函數(shù)的極值（解析版）-2025年天津高考數(shù)學一輪復習

第13講函數(shù)的極值

（5類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第20題,16利用導數(shù)證明不等式利用導數(shù)研究不等式恒成立問題由導數(shù)求求在曲

分線上一點處的切線方程（斜率）函數(shù)的最值（含參）

2023年天津卷，第20題,16求在曲線上一點處的切線方程（斜率）利用導數(shù)證明不等式利用導數(shù)研究

分不等式恒成立問題

2022年天津卷，第20題,16求在曲線上一點處的切線方程（斜率）利用導數(shù)研究不等式恒成立問題利

分用導數(shù)研究函數(shù)的零

2021年天津卷，第20題,16求在曲線上一點處的切線方程（斜率）

分利用導數(shù)研究能成立問題函數(shù)極值點的辨析

2020年天津卷，第20題,16

利用導數(shù)證明不等式

分

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較低，分值為16分

【備考策略】L理解、掌握函數(shù)極值的定義，能夠通過導數(shù)求解函數(shù)的極值問題

2.能掌握函數(shù)極值與圖像的關(guān)系

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助函數(shù)圖像求解函數(shù)的極值與不等式等問題

4.掌握函數(shù)圖像與極值的關(guān)系

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出函數(shù)的解析式求解函數(shù)的極值，或通過極值求

參數(shù)的取值范圍等。

「立?考點梳理，

函數(shù)極值辨析

求不含參函數(shù)的極值

求含參函數(shù)的極值

由極值求參數(shù)

知識講解

知識點一.函數(shù)的極值

1.函數(shù)極值的定義：

如圖，函數(shù)在點x=a的函數(shù)值/(a)比它在點尤=。附近其他點的函數(shù)值都小，/(")=0；而且在點x

=。附近的左側(cè)尸(x)<0,右側(cè)尸(尤)>0.類似地，函數(shù)y=/(x)在點x=b的函數(shù)值/(b)比它在點x=b附近其他

點的函數(shù)值都大，/3)=0；而且在點尤=6附近的左側(cè)尸(無)>0,右側(cè)尸(無)<0.我們把a叫做函數(shù)y=f(x)的極

小值點，叫做函數(shù)y=〃x)的極小值;b叫做函數(shù)v=〃x)的極大值點，”6)叫做函數(shù)y=f(尤)的極大值.極

小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點,極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

2.函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件：

一般地，函數(shù)y=f(x)在某一點的導數(shù)值為0是函數(shù)y=f(無)在這點取得極值的必要條件.可導函數(shù)y=/(尤)

在x=xo處取極大(小)值的充分條件：

①〃(xo)=O;

②在x=xo附近的左側(cè)尸(的)>0(<0),右側(cè)尸的<0(>0).

3.導數(shù)求極值的方法：

解方程廣任)=0,當/(xo)=O時，如果在xo附近的左側(cè)尸(x)>0,右側(cè)/(x)<0,那么尸(的)是極大值;如果

在尤o附近的左側(cè)尸㈤<0,右側(cè)尸(無)>0,那么〃xo)是極小值.

注意對于可導函數(shù)/(x),(xo)=O”是“函數(shù)/(x)在x=w處有極值”的必要不充分條件.

知識點二.三次函數(shù)的圖象、單調(diào)性、極值

設三次函數(shù)/（^^加+加+⑦:+或存。），則尸（XtuBaf+Zbx+c,記』=4/72—12QC=4（Z?2—3QC）,并設修,

%2是方程/（%）=0的根，且X1<X2.

J>0J<0

圖象

在（一00,X1）,（必+oo）上單調(diào)遞增；在

單調(diào)性在R上是增函數(shù)

（xi，X2）上單調(diào)遞減

極值點個數(shù)20

(2)a<0

J>0J<0

圖象X

1匹X2、元1

在（陽，X2）上單調(diào)遞增；在（一8,X1）,（M

單調(diào)性在R上是減函數(shù)

+oo）上單調(diào)遞減

極值點個數(shù)20

考點一、函數(shù)極值辨析

典例引領(lǐng)

'3%,x<0,

1.（2024.北京海淀.二模）函數(shù)/（%）=??；［二是（）

陽，%>°

A.偶函數(shù)，且沒有極值點B.偶函數(shù)，且有一個極值點

C.奇函數(shù)，且沒有極值點D.奇函數(shù)，且有一個極值點

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義計算以及極值點定義判斷即可.

