黑龍江省牡丹江市部分學(xué)校2025屆高三年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

牡丹江市省級(jí)示范高中2024-2025學(xué)年度高三期中

數(shù)學(xué)試卷

考試時(shí)間：120分鐘分值：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選

項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1,若（2-2i）z=i,貝］.=（）

.11.11.11.11.

A.—1—1B.-----------1C.-------iD.------1—i

44444444

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得z=-L+』i,再根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的概念分析判斷.

'44

.i(2+2i)=

【詳解】因?yàn)閯t

(2—2i)z=i'Z=2-2](2-2i)(2+2i)44'

所以亍=一工一工1.

44

故選B.

2.從1984年第23屆洛杉磯夏季奧運(yùn)會(huì)到2024年第33屆巴黎夏季奧運(yùn)會(huì)，我國(guó)獲得的夏季奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)

依次為15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40,這11個(gè)數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是（）

A.16B.30C.32D.51

【答案】C

【解析】

【分析】將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法即可求解.

【詳解】把11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51,

因?yàn)?1x60%=6.6,這11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列第7個(gè)是32.

故選：C.

3.如圖，在A/BC中，NA4C=120°,Z8=2,ZC=l,。是8C邊上靠近8點(diǎn)的三等分點(diǎn)，E是邊上

的動(dòng)點(diǎn)，則五百.函的取值范圍為（）

A

V7”一f-_4W-__47'

A.，B.，c.D.

7373L33_L33J

【答案】C

【解析】

【分析】先用余弦定理求出|石斗，再將向量用基底/，方表示，借助向量運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

AS|2+M2TM2

【詳解】由cos/8ZC=解得|而|=J7.

2

設(shè)醞=x屈

則

—?—?/—?——?/—?—?、2—?2—?—?2—>2

AE-CD=(AC+CEyCD=(AC+ACBj-CB=-AC-CB+-ACB

2—■—■2--214414410

=-ACAB——AC+—2=——+—2e5

333333T

故選：C

4.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小

滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，前三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為28.5尺，最后

三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為1.5尺，今年3月20日17時(shí)37分為春分時(shí)節(jié)，其日影長(zhǎng)為（）

A.4.5尺B.3.5尺C.2.5尺D.1.5尺

【答案】A

【解析】

【分析】由題意構(gòu)造等差數(shù)列{%},設(shè)公差為d,利用基本量代換求出通項(xiàng)公式，然后求啊.

【詳解】小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)構(gòu)

成等差數(shù)列{%},設(shè)公差為亂由題意得：

%+2+%=28.5

+%]+=1.5

為=10.5

解得：\,

所以%=為+（〃一l）d=11.5-〃，

所以％=11-5—7=4.5,

即春分時(shí)節(jié)的日影長(zhǎng)為4.5.

故選：A

【點(diǎn)睛】(1)數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：

求解應(yīng)用性問題時(shí)，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語

言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

(2)等差(比)數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換.

5.若函數(shù)/(乃=1080」(12-狽)在區(qū)間(3,6)上單調(diào)遞增.則。的取值范圍是()

A.(—8,0)B,(-2,0)C.(0,2)D.(0,2]

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合復(fù)合函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域計(jì)算求解.

【詳解】/(x)=log01(12-?x)在區(qū)間(3,6)上單調(diào)遞增，令，=g(x),y=log。./單調(diào)遞減，

則g(x)=12-辦在區(qū)間(3,6)上單調(diào)遞減且恒為正，

所以a>0且g(6)=12—6。20,所以0<。42.

故選：D.

6.已知tan6,是一元二次方程必+"—5=0的兩個(gè)根，貝U。=()

A.6A/3B.-673C.473D.-473

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得tan。+tan=-a,tan0tan=-5,再利用兩角和的正

切公式可求出a的值.

【詳解】因?yàn)閠an。，tan是一元二次方程X2+(ZX-5=0的兩個(gè)根,

顯然A=a2+20〉0，所以tan，+tan=-a,tan0tan

所以a=6-\/3.

