備戰(zhàn)中考數(shù)學真題題源解密專題02整式與因式分解含答案及解析

主題一數(shù)與式專題02整式與因式分解目錄一覽知識目標（新課程標準提煉）中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢，精準把握重難點）考點回歸（梳理基礎(chǔ)考點，清晰明了，便于識記）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一整式的加減與化簡求值?考向二單項式與多項式的乘法?考向三完全平方公式?考向四平方差公式?考向五整式的混合運算?考向六因式分解?考向七因式分解的應用最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1、能并用代數(shù)式表示，會求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定問題找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算．2、掌握同類項及合并同類項的概念，并能熟練進行合并；掌握同類項的有關(guān)應用．3、掌握去括號與添括號法則，充分注意變號法則的應用；會用整式的加減運算法則，熟練進行整式的化簡及求值．4、同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)的過程，感受冪的意義，發(fā)展推理能力和表達能力，提高計算能力．5、了解整式的概念和有關(guān)法則，會進行簡單的整式加、減、乘、除運算．6、會推導平方差公式和完全平方公式，會進行簡單的計算；會用提公因式法、公式法進行因式分解.1.以考查整式的加減、乘除、乘法公式、冪的運算、因式分解、探究規(guī)律為主，也是考查重點，年年考查，是廣大考生的得分點，分值為12分左右。2.預計2024年各地中考還將繼續(xù)考查冪的運算性質(zhì)、因式分解、整式的化簡、代入求值、探究規(guī)律，為避免丟分，學生應扎實掌握.代數(shù)式的有關(guān)概念1．代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.2.代數(shù)式的書寫要注意規(guī)范，如乘號“×”用“·”表示或省略不寫；分數(shù)不要用帶分數(shù)；除號用分數(shù)線表示等.3．代數(shù)式的值：用具體數(shù)代替代數(shù)式中的字母，按運算順序計算出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。4.求代數(shù)式的值分兩步：第一步，代數(shù)；第二步，計算.要充分利用“整體”思想求代數(shù)式的值。整式的有關(guān)概念1．整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式．2．單項式：單項式是指由數(shù)字或字母的乘積組成的式子；單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)；單項式中所有字母指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù)．【注意】單項式的系數(shù)包括它前面的符號3.多項式：幾個單項式的和叫做多項式；多項式中，每一個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數(shù)項；多項式中次數(shù)最高項的次數(shù)就是這個多項式的次數(shù)．4.同類項：多項式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項.冪的運算1.同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.【式子表達】：.（都是正整數(shù)）【代表的廣泛性】代表數(shù)，字母，單項式，多項式.【拓展】（都是正整數(shù)）等.【要點】①同底數(shù)冪，區(qū)別非同底數(shù)冪.②相乘，區(qū)別相加.③底數(shù)不變.區(qū)別合并同類項，將底數(shù)的系數(shù)相加.④指數(shù)相加，區(qū)別相乘.【數(shù)學思想】將乘法運算轉(zhuǎn)化為加法運算，即將二級運算轉(zhuǎn)化為一級運算，從而簡化運算.2.冪的乘方是指幾個相同的冪相乘.法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（m，n都是正整數(shù)）．3．積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方．法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘（n是正整數(shù)）．4.同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.(m,n都是正整數(shù),且m>n);(a≠0).【溫馨提示】1．冪的乘方法則的條件是“冪”的乘方，結(jié)論是“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”．這里的“底數(shù)不變”是指“冪”的底數(shù)“a”不變．例如：(a3)2=a6，其中，“冪”的底數(shù)是“a”，而不是“a2”，指數(shù)相乘是指“3×2”．2．冪的乘方的指數(shù)中若有多項式，指數(shù)相乘時要帶括號．3．同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方在應用時，不要發(fā)生混淆．4．式子不可以寫成，因為括號內(nèi)的a與b是“加”的關(guān)系，不是“乘”的關(guān)系．5．應用積的乘方時，特別注意觀察底數(shù)含有幾個因式都分別乘方；要特別注意系數(shù)及系數(shù)符號，對于系數(shù)是負數(shù)的要多加注意.【方法技巧】1．冪的乘方：（m，n，p都是正整數(shù)）．例如：．這一性質(zhì)由乘方運算降為乘法運算（指數(shù)相乘）．2．注意逆用冪的乘方法則，例如：．逆用積的乘方法則有，即指數(shù)相同的冪相乘，可將底數(shù)相乘，相同的指數(shù)作為共同的指數(shù).整式的加減幾個整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項。整式的乘法1．單項式乘單項式運算性質(zhì)：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．注意：①在計算時，應先進行符號運算，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積；②注意按順序運算；③不要丟掉只在一個單項式里含有的字母因式；④此性質(zhì)對于多個單項式相乘仍然成立．2．單項式乘多項式：m（a+b+c）=ma+mb+mc.（1）單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）單項式與多項式相乘時，應注意以下幾個問題：①單項式與多項式相乘實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式；②用單項式去乘多項式中的每一項時，不能漏乘；③注意確定積的符號．3．多項式乘多項式：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb（1）多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）運用法則時應注意以下兩點：①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應等于原多項式的項數(shù)之積．整式的除法1.單項式除以單項式，把系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除，作為商的因式。對于只在被除式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式。2.多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加。乘法公式1．完全平方公式（1）完全平方公式：．可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．（2）完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算符號相同．