【詳解】當xW0時，一x>0,則〃一久)=(|)-%=3"=/(%),

當x>0時，一刀<0,則f(一%)=3T=(|)x=/(x),

所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，由圖可知函數(shù)f(x)有一個極大值點.

2.(23-24高三下?四川巴中?階段練習)函數(shù)/(久)=一2cos(3久+/)+1(。>0)相鄰極值點的距離為泉則3為

()

A.3B.4C.1D.2

【答案】D

【分析】

由題意，根據(jù)函數(shù)極值點的定義可得(=會結(jié)合公式7=含計算即可求解.

【詳解】因為函數(shù)/(乃的相鄰極值點之間的距離為土

所以得?=無，又7=若，

所以3=2.

故選：D

??即時檢測

1.(2024.遼寧.三模)下列函數(shù)中，既是定義域上的奇函數(shù)又存在極小值的是()

A./(%)=xsinxB./(x)=%+§

-1

C./(x)=ex+—D./(%)=|x+1|—|x—1|

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇函數(shù)和極值點的概念，結(jié)合導數(shù)，逐項分析判斷即可得解.

【詳解】對A,xER,/(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=/(%),故/(%)為偶函數(shù)，不符題意；

對B,xG(-oo/O)U(O,+oo),/(一久—為奇函數(shù)，

/'(%)=1—5=0,得x=±1,

當％e(0,1)時廣(%)<0,xe(1,+8)時/(%)>o,

故f(l)的極小值，故B正確;

對C,/(一切=6-，+擊=^+/=/0)為偶函數(shù)，不符題意；

2,x>1

對D,/(x)=，2%-2,-1WxW1無極值，不符題意，

.-2,x<—1

故選：B

2.(2024?江西?模擬預測)已知函數(shù)f(x)=sin3久+V^costo久(3>0)在區(qū)間(0,兀)上恰有兩個極值點久〃久2，

則/(與+冷)的值為()

A.1B.V3C.-V3D.2

【答案】C

【分析】先利用輔助角公式化一，再根據(jù)%1，犯是f(x)在區(qū)間(0，兀)上的兩個極值點，求出3(X1+冷)，即可

得解.

【詳解】/(%)=sin(ox+VScostox=2sin(3久+

因為X€(0,71),所以3X+16,713+,

因為勺,％2是/'(X)在區(qū)間(0,兀)上的兩個極值點，不妨設刀1<尤2，

則n3所以30+幻=年

MX-,+-=—3

、Z32

所以/(%1+x2)=2sin[3(/+%2)+|]=2siny=-V3.

故選：C.

3.(23-24高三下?廣東廣州?階段練習)“%o是函數(shù)/(%)的一個極值點”是“/(%)在比處導數(shù)為0”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】利用導數(shù)的四則運算與函數(shù)極值點的定義，舉反例說明即可得解.

【詳解】當f(x)=一時,f'(x)=3x2,則/'(x)在x=0處導數(shù)為0,但。不是它的極值點；

當/0)=田時，則f(X)在x=0處導數(shù)不存在，但0是它的極值點；

因此題干兩條件是既不充分也不必要條件.

故選：D.

考點二、求不含參函數(shù)的極值

典例引領(lǐng)

1.(2017?全國?高考真題)若％=-2是函數(shù)/0)=(/+3-1)靖-1的極值點，則f(x)的極小值為.

A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1

【答案】A

【詳解】由題可得/''(%)=(2x+a)ex~1+(x2+ax—l)ex~1=[x2+(a+2)x+a—

因為尸(—2)=0,所以a=-1,f(x)=(%2—x—l)ex-1,故尸(x)=(x?+x—2)e*T,

令/''(%)>0,解得x<一2或久>1,

所以f(x)在(―8,-2),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(—2,1)上單調(diào)遞減，

所以/(%)的極小值為/(I)=(1—1一l)e1T=-1,故選A.