故選：A.

7.已知函數(shù)/(x)=13+3x+l,若關(guān)于x的方程/(5加)+/(加+851)=2有實(shí)數(shù)解，則加的取值范圍

為()

A.[-1,V2]B,[-1,1]C.[0,1]D.[-V2,V2]

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)g(x)=/(x)—l=x3+3x,利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把/(sinx)+/(加+COSX)=2轉(zhuǎn)化

成加二-sinx-cosx,再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求加的取值范圍.

【詳解】令g(x)=/(x)—l=d+3x,貝常'(》)=3/+3〉0恒成立，則g(x)在R上單調(diào)遞增，且g(x)

是奇函數(shù).

由/(sinx)+/(加+cosx)=2,得/(sinr)-l=—[/?！?cosx)—1],ipg(sinx)=g(-m-cosx),

從而sinx=-m-cosx,即加=-sinx-cosx=-V2sin(x+^-Je[一后，行]

故選：D

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)g(x)=/(x)-l=d+3x,可得函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)g(x)的

單調(diào)性，把/(5血)+/(加+(：05%)=2轉(zhuǎn)化成加=—52-?08%,再求加的取值范圍.

8.若函數(shù)/(》)=1一一2、/5%+；加卜111：加x—|■)加eN*)在[0,4]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的m

的個(gè)數(shù)是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】就加＞8、加=8、1W加48分類，每種情況結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得其取值范圍.

【詳解】令/（'）=0，則x2-2A/2X+—m=0或sin］,加工一三］=0,

4143）

由A=（-2夜）—m=8—m,

當(dāng)加〉8時(shí)，y=x2-2行工+；加在［0,4］上沒有零點(diǎn)，

則y=sin；加x-0）在［0,4］上應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn)，

l,r1兀兀71/兀C口「7兀，1071

因?yàn)橐患覺---€—,m——,所以2兀V加——<3兀，即——<m<---，

4333J333

與加〉8聯(lián)立得8＜加＜—,因?yàn)榧觲N*，所以機(jī)的值依次為9,10；

當(dāng)加=8時(shí)，歹=/一2立:+；加在［0,4］上有1個(gè)零點(diǎn)正，

y=sin'x-g］在［0,4］上有3個(gè)零點(diǎn)0,§,詈，不滿足題意；

當(dāng)1K加＜8時(shí)，y=/-2行》+,加在［0,4］上有2個(gè)零點(diǎn)，

4

故了=sin］；加x-/］在［0,4］上應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)橛胑N*，所以該零點(diǎn)與y=x?-2后工+,加的零點(diǎn)不相同，

,4

所以一女＜兀，即巴〈加〈史，與1K加＜8聯(lián)立得四

33333

因?yàn)榧觘N*，所以掰的取值依次為2,3,4,綜上得符合條件的加的個(gè)數(shù)是5.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知向量值=（一2,1）,b=（/,-1）?則（）

A.若值16，則，=——B.若之，b共線，則t——2

C.3不可能是單位向量D.若f=0,則12萬—，=5

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系、向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算判斷AB；利用單位向量的意義判斷C,

利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及利用坐標(biāo)求模判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由彳工6，得萬,b=-2t—1=0,解得％=—5，A正確；

對(duì)于B,由a,B共線，得—2x(—1)—11=0,解得/=2,B錯(cuò)誤；

對(duì)于c,當(dāng)/=0時(shí)，B是單位向量，c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)/=0時(shí)，21—3=(—4,2)—(0,—1)=(—4,3),貝125一,=5,D正確.

故選：AD

10.在等比數(shù)列｛%｝中，％%=2,°3=4,貝(1()

A.｛%｝的公比為亞B.｛%｝的公比為2

C.。3+生=20D.數(shù)列＜log,—＞為遞增數(shù)列

〔'an\

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)題意，列出等式求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后逐一判斷即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,

a、q=2,a.-1,.