（3）完全平方公式的幾何背景①運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對完全平方公式做出幾何解釋．②常見驗證完全平方公式的幾何圖形．（用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個正方形與兩個長寬分別是a，b的長方形的面積和作為相等關(guān)系）（4）完全平方式完全平方式的定義：對于一個具有若干個簡單變元的整式A，如果存在另一個實系數(shù)整式B，使，則稱A是完全平方式．完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個整式的和括號外的平方．另一種是完全平方差公式，就是兩個整式的差括號外的平方．算時有一個口訣“首末兩項算平方，首末項乘積的2倍中間放，符號隨中央．（就是把兩項的乘方分別算出來，再算出兩項的乘積，再乘以2，然后把這個數(shù)放在兩數(shù)的乘方的中間，這個數(shù)以前一個數(shù)間的符號隨原式中間的符號，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后邊的符號都用+）”2．平方差公式（1）平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．（2）平方差公式的幾何背景①常見驗證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關(guān)系列出等式即可驗證平方差公式）．②運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對平方差公式做出幾何解釋．探索規(guī)律與說理1.解決規(guī)律探索型問題的策略是：通過對所給的一組（或一串）式子及結(jié)論，進行全面細致地觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，并由此猜想出一般性的結(jié)論，然后再給出合理的證明或加以應用.2.圖形固定累加規(guī)律：(1)找關(guān)系：找后一個圖形所求元素個數(shù)與前一個圖形所求元素個數(shù)之間的關(guān)系，一般通過作差的形式進行觀察；(2)找規(guī)律：若第一個圖形所求元素個數(shù)為a，第二個圖形所求元素個數(shù)比第一個圖形所求元素個數(shù)多b，且此后每一個圖形所求元素個數(shù)比前一個圖形所求元素個數(shù)多b，則第n個圖形所求元素個數(shù)為a＋b(n－1)；(3)驗證：代入序號驗證所求代數(shù)式．因式分解的概念把一個多項式化成幾個因式積的形式叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運算.因式分解的基本方法1.提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；2.公式法：；；。3.分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)4.十字相乘法：分解因式的一般步驟1.如果多項式各項有公因式，應先提取公因式;2.如果各項沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項時，考慮平方差公式；為三項時，考慮完全平方公式；為四項時，考慮利用分組的方法進行分解;3.檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個多項式都不能再分解為止.以上步驟可以概括為“一提二套三檢查”.?考向一整式的加減與化簡求值解題技巧/易錯易混/特別提醒①仔細辨別詞義．列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運算順序．列代數(shù)式時，一般應在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當運用．⑤正確進行代換．列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．1．（2023?德陽）在“點燃我的夢想，數(shù)學皆有可能”數(shù)學創(chuàng)新設(shè)計活動中，“智多星”小強設(shè)計了一個數(shù)學探究活動；對依次排列的兩個整式m，n按如下規(guī)律進行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后……其操作規(guī)則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式串各項之和是（）A．m+n B．m C．n﹣m D．2n2．（2023?重慶）（定義新運算）在多項式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列說法：①存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式相等；②不存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0；③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結(jié)果．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2023?沈陽）當a+b＝3時，代數(shù)式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值為．4．（2023?泰州）若2a﹣b+3＝0，則2（2a+b）﹣4b的值為．?考向二單項式與多項式的乘法5．（2023?瀘州）下列運算正確的是（）A．m3﹣m2＝m B．3m2?2m3＝6m5 C．3m2+2m3＝5m5 D．（2m2）3＝8m56．（2023?金昌）計算：a（a+2）﹣2a＝（）A．2 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)2+2a D．a(chǎn)2﹣2a7．（2023?隨州）設(shè)有邊長分別為a和b（a＞b）的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個邊長為a+b的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個長為3a+b、寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9?考向三完全平方公式解題技巧/易錯易混/特別提醒應用完全平方公式時，要注意：①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；②對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式．8．（2023?赤峰）下列運算正確的是（）A．（a2b3）2＝a4b6 B．3ab﹣2ab＝1 C．（﹣a）3?a＝a4 D．（a+b）2＝a2+b29．（2023?大慶）1261年，我國宋朝數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個數(shù)表稱為“楊輝三角”．觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，（a+b）7展開的多項式中各項系數(shù)之和為．10．（2023?攀枝花）我們可以利用圖形中的面積關(guān)系來解釋很多代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應的代數(shù)恒等式：其中，圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應的代數(shù)恒等式的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個?考向四平方差公式解題技巧/易錯易混/特別提醒應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；③公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；④對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便．10．（2023?東營）下列運算結(jié)果正確的是（）A．x3?x3＝x9 B．2x3+3x3＝5x6 C．