函數(shù)的極值（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第13講函數(shù)的極值

（5類核心考點(diǎn)精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第20題,16利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題由導(dǎo)數(shù)求求在曲

分線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）函數(shù)的最值（含參）

2023年天津卷，第20題,16求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究

分不等式恒成立問(wèn)題

2022年天津卷，第20題,16求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題利

分用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零

2021年天津卷，第20題,16求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）

分利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題函數(shù)極值點(diǎn)的辨析

2020年天津卷，第20題,16

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

分

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為16分

【備考策略】1.理解、掌握函數(shù)極值的定義，能夠通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值問(wèn)題

2.能掌握函數(shù)極值與圖像的關(guān)系

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助函數(shù)圖像求解函數(shù)的極值與不等式等問(wèn)題

4.掌握函數(shù)圖像與極值的關(guān)系

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出函數(shù)的解析式求解函數(shù)的極值，或通過(guò)極值求

參數(shù)的取值范圍等。

「立?考點(diǎn)梳理，

函數(shù)極值辨析

求不含參函數(shù)的極值

求含參函數(shù)的極值

由極值求參數(shù)

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.函數(shù)的極值

1.函數(shù)極值的定義：

如圖，函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值/(a)比它在點(diǎn)尤=。附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，/(a)=0；而且在點(diǎn)x

=a附近的左側(cè)尸(x)<0,右側(cè)尸(無(wú))>0.類似地，函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值/(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他

點(diǎn)的函數(shù)值都大，/(6)=0；而且在點(diǎn)尤=6附近的左側(cè)尸(無(wú))>0,右側(cè)尸(無(wú))<0.我們把。叫做函數(shù)y=/(x)的極

小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值;b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),1(6)叫做函數(shù)y=f(尤)的極大值.極

小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

2.函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件：

一般地，函數(shù)y=f(尤)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)取得極值的必要條件.可導(dǎo)函數(shù)y=/(x)

在x=xo處取極大(小)值的充分條件：

①尸(xo)=O；

②在％=尤0附近的左側(cè)尸(加)>0(<0),右側(cè)尸(迎)<0(>0).

3.導(dǎo)數(shù)求極值的方法：

解方程廣(勸=0,當(dāng)/'(xo)=O時(shí)，如果在無(wú)o附近的左側(cè)尸(x)>0,右側(cè)尸(x)<0,那么f(xo)是極大值;如果

在迎附近的左側(cè)廣(x)<0,右側(cè)廣(無(wú))>0,那么f(xo)是極小值.

注意對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)/(x),"f(xo)=O”是“函數(shù)/(力在苫=雙處有極值”的必要不充分條件.

知識(shí)點(diǎn)二.三次函數(shù)的圖象、單調(diào)性、極值

設(shè)三次函數(shù)/(%)=〃%3+加；2+6；+或〃#0),則/XX)=3QN+2bx+c,記/=4抉一1lac=4(/?2—3ac),并設(shè)x\,

X2是方程/(%)=0的根，且

J>0J<0

圖象

在（一GO,Xl）,（&,+◎上單調(diào)遞增；在

單調(diào)性在R上是增函數(shù)

（xi,X2）上單調(diào)遞減

極值點(diǎn)個(gè)數(shù)20

(2)。<0

J>0J<0

1

圖象

1匹X2、元1

在（XI,X2）上單調(diào)遞增；在（一00,X。，（如

單調(diào)性在R上是減函數(shù)

+co）上單調(diào)遞減

極值點(diǎn)個(gè)數(shù)20

考點(diǎn)一、函數(shù)極值辨析

典例引領(lǐng)

'3%,x<0,

1.（2024.北京海淀.二模）函數(shù)/（%）=小；［二是（）

陽(yáng)，%>°

A.偶函數(shù)，且沒(méi)有極值點(diǎn)B.偶函數(shù)，且有一個(gè)極值點(diǎn)

C.奇函數(shù)，且沒(méi)有極值點(diǎn)D.奇函數(shù)，且有一個(gè)極值點(diǎn)

2.(23-24高三下?四川巴中?階段練習(xí))函數(shù)/(x)=-2cos(o>x++1(3>0)相鄰極值點(diǎn)的距離為:，則3為

()

A.3B.4C.1D.2

即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?遼寧.三模)下列函數(shù)中，既是定義域上的奇函數(shù)又存在極小值的是()

A./(%)=%sin%B./(%)=%+：

-1

C.f(x)=e*+2D./(x)=|x+l|-|x-l|

e

2.(2024?江西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(久)=sinwx+V3coso>x(a)>0)在區(qū)間(。,兀)上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)刈不，

則/(向+冷)的值為()

A.1B.V3C.-V3D.2

3.(23-24高三下?廣東廣州?階段練習(xí))“均是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)”是?0)在久。處導(dǎo)數(shù)為?！钡?)