依題意得412解得4C所以%=2,

,/=4,[q=2,

故%+%=2?+24=20,故BC正確，A錯(cuò)誤；

對(duì)于D,10g2—=l-",則數(shù)列l(wèi)og,一卜為遞減數(shù)列，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.已知函數(shù)/(%)=6工，g(x)=lnx,若/(x),g(x)的圖象與直線/：y=qx+4分別切于點(diǎn)Z(XQJ,

=aX+b

B（x2,歹2）（再＞%），與直線l2-y22分別切于點(diǎn)C,D,且/一，2相交于點(diǎn)P(Xo，%)，則()

Xj+1

A.x-Inx=0B.eX1

r2X]—1

C.>2-a

2D.xo+yo>-^—^

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)公切線的有關(guān)概念判斷為與馬的關(guān)系，可判斷A、B選項(xiàng)的真假；根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

的圖象的對(duì)稱性，可判斷公切線斜率的關(guān)系，結(jié)合基本不等式，判斷C的真假；也可求兩條公切線的交點(diǎn)，

判斷D的真假.

【詳解】由題意得/'(x)=e，,g'(x)=-,所以q=r(xJ=g〈X2)="")―g(/),即

X%1-X2

Ie項(xiàng)一Inx1

4=e/=一=--------由e*=一,整理得再二一111工2，且In%。。，A錯(cuò)誤;

x2Xj-X2X2_一

I—Inxx+1

把％=丁，In%=—X],代入d=------Z,整理得6%=^7,B正確;

x,

ex1-x2X)-1

Y-L1

分別作出y=e*與y=——的圖象如下:

x-1

兩圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以/(x)圖象上的切點(diǎn)有2個(gè)，即/(x)與g(x)的公切線有2條.

因?yàn)?(x)，g(x)的圖象關(guān)于直線V=x對(duì)稱，所以點(diǎn)2伍,9)&W0)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為

D(e*,X]),q=e*,%=g'(e~)———，/+出=e"——>2,C正確；

因?yàn)橹本€48,CQ關(guān)于直線V=x對(duì)稱，則點(diǎn)尸就是直線48與直線V=x的交點(diǎn)，

直線Z8的方程為>—e』=e』(x—七)，與y=x聯(lián)立得》=止3

eX1-1

(XiT)e"2(萬-1)鏟

所以%=%=所以/+為

eX1-1eX1-l

項(xiàng)+1=1+^—

由。國(guó)且石〉可得1<<2,

再一1X]一]

92

設(shè)/z(x)=(x—l)e%l<x<2),貝!I〃(x)=xe，〉0,所以/z(x)<〃(2)=e?,所以/+為<―P^,D錯(cuò)誤.

eX1-1

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（i）同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，這一

性質(zhì)的應(yīng)用在判斷D選項(xiàng)時(shí)很重要.

（2）看到不等式，就要想到求代數(shù)式的最值，常見的最值的求法有：第一：與二次函數(shù)有關(guān)的最值問題的

求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值；第三：利用三角函數(shù)的有界性求最值.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12已知平面向量比，亢滿足歷?萬=3,且而J_（玩一2萬），則網(wǎng)=.

【答案】V6

【解析】

【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律和向量垂直的表示直接計(jì)算即可得解.

【詳解】因?yàn)閼?yīng)_L（應(yīng)一2萬），

所以成?（應(yīng)一2方）=0,則比2=2比.力=6，

所以網(wǎng)=布.

故答案為：^6?

13.若c,且cos2a=cos[a+[],則￡=.

TT

【答案】方

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，求出sin[（z+；]=；,根據(jù)celgoj即可求解.

【詳解】由cos2a=cos[a+，得cos%-sin2a=^^（cosa-sina）.

因?yàn)樗詂osa—sinaw0,貝Ucosa+sina=，則sin[a+z]=5.

由得則a+：=g,解得&=—三.

k2J4（44j4612

TT

故答案為：——.