（2x2）3＝6x6 D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x211．（2023?湖州）計算：（a+1）（a﹣1）＝．12．（2023?無錫）（1）計算：（﹣3）2﹣+|﹣4|；化簡：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．?考向五整式的混合運算解題技巧/易錯易混/特別提醒有關(guān)代數(shù)式的常見題型為用代數(shù)式表示數(shù)字或圖形的變化規(guī)律.數(shù)與圖形的規(guī)律探索問題，關(guān)鍵要能夠通過觀察、分析、聯(lián)想與歸納找出數(shù)或圖形的變化規(guī)律，并用代數(shù)式表示出來.13．（2023?麗水）如圖，分別以a，b，m，n為邊長作正方形，已知m＞n且滿足am﹣bn＝2，an+bm＝4．（1）若a＝3，b＝4，則圖1陰影部分的面積是25；（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是．14．（2023?宿遷）若實數(shù)m滿足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，則（m﹣2023）（2024﹣m）＝．15.（2023?涼山州）先化簡，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中x＝（）2023，y＝22022．?考向六因式分解解題技巧/易錯易混/特別提醒因式分解是中考的高頻考點，其題型一般為填空題，難度中等。解此類題的關(guān)鍵在于熟練掌握因式分解的兩種基本方法，即提取公因式法和公式法。因式分解的一般步驟：16．（2023?黃石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝．17．（2023?益陽）下列因式分解正確的是（）A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2 B．a(chǎn)2+ab+a＝a（a+b） C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b） D．a(chǎn)3b﹣ab3＝ab（a﹣b）218．（2023?綏化）因式分解：x2+xy﹣xz﹣yz＝．19．（2023?濟寧）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（）A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a(chǎn)2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4 C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y） D．a(chǎn)2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）?考向七因式分解的應用20．（2023?浙江）一個多項式，把它因式分解后有一個因式為（x+1），請你寫出一個符合條件的多項式：．21．（2023?涼山州）已知x2﹣2x﹣1＝0，則3x3﹣10x2+5x+2027的值等于．1．（2023?重慶）對于一個四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為；一個“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，記P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為．2．（2023?陜西）計算：＝（）A．3x4y5 B．﹣3x4y5 C．3x3y6 D．﹣3x3y63．（2023?揚州）若（）?2a2b＝2a3b，則括號內(nèi)應填的單項式是（）A．a(chǎn) B．2a C．a(chǎn)b D．2ab4．（2023?河北）現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖所示（a＞1）．某同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形（不重疊無縫隙），如表2和表3，其面積分別為S1，S2．表2表3（1）請用含a的式子分別表示S1，S2，當a＝2時，求S1+S2的值；（2）比較S1與S2的大小，并說明理由．5．（2023?浙江）（1）解不等式：2x﹣3＞x+1．（2）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值．6．（2023?臺州）下列運算正確的是（）A．2（a﹣1）＝2a﹣2 B．（a+b）2＝a2+b2 C．3a+2a＝5a2 D．（ab）2＝ab27．（2023?日照）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（﹣2m2）3＝﹣8m6 C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b28．（2023?淄博）下列計算結(jié)果正確的是（）A．3a+2a＝5a B．3a﹣2a＝1 C．3a?2a＝6a D．（3a）÷（2a）＝a9．（2023?金華）如圖是一塊矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面積為s（m2），現(xiàn)將邊AB增加1m．（1）如圖1，若a＝5，邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，則b的值是．（2）如圖2，若邊AD增加2m，有且只有一個a的值，使得到的矩形面積為2s（m2），則s的值是．10．（2023?內(nèi)蒙古）先化簡，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1．11．（2023?內(nèi)蒙古）先化簡，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）其中a＝﹣1，b＝．12．（2023?廣西）分解因式：a2+5a＝．13．（2023?杭州）分解因式：4a2﹣1＝（）A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2） C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）14．（2023?遼寧）分解因式：2m2﹣18＝．15．（2023?攀枝花）以下因式分解正確的是（）A．a(chǎn)x2﹣a＝a（x2﹣1） B．m3+m＝m（m2+1） C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3 D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）16．（2023?成都）定義：如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)m，n的平方差，且m﹣n＞1，則稱這個正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，16＝52﹣32，16就是一個智慧優(yōu)數(shù)，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）進行研究．若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，則第3個智慧優(yōu)數(shù)是；第23個智慧優(yōu)數(shù)是．

