江蘇省南京市建鄴區(qū)某中學2024-2025學年九年級上學期月考數(shù)學試卷（10月份）（含答案）

2024-2025學年江蘇省南京市建鄴區(qū)怡康街中學九年級（上）

月考數(shù)學試卷（10月份）

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.在研究圓的有關(guān)性質(zhì)時，我們曾做過這樣的一個操作“將一張圓形紙片沿著它的任意一條

直徑翻折，可以看到直徑兩側(cè)的兩個半圓互相重合”.由此說明（）

A.圓的直徑互相平分

B.垂直弦的直徑平分弦及弦所對的弧

C.圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心

D.圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸

2.如圖，已知PA、PB是的切線，A、B為切點，AC是。0的直徑，zP=40°,貝U/BAC

的大小是（）

A.70°B.40°C.50°D.20°

3.如圖，z6>=30°,C為OB上一點,且0c=6,以點C為圓心，半徑為3的圓與04的位

置關(guān)系是（）

C.相切D.以上三種情況均有

可能

4.下列說法錯誤的是（）

A.直徑是圓中最長的弦B.長度相等的兩條弧是等弧

C.面積相等的兩個圓是等圓D.半徑相等的兩個半圓是等弧

試卷第1頁，共6頁

5.已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為9,圓心角為120。的扇形，則該圓錐的底面半

徑等于（）

A.9B.27C.3D.10

6.如圖，4B是。。的直徑，C,。是。。上的兩點，若ZABC="°,則/ADC的度數(shù)為

7.若一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面展開圖的扇形的圓心角為（）

A.120°B.180°C.240°D.300°

8.如圖，。尸與x軸交于點4（-5,0）,5（1,0）,與V軸的正半軸交于點C.若N4cB=60°,

則點C的縱坐標為（）

A.V13+V3B.272+V3C.4^2D.2及+2

9.已知：如圖，PA,PB分別與。0相切于A,B點，C為。0上一點，NACB=65。，則

A.65°B.50°C.45°D.40°

10.如圖，矩形ABCD中，AB=5,AD=12,將矩形ABCD按如圖所示的方式在直線/上

進行兩次旋轉(zhuǎn)，則點B在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長是（）

試卷第2頁，共6頁

B,--------------；------------

?I

AD,1

25「

A.—itB.13nC.25nD.25JI

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分.

11.如圖，4、B、C是。。上的三個點，若Z4OC=110。，貝=.

12.如圖，直線SB,CD相交于點。，ZAOD=30°,半徑為1cm的。尸的圓心在射線。4上,

且與點。的距離為6cm.如果。P以lcm/s的速度沿由A向B的方向移動，那么s后。尸

與直線CD相切.

C

13.如圖，正六邊形Z3CDM的邊長為2氐m,點尸為六邊形內(nèi)任一點.則點尸到各邊距

離之和為cm.

14.根據(jù)“不在同一直線上的三點確定一個圓”，可以判斷平面直角坐標系內(nèi)的三個點N(3,

0)、B(0,一4)、C(2,-3)確定一個圓(填“能”或“不能”).

15.如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形.若母線長/為6cm,扇形的

圓心角。為120。，則圓錐的底面圓的半徑r為cm.

試卷第3頁，共6頁

e

^

16.在圓內(nèi)接四邊形/8C。中，若乙4:N8:NC=2:3:6,則/。等于.

17.圖1中的三翼式旋轉(zhuǎn)門在圓形的空間內(nèi)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)門的三片旋轉(zhuǎn)翼把空間等分成三個部

分，圖2是旋轉(zhuǎn)門的俯視圖，顯示了某一時刻旋轉(zhuǎn)翼的位置，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)，可知第

的長是—m.

圖1

18.如圖，已知的半徑是4,C,。是直徑48同側(cè)圓周上的兩點，ZAOC=96°,

ZBOD=36°,動點P在48上，則PC+P。的最小值為.

三、解答題：本題共7小題，共46分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟.

19.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位.

(1)把aABC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后對應的aAiBiC；

(2)求4ABC旋轉(zhuǎn)到AAiBiC時線段AC掃過的面積.

試卷第4頁，共6頁

20.如圖，AB與。0相切于點C,OA=OB,。。的直徑為8cm,AB=10cm,求OA長.

