吉林省2024-2025學(xué)年高二年級上冊11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

局一數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊第一章至第三章3.2.1.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.直線2氐—27+3=0的傾斜角為()

兀兀2兀5兀

A.—B.-C.—D.—

6336

2.若直線4：ax+3y+6=0與直線(：x+(a+2)y—2=0平行，則°=()

、3

A.-3B.C.1D.—1

2

3.已知向量1=(5,1,3),3=(9,8,5),則向量B在向量1上的投影向量為()

68_17_23_13_

A.—uB.—aC.—aD.—a

359127

4.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列選項中能作為基底的是()

^.a-c,a-b,b-cB,a+c.b.a-^-c-b

C.b+a,b-a+c,c+2bD.a+b,b+c,a+c

5.空間內(nèi)有三點尸(—1,2,3),E(2,則點尸到直線￡下的距離為()

A，V2B，V3C.2V2D.2G

22

6.已知橢圓C：(+?=l的右焦點為尸，上頂點為4,點尸(—2,-2),。是C上一點，則|尸。卜|。川的

最小值為（）

A.2-V2B.4-2V2C.2-4V2D.2-2點

—?1—?

7.如圖，在棱長為3的正四面體P—48。中，O為V/BC的中心，。為24的中點，BE=-BC,則

3

PO,DE=（）

A.2B.3C.4D.6

2222

XV4+A=l（x<0）組成的曲線稱為“果圓”，其

8.如圖，已知半橢圓G：—+二1（%..0）與半橢圓。2

ab"c

中=A2+c2,a〉b〉c〉0.“果圓”與無軸的交點分別為4,4,與歹軸的交點分別為綜與，點尸為

半橢圓g上一點（不與4重合），若存在網(wǎng).可=0,則半橢圓G的離心率的取值范圍為（）

rvs-i2]

仕君-1）

D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知曲線C:機(jī)X?+即2=機(jī)〃，則下列說法正確的是（）

A.若〃2>〃>0,則C是橢圓，其焦點在〉軸上

B.若m<0<n則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±

C.若機(jī)=2〃>0,則C是橢圓，其離心率為J注Q.

2

D.若〃?=—2〃<0,則C是雙曲線，其離心率為百

10.已知球O的半徑為R,則()

A.球O的內(nèi)接正方體的內(nèi)切球表面積為2兀及2

B.球O的內(nèi)接正方體的內(nèi)切球體積為生871H3

27

C.球O的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球半徑為工R

3

D.球O的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球半徑為R

3

II.如圖，正方體258—44。A的棱長為2,￡,廠分別為/民BC的中點，尸為底面48—CD內(nèi)的動

點，且。］尸=石，貝U()

兀

A.動點尸的軌跡長度為一

2

JT

B.存在點尸，使異面直線與所所成的角為一

4

C.點P到平面D.EF的距離的最小值為《-24

17

D.點P到平面D.EF的距離的最大值為上叵

17

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在平行六面體中，設(shè)75=%赤=3,麴=1，則西=.(用心人］

表示)

13.若點(1,3)在圓/+/—方-2即+5。=0的外部，則正實數(shù)。的取值范圍是.

14.已知圓C:(x+2y+(y—Ip=8,直線/：4x—歹―8=0,/為直線/上一動點，N為圓C上一動點,

定點尸（2,3）,則|九W|+|九0的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

己知直線/：機(jī)x+（機(jī)+1）＞一2機(jī)+1=0,圓C:/+/-4x+4y-l=0.

（1）證明：直線/與圓C相交.

（2）記直線/與圓C的交點為48,求|48|的最小值.

16.（15分）

22

已知橢圓C:]+￡=l（a〉b〉0）的焦距為12,長半軸長為4G.

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線/與橢圓C相交于48兩點，若線段48的中點坐標(biāo)為求直線/的方程.

17.（15分）

如圖，在體積為2行的三棱柱Z5C—451G中，平面48與4,平面

ABC,AB=AAX=/C=2,ZABBX=60°.

（1）證明：48]，平面45G.

（2）求平面48。與平面Z/CG夾角的余弦值.

18.（17分）

如圖，在三棱臺A8C—44cl中，4&J.平面

4SC,/R4C=120°,49=ZC=348]=34G=3,44]=2,。是棱/C的中點，￡為棱上一動點.

