3在X軸負半軸，點E在線段NO上以每秒2個單位長度的速度從工向點O運動,

過點￡作直線￡尸，x軸，交線段/C于點尸，設(shè)運動時間為t秒.將A4EF沿M翻折，使點N落在x軸上

點。處，得到A￡＞斯.

（I）如圖①，連接。C,當(dāng)NCD廠=90。時，求點D的坐標(biāo).

（II）①如圖②，若折疊后AZ）E尸與A45C重疊部分為四邊形，。尸與邊8c相交于點"，求點M的坐標(biāo)

（用含/的代數(shù)式表示），并直接寫出r的取值范圍；

②AZ）跖與A43C重疊部分的面積為S,當(dāng)士,2時，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

2

【答案】⑴a。；（U）①建言手,25②”,1

【詳解】（I）???/ACB=90。，

ZOCB+ZOCA=90°,

-ZAOC=90°,

/.ZOAC+ZOCA=90°,

ZOAC=ZOCB,

???點/(4,0),點C(0,2),點0(0,0),

tanZOAC=ta.nZOCB,

.PC2OB\

…O4~4~OC~2f

OB

----=—,

2---2

:.OB=1,貝lj5(-1,0),

當(dāng)NCD尸=90。時，ZODC+ZADF=90°,

???ZODC+ZOCD=90°,

ZOCD=ZADF,

由折疊得ZADF=ZOAC,

ZOCD=ZOAC,

由題意得ZE=2和

???直線￡下_1、軸,

/八。EFOC

.tanNO4C=----------

AEOA2

EF=t,

tanZ.OAC=tanZOCD=—,

2

OD1

-----=—r

2---2

，OD=1.

.?.點。的坐標(biāo)為(1,0)；

(II)①由題意得/E=QE=2gBE=5—2t,OE=4—2t,

OD=4t-4,

D(4-4Z,O),b(4—2fJ),

設(shè)直線。尸的解析式為>=京+6,

仔-旬3=。，k=-

2

(4-2t)k+b=t

b=2t-2

廠.直線的解析式為y=；x+2f-2,

?/5(-1,0),C(0,2),

同理得直線BC的解析式為y=2x+2,

4/8

y=2x+2x二

解得<3

y=-x+2f—28Z-10

2尸

3

“/中—88Z-10

川(丁3)

若折疊后NDEF與AABC重疊部分為四邊形,

由圖可得即2，>5—2，，

解得/>3,

4

???點E在線段40上以每秒2個單位長度的速度從4向點O運動,

:.t<2,

的取值范圍為*<f<2；

②當(dāng)L,，,，*時，重疊部分為AZ)石下的面積，

24

C11?

SADFF=—DE-EF=—x.2t't=t,

由22

%=工時，S=—1%=*時，S=—-，

24416

「?當(dāng)t,,—時，—?S?-；

24416

當(dāng)3<￡,,2時，重疊部分為四邊形5瓦的的面積,

4

,四邊形班五M=SgEF-S^DM

由①知：8(-1,0),￡>(4-4/,0),選段)，

，二一1一4+4%=4,一5,

c1810”「、16/一401+25

S^DM=-.——(務(wù)-5)=-----------------，

20)75

—13t---------H------------

-2s216t2—40/+25-13/+40%-25113J13

一3四邊形5EFM=t~、空DM=t='

.?.當(dāng)公小時，S有最大值為紀(jì)，

1313

.小5,2525

?.三一<t?2時，—<S?-；

41613

綜上，s的取值范圍為L,s,”.

413

11.2022?西青區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系中，點4(2,0),點2(0,2)分別是坐標(biāo)軸上的點,連接AB.把M.BO

繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)得△H8O.點/,O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為點4,。.記旋轉(zhuǎn)角為c.

(I)如圖①，當(dāng)點。落在48邊上時，求夕的值和點。的坐標(biāo)：

(II)如圖②，當(dāng)夕=60。時，求的長和點。，的坐標(biāo)：

(III)連接/OL直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中面積的最大值.

【答案】(I)a=45°,O'(41,2-V2)；(II)AA'=2420(6，1);(III)272+2

【詳解】(I)如圖1,過點。'作03_L08于。,

圖1

v5(0,2),4(2,0),

OB=OA=2,

.?.A4O8是等腰直角三角形

NABO=45°

:.NBDO'是等腰直角三角形

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，a=45°,BO=BO'=2,

BD=O'D=6

O'(V2,2-V2)；

(II)如圖2,過點。作。0_L08于點〃，

圖2

在瓦中，O'B=2,ZOBO'=60°,

ZHO'B=30°,

:.BH=-O'B=\,O'H=43,

2

。(百，1)；

由旋轉(zhuǎn)得：ZABA'=60°,AB=A'B,

AABA'是等邊三角形，

AA'=AB=2V2；

=2是定值，

.?.在旋轉(zhuǎn)過程中當(dāng)NG最大時，△204面積最大，

如圖4,當(dāng)NO'過點2時最大，此時NO=2啦+2,

答：在旋轉(zhuǎn)過程中面積的最大值是2拒+2.