12

S?3n+2

14.設(shè)S〃，4分別為等差數(shù)列｛詼｝,｛兒｝的前〃項(xiàng)和，且U=一1設(shè)N是直線8C外一點(diǎn)，尸是直線8c

T?4〃+5

上一點(diǎn)，且彳萬=華氏方+24則實(shí)數(shù)2的值為

a

【答案】-二9

25

【解析】

【分析】運(yùn)用三點(diǎn)共線向量公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】依題意，B,C,P三點(diǎn)共線，

<7,+a.a.

:+2=1,'.A—1—2x-

b3b3

依口頁(yè)音色_2%/+%_（%+生）義3_55-3X5+2_17

依鵬丁友一而T—^工一…一百

.?.A=l-2x—=--

2525

9

故答案為：----

25

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題需要熟練掌握三點(diǎn)共線向量公式，以及等差數(shù)列的求和公式的逆運(yùn)用.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知等比數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為‘，出=9，=39.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）若數(shù)列｛%,-〃｝是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和0

【答案】（1）%=3"

3"M—3/+〃—3

(2)“=3"-3〃+2,T,,

2

【解析】

【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為q,公比為q,依題意得到關(guān)于％、q的方程組，解得%、q,即

可求出通項(xiàng)公式;

（2）依題意可得”=3"-3〃+2,利用分組求和法計(jì)算可得.

【小問1詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為q,公比為q,

a=27

a.q=9=3x

根據(jù)題意可得2cc，解得｛c或《1

ax+a｛q+axq~=39=3Q=~

a,=3

因?yàn)榈缺葦?shù)列｛為｝為遞增數(shù)列，所以?,

q=3

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=3".

【小問2詳解】

因?yàn)閿?shù)列｛%-"｝是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，

所以a“-或=1+3(〃-1)=3〃一2,

所以“=3"-3〃+2,

所以北=(3+9+27+--+3")-(1+4+7+--+3〃-2)

_3(1-3")_"(1+3〃-2)_3什1_3"+〃_3

-1-32=2'

16.在銳角V48c中，內(nèi)角4民C的對(duì)邊分別為"c,且@=9;二/1.

cb~-ac

(1)證明：B=2C.

(2)若點(diǎn)。在邊ZC上，且CD=BD=4,求。的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)(4枝,4百).

【解析】

【分析】(1)化簡(jiǎn)已知等式結(jié)合余弦定理可得a=c(l+2cos5),再利用兩角和的正弦公式即可證明結(jié)論;

(2)由已知條件結(jié)合正弦定理可得BC=8cosC,根據(jù)銳角V48C確定角C的范圍，即可求得答案.

【小問1詳解】

證明：因?yàn)?=所以a/一°2c=/c—03，

cb-ac

整理得/(Q—C)=C(Q+0(Q—C).

又所以a—cwO,從而〃=ac+c2=a2+c2-2accosB，

整理得a=c(l+2cosS),則siM=sinC(1+2cos5).

由siiU=sin（5+C）=sinficosC+cosSsinC,得siaScosC一cosBsinC=sinC，

即sin（B—C）=sinC,結(jié)合銳角V4BC中，5-Ce（-|,|）,

則5—C=C,即5=2C.

【小問2詳解】

如圖，由CD=5。，可得乙4cB=NDBC,則/BDC=兀―2/ZC8.

BCBD

在△BCD中，由正弦定理得

sinNBDCsin^BCD

BDsinNBDC4sin2C

整理得8C==8cosC.

sin^BCDsinC

o<Y，

因?yàn)?=2C,且VZBC是銳角三角形，所以《0<2C<?解得畀°苦，

71

0<7i-3C<-,

2

則也<cosC<立，

22

從而472<8cosC<4G，即a的取值范圍為(4亞,4行).

17.18世紀(jì)早期英國(guó)牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的數(shù)學(xué)家泰勒(BrookTaylor)發(fā)現(xiàn)的泰勒公式(又稱麥

克勞林公式)有如下特殊形式：當(dāng)f(x)在x=0處的〃(〃eN*)階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，

/W=/(o)+r(o)-x+~~~~~~'X?+――,?*3+...+―――■?X“+...?其中，/0)表示/(X)的二

階導(dǎo)數(shù)，即為f'(x)的導(dǎo)數(shù)，/⑺(x)(〃23)表示/(x)的〃階導(dǎo)數(shù).