—?1—?

(1)若C￡=§C8,證明：幺用〃平面GQE.

（2）是否存在￡,使平面CQEJ_平面448片？若存在，求此時461與平面GQE所成角的正弦值；若

不存在，說明理由.

19.（17分）

已知片，耳分別為橢圓C：:+，=1（a〉b〉0）的左、右焦點，4B分別為橢圓C的左、右頂點，

尸（玉）Jo）為橢圓C上的動點，過動點P（x0,y0）作橢圓C的切線.分別與直線x=-3和x=3相交于D,C

兩點，四邊形4BCQ的對角線相交于點M,記動點M的軌跡為￡.

（1）證明：橢圓C在尸點處的切線方程為里=1.

94

（2）求動點〃■的軌跡￡的方程.

（3）過點N（2,0）作斜率不為。的直線/與￡相交于點K,S,直線/R與3S的交點為。，判斷點。是否

在定直線上.

高二數(shù)學(xué)試卷參考答案

1.B直線2Gx—2y+3=0的斜率為G，所以傾斜角為

2.C因為4〃(，所以a(a+2)—3=a?+2Q—3=(a+3)(Q—1)=0,所以Q=—3或a=l.

當(dāng)Q=—3時，4:—3x+3y+6=0,(：%—P—2=0,4,(重合；

當(dāng)Q=1時，4:x+3y+6=0,/2：%+3?-2=0,符合題意.

一b-aa68_

3.A向量b在向量不上的投影向量為^?育=7?。.

|可囿35

4.D因為萬一己=(萬一3)+(3—己)，所以萬一己為共面；

因為萬+己=3+(1+1-B),所以萬+工3,萬共面；

因為3+1=(1+26)—(3—之+己)，所以B+萬,B-M+5,?+2B共面；

因為不存在孤兒使得d+B=x(B+，+y(N+u),所以2+RB+E為+已不共面.

5.A因為而=(—1,1,1),所以￡尸的一個單位方向向量為"=g(—1,1,1).

因為尸￡=(3,-1,-2),所以點P到直線EF的距離為yJpE2-(PE-u)2=V14-12=J5-

6.C設(shè)橢圓C的左焦點為尸，則由橢圓的定義知|。司+|°廳］=4后，所以

|尸。一|。川=10。+|紗1―4后.當(dāng)尸,0尸三點共線時’(|尸。|+|。尸］)3=「k1=2,所以

|尸。H°E|的最小值為2—4A歷.

7.B連接AO,AE,PE(圖略).因為

PO-DE=PO-(DA+AE^=Pd-(^PA+^AB+^Ac}=^Pd-PA

I/??\?1?1

=5(尸。+。4)?尸。=]1尸。F=]X6=3.

8.D(解法1)^P(ccos^?&sin^),cos^G(-l,0),

因為4(一*0)，4(凡°)，所以4尸=(比058+。,加山。)，4尸=(℃05。一。,加由8).

2222122

4尸.A2P=(ccos0+c)(ccos8-a)+bsin0=ccos^-accos0+c2cos0-ac+b-Z7cos^

222

=(02-Z7^COS<9+^C一cQ)cose+Z?2-ac=[('一b2)cos9+Z)2-QC](COS6+1)=0,所以

<:058=與二年.因為館5夕€(—1,0),所以_]<￡—4：<0.

b2-c2'7b--c1

c?+ac—a?>0,(yj-5—12

因為〃=/—/,所以《解得ee——.

5c+ac-2a<0,12力

(解法2)設(shè)尸(%,%),%e(-c,0),

因為4(-c,0),(a,0),所以尸&=(-c-x0,-j(),PA2=(a-x0,-v0),

所以尸4?尸幺？=XQ+(c-a)x0-ac+VQ.