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

考點(diǎn)二、求不含參函數(shù)的極值

典例引領(lǐng)

1.(2017.全國(guó)?高考真題)若x=—2是函數(shù)f(x)=(x123+ax-1)1-1的極值點(diǎn)，則/。)的極小值為.

-3-3

A.-1B.-2eC.5eD.1

2.(2024?全國(guó)?高考真題)2知函數(shù)f(%)=(1-ax)jn(l+%)-%.

(1)當(dāng)a=-2時(shí)，求/(%)的極值；

(2)當(dāng)久之0時(shí)，f(x)>0,求a的取值范圍.

1.(2024?甘肅張掖?三模)已知函數(shù)/(%)=『—Ex—^圖象在％=2處的切線斜率為*

(1)求a；

(2)求函數(shù)/(久)的單調(diào)區(qū)間和極大值.

2.(2024?江蘇?三模)已知函數(shù)f(%)=ax-2sjn%,%e(0,兀).

(1)若a=1,求/(%)的極小值；

(2)若/(%)是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.

3.(23-24高三上?廣東江門?開學(xué)考試)已知函數(shù)f(%)=a/—6%+m%,(0beR).

(1)若a=l,b=3,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；

(2)若b=0時(shí)，不等式/'(%)<。在［1,+8)上恒成立，求參數(shù)a的取值范圍.

4.(23-24高三上?天津?期中)已知函數(shù)/(%)=4K3—3——18*+27,xeR.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)求f(x)在區(qū)間［0,3］上的最大值與最小值.

5.(24-25高三下?重慶?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=\nx+x12-kx+1在點(diǎn)(2,(⑵)處的切線Z與直線3久-2y=

0平行.

(1)求k的值及切線/的方程；

(2)求/(乃的單調(diào)區(qū)間和極值.

考點(diǎn)三、求含參函數(shù)的極值

典例引領(lǐng)

x+1

1.(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=(ax—l)e+3(aW0).

⑴求f(%)的極值；

(2)設(shè)a=l,若關(guān)于％的不等式/(%)工(b-l)e*+i-久在區(qū)間［一L+8)內(nèi)有解，求b的取值范圍.

2

2.(24-25高三上?上海?單元測(cè)試)已知/(%)=-|ax+%-jn(l+%),其中a>0.

(1)若函數(shù)/(%)在第=3處的切線與久軸平行，求a的值；

(2)求/(%)的極值點(diǎn)；

⑶若f(%)在［0,+8)上的最大值是0,求a的取值范圍.

xx

1.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(汽)=e-ax+2(aGR),g(%)=xQ+3.

⑴求函數(shù)/(%)的極值；

(2)當(dāng)久NO時(shí)，/(%)<g(%)恒成立，求證：a>0.

2.(2024?山東威海?二模)已知函數(shù)/(%)=In%—ax+1.

⑴求/(%)的極值；

x

(2)證明：In%+%+1<xQ.

32

3.(20-21高三上?四川宜賓?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(%)=-|x+/+(m-1)x(%eR),其中zn>0.

⑴當(dāng)租=1時(shí)，曲線y=/(%)在點(diǎn)處的切線斜率;

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

4.⑵-24高三上?安徽合肥?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=［-binx.

(1)當(dāng)b>0時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值

(2)若f(x)在區(qū)間(1^2］內(nèi)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍.

5.(23-24高三上?廣東深圳?階段練習(xí))已知f(x)=ax-lnx,aER.

⑴討論/(久)的單調(diào)性和極值；

(2)若xe(0,9時(shí)，〃久)43有解，求a的取值范圍.

考點(diǎn)四、由極值求參數(shù)

典例引領(lǐng)

1.(24-25高三下?重慶?階段練習(xí))若函數(shù)/0)=(a/+切丁在x=1時(shí)有極小值—2e，則ab=()

A.-2B.-3C.—eD.-1

2.(2024.重慶.模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(久)=/一x+alnx有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A?("B.(詞C,(-oo,0D.(-oo)!］

.即時(shí)__檢__測(cè)___

1.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知f(x)=/+aln(l-x)

(1)若/'(x)在久=0處的切線平行于x軸，求a的值；

(2)若存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

2.(2024?遼寧?二模)已知函數(shù)/'(x)=a/一：(3a+1)久2+%,aeR.

⑴討論函數(shù)/(?的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(%)的極小值為-1,求實(shí)數(shù)a的取值集合.

2

3.(22-23高三上?全國(guó)?階段練習(xí))已知函數(shù)f(%)=/+ax—1,在％=-1時(shí)取得極值.

(1)求/(%)的解析式；

(2)若函數(shù)y=f(x)-2有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

4.(23-24高三上?遼寧丹東?期中)已知函數(shù)/(%)=一租X+4.

(1)討論/(%)的單調(diào)性;

(2)若/(乃的極小值為-點(diǎn)求m的值.

5.(23-24高三上?陜西漢中?階段練習(xí))已知函數(shù)〃久)=a—+6婷在％=1處有極值1

(1)求a,b的值；

(2)若函數(shù)g(%)=/(%)-?n%在［一1,1］上單調(diào)遞增，求機(jī)的取值范圍.