21.如圖，已知：。。的直徑48與弦NC的夾角乙4=30。，AC=CP.

(1)求證：CP是。。的切線；

(2)若PC=6,AB=46,求圖中陰影部分的面積.

22.如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦的垂直平分線交弧48于點C,交弦于點

D.48=24cm,CD=8cm.

(1)求作此殘片所在的圓(不寫作法，保留作圖痕跡);

(2)求(1)中所作圓的半徑.

試卷第5頁，共6頁

23.如圖AB是半圓的直徑，圖1中，點C在半圓外；圖2中，點C在半圓內(nèi)，請僅用無

刻度的直尺按要求畫圖.

(2)在圖2中，畫出aABC中AB邊上的高.

24.如圖，N2為。。的直徑，C為。。上一點，的切線交OC的延長線于點D

(2)若NA4c=30。,/。=2.求CD的長.

25.已知NMPN的兩邊分別與。。相切于點/,B,。。的半徑為r.

圖1圖2(備用圖)

(1)如圖1,點C在點/,8之間的優(yōu)弧上，4MPN=80。,求/NC8的度數(shù)；

(2)如圖2,點C在圓上運動，當尸C最大時，要使四邊形NPBC為菱形，//心的度數(shù)應為

多少？請說明理由；

(3)若尸C交。。于點。，求第(2)問中對應的陰影部分的周長(用含r的式子表示).

試卷第6頁，共6頁

1.D

【分析】根據(jù)將一張圓形紙片沿著它的任意一條直徑翻折，可以看到直徑兩側(cè)的兩個半圓互

相重合，顯然說明了圓的軸對稱性.

【詳解】解：將一張圓形紙片沿著它的任意一條直徑翻折，可以看到直徑兩側(cè)的兩個半圓互

相重合，由此說明圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸.

故選：D

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵是掌握圓的對稱軸為直徑所在的直線或

過圓心的直線.

2.D

【分析】連接BC,0B.四邊形內(nèi)角和定理和切線的性質(zhì)求得圓心角NAOB=140。，進而求

得NBOC的度數(shù)；然后根據(jù)“同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半”可以求得

ZBAC=-ZBOC.

2

【詳解】解：連接BC,0B,

???PA、PB是的切線，A、B為切點，

.-?zOAP=zOBP=90o；

而NP=40°（已知），

.?.ZAOB=180°-ZP=140°,

.■,ZBOC=40°,

:.NB4C=gNBOC=20。（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），

故選D.

【點睛】本題考查了切線的概念，圓周角定理，四邊形內(nèi)角和定理求解.

3.C

【詳解】過點C作CD1/O于點。，

?20=30°,OC=6,

:.DC=3,

???以點C為圓心，半徑為3的圓與04的位置關(guān)系是：相切.

故選C.

答案第1頁，共16頁

A

D

-------------------------B

4.B

【分析】根據(jù)直徑的定義對A進行判斷；根據(jù)等弧的定義對B進行判斷；根據(jù)等圓的定義對

C進行判斷；根據(jù)半圓和等弧的定義對D進行判斷.

【詳解】解：A、直徑是圓中最長的弦，所以選項的說法正確，不符合題意；

B、在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，所以選項的說法錯誤，符合題意；

C、面積相等的兩個圓的半徑相等，則它們是等圓，所以選項的說法正確，不符合題意；

D、半徑相等的兩個半圓是等弧，所以。選項的說法正確，不符合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查了圓的認識，解題的關(guān)鍵是掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、

半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）.

5.C

【分析】本題主要考查圓錐的底面半徑問題，熟練掌握弧長公式及圓錐的特征是解題的關(guān)鍵；

由題意易得圓錐的底面圓的周長等于側(cè)面展開圖的弧長，進而問題可求解

【詳解】解：由題意得：扇形的弧長為上?1=6萬，

1X。

，圓錐的底面半徑為6乃+2%=3,

故選C.

6.C

【分析】本題考查了圓周角定理，由直徑所對的圓周角為90度得出=90。，再求出

/BAC=20。即可得解，熟練掌握圓周角定理是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,.弘8是。。的直徑，

???//CB=90。，

???ZABC=70°,

ABAC=90°-/ABC=20°,

ZBDC=ZBAC=20°,

故選：A.