A22__________?2_A2

因為y；=〃—2學(xué)，所以可.巨石=-(c—a)Xo+〃—?因為存在可?可=0,所以

cc

2

(/_,2)x：+02(C—Q)/+(/-aC^C=0在與m(-c,0)上有解.因為

22

(02―叫片+c(c-a^x0+(〃-ac^c=[(/—方2)與+(62—ac)c](xo+c),且x()e(-c,0),所以

22即x=G―在(-c,0)上有解.因為

(c-6)XO+(〃—QC)C=0在/￡(—c,0)上有解

°b2-c2

__.Q2—ac—c?<0,(亞-12)

222

b=a-c^所以c2c2八解得■2力

3c+ac-2a<0,、

9.ACD若機(jī)〉〃>0,則C的方程可整理成工+-—=1,其表示焦點在N軸上的橢圓，所以A正確；

nm

22其表示雙曲線，漸近線方程為土所以

若機(jī)<0<〃，則C的方程可整理成^--工=1,y=J—%x,B

n—mVn

不正確；

22J2Tl-H\/2

若機(jī)=2〃>0,則。的方程可整理成二+乙=1,其表示橢圓，離心率為?，=’,所以C正

n2ny[2n2

確;

若m=-2〃<0,則C的方程可整理成工—22=1,其表示雙曲線，離心率為"=M，所以D正

n2n7n

確.

10.BC對于A,B,設(shè)球O的內(nèi)接正方體的棱長為。，則球O的內(nèi)接正方體的內(nèi)切球半徑八,球O

的半徑區(qū)=豐0,所以八=餐氏，所以表面積51=4叼2=17^2,體積匕=：跖3=挈兀/，故A

不正確，B正確.

對于C,D,設(shè)球O的內(nèi)接正四面體的棱長為b,如圖，可知O[A=q~bQiB=Sb,OO[=]~b—R.

由++?/A

b-RY=R2,解得b=

3J3

因為球。的內(nèi)接正四面體的體積％.半〃?^^=挈氏3,球。的內(nèi)接正四面體的表面積

1=聞2=更氏2,所以球o的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球半徑g=等=：氏，故C正確，D不正確.

3之3

H.ACD因為尸為底面48c。內(nèi)的動點，且DD[=2,D[P=5所以。尸=1,所以動點尸

的軌跡是以。為圓心，1為半徑的圓落在底面ABCD內(nèi)的部分,

71

所以動點尸的軌跡長度為一，故A正確.

2

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則頤2,1,0),下(1,2,0),麗=(—1,1,0),

設(shè)尸(cos8,sine,0),e￡0弓，因為2(0,0,2),所以口尸二(cos8,sine,-2).

DPEF正無解,

因為cosDiRET7=Xsin?！猚os。

印而V5xV22

所以不存在滿足條件的點尸，故B錯誤.

設(shè)平面廠的法向量為為=(x,y,z),因為麗=(—1,1,0),印=(2,1,—2),所以

<——一''令x=2,得萬=(2,2,3).因為麗=卜05。—2,5/。—1,0),所以點尸到平

力?=2x+y-2?=0,

面*尸的距離|麗臼」2sin9+2cos”6|_2Mmj—6，當(dāng)e=工時,

"=布=布4

=6后—2庖,所以c確.

min]7

兀，=生47,所以D正確.

當(dāng)。二0或一時，d

21max]7

12?3一方+己BD、=AD-AB+DD[=b-a+c.

（-Q）2+（-2Q）2—4x5Q>0,

13.（4,5）由v『+32_q一6。+5。>0,得ae（4,5）.

Q>0,

4X^Z2._A±1_8=0,

22%=6,

14.2&設(shè)點。關(guān)于/的對稱點為。0(%,盟)，貝卜11解得即

%-1=1Jo=-1，

%+24

C0（6,-l）,所以|MC|+\MP\=\MC0\+\MP\...\C0P\=4也.^\MN\+|必）|的最小值為

4V2-2V2=272.

15.(1)證明：將直線/的方程整理得加(x+y-2)+y+l=0,

x+y-2=0.Ix=3,/、

令jy+；=0得［=_］即直線/經(jīng)過定點

將點（3,-1）的坐標(biāo)代入圓C的方程得32+（-1）2-4X3+4X（-1）-1=-7<0,

所以點（3,-1）在圓。的內(nèi)部，所以直線/與圓C相交.

（2）解：圓C的圓心為。（2,-2）,半徑為3.

記點C到直線I的距離為d,則|48|=243?-屋=2的-屋.

記點（3,—1）為尸，因為a,\PC\=7（2-3）2+（-2+1）2=V2,

所以|28京=2后歷=2嶼?

CL—

16.解：（1）由題意可知《

c-6.

因為尸=02一。2=12,所以橢圓C的方程為三+匕=1.