主題一數(shù)與式專題02整式與因式分解目錄一覽知識目標（新課程標準提煉）中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢，精準把握重難點）考點回歸（梳理基礎(chǔ)考點，清晰明了，便于識記）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一整式的加減與化簡求值?考向二單項式與多項式的乘法?考向三完全平方公式?考向四平方差公式?考向五整式的混合運算?考向六因式分解?考向七因式分解的應用最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1、能并用代數(shù)式表示，會求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定問題找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算．2、掌握同類項及合并同類項的概念，并能熟練進行合并；掌握同類項的有關(guān)應用．3、掌握去括號與添括號法則，充分注意變號法則的應用；會用整式的加減運算法則，熟練進行整式的化簡及求值．4、同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)的過程，感受冪的意義，發(fā)展推理能力和表達能力，提高計算能力．5、了解整式的概念和有關(guān)法則，會進行簡單的整式加、減、乘、除運算．6、會推導平方差公式和完全平方公式，會進行簡單的計算；會用提公因式法、公式法進行因式分解.1.以考查整式的加減、乘除、乘法公式、冪的運算、因式分解、探究規(guī)律為主，也是考查重點，年年考查，是廣大考生的得分點，分值為12分左右。2.預計2024年各地中考還將繼續(xù)考查冪的運算性質(zhì)、因式分解、整式的化簡、代入求值、探究規(guī)律，為避免丟分，學生應扎實掌握.代數(shù)式的有關(guān)概念1．代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.2.代數(shù)式的書寫要注意規(guī)范，如乘號“×”用“·”表示或省略不寫；分數(shù)不要用帶分數(shù)；除號用分數(shù)線表示等.3．代數(shù)式的值：用具體數(shù)代替代數(shù)式中的字母，按運算順序計算出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。4.求代數(shù)式的值分兩步：第一步，代數(shù)；第二步，計算.要充分利用“整體”思想求代數(shù)式的值。整式的有關(guān)概念1．整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式．2．單項式：單項式是指由數(shù)字或字母的乘積組成的式子；單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)；單項式中所有字母指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù)．【注意】單項式的系數(shù)包括它前面的符號3.多項式：幾個單項式的和叫做多項式；多項式中，每一個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數(shù)項；多項式中次數(shù)最高項的次數(shù)就是這個多項式的次數(shù)．4.同類項：多項式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項.冪的運算1.同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.【式子表達】：.（都是正整數(shù)）【代表的廣泛性】代表數(shù)，字母，單項式，多項式.【拓展】（都是正整數(shù)）等.【要點】①同底數(shù)冪，區(qū)別非同底數(shù)冪.②相乘，區(qū)別相加.③底數(shù)不變.區(qū)別合并同類項，將底數(shù)的系數(shù)相加.④指數(shù)相加，區(qū)別相乘.【數(shù)學思想】將乘法運算轉(zhuǎn)化為加法運算，即將二級運算轉(zhuǎn)化為一級運算，從而簡化運算.2.冪的乘方是指幾個相同的冪相乘.法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（m，n都是正整數(shù)）．3．積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方．法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘（n是正整數(shù)）．4.同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.(m,n都是正整數(shù),且m>n);(a≠0).【溫馨提示】1．冪的乘方法則的條件是“冪”的乘方，結(jié)論是“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”．這里的“底數(shù)不變”是指“冪”的底數(shù)“a”不變．例如：(a3)2=a6，其中，“冪”的底數(shù)是“a”，而不是“a2”，指數(shù)相乘是指“3×2”．2．冪的乘方的指數(shù)中若有多項式，指數(shù)相乘時要帶括號．3．同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方在應用時，不要發(fā)生混淆．4．式子不可以寫成，因為括號內(nèi)的a與b是“加”的關(guān)系，不是“乘”的關(guān)系．5．應用積的乘方時，特別注意觀察底數(shù)含有幾個因式都分別乘方；要特別注意系數(shù)及系數(shù)符號，對于系數(shù)是負數(shù)的要多加注意.【方法技巧】1．冪的乘方：（m，n，p都是正整數(shù)）．例如：．這一性質(zhì)由乘方運算降為乘法運算（指數(shù)相乘）．2．注意逆用冪的乘方法則，例如：．逆用積的乘方法則有，即指數(shù)相同的冪相乘，可將底數(shù)相乘，相同的指數(shù)作為共同的指數(shù).整式的加減幾個整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項。整式的乘法1．單項式乘單項式運算性質(zhì)：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．注意：①在計算時，應先進行符號運算，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積；②注意按順序運算；③不要丟掉只在一個單項式里含有的字母因式；④此性質(zhì)對于多個單項式相乘仍然成立．2．單項式乘多項式：m（a+b+c）=ma+mb+mc.（1）單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）單項式與多項式相乘時，應注意以下幾個問題：①單項式與多項式相乘實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式；②用單項式去乘多項式中的每一項時，不能漏乘；③注意確定積的符號．3．多項式乘多項式：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb（1）多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）運用法則時應注意以下兩點：①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應等于原多項式的項數(shù)之積．整式的除法1.單項式除以單項式，把系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除，作為商的因式。對于只在被除式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式。2.多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加。乘法公式1．完全平方公式（1）完全平方公式：．可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．（2）完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算符號相同．（3）完全平方公式的幾何背景①運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對完全平方公式做出幾何解釋．②常見驗證完全平方公式的幾何圖形．（用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個正方形與兩個長寬分別是a，b的長方形的面積和作為相等關(guān)系）（4）完全平方式完全平方式的定義：對于一個具有若干個簡單變元的整式A，如果存在另一個實系數(shù)整式B，使，則稱A是完全平方式．完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個整式的和括號外的平方．另一種是完全平方差公式，就是兩個整式的差括號外的平方．算時有一個口訣“首末兩項算平方，首末項乘積的2倍中間放，符號隨中央．