答案第2頁，共16頁

7.B

【詳解】試題分析：設母線長為R,底面半徑為r,

???底面周長=2兀1*,底面面積=兀心，側(cè)面面積=兀爾，

,側(cè)面積是底面積的2倍，

???27ir2=7irR,

??.R=2r,

設圓心角為n,有；^~=2?！?很，

180

.?.11=180°.

故選B.

考點：圓錐的計算

8.B

【分析】連接PA,PB,PC,過P作PD1AB于D,PEly軸于E,根據(jù)圓周角定理得到NAPB=120°,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到“AB=NPBA=30。，由垂徑定理得到AD=BD=3,解直角三角形

得至IJPD=G，PA=PB=PC=26,根據(jù)勾股定理得到CE=/PC?一=&2一4=2后,于是

得到結(jié)論.

【詳解】連接PN,PB,PC,過P作于。，PE工BC于E,

NACB=60°,

ZAPB=120°,

■：PA=PB,

NPAB=NPBA=30°,

”(-5,0),8(1,0),

AB=6,

AD=BD=3,

答案第3頁，共16頁

：.PD=8,PA=PB=PC=2y/3,

PDA.AB,PE1BC,ZA0C=9Q°,

.?.四邊形尸￡0。是矩形，

0E=PD=y/3,PE=OD=1,

■■CE=^PC2-PE2=V12-4=2V2，

■■OC=CE+OE=242+43,

.??點C的縱坐標為20+6.

故選B.

【點睛】本題考查了圓周角定理，坐標與圖形性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，正確的作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】連接0A,0B.根據(jù)圓周角定理和四邊形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】連接04,OB,

■.■PA.尸8切于點4、B,

?,2PAO=Z-PBO=90°,

由圓周角定理知，^AOB=2^ACB=130°,

???"尸5=360。-Z.PAO-LPBO-々05=360。-90°-90°-130°=50°.

故選：B.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、以及四邊形的內(nèi)角和為360度.

10.A

【詳解】解：連接BD,B-D,

?；AB=5,AD=12,

???BD=6+122=]3

nn，907rxi313%

1802

答案第4頁，共16頁

90萬x12

?；BB=671，

180

.??點B在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長是：

故選A.

考點：1.弧長的計算；2.矩形的性質(zhì)；3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

11.125°

【分析】首先在優(yōu)弧AC上取點D,連接AD,CD,由由圓周角定理，可求得NADC的度數(shù),

再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補，即可求得/ABC的度數(shù).

【詳解】如圖，在優(yōu)弧AC上取點D,連接AD,CD,

2

NABC=1800-ZADC=125°,

故答案為125°.

【點睛】本題考查了圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)

鍵.本題還要注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.

12.4

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，30。角所對直角邊是斜邊的一半，由OP的圓心在射線04

上，根據(jù)題畫出圖形，再根據(jù)切線的性質(zhì)和30。角所對直角邊是斜邊的一半即可求解，熟練

掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：:。尸的圓心在射線。4上，

如圖，當OP移動到OP位置時，0P與直線CD相切于點￡,

D

答案第5頁，共16頁

則PELCD,

■：ZAOD=30°,

.?.OP=2PE=2xl=2（cm）,

4P=6-2=4（cm）,

此時f=4s,

故答案為：4.

13.18

【分析】過尸作的垂線，交4B、DE分別為H、K,連接8。，過點C作CGLAD于

G,由正六邊形的性質(zhì)可知AF//CD,BC//EF,且點尸到4尸與CO的距離和

及尸到屏\2c的距離和均為”的長，再由銳角三角函數(shù)的定義可求出2G的長，進而可

求出的長，則點尸到各邊距離之和為38。，即可得解.

【詳解】如圖所示：過尸作N8的垂線，交4B、DE分別為H、K,連接HD,過點C作

CGJL8。于G,

?.?六邊形ABCDEF是正六邊形，

AB//DE,AF//CD,BC//EF,且P到4尸與CD的距離和及尸到ER8c的距離和均為

期的長，

???BC=CD,ZBCD=NABC=ZCDE=120°,

ZCBD=ZBDC=30°,

BD//HK,且BD=HK,

???CG1BD,

■■BD=2BG=2xBCxcosZCBD=2x2y/3x—=6,

2

???點P到各邊距離之和為38。=3x6=18,

故答案是：18.