(1)根據(jù)公式估計(jì)cosg的值；(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)

.X3X5X77xn-\X2w-1,x3

(2)由公式可得：sinx=+(-1)------+,當(dāng)x〉0時(shí)，請(qǐng)比較sinx與x------

3!5!7!(2〃-1)!6

的大小，并給出證明;

1

sin

（3）已知〃eN，證明:、、幾十k）1

￡ln（〃+左+l）-ln（〃+左）12〃+9

【答案】（1）0.88

Y

（2）sinx>x-----，證明見解析

6

（3）證明見解析

【解析】

2468

【分析】（1）根據(jù)泰勒公式求得cosx=l-土+土-土+——，賦值即可求得近似值;

2!4!6!8!

（由

（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=sinx-X-—（x>0）,利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，即可證明；

[6J

.（1）

sin-------/

（）根據(jù)（）中所得結(jié)論，將目標(biāo)式放縮為）

32---------\-n--+--k--------〉[---1-1------1------------1-----

ln（〃+左+l）-ln（〃+左）3（2〃+2左一12〃+2左+1

再裂項(xiàng)求和即可證明.

【小問1詳解】

記/（x）=cosx,則/'（X）=一sinx=_co&xJ⑶（x）=sinxJ⑷（X）=cosx,

1X2X4X6X8

/.cosx=l------+-----------+——

2!4!6!8!

所以l

cos—

2

2k2k+22k+22k+2

因?yàn)镮

-@--r->-r---a>0'

（24）?。?后+2）!（2后）?。?后+2）!>r（2左+2）!

所以

I—=0.875<cos—<I------1-----------<0.878,cos—~0.88.

82816x242

【小問2詳解】

令g(x)=sinx-x-----(x>0),貝！Jg'(x)=cosx_]+_x2,g"(x)=_sinx+x,g(x)=]—cosx,

I6J2

g"(X)>0恒成立，，g"(x)在(o,+。)遞增，.二g"(x)>g"(O)=0,gr(x)在(o,+8)遞增，

C3、

???g'(x)>g'(o)=o,，g(x)在(0,+8)遞增，g(x)=sinx—x-^—>g(0)=0,

I6J

V

即sirix>x-----.

6

【小問3詳解】

由題，〃eN+，lWkW〃，則0<—1—<i,則sin[^——一工(^—]>0,

n+k\n+k)n+k6\n+k)

x

令9(x)=ln(x+l)-x,9‘(x)=—--1=-

x+1x+1

易得9（X）在（TO）上遞增,在（o,+。）上遞減，從而9（力49（0）=0,

即ln（x+l）V式當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)）,

11

0<ln(〃+化+1)—ln(〃+左)=In1+<

n+kn+k

_________1_________

即ln(〃+A;+l)-ln(〃+人)>n+k>0,

sin]」—]

\n+k)

(72+k)1-------------7

ln(〃+《+l)-ln(〃+A;)6(〃+左)2

a1〉1二__1__=1-2__________1__________

6(2〃+2左)23(2〃+24)2—13(2〃+2左一l>(2〃+2左+1)

312〃+2左一12n+2k+1J

sin,

y____U±AJ___--------p...-i

￡ln(〃+左+l)-ln(〃+A?)32〃+l2〃+32〃+32〃+5--------47z-l4〃+1

---

3(2〃+l4〃+l

>〃--------9------=〃----------，得證?

318?2+6?）12〃+9

【點(diǎn)睛】本題第三問的處理關(guān)鍵是能夠利用第二問結(jié)論，將原式放縮為

.（1]

________\n+k）1<____1__________1:再利用裂項(xiàng)求和法證明，對(duì)學(xué)生已知條件的

ln（〃+左+l）-ln（〃+左）3\2n+2k-\2〃+2左+1J

利用能力以及綜合應(yīng)用能力提出了較高的要求，屬綜合困難題.