（就是把兩項的乘方分別算出來，再算出兩項的乘積，再乘以2，然后把這個數(shù)放在兩數(shù)的乘方的中間，這個數(shù)以前一個數(shù)間的符號隨原式中間的符號，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后邊的符號都用+）”2．平方差公式（1）平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．（2）平方差公式的幾何背景①常見驗證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關(guān)系列出等式即可驗證平方差公式）．②運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對平方差公式做出幾何解釋．探索規(guī)律與說理1.解決規(guī)律探索型問題的策略是：通過對所給的一組（或一串）式子及結(jié)論，進行全面細致地觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，并由此猜想出一般性的結(jié)論，然后再給出合理的證明或加以應用.2.圖形固定累加規(guī)律：(1)找關(guān)系：找后一個圖形所求元素個數(shù)與前一個圖形所求元素個數(shù)之間的關(guān)系，一般通過作差的形式進行觀察；(2)找規(guī)律：若第一個圖形所求元素個數(shù)為a，第二個圖形所求元素個數(shù)比第一個圖形所求元素個數(shù)多b，且此后每一個圖形所求元素個數(shù)比前一個圖形所求元素個數(shù)多b，則第n個圖形所求元素個數(shù)為a＋b(n－1)；(3)驗證：代入序號驗證所求代數(shù)式．因式分解的概念把一個多項式化成幾個因式積的形式叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運算.因式分解的基本方法1.提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；2.公式法：；；。3.分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)4.十字相乘法：分解因式的一般步驟1.如果多項式各項有公因式，應先提取公因式;2.如果各項沒有公因式，可以嘗試使用公式法：為兩項時，考慮平方差公式；為三項時，考慮完全平方公式；為四項時，考慮利用分組的方法進行分解;3.檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個多項式都不能再分解為止.以上步驟可以概括為“一提二套三檢查”.?考向一整式的加減與化簡求值解題技巧/易錯易混/特別提醒①仔細辨別詞義．列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運算順序．列代數(shù)式時，一般應在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當運用．⑤正確進行代換．列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．1．（2023?德陽）在“點燃我的夢想，數(shù)學皆有可能”數(shù)學創(chuàng)新設(shè)計活動中，“智多星”小強設(shè)計了一個數(shù)學探究活動；對依次排列的兩個整式m，n按如下規(guī)律進行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后……其操作規(guī)則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式串各項之和是（）A．m+n B．m C．n﹣m D．2n【思路點撥】依據(jù)題意，先逐步分析前面幾次操作，可得整式串每6個整式一循環(huán)，再求解每6個整式的整式之和為：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，2023次后出現(xiàn)2025個整式，結(jié)合2025÷6＝337…3，從而可以得解．【規(guī)范解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；……第2023次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m；共2025個整式；歸納可得，以上整式串每六次一循環(huán)．每6個整式的整式之和為：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，∵2025÷6＝337…3，∴第2023次操作后得到的整式中，求最后三項之和即可．∴這個和為m+n+（n﹣m）＝2n．故選：D．【真題剖析】本題主要考查的是整式的加減運算，代數(shù)式的規(guī)律探究，掌握探究的方法，并總結(jié)概括規(guī)律，并能靈活運算是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023?重慶）（定義新運算）在多項式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列說法：①存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式相等；②不存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0；③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結(jié)果．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路點撥】根據(jù)給定的定義，舉出符合條件的說法①和②．說法③需要對絕對操作分析添加一個和兩個絕對值的情況，并將結(jié)果進行比較排除相等的結(jié)果，匯總得出答案．【規(guī)范解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故說法①正確．無論怎加絕對值，運算結(jié)果中都不會出現(xiàn)﹣x+y+z+m+n，因此不存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0；故說法②正確．當添加一個絕對值時，共有4種情況，分別是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n．當添加兩個絕對值時，共有3種情況，分別是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7種情況；有兩對運算結(jié)果相同，故共有5種不同運算結(jié)果，故說法③不符合題意．故選：C．【真題剖析】本題考查新定義題型，根據(jù)多給的定義，舉出符合條件的代數(shù)式進行情況討論；需要注意去絕對值時的符號，和所有結(jié)果可能的比較．主要考查絕對值計算和分類討論思想的應用．3．（2023?沈陽）當a+b＝3時，代數(shù)式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值為2．【思路點撥】先將原式去括號，然后合并同類項可得﹣a﹣b+5，再把前兩項提取﹣1，然后把a+b的值代入可得結(jié)果．【規(guī)范解答】解：2（a+2b）﹣（3a+5b）+5＝2a+4b﹣3a﹣5b+5＝﹣a﹣b+5＝﹣（a+b）+5當a+b＝3時，原式＝﹣3+5＝2．故答案為：2．【真題剖析】此題主要是考查了整式的化簡求值，能夠熟練運用去括號法則，合并同類項法則化簡是解題的關(guān)鍵．4．（2023?泰州）若2a﹣b+3＝0，則2（2a+b）﹣4b的值為﹣6．【思路點撥】直接利用整式的加減運算法則化簡，進而把已知代入得出答案．【規(guī)范解答】解：2（2a+b）﹣4b＝4a+2b﹣4b＝4a﹣2b＝2（2a﹣b），∵2a﹣b+3＝0，∴2a﹣b＝﹣3，∴原式＝2×（﹣3）＝﹣6．故答案為：﹣6．【真題剖析】此題主要考查了整式的加減—化簡求值，正確合并同類項是解題關(guān)鍵．?考向二單項式與多項式的乘法5．（2023?瀘州）下列運算正確的是（）A．m3﹣m2＝m B．3m2?2m3＝6m5 C．3m2+2m3＝5m5 D．（2m2）3＝8m5【思路點撥】各式計算得到結(jié)果，即可作出判斷．【規(guī)范解答】解：A、原式不能合并，不符合題意；B、原式＝6m5，符合題意；C、原式不能合并，不符合題意；D、原式＝8m6，不符合題意．故選：B．【真題剖析】此題考查了單項式乘單項式，合并同類項，以及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．