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓及銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)題

答案第6頁，共16頁

意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解時是解答此題的關(guān)鍵.

14.能

【分析】先設出過48兩點函數(shù)的解析式，把N(3,0)、B(0,-4)代入即可求出其解析

式，再把C(2,-3)代入解析式看是否與4,2兩點在同一條直線上即可.

【詳解】設經(jīng)過8兩點的直線解析式為夕=船+6,

由/(3,0)、B(0,-4),得

州+6=0

[b=-4，

k=i

解得'3,

b--4

4

所以直線的解析式為y=§x-4,

44

當x=-2時，y=yx2-4=---3,

所以/、B、C三點不共線，

所以經(jīng)過/、5、C三點可以確定一個圓，

故答案為：能

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，判斷過三點能否確定一個圓，熟練掌握和靈

活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵

15.2

【分析】本題考查了圓錐的計算，首先求得展開之后扇形的弧長也就是圓錐的底面周長，進

一步利用弧長計算公式求得圓錐的底面圓的半徑r.

【詳解】解：由題意得：母線長/為6cm,0=120。，

???r=2cm,

故答案為：2.

16.112.5°

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”，熟練掌握圓內(nèi)接四邊

形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.設N/=2x,N8=3x,NC=6x,先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得

Z^+ZC=180°,Z5+ZD=180°,求解出X的值，即可得到48,進而可求ND.

【詳解】解：設=2x,=3x,ZC=6x,

答案第7頁，共16頁

???四邊形45CQ是圓內(nèi)接四邊形,

??.N/+/C=2x+6x=180。，ZB+ZD=180°,

vx=22.5°,

??.ZB=22.5°x3=67.5。,

ZZ）=180°-Z5=112.5°

故答案為：112.5°.

17.空

3

【詳解】試題分析：首先根據(jù)題意，可得窟=前=就，然后根據(jù)圓的周長公式，求出直徑

是2m的圓的周長是多少；最后用直徑是2m的圓的周長除以3,求出定的長是多少即

可.

解：根據(jù)題意，可得意=筋=北，

---9JU

.??AB=2兀+（m）,

o

即源的長是筌m.

J

故答案為畔.

o

考點：弧長的計算.

18.4也

【分析】本題主要考查了圓周角定理，軸對稱-最短路線問題，解決線路最短問題的方法是:

作出其中某一點關(guān)于直線的對稱點，連接對稱點與另一點的線段即為最近距離.依據(jù)是利用

垂直平分線性質(zhì)轉(zhuǎn)移線段，利用兩點之間線段最短求最近距離.首先要確定點尸的位置，

作點C關(guān)于4B的對稱點F,連接CF,交4B于點P,則點P即為所求作的點.且此時尸C+PD

的最小值為CF,由直角三角形性質(zhì)及勾股定理即可求得最小值.

【詳解】解：如圖，作點。關(guān)于的對稱點R連接CF,與48交于點P,連接。尸.

■.DP=FP,

：.FP+PC^DP+CP,

答案第8頁，共16頁

CF的值就是PC+PD的最小值.

延長C。，與圓。交于點E,連接巫.

?；//0C=96。，

ZBOC=84°,

???弧5c的度數(shù)為：84°,

■■ZBOD=36°,

???弧2。的度數(shù)為36。，

二弧5尸的度數(shù)為36。，

二弧。尸的度數(shù)為：84。+36。=120。，

ZCEF=60°,

又TCE是直徑，

ZCFE=90°,

???OO的半徑為4,

.?.CE=8,

在RtZ\CE尸中，EF=LCE=4,

2

■■CF=A/82-42=473，

即PC+PD的最小值為4V3.

故答案是：4G.

19.（1）見解析；（2）2H

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向找出各點的對稱點，順次連接即可;

（2）根據(jù)扇形的面積公式求解即可.

【詳解】（1）如圖所示，△ABC即為所求;

答案第9頁，共16頁

???S=90.叩近）L兀.

360

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)作圖的知識，難度不大，注意掌握旋轉(zhuǎn)作圖的三要素，旋轉(zhuǎn)中心、旋

轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度.

20.V41cm

【詳解】試題分析：連接。C,N5為切線，所以有OCL42,根據(jù)題意，得C為八的中

點，即NC=5c加，根據(jù)勾股定理即可得出04的長度.