【名師點睛】(1)可導函數(shù)y=f(x)在點x0處取得極值的充要條件是「(x0)=0,且在xO左側(cè)與右側(cè)「(x)

的符號不同；

(2)若f(x)在(a,b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有

極值.

2.(2024?全國?高考真題)已知函數(shù)/'(久)=(1—ax)ln(l+久)—x.

(1)當a=—2時，求f(x)的極值;

(2)當xNO時，/(%)>0,求a的取值范圍.

【答案】(1)極小值為0,無極大值.

(2)a<-|

【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的單調(diào)性和零點可求函數(shù)的極值.

(2)求出函數(shù)的二階導數(shù)，就a4—：、—[<a<0、a2。分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.

【詳解】(1)當。=一2時，/(%)=(1+2x)ln(l+x)-x,

故尸(x)=21n(l+x)+^_l=21n(l+x)一±+l,

因為y=21n(l+x),y=一士+1在(-1,+8)上為增函數(shù)，

故尸(X)在(-1,+8)上為增函數(shù),而尸(0)=0,

故當-l<x<0時,尸(x)<0,當%>0時，f'(x)>0,

故/(x)在x=0處取極小值且極小值為/(0)=0,無極大值.

(2)/(x)=-aln(l+%)4■-------1=-ciln(l+%)一([+，,%>0,

設s(x)=—aln(l+x)—x>0,

rji.i,(、—CL(a+1)CL(X+1)+Cl+1CLX+2Q+1

人JS^x)=--(1+x)2=(l+%)2-=—(l+%)2'

當a<一機寸，s"(x)>0,故s(%)在(0,+8)上為增函數(shù),

故s(%)>s(0)=0,即f'(%)>0,

所以/(%)在[0,+8)上為增函數(shù)，故/(%)>/(0)=0.

當—1<a<0時，當0<%V—時，s，(%)<0,

故s。)在(0,—等)上為減函數(shù)，故在(0,—等)上sQ)<s(0),

即在(0,-等)上廣(x)<0即/0)為減函數(shù)，

故在(0,-等)上/(x)</(0)=0,不合題意，舍.

當a>0,此時s，Q)<0在(0,+8)上恒成立,

同理可得在(0,+8)上/(%)</(0)=0恒成立，不合題意，舍；

綜上，aW

【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時還需要對導

數(shù)進一步利用導數(shù)研究其符號特征，處理此類問題時注意利用范圍端點的性質(zhì)來確定如何分類.

即時啊

1.(2024?甘肅張掖?三模)已知函數(shù)f0)=，-Inx-(圖象在％=2處的切線斜率為點

⑴求a；

(2)求函數(shù)/(久)的單調(diào)區(qū)間和極大值.

【答案】(l)a=2

(2)答案見解析

【分析】(1)直接求導，根據(jù)廣(2)=[得到方程，解出即可；

(2)直接求導，根據(jù)導數(shù)分析其單調(diào)性和極大值.

【詳解】(1)因為尸(X)=_4+白=。4號1)_號=(>1)(

由已知/(2)=；,即(=；，解得a=2.

(2)由(1)知a=2,則2(x)==0,

解得％=1或久=2-ln2,

當0V%V1時，%—1<0,2ex-2—1<0,貝行，(%)>0；

x2

當lV%V2-ln2時，x-l>0/2e--l<0,貝1」尸(久)V0；

當%>2—ln2時，x—1>0,2ex~2—1>0,則f'(%)>0,

所以/(久)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(2—ln2,+8),減區(qū)間為(1,2—ln2),

函數(shù)“X)的極大值為"1)=|-1.

2.(2024?江蘇?三模)已知函數(shù)/(%)=ax-2sinx,xE(0,兀).

⑴若a=1,求/(%)的極小值;

(2)若/(%)是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.

【答案】(％-苗

(2)(—oo,-2]U[2,+8)

【分析】(1)求導后，借助導數(shù)可得其單調(diào)性，即可得其極小值；

(2)求出導數(shù)后，分/(第)是單調(diào)遞增函數(shù)與單調(diào)遞減函數(shù)討論即可得.