12.(2022?河北區(qū)一模)將一個含30。角的直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，AOAB=30°,

點2(0,2).D是邊42上一點(不與點4,3重合)，沿OD折疊該紙片，得點3的對應(yīng)點C.

(I)如圖①，當(dāng)點C落在48邊上時，求NC的長；

(II)如圖②，當(dāng)。C//y軸時，求點C的坐標(biāo)；

(III)當(dāng)DC所在直線與x軸的夾角為60。時，求點。的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).

圖①圖②

【答案】(I)2；(II)C(V3,-1)；(III)(3-百，3-6)或

【詳解】(I)由題意知，08=2,ZAO3=30°,AOBA=60°,ABOA=90°,

???沿OD折疊該紙片，得點B的對應(yīng)點C,

OB=OC,AOBA=NOCD=60°,ZBOD=ZCOD,

.-.AB=2OB=4,OA=2^3,

A(2y/3,0),

?.?。在N8上，AOBA=ZOCD=60°,OB=OC,

NOBC是等邊三角形，

BC=OB=2,

:.AC=AB-BC=4-2=2；

(II)?.?DC//y軸，

DC!/OB,DCJ_x軸，設(shè)。C交x軸于點X,

:.ZBOC+ZOCD=18Q°,

AOBA=AOCD=60°,

：.zBOC=no°,

NCOA=ZBOC-AAOB=30°,

OB=OC=2,

CH=1,OH=6,

C(V3,-1)；

(III)設(shè)。C與。4交于點“，如圖,

當(dāng)點C剛好落在x軸上時滿足要求，此時X與點C重合,

NBOD=ZCOD=45°,

二。點的橫縱坐標(biāo)相等，

過點。作。ELO5于點E,則有OE=E〃，

在RtABED中，BE=-DE,

3

巧

:.OB=2=OE+BE=DE+—DE,

3

解得。E=3-6，

r>(3-V3,3-V3)；

當(dāng)NO〃C=60。時，也滿足要求，如圖，

作OG±OA于點G,

y

/.AOCH是等邊三角形，

,,OC=CH=OH=2,

AH=AB-OH=2y/3-2,

ZOHC=ZOCH=ADHG=60°,AOAB=30°,

ZHDA=90°,

即HZ)_L4。，

/HDG=30°,

巧

:.HG=—DG,AGfDG,

3

—DG+y/3DG=AH=2y/3-2,

3

OG=OH+GH="，,

2

~3+63-拒、

22

綜上所述，點。的坐標(biāo)為(3-6，3-百)或(號3,七黃)?

13.(2022?西青區(qū)二模)將一個矩形紙片。48。放置在平面直角坐標(biāo)系中，點4(6,0),C(0,2),點、P為BC

邊上的動點(點尸不與點8,C重合)，連接。尸.

(I)如圖①，當(dāng)/COP=60。時，求點尸的坐標(biāo)；

(II)沿。尸折疊該紙片，點C的對應(yīng)點為設(shè)CP=f,折疊后的圖形與矩形6Mse重疊部分的面積為

S.

①如圖②，當(dāng)點"在第四象限時，與。4交于點。，試用含有f的式子表示S,并直接寫出/的取值范

圍;

【詳解】(I)?.?四邊形49C5是矩形，

ZBCO=90°f

PC=OC?tan/COP=2?tan60°=273,

P(2A/3,2)；

(II)①:四邊形AOCB是矩形，

OA//BC,

ZCPO=APOD,

由折疊可得，

ZCPO=ZDPO,PM=PC=t,OM=OC=2,

APOD=ZDPO,

OD=PD,

^,OD=PD=x,貝=￡—x,

在RtADOM中，由勾股定理得，

ODi2-MD2=MO?,

—(t—x)2=4,

i1r+4〃+4

「?重合部分5心0°=—。6。。=-------x2=--------(2</<6),

222，2，

C/+4/C/、

/.S=―--(2</<6)；

②當(dāng)0＜力，2時,

當(dāng)Lx2%=工時,

23

1

t=一,

3

當(dāng)”2時，

—x2/=2,

2

「?當(dāng)—?t?2時，S?2，

33

當(dāng)2<￡<6時,

當(dāng)上時,

「.4=1(舍去)，=4，

2<t?4,

當(dāng)，＞2時，L”二+4隨f的值增大而增大，

2t

2＜t?4,

綜上所述，，的取值范圍為L",,4.

3

14.(2022?河?xùn)|區(qū)一模)如圖①，將一個直角三角形紙片/8C放置在平面直角坐標(biāo)系中，點/(-2,0),點

8(6,0),點C在第一象限，44c8=90。，ZCAB=30°.

(I)求點C的坐標(biāo)；

(II)以點8為中心，順時針旋轉(zhuǎn)三角形/8C,得到三角形點/,C的對應(yīng)點分別為。，E.