6．（2023?金昌）計算：a（a+2）﹣2a＝（）A．2 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)2+2a D．a(chǎn)2﹣2a【思路點撥】直接利用單項式乘多項式運算法則化簡，再合并同類項得出答案．【規(guī)范解答】解：原式＝a2+2a﹣2a＝a2．故選：B．【真題剖析】此題主要考查了單項式乘多項式運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．7．（2023?隨州）設(shè)有邊長分別為a和b（a＞b）的A類和B類正方形紙片、長為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個邊長為a+b的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個長為3a+b、寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【思路點撥】用長乘寬，列出算式，根據(jù)多項式乘多項式的運算法則展開，然后根據(jù)A、B、C類卡片的形狀可得答案．【規(guī)范解答】解：∵（3a+b）（2a+2b）＝6a2+6ab+2ab+2b2＝6a2+8ab+2b2，∴若要拼一個長為3a+b、寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為8張．故選：C．【真題剖析】本題考查了多項式乘多項式在幾何圖形問題中的應用，數(shù)形結(jié)合并明確多項式乘多項式的運算法則是解題的關(guān)鍵．?考向三完全平方公式解題技巧/易錯易混/特別提醒應用完全平方公式時，要注意：①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；②對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式．8．（2023?赤峰）下列運算正確的是（）A．（a2b3）2＝a4b6 B．3ab﹣2ab＝1 C．（﹣a）3?a＝a4 D．（a+b）2＝a2+b2【思路點撥】利用積的乘方法則，合并同類項法則，同底數(shù)冪乘法法則，完全平方公式將各項計算后進行判斷即可．【規(guī)范解答】解：A．（a2b3）2＝（a2）2?（b3）2＝a4b6，則A符合題意；B．3ab﹣2ab＝ab，則B不符合題意；C．（﹣a）3?a＝﹣a3?a＝﹣a4，則C不符合題意；D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，則D不符合題意；故選：A．【真題剖析】本題考查整式的運算，其相關(guān)運算法則是基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．9．（2023?大慶）1261年，我國宋朝數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個數(shù)表稱為“楊輝三角”．觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，（a+b）7展開的多項式中各項系數(shù)之和為128．【思路點撥】根據(jù)圖示可得出一般規(guī)律，利用規(guī)律計算即可．【規(guī)范解答】解：∵（a+b）0＝1，系數(shù)之和是20＝1；（a+b）1＝a+b，系數(shù)之和是21＝2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，系數(shù)之和是22；……（a+b）n，展開各項系數(shù)之和是2n．∴（a+b）7展開各項的系數(shù)之和為27＝128．故答案為：128．【真題剖析】本題考查了完全平方公式的延伸應用，屬于規(guī)律性探究題型，從特殊到一般規(guī)律的推出是數(shù)學探究的常用方法．10．（2023?攀枝花）我們可以利用圖形中的面積關(guān)系來解釋很多代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應的代數(shù)恒等式：其中，圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應的代數(shù)恒等式的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】觀察各個圖形及相應的代數(shù)恒等式即可得到答案．【規(guī)范解答】解：圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應的代數(shù)恒等式的有①②③④，故選：D．【真題剖析】本題考查用圖形面積解釋代數(shù)恒等式，解題的關(guān)鍵是用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積．?考向四平方差公式解題技巧/易錯易混/特別提醒應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；③公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；④對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便．10．（2023?東營）下列運算結(jié)果正確的是（）A．x3?x3＝x9 B．2x3+3x3＝5x6 C．（2x2）3＝6x6 D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2【思路點撥】利用同底數(shù)冪乘法法則，合并同類項法則，積的乘方法則及平方差公式將各項計算后進行判斷即可．【規(guī)范解答】解：A．x3?x3＝x6，則A不符合題意；B．2x3+3x3＝5x3，則B不符合題意；C．（2x2）3＝8x6，則C不符合題意；D．（2+3x）（2﹣3x）＝22﹣（3x）2＝4﹣9x2，則D符合題意；故選：D．【真題剖析】本題考查整式的運算，其相關(guān)運算法則是基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．11．（2023?湖州）計算：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1．【思路點撥】直接利用平方差公式進行計算即可．【規(guī)范解答】解：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，故答案為：a2﹣1．【真題剖析】本題主要考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟記平方差公式．12．（2023?無錫）（1）計算：（﹣3）2﹣+|﹣4|；（2）化簡：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．【思路點撥】（1）根據(jù)實數(shù)的運算法則進行計算即可；（2）利用平方差公式和單項式乘以多項式進行計算即可．【規(guī)范解答】解：（1）原式＝9﹣5+4＝8；（2）原式＝x2﹣4y2﹣x2+xy＝﹣4y2+xy．【真題剖析】本題考查了整式的混合運算，實數(shù)的運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．?考向五整式的混合運算解題技巧/易錯易混/特別提醒有關(guān)代數(shù)式的常見題型為用代數(shù)式表示數(shù)字或圖形的變化規(guī)律.數(shù)與圖形的規(guī)律探索問題，關(guān)鍵要能夠通過觀察、分析、聯(lián)想與歸納找出數(shù)或圖形的變化規(guī)律，并用代數(shù)式表示出來.13．（2023?麗水）如圖，分別以a，b，m，n為邊長作正方形，已知m＞n且滿足am﹣bn＝2，an+bm＝4．（1）若a＝3，b＝4，則圖1陰影部分的面積是25；（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是．【思路點撥】（1）根據(jù)正方形的面積公式列得代數(shù)式，然后代入數(shù)值計算即可；（2）結(jié)合已知條件可得a2+b2＝3，利用梯形面積公式可得（m+n）2＝10，然后將題干中的兩個等式分別平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，繼而求得m2+n2＝，再結(jié)合（m+n）2＝10可求得mn＝，根據(jù)正方形性質(zhì)可得圖2中陰影部分是一個直角三角形，利用勾股定理求得其兩直角邊長，再根據(jù)三角形面積公式可得其面積為mn＝．