【詳解】(1)當時，/(x)=x—2sinx,=1—2cosx,

令f'(久)=0，由％W(0,71),則久=p

當0<x<]時，尸(x)<0,即"x)在(0,9上單調(diào)遞減，

當g<x<兀時，f'M>0,即/(￡)在(；,兀)上單調(diào)遞增，

故/⑺的極小值為/圖=>2x亨=、b；

(2)/'(%)=a—2cos%,

若/(%)在(0,兀)上單調(diào)遞增，則廣@)>0恒成立，

即a>2cos%對V%6(0,兀)恒成立，則a>2cos%恒成立，又cos%6[—1,1],故a>2,

若/(%)在(0,兀)上單調(diào)遞減，貝行，(%)<0恒成立，

即a<2cos%對V%6(0,兀)恒成立，則a<2cos%恒成立,故a<—2,

綜上所述，a的取值范圍為(―8,—2]u[2,+8).

3.(23-24高三上?廣東江門?開學考試)已知函數(shù)/(%)=a/—力％+in%,(a,beR).

(1)若a=l,b=3,求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間及極值；

(2)若b=0時，不等式/(%)<0在[1,+8)上恒成立，求參數(shù)a的取值范圍.

【答案】(l)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0鄉(xiāng)，(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為G，l)；“X)的極大值為—ln2,極小

值為-2

⑵(-8，-日

【分析】(1)利用導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；

(2)問題等價于a<一等在區(qū)間[1,+8)恒成立，設g(x)=—詈，乂>1,利用導數(shù)求貝》)最小值即可得a的

取值范圍.

【詳解】(1)a=Lb=3時，/(%)=%2-3x+Inx,函數(shù)定義域為(0,+8),

f'(x)=2x-3+-=(2*T)(XT),

XX

令尸(久)>0,解得：0<%<(或%>1,令尸(x)<0,解得：|<%<1

1

X1(l,+oo)

(4)2加

f'M+0-0+

fM單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

%=凱寸，f(x)有極大值f(J=_>ln2,

x=l時，f(%)有極小值/(I)=—2.

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(03，(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為?,1),

/0)的極大值為-ln2,f(x)的極小值為-2

4

(2)b=0時，/(%)=ax2+Inx<0在［L+8)上恒成立,

即Q<一詈在區(qū)間口+8)恒成立.

設g(%)——詈,工工L則g'(%)=2/T,

令"(%)>0,解得汽>Ve,此時g(%)單調(diào)遞增，

令“(%)<0,解得1<%<Ve,此時g(%)單調(diào)遞減，

X(0,㈣代(Ve,+8)

尸(久)-04-

fix)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

故g(x)min=.9(Ve)=一卷，故aW一看

故a的取值范圍為(-8,一百.

4.(23-24高三上?天津?期中)已知函數(shù)/(%)=4x3-3x2-18%+27,x6R.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)求/0)在區(qū)間［0,3］上的最大值與最小值.

【答案】(1)答案見解析；

(2)最大值為54,最小值為孑.

【分析】(1)利用導數(shù)研究的單調(diào)性，并求出極值即可；

(2)根據(jù)(1)結(jié)果，比較區(qū)間內(nèi)端點值、極值大小，即可得最值.

【詳解】(1)由題設/'(%)=12/-6久-18=12(x+l)(x-|),令尸(x)=0,得％=-1或x=|,

當尸(x)>。時，即12(x+l)(x—|)>。，解得或x<—1,單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,—1)和(|,+8).

當尸(x)<0時，即12(x+l)(x—|)<0,解得一l<x<|,單調(diào)遞減區(qū)間為(—1,|).

函數(shù)〃%)的極大值為f(-l)=38,極小值為f(|)=*

(2)由|S［0,3］,/(0)=27,f(3)=54,則居)</(0)<f(3)

且/(x)在區(qū)間［0,3］上連續(xù)，函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,3］內(nèi)的最大值為54,最小值為學.

5.(24-25高三下?重慶?階段練習)已知函數(shù)/(X)=In%+x2-kx+1在點(2,/(2))處的切線2與直線3*—2y=

0平行.