18.某商場(chǎng)為促銷設(shè)計(jì)了一項(xiàng)回饋客戶的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個(gè)紅球和4

個(gè)黑球的袋中任意抽取一個(gè)，若第一次抽到紅球則獎(jiǎng)勵(lì)50元的獎(jiǎng)券，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券；第二

次開始，每一次抽到紅球則獎(jiǎng)券數(shù)額是上一次獎(jiǎng)券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券，記顧客甲第

?次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)券數(shù)額X”（1<?<6）的數(shù)學(xué)期望為E（X“）.

（1）求￡（吊）及男的分布列.

（2）寫出E（X“）與￡（X“T乂〃22）的遞推關(guān)系式，并證明｛E（X"）+50｝為等比數(shù)歹人

（3）若顧客甲一共有6次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求該顧客所得的所有獎(jiǎng)券數(shù)額的期望值.（考數(shù)據(jù)：1.266a2.986）

【答案】（1）￡（區(qū)）=40,分布列見解析；

（2）E（X"）=1.2E（X“T）+10（2W〃<6）,證明見解析；

（3）593.7（元）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件，直接求出萬2的取值及相應(yīng)的概率，再利用期望的計(jì)算公式，即可求出結(jié)果;

（2）根據(jù)條件，建立關(guān)系式￡（萬“）=2￡（丫,1）*0.6+25*0.4,即可求出結(jié)果，再構(gòu)造成

E（X"）+50=1.2（E（X“_i）+50）,利用等比數(shù)列的定義，即可證明結(jié)果；

（3）由（2）得到E（X"）=90xl.2"T—50,即可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

依題意，抽到一個(gè)紅球的概率為2=0.6,抽到一個(gè)黑球的概率為0.4,

10

顯然X]的值為25,50,則尸(&=25)=0.4,尸(福=50)=0.6,

所以E(X])=25x0.4+50x0.6=40,

又占的值為25,50100,

則「匹=25)=0.4,?區(qū)=50)=04x0.6=0.24,「區(qū)=100)=0.6x0.6=0.36,

所以萬2的分布列為:

2550100

P0.40.240.36

【小問2詳解】依題意，當(dāng)〃N2時(shí)，甲第〃次抽到紅球所得的獎(jiǎng)券數(shù)額為2E(X_J,對(duì)應(yīng)概率為0.6,

抽到黑球所得的獎(jiǎng)券數(shù)額為25元，對(duì)應(yīng)概率為0.4,

因此當(dāng)2K〃〈6時(shí)，E(X“)=2E(X“_Jx0.6+25x0.4=\.2E)+10,

)+50=1.2￡(X_J+60,即E(X,J+50=1.2(E(X"T)+50),又￡(Xj+50=40+50=90,

數(shù)列｛E(X“)+50｝為等比數(shù)列，公比為1.2,首項(xiàng)為90.

【小問3詳解】

由⑵得，￡(X")+50=90xl.2"T(l<〃<6),即E(X")=90X1.2'T-50,

所以顧客甲抽獎(jiǎng)6次，所得獎(jiǎng)券數(shù)額的期望為

告.廠、90(1-1.26)490x(1-2.986)__，一、

〉E(Xj=--------------50x6?-----------------300=593.7(兀).

金〃1-1.2-0.2

19.已知/(叼=葉當(dāng)一4L.

(1)求/(x)的定義域；

(2)若/(x)Na恒成立，求。能夠取得的最大整數(shù)值;

68102〃+4,n2+3〃+2/7

(3)證明:-----1-------1---------I-,,?+——：—>In-------------weN

149A?2,

【答案】(1)(0,+”)

(2)1(3)證明見解析

【解析】

【分析】⑴根據(jù)函數(shù)有意義，得到不等式組〈--，構(gòu)造函數(shù)g(x)=_-41nx,通過求導(dǎo)推

x>0

出g(x)2g(行)〉0