4812

22

工+J

4812

（2）設(shè)4（石，必）,5（%,%），則<

22

逗+9=1,

〔4812

x

兩式相減得萬一巧+才—，=0，整理可得直二^1x+x2

4812%一々4%+匕

因為線段48的中點坐標(biāo)為（-4』），所以西+々=-8,%+耳=2,

所以直線/的斜率左=上及]L1+>2=__Lx—=1

4%+8—42，

故直線/的方程為歹—l=x+4,即x—歹+5=0.

17.（1）證明：取48的中點O,連接。與，由V814B為正三角形，得0814g.

因為平面48男4，平面4BC且交于所以。呂，平面4BC,即。片為該三棱柱的高.

因為三棱柱ABC-481G的體積V=SVABC，OB\=2且,所以S,ABC=2.

因為SV/BC=；Z8-ZCsin/8NC=2,所以NB4c=90°，即

由平面ABBXAX1平面ABC且交于AB,可得/CJ_平面ABB^.

因為平面4B814,所以ZC_L48].因為NC〃4G，所以481_L4G，

在菱形ABB4中，ABI±AXB.因為AXBn4G=4,所以ZgJ_平面45cl.

(2)解：如圖，以O(shè)為原點，以礪，函的方向分別為x,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則

^（-1,0,0）,5（1,0,0）,C（-1,2,0），4（-2,0,A/3）.

設(shè)平面45c的法向量為或=（玉,必,句）,因為A&=卜3,0,6），4。=0,2,-6）.

m-BA.=-3x+也z、=0,

所以_2'

in?4。=%+2yl-<3Z[=0,

令芭=1,得應(yīng)=G）.

設(shè)平面N/CG的法向量為拓=（乙，F(xiàn)2,22）,

因為您=（—1,0,6）,就=（1,2,—G）,

n-AA=-x+V3Z=0,

所以_2?9廠

n-AxC=々+2%-A/3Z2=0,

令々=6,得萬=（6,0,1）.

市.五2\[^J]5h.

因為cos<玩，萬〉=II=-F--=——,所以平面ABC與平面AACC夾角的余弦值為-一.

\m\\n\75x25{XX5

18.解：如圖，以4為原點，以NC,44]的方向分別為x,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則5,c(3,o,o),4(o,o,2)，3--,^,2,q(1,0,2),z?

<7V>

一1一(3△'

(1)證明：因為CE=—C8,則E—,0,

3122J

設(shè)平面G°E的法向量為拓=(X]/I，zj,因為/=[—；,0,21,瓦=0,^,0,所以

12)<2J

_——?1

n,DC1-—-Xj+2Z]—0,

_TT?Gn

n-DE=—yl=0,

令苞=4,得方=（4,0,1）.

因為481

I22J

—.1

所以A5i?云=—5義4+0+2*1=0,

所以48]〃平面GQE.

__（33\[3、

⑵解：設(shè)平面448片的法向量為應(yīng)=（%,為，Z2），因為五彳=（0,0,2）,益k=—5，,0,

in-AAX-2z2=0,

所以V_—,33由令％=1，得比=

JTI,A.B——X?~\------%—0,

、22

_k(93Q、

設(shè)C￡=4C5(0”4,1),則￡3—%,----4,0,

、22?

-；,0,2）,瓦

設(shè)平面GQE的法向量為萬=（x,y,z）,因為。GG—MM，

[222)

n,DC,=—x+2z—0,

12廣——-（1、一■1393百，

所以一市Q9/十3、員令x=M九,得。G=[-5,0,2|,Z）E=—.

-2j=0,'J<J

[U2）2

假設(shè)平面CXDEI平面A.ABB,,則而?方=0.

//—Y/—\

解得2=—，所以萬

設(shè)AB,與平面CQE所成的角為。，

-.IV3

,/—.曲詞~T__6V13

則sin?！猚os(AB,,n)—___—1—

網(wǎng)同號小W-65'

84q

此時ABX與平面C.DE所成角的正弦值為小叵.

所以存在E,使平面CQE1平面A.ABB,,

65

至+里=1

19.(1)證明：聯(lián)立方程組《22消去〉整理得

XV

——+—:=1

194

,22、。222

莊+9》2_*+1』=0…xy1

—+—=1,

(3681J9