(1)求k的值及切線/的方程；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】(l)k=3,y=|x+In2-4

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,J和(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為G，l),極大值為極小值為一1

【分析】(1)求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出匕即可求出f(2),再由點斜式求出切線方程;

(2)求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，再解關(guān)于導函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.

【詳解】(1)因為f(%)=Inx+x2—kx+1,所以/''(x)=^+2x—k,

則尸(2)=|-/c,故f(x)在％=2處的切線斜率為《一k,

|=|,解得k=3,即/'(%)=Inx+/—3久+1,

因此f(2)=ln2+4-6+1=In2-1,

所以函數(shù)在點(2,/(2))處的切線八y-(ln2-l)=|(%-2),即y=|x+ln2-4.

(2)由(1)可得/(%)=In%+/—3%+1,定義域為(0,+8),

又廣(X)=工+2%—3=2--3支+1=(2XT)(XT),

XXX

令尸(%)>0,解得0<x<g或x>1；令/''(%)<0,解得［<%<1,

所以f(x)在(0彳)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞增，在6,1)上單調(diào)遞減，

則f(x)在尤=(處取得極大值，在x=1處取得極小值，

即極大值為(=ln1-1,極小值為"1)=-1,

綜上所述，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,￡)和(L+8),單調(diào)遞減區(qū)間為C，l),極大值為極小值為一1.

考點三、求含參函數(shù)的極值

1.(2024?遼寧?模擬預測)已知函數(shù)/(久)=(ax—l)ex+1+3(a10).

(1)求/O)的極值；

(2)設a=l,若關(guān)于x的不等式/'(x)W(6-l)e久+】一久在區(qū)間［一1,+oo)內(nèi)有解，求b的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)［1,+8).

【分析】(1)利用導數(shù)分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可求極值；

(2)問題等價于b2露+X在區(qū)間［—1,+8)內(nèi)有解，令g(x)=M+x(x2一1),利用導數(shù)求函數(shù)最小值

即可得b的取值范圍.

【詳解】(1)/'(x)=(ax—1+a)e*+i,令尸(x)=0,得X=匕^.

當a>0時，由尸(%)<0,得x〈詈，由尸(x)>0,得x>?,

故/(x)在區(qū)間(-8,0內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(停,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,

所以f(x)在久=?處取得極小值，且極小值為/=3—ae?,無極大值;

當a<0時，由尸(%)>0,得％<拶，由/'(久)<0,得無>拶，

故f(X)在區(qū)間(-8,工于)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(早,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

所以f(x)在x=m處取得極大值，且極大值為/(^)=3—aea,無極小值.

1

綜上，當a>0時，/(%)的極小值為3-。而，無極大值；

當a〈0時，/(%)的極大值為3-ae￡,無極小值.

(2)。=1時，/(%)W(b-l)e%+i-％等價于bN*+%，則力之黑+%在區(qū)間［-1,+8)內(nèi)有解.

令9(比)=霽+比(久2-1),則g'(x)=：:)，

令h(x)=ex+1—(%+2),x>—1,貝!J"(X)=ex+1—1在［—1,+8)上單調(diào)遞增，有〃(久)>〃(—1)=0,

所以無0)在區(qū)間［—1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，即似X)>h(-l)=0,

所以g'(x)>0在區(qū)間［-1,+8)內(nèi)恒成立，

所以g(x)在區(qū)間［—1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，即g(x)2g(—1)=1,即b21,

故b的取值范圍是［1,+8).

2.(24-25高三上?上海?單元測試)己知/(%)=-鼻/+久—皿1+x),其中a>0.

(1)若函數(shù)/(x)在x=3處的切線與x軸平行，求a的值；

(2)求人久)的極值點;

(3)若f(x)在［0,+8)上的最大值是0,求a的取值范圍.

【答案】(l)a=［;

(2)答案見解析；

(3)［1,+8).