(i)如圖②，當(dāng)。E///8時，2。與y軸交于點尸，求點尸的坐標(biāo)；

(ii)如圖③，在(i)的條件下，點/不變，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形8DE,當(dāng)點。落在射線3c上時，求證四

邊形ED防為矩形；

(出)點尸不變，記尸為線段ED的中點，。為線段磯)的中點，求尸0的取值范圍(直接寫出結(jié)果即

可).

【答案】(I)C(4,273)；(II)(i)F(0,2V3)；(ii)見解析；(出)2V3-2,,PQ?273+2

【詳解】(I)解：過點C作CG_Lx軸，垂足為G.

/.OA-2,OB=6,

二.AB=8,

又???N/C5=90。，ZCAB=30°,

BC」AB=4,

2

在RtAGBC中，ZCBG=60°,

5G=5C-cos60°=2,CG=5C-sin60°=273.

...OG=OB—BG=4,

又???點C在第一象限,

C(4,2V3)；

(II)(i)解：如圖②中,

?.?以點8為中心，順時針旋轉(zhuǎn)三角形ABC,得到三角形點N,C的對應(yīng)點分別為。，E,且

DEIIAB,

NFBA=NEDB=ZCAB=30°.

在RtAFOB中，08=6,

OF=273,

F(0,2拘；

?.?點。落在射線5c上，

NABD=60°.

由（i）知，ZFBA=30°,

ZFBD=30°.

???ZFBD=2BDE,

DE/IFB.

又DE=FB=4e,

四邊形EDE8是平行四邊形.

又ABED=90°,

二.四邊形EDE8是矩形;

(iii)解：如圖③-1中，連接EF.

:.PQ=^EF,

BF=2OF=473,BE=BC=4,

473-4,,EF?4e+4,

273-2?PQ?273+2.

15.(2022?濱海新區(qū)一模)將一個平行四邊形紙片/2CA放置在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，點

/(-2,0),點8(1,0),點。在y軸正半軸上，ZDAB=60°.

圖①圖②

(I)如圖①，求點D的坐標(biāo)；

(II)剪切下AADO并將其沿x軸正方向平移，點工的對應(yīng)點為H,點。的對應(yīng)點為ZX,點。的對應(yīng)點

為O,設(shè)。O=f,△4。'。'和四邊形。8。重疊部分的面積為5.

①如圖②，若平移后和四邊形O8CC(重疊部分是五邊形時，交y軸于點￡,09交3c于

點尸，試用含有/的式子表示S,并直接寫出/的取值范圍;

②當(dāng)2,”,日時，求s的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).

33

【答案】(I)D(0,2?(II)?S=-y/3t2+3y/3t--(l<t<2)；S?—

2184

【詳解】(I)?.?點4-2,0),

/.OA=2,

在RtAADO中，ADAO=60°,

DO=OA-tanZDAO=2xtan60°=2A/3,

又?.?點。在y軸正半軸上，

Z)(0,2V3)；

(H)①由平移知，A'O'=AO=2,D'O'=DO=243,ND'A'B=NCBO'=60。,

由。O=f知，A'O=A'O'-OO'=2-t,BO'=OO'-OB=t-l,

在小△HEO中，EO=A'O-tanZEA'O=(2-Z)-tan60°=73(2-?),

???邑北。=；4。。后=；(2-)義百(27)=《(2-)2，

同理又四=：8O'-FO'=等(一I)?，

又...$一皿。，=L4。*D,O,=-x2x2V3=273,

即5=-后+3而-1（1＜，＜2）；

②當(dāng)”—時，如圖，設(shè)。。與交于點”，

3

2

/.OO,=-=AA',

3

24

OAr=2—=—,

33

OH=OHxtan60°=—V3，

3

???O'D'=273,

同理可得：當(dāng)方=1時，S=-----,

2

即當(dāng)!“G時，竽,,S”孚，

向

當(dāng)1</<2時，由①得：S=-43t2+3y/3t--,

2

v-V3<0,S有最大值,

3M

2x(-加

當(dāng)2<f,,?時，如圖，設(shè)BC與。77的交點為尸，

3

八y

同理可得：AA'=OO'=t,OB=1,AO=A'O'=2,D'O'=273,ZFBO'=60°,

.-.BO'=OO'-AB=t-1,FO'=BO'-tan60°=V3(f-1),

22

■-S=SMD0-=^-x2x2V3--1)xV3(z-1)=2A/3-(t-1)=-^-(t-l)+273,

va=--<0,當(dāng)時，S隨，的增大而減小，

2

當(dāng)f=|時，S最小值=-**審+24=器，

涉上11V3<7百

纖_L,—~―n>,~~?

184

16.(2022?天津一模)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A4O8為直角三角形，08在x軸上，

AOAB=90°,45=3,05=5,把A4O2繞點8順時針旋轉(zhuǎn)，得△4。2,點工,。旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為

A',。'.記旋轉(zhuǎn)角為a.

(I)如圖①，若a=30。，求。'點的坐標(biāo)；

(II)如圖②，若a=90。，求4點的坐標(biāo)；

(