試題解析：解：連接。C.與。。相切于點C,.?.OC14B.???04=02,以。=3。=5.在

RtA40c中，OA=dAC?+OC?=飛52+4。=而（。加）?

答：O/的長為"icwi.

21.（1）見解析；（2）66—2乃

【分析】（1）連接OC.根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)即可求得NCOP=22C<9=60。,

由NC=CP可求得"=30。，從而可得//CP=120。，即可得NOCP=90。，從而證明；

答案第10頁，共16頁

(2)陰影部分的面積即為RtAOCP的面積減去扇形OCB的面積.

【詳解】(1)連接01

是。。的直徑，

：-AO=OC,

山以9=乙4=30。，

.?ZCOP=2乙4co=60。,

?：AC=PC,

山=ZP=3O。，

.?.Z^CP=180°-Z^-ZP=120°,

??.ZOCP=ZACP-ZACO=120°-30°=90°,

???CP是。。的切線；

oc

(2)在RtN9C尸中，tanzP=—,

oc=2V3,

■：S^OCP=ICP?OC=1X6X2A/3=6V3MS.COB=2n,

'''S陰g^SQCP-S扇/COB=6C-2兀.

【點睛】本題考查了扇形面積的計算，切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識,

連接半徑是解決切線問題常作的輔助線.

22.(1)作圖見解析；(2)圓的半徑為13cm.

【分析】(1)由垂徑定理知，垂直于弦的直徑是弦的中垂線，故作/C,8c的中垂線交于點

O,則點。是弧NC2所在圓的圓心；

(2)在RtAOAD中，由勾股定理可求得半徑OA的長.

【詳解】解：(1)作弦/C的垂直平分線與弦的垂直平分線交于。點，

以。為圓心。4長為半徑作圓O就是此殘片所在的圓如圖.

答案第H頁，共16頁

b

OD=(x-8)cm,

則根據(jù)勾股定理列方程：x2=122+(x-8)2,解得:x=13.

答：圓的半徑為13c/?.

【點睛】本題考查的是垂徑定理和勾股定理的應用，垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角

三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題.

23.解：(1)如圖1,點P就是所求作的點.

圖1

(2)如圖2,CD為AB邊上的高.

圖2

【詳解】試題分析：(1)圖1點C在圓外，要畫三角形的高，就是要過點B作AC的垂線,

答案第12頁，共16頁

過點A作BC的垂線，但題目限制了作圖的工具(無刻度的直尺，只能作直線或連接線段),

說明必須用所給圖形本身的性質(zhì)來畫圖，作高就是要構(gòu)造90度角，顯然由圓的直徑就應聯(lián)

想到“直徑所對的圓周角為90度”，設AC與圓的交點為E,連接BE,就得到AC邊上的高

BE；同理設BC與圓的交點為D,連接AD,就得到BC邊上的高AD,則BE與AD的交點就

是4ABC的三條高的交點.

(2)由(1),我們能夠作出AABC的三條高的交點P,再作射線PC與AB交于點D,則

CD就是所求作的AB邊上的高.

24.⑴見解析

(2)空

3

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得到/OAD=N0BC+NDBC=9O。，再根據(jù)圓周角定理得到

ZACB=ZOCA+ZOCB=90°,力口上/02C=/0C2,于是利用等量代換得到結(jié)論；

(2)利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系結(jié)合勾股定理得到=空，然后證明

3

ZD=ZCBD=30°得到CO=C8即可.

【詳解】(1)證明：:DB是。。的切線，

：.BD,LAB,

NOBD=AOBC+NDBC=90°.

?MB是。。的直徑，

ZACB=ZOCA+ZOCB=90°.

???OC=OB,

NOBC=ZOCB.

ADBC=AOCA■

(2)解：在中，

???//=30。，AC=2,

.-.CB=-AB,

2

■■AB2=AC2+BC2,

,,r_2V3

33

???//=30。，

；,/COB=2ZA=60。，

答案第13頁，共16頁

NO=90。一"08=30。,

-OA=OC,

.?.Z(9C4=Z4=30°.

??.ZDBC=ZOCA=30°,

???/D=/DBC.

:?CB=CD.

■-CD=—.

3

【點睛】本題考查了圓的知識，涉及切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)以

及含3