【分析】(1)利用函數(shù)導數(shù)的幾何意義與直線斜率的關(guān)系求得a的值;

(2)先對函數(shù)進行求導，結(jié)合對參數(shù)分類討論，計算函數(shù)極值點;

(3)對參數(shù)進行分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性找到最大值是0,求得a的取值范圍;

【詳解】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(一1,+8),

f'(X)=—CLX+1----，

'、'1+X

因為函數(shù)f(x)在x=3處的切線與X軸平行，

所以尸(3)=—3a+1-/-=0,解得a=》

1+34

(2)函數(shù)f(x)的定義域為(-1,+8),

-ax(l+x)+l+x-l_x(l-a-ax)

1+X1+X

令/''(X)=0得X］=0或￡2==5—1，

所以當乙一1<0,即a>l時，

a

/'(X)>0的解集為弓一1,0),/(x)<0的解集為(一1(—1)U(0,+8),

所以函數(shù)/O)在區(qū)間(—1(—1)和(0,+8)上嚴格減，在區(qū)間弓-1,0)上嚴格增,

x=0是函數(shù)/(x)的極大值點，X=｝一1是函數(shù)/'(X)的極小值點；

當(―1=。，即a=l時，/(x)W0在區(qū)間(―1,+8)上恒成立，此時函數(shù)/(x)在區(qū)間(—1,+8)上嚴格減，無

極值點；

當工-1>0,即0<a<1時，

a

f'M>0的解集為(03-1),尸(x)<0的解集為(—1,0)Ug-1,+8),

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(一1,0)和G-1,+8)上嚴格減，在區(qū)間(03-1)上嚴格增，

X=0是函數(shù)/(X)的極小值點，x=(一1是函數(shù)f(x)的極大值點；

綜上，當a>l時，x=0是函數(shù)/'(%)的極大值點，％=5-1是函數(shù)/(x)的極小值點；

當a=l時，函數(shù)/(%)在區(qū)間(—1,+8)上嚴格減，無極值點；

當0<a<l時，x=0是函數(shù)f(x)的極小值點，x=1-1是函數(shù)/Xx)的極大值點.

(3)由(2)知，當0<a<l時，函數(shù)/(x)在區(qū)間&—1,+8)上嚴格減，

在區(qū)間(03一1)上嚴格增，故函數(shù)/(x)在［0,+8)上的最大值是「@一1)>/(0)=0,

與已知矛盾；

當a=l時，函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,+8)上嚴格減，最大值f(X)max=f(0)=0,滿足條件；

當a>l時，函數(shù)/(￡)在區(qū)間［0,+8)上嚴格減，最大值是/(x)max="0)=0,滿足條件；

綜上,a的取值范圍是［1,+8).

即時檢測

I____________________

1.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(%)=ex—ax+2(a6R),g(x)=xex+3.

(1)求函數(shù)/(%)的極值；

(2)當%>0時，/(x)<g(%)恒成立,求證：a>0.

【答案】(1)極小值Q-alna+2,無極大值

⑵證明見解析

【分析】(1)利用導數(shù)即可求得函數(shù)/(%)的極值；

(2)構(gòu)造新函數(shù)，并利用導數(shù)求得新函數(shù)的最大值，即可證得aN0.

【詳解】(1)/'(%)=ex-a,

a40時，/(%)>0,此時函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，無極值.

a>0時，令尸(%)=ex—a=0,解得第=Ina.

則%>Ina時,r(%)>0,此時函數(shù)/(%)單調(diào)遞增；

%Vina時,//(%)<0,此時函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，

可得:%=Ina時,

函數(shù)/(%)取得極小值/(Ina)=elna—alna+2=a—alna+2.

f(x)無極大值.

(2)解法一:

/(%)<g(x),只需證明e*—ax+2<xex+3.

%=0時，不等式成立;

只需證明x>0時，a2士主

X

-x2ex-ex+l+xex

令九(%)=e-1一祀_,久〉0,則九'(%)=

xX2

令〃(%)=—x2ex—ex+1+xex,%>0,

“'(汽)=—2xex—x2ex—ex+ex+xex=—xex—X2QX<0,

Au(%)<u(0)=0.A/i^x)<0,

/l(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

...利用洛必達法則：1皿巴上"=lim=*=0,

x-?0xx->01

/.a>0.