【規(guī)范解答】解：（1）由題意可得圖1陰影部分面積為：a2+b2，∵a＝3，b＝4，∴a2+b2＝32+42＝25，故答案為：25；（2）由題意可得a2+b2＝3，圖2中四邊形ABCD是直角梯形，∵AB＝m，CD＝n，它的高為：（m+n），∴（m+n）（m+n）＝5，∴（m+n）2＝10，∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，∴將兩式分別平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，∵a2+b2＝3，∴m2+n2＝，∵（m+n）2＝10，∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，整理得：2mn＝，即mn＝，∵圖2中陰影部分的三角形的其中兩邊是兩正方形的對角線，∴這兩邊構(gòu)成的角為：45°+45°＝90°，那么陰影部分的三角形為直角三角形，其兩直角邊的長分別為：＝m，＝n，故陰影部分的面積為：×m×n＝mn＝，故答案為：．【真題剖析】本題考查整式運算的實際應用，（2）中將題干中的兩個等式分別平方再相加并整理后得出（a2+b2）（m2+n2）＝20是解題的關(guān)鍵．14．（2023?宿遷）若實數(shù)m滿足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，則（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012．【思路點撥】根據(jù)a2+b2＝（a+b）2﹣2ab即可得答案．【規(guī)范解答】解：（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，[（m﹣2023）+（2024﹣m）]2﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，1﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，1﹣2025＝2（m﹣2023）（2024﹣m），（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012，故答案為：﹣1012．【真題剖析】本題考查整式的混合運算，掌握完全平方公式的變形是解題關(guān)鍵．15.（2023?涼山州）先化簡，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中x＝（）2023，y＝22022．【思路點撥】利用整式的相應的法則對式子進行化簡，再代入相應的值運算即可．【規(guī)范解答】解：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y）＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2﹣2xy﹣2y2＝2xy，當x＝（）2023，y＝22022時，原式＝2×（）2023×22022＝2××（）2022×22022＝2××（×2）2022＝2××12022＝2×＝1．【真題剖析】本題主要考查整式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應的運算法則的掌握．?考向六因式分解解題技巧/易錯易混/特別提醒因式分解是中考的高頻考點，其題型一般為填空題，難度中等。解此類題的關(guān)鍵在于熟練掌握因式分解的兩種基本方法，即提取公因式法和公式法。因式分解的一般步驟：16．（2023?黃石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝（y﹣1）（x﹣4）．【思路點撥】將整式x（y﹣1）+4（1﹣y）變形含有公因式（y﹣1），提取即可．【規(guī)范解答】解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝x（y﹣1）﹣4（y﹣1）＝（y﹣1）（x﹣4）．【真題剖析】本題考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，找到公因式是本題分解因式的關(guān)鍵．17．（2023?益陽）下列因式分解正確的是（）A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2 B．a(chǎn)2+ab+a＝a（a+b） C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b） D．a(chǎn)3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2【思路點撥】利用提公因式法、公式法逐個分解得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：A選項，2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2，故該選項符合題意；B選項，a2+ab+a＝a（a+b+1），故該選項不符合題意；C選項，4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），故該選項不符合題意；D選項，a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b），故該選項不符合題意．故選：A．【真題剖析】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解決本題的關(guān)鍵．18．（2023?綏化）因式分解：x2+xy﹣xz﹣yz＝（x+y）（x﹣z）．【思路點撥】利用分組分解法及提公因式法因式分解即可．【規(guī)范解答】解：原式＝（x2+xy）﹣z（x+y）＝x（x+y）﹣z（x+y）＝（x+y）（x﹣z），故答案為：（x+y）（x﹣z）．19．（2023?濟寧）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（）A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a(chǎn)2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4 C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y） D．a(chǎn)2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）【思路點撥】本題考查因式分解﹣十字相乘，提公因式等相關(guān)知識．【規(guī)范解答】解：A：（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故選項A錯誤，B：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故選項B錯誤，C：5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故選項C正確，D：a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故選項D錯誤．故答案為：C．【真題剖析】本題考查因式分解，提公因式等相關(guān)知識．解題的關(guān)鍵是能夠熟悉因式分解的定義，熟練運用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．?考向七因式分解的應用20．（2023?浙江）一個多項式，把它因式分解后有一個因式為（x+1），請你寫出一個符合條件的多項式：x2﹣1（答案不唯一）．．【思路點撥】根據(jù)題意，可以寫出分解因式中含有（x+1）的一個多項式，本題答案不唯一，符合題意即可．【規(guī)范解答】解：∵x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），∴符合條件的一個多項式是x2﹣1，故答案為：x2﹣1（答案不唯一）．【真題剖析】本題考查因式分解的應用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出符合題意的一個多項式．21．（2023?涼山州）已知x2﹣2x﹣1＝0，則3x3﹣10x2+5x+2027的值等于2023．