考點(diǎn)五、函數(shù)極值(點(diǎn))與圖像

典例后闞

1.（2023?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）的導(dǎo)函數(shù)/（久）的部分圖象如圖，則下列說(shuō)法正確的是（）

A./(I)>/(3)B.八-1）＜"2）

C.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)D.f（x）有三個(gè)極值點(diǎn)

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線y=f（x）在點(diǎn)（1,f（1））處的切線斜率小于零

B.函數(shù)f（x）在區(qū)間（—1,1）上單調(diào)遞增

C.函數(shù)f（x）在x=l處取得極大值

D.函數(shù)f（x）在區(qū)間（—3,3）內(nèi)至多有兩個(gè)零點(diǎn)

即時(shí)甄L

2.（23-24高三上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（久）的導(dǎo)函數(shù)尸（久）的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是

A.函數(shù)fO)有最小值

B.函數(shù)/(久)有最大值

C.函數(shù)/(久)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)/(x)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)

3.(24-25高三?上海?隨堂練習(xí))定義在R上的函數(shù)/'(久)的導(dǎo)數(shù)/(久)的大致圖象如題圖所示，則函數(shù)y=/(%)

的單調(diào)增區(qū)間為,y=/(x)的極大值點(diǎn)為久=.

好題沖關(guān)?

A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.(2024?山西陽(yáng)泉三模)已知等差數(shù)列｛an｝中，是函數(shù)/(X)=Sin(2x-方的一個(gè)極大值點(diǎn)，則tanQ+ag)

的值為()

A.亨B.V3C.+V3D.-V3

2.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)f(x)=J-依在區(qū)間(0,2)上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

2

A.(0,|)B.C.(l,e)D.(0,1)

3.(2024?河北承德?二模)設(shè)a為實(shí)數(shù)，若函數(shù)/(x)=|%3-ax2+3在x=1處取得極小值，貝必=()

A.1B.|C.0D,-1

4.(2024高三.全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)aCR,若函數(shù)/(x)=ea，+3x(x6R)有小于零的極值點(diǎn)，貝b的取值

范圍是()

A.(-a>,-3)B.(-3,0)C.D.(一？-

5.(2024高三下?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=ax3+bx2+%+c,其導(dǎo)函數(shù)y=((%)的圖象如圖所示，

過(guò)點(diǎn)&。)和(1,0).函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值點(diǎn)為.

y

O\l\_/ix

|T1

6.（2024?河南?三模）已知函數(shù)/（久）=＜2久—Inx,且/（久）在久=1處的切線方程是x-y+6=0.

（1）求實(shí)數(shù)a,b的值；

（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值.

7.（2024?山東濰坊?二模）已知函數(shù)/（x）=（x-I）/-a/+匕，曲線y=/（久）在點(diǎn)處的切線方程

-

為y—（e2）久+3-e，

⑴求實(shí)數(shù)a,b的值；

（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值.

能力提升

1.（2024?陜西銅川?三模）若函數(shù)/（久）=a/+手有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.（-已。）B.（0點(diǎn)C.（0j）D.（/總

2.（2024?陜西寶雞?三模）若函數(shù)/（久）=-梟/+4x-21nx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（）

A.（0,2）B.（0,1）C.（-co,1）D.（2,+8）

3.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（久）=爐一乂+1,則（）

A./（x）有三個(gè)極值點(diǎn)B./（?有三個(gè)零點(diǎn)

C?點(diǎn)（0,1）是曲線y=f（x）的對(duì)稱中心D.直線y=2x是曲線y=f（x）的切線

4.（2024?青海西寧?一模）等差數(shù)列中的a2,。2。24是函數(shù)/（久）=/—6/+4x—2024的極值點(diǎn)，則

log2al013=（）

11

A.-B.1C.-1D.--

22

5.（2023?天津和平?三模）已知函數(shù)/（%）=次《沁3*門《3%—工qin（23%一匹）（3ER,且3〉0）,XER,

，oiiiuuo2\2/

若函數(shù)/（%）在區(qū)間（0,2兀）上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則3的取值范圍為（）

兒[尤）B.e,卦C.繇）D.g,g]

2x

6.（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=（%—ax—a）Q.

（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)/（%）的極值；

（2）求證：當(dāng)0＜。＜1,汽＞0時(shí)，/（%）＞

CL—1

7.（23-24高三上?四川內(nèi)江?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（久）=（久一l）eX-ax（aeR且a為常數(shù)）.

(1)當(dāng)a=0,求函數(shù)/(%)的最小值；

(2)若函數(shù)/(久)有2個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

C

1.(2023?北京?高考真題)設(shè)函數(shù)/⑺=%—x\ax+b,曲線y=/(久)在點(diǎn)(l,f⑴)處的切線方程為y=-x+1.

(1)求