【思路點撥】由x2﹣2x﹣1＝0，得x2﹣2x＝1，將所求式子變形為3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027，再整體代入計算即可．【規(guī)范解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，∴3x3﹣10x2+5x+2027＝3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027＝3x×1﹣4×1﹣3x+2027＝3x﹣4﹣3x+2027＝2023，故答案為：2023．【真題剖析】本題考查因式分解的應用，解題的關(guān)鍵是整體代入思想的應用．1．（2023?重慶）對于一個四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為6200；一個“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，記P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為9313．【思路點撥】它的千位數(shù)字比個位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱M為“天真數(shù)”．分為兩部分：第一部分千位數(shù)和個位數(shù)之間的關(guān)系，第二部分百位數(shù)和十位數(shù)之前的關(guān)系．【規(guī)范解答】解：求最小的“天真數(shù)”，首先知道最小的自然數(shù)的0．先看它的千位數(shù)字比個位數(shù)字多6，個位數(shù)為最小的自然數(shù)0時，千位數(shù)為6；百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，十位數(shù)為最小的自然數(shù)0時．百位數(shù)是2；則最小的“天真數(shù)”為6200．故答案為：6200．一個“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d．由“天真數(shù)”的定義得a＝d+6，所以6≤a≤9，b＝c+2，所以0≤c≤7，又P（M）＝3（a+b）+c+d＝3（a+c+2）+c+a﹣6＝4a+4c；Q（M）＝a﹣5.＝若能被10整除當a取最大值9時，即當a＝9時，滿足能被10整除，則c＝1，“天真數(shù)”M為9313．故答案為：9313．【真題剖析】新定義題型，各數(shù)字的取值范圍，最值：最小自然數(shù)0．2．（2023?陜西）計算：＝（）A．3x4y5 B．﹣3x4y5 C．3x3y6 D．﹣3x3y6【思路點撥】利用單項式乘單項式的法則進行運算即可．【規(guī)范解答】解：＝6×（﹣）x1+3y2+3＝﹣3x4y5．故選：B．【真題剖析】本題主要考查單項式乘單項式，解答的關(guān)鍵是對相應的運算法則的掌握．3．（2023?揚州）若（）?2a2b＝2a3b，則括號內(nèi)應填的單項式是（）A．a(chǎn) B．2a C．a(chǎn)b D．2ab【思路點撥】根據(jù)單項式乘單項式法則（或根據(jù)單項式除以單項式法則）求出答案即可．【規(guī)范解答】解：2a3b÷2a2b＝a，即括號內(nèi)應填的單項式是a，故選：A．【真題剖析】本題考查了單項式乘單項式法則，能熟記掌握單項式乘單項式法則是解此題的關(guān)鍵．4．（2023?河北）現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖所示（a＞1）．某同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形（不重疊無縫隙），如表2和表3，其面積分別為S1，S2．表2表3（1）請用含a的式子分別表示S1，S2，當a＝2時，求S1+S2的值；（2）比較S1與S2的大小，并說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)圖形，利用長方形的面積公式計算即可；（2）利用作差法比較即可．【規(guī)范解答】解：（1）由圖可知S1＝（a+2）（a+1）＝a2+3a+2，S2＝（5a+1）×1＝5a+1，當a＝2時，S1+S2＝4+6+2+10+1＝23；（2）S1＞S2，理由：∵S1﹣S2＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，又∵a＞1，∴（a﹣1）2＞0，∴S1＞S2．【真題剖析】本題考查了多項式乘多項式，關(guān)鍵是能列出整式或算式表示幾何圖形的面積．5．（2023?浙江）（1）解不等式：2x﹣3＞x+1．（2）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值．【思路點撥】（1）根據(jù)解一元一次不等式的步驟進行計算即可；（2）將原代數(shù)式化簡整理后結(jié)合已知條件即可求得答案．【規(guī)范解答】解：（1）2x﹣3＞x+1，移項得：2x﹣x＞1+3，合并同類項得：x＞4；（2）∵a2+3ab＝5，∴（a+b）（a+2b）﹣2b2＝a2+2ab+ab+2b2﹣2b2＝a2+3ab＝5．【真題剖析】本題考查解一元一次不等式和整式的化簡求值，解不等式的步驟及整式的運算法則是基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．6．（2023?臺州）下列運算正確的是（）A．2（a﹣1）＝2a﹣2 B．（a+b）2＝a2+b2 C．3a+2a＝5a2 D．（ab）2＝ab2【思路點撥】根據(jù)去括號法則，完全平方公式，合并同類項法則，積的乘方法則將各項計算后進行判斷即可．【規(guī)范解答】解：A．2（a﹣1）＝2a﹣2×1＝2a﹣2，則A符合題意；B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，則B不符合題意；C．3a+2a＝（3+2）a＝5a，則C不符合題意；D．（ab）2＝a2b2，則D不符合題意；故選：A．【真題剖析】本題考查整式的運算，其相關(guān)運算法則是基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．7．（2023?日照）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（﹣2m2）3＝﹣8m6 C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b2【思路點撥】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法公式，積的乘方公式，完全平方公式，合并同類項法則進行計算可得結(jié)果．【規(guī)范解答】解：A．a(chǎn)2?a3＝a2+3＝a5，所以A運算錯誤；B．（﹣2m2）3＝（﹣2）3m6＝﹣8m6，所以B運算正確；C．（x+y）2＝x2+2xy+y2，所以C運算錯誤；D．2ab與3a2b不是同類項，所以不能合并計算，所以D運算錯誤．故選：B．【真題剖析】此題主要是考查了同底數(shù)冪的乘法公式，積的乘方公式，完全平方公式，合并同類項法則，能夠熟練運用各種法則是解答此題的關(guān)鍵．8．（2023?淄博）下列計算結(jié)果正確的是（）A．3a+2a＝5a B．3a﹣2a＝1 C．3a?2a＝6a D．（3a）÷（2a）＝a【思路點撥】根據(jù)整式的加減和整式的乘除解答即可．【規(guī)范解答】解：A、3a+2a＝5a，計算正確，符合題意；B、3a﹣2a＝a，計算錯誤，不符合題意；C、3a?2a＝6a2，計算錯誤，不符合題意；D，（3a）÷（2a）＝，計算錯誤，不符合題意；故選：A．【真題剖析】此題考查整式的混合計算，關(guān)鍵是根據(jù)整式的加減和整式的乘除解答．9．（2023?金華）如圖是一塊矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面積為s（m2），現(xiàn)將邊AB增加1m．（1）如圖1，若a＝5，邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，則b的值是6．（2）如圖2，若邊AD增加2m，有且只有一個a的值，使得到的矩形面積為2s（m2），則s的值是6+4．【思路點撥】（1）根據(jù)邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，得5b＝（5+1）×（b﹣1），可解得答案；（2）由邊AB增加1m，邊AD增加2m，得到的矩形面積為2s（m2），知（a+1