解法二：(切線放縮)

要證明/(%)<g(%),只需證明e*-ax+2<xex+3,

只需證明-a%-1<ex(x-1),

令m(%)=—ax—1(%>0),n(x)=ex(x—1),

則%>0時，n\x)=xex>0,則九(%)單調(diào)遞增,

x<0時，nf(x)=xex<0,則九(%)單調(diào)遞減,

則％=0時n(%)取得極小值幾(0),

/.n(x)min=n(0)=-1,畫出m(%)和九(汽)圖象如圖所示，

當久>0時，m(x)<幾(%)恒成立即zn(%)圖象必須在以X)下方,

n(x)=ex(x—1)在％=0時取得極值7i(0)=—1,

y=-1為以%)在點(0,-1)處的切線,

**?一ciW0,aN0.

2.(2024?山東威海?二模)已知函數(shù)f(%)=In%—a%+1.

⑴求武支)的極值;

(2)證明：Inx+x+1<XQX.

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性以及極值的關(guān)系，即可求得答案；

(2)根據(jù)要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特點，設g(x)=xd—Inx-x—l,x>0,求出其導數(shù)，利用導數(shù)判斷其

單調(diào)性，結(jié)合其最值，即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)由題意得/1⑺=Inx-ax+1的定義域為(0,+8),

則尸(%)=1_a=手，

當aWO時，f'(x)>0,/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,無極值；

當a>0時，令尸(x)<0,則;c>，，令尸(%)>0,則0<x<(,

即f(x)在(0點上單調(diào)遞增，在(%+8)上單調(diào)遞減，

故x=(為函數(shù)的極大值點，函數(shù)極大值為/(￡)=-lna,無極小值；

(2)證明：設g(x)=—In%—%—1,%>0,

g\x)=(%+l)ex——1,令九(%)=(%+l)ex——1,

則九，(%)=(%+2)ex+/>0,(%>0),即h(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

hG)=|e5—3V0,ft(e)=(e+l)ee-j—1>0,

x

故e(|,e)，使得h(%o)=0,BP%oe°=1,

當汽G(O,%o)時，ft(x)<0,g(x)在(O,%o)上單調(diào)遞減，

當%e(%o，+8)時，ft(x)>0,g(%)在(g,+8)上單調(diào)遞增,

x

故g(%)min=g(%o)=Xoe°-In--XQ-1=0

即g(%)>0,BP%ex>Inx+%+1,則In%+%+1<xex.

3.(20-21高三上?四川宜賓?階段練習)設函數(shù)/(%)=-：/+%2+(根2一1)與(％61<),其中租>0.

⑴當租=1時，曲線y=/(%)在點(1,/(1))處的切線斜率；

⑵求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

【答案】(1)1

(2)答案見解析

【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義，結(jié)合導數(shù)的四則運算即可得解；

(2)利用導數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)的關(guān)系即可得解.

【詳解】(1)當m=1時，/(%)=—+%2,

則/(%)=-x2+2%,故/(1)=1

所以曲線y=/(%)在點(1)(1))處的切線斜率為1.

(2)因為/(%)=—+%2+(m2_1)居(％eR),

所以/'(%)=—%2+2x+m2—1,

令/(久)=0，得到％=1—mlx=14-m

因為zn>0,1+m>1—m,

當x變化時，/(%)與/(%)的變化情況如下表：

X(—8,1—m)1—m(1—m,1+m)1+m(1+m,+8)

fix)—0+0—

fix)極小值極大值

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,1-7n)和(1+m,+oo),單調(diào)遞增區(qū)間為(1一m,l+m),

函數(shù)/(汽)在久=1+m處取得極大值/(I+m),且/(1+m)=|m3+m2—

函數(shù)/(%)在％=1—m處取得極小值/(I—m),且/(I—m)=—|m3+m2—

4.⑵-24高三上?安徽合肥?階段練習)已知函數(shù)/(%)=y-blnx.

(1)當b>0時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值

(2)若f(%)在區(qū)間(1通2］內(nèi)恰好有兩個零點，求b的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為［VE+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(o,VF),極小值為/(VF)=月地,無極大

(2)e<b<-

4

【分析】(1)根據(jù)題意，求導得/'(X),即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，分bWO與b>0討論，列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】⑴由/(x)=^■-blnx得尸(x)=%-g=+三且定義域為(0,+8)

'.'￡>>0,令/(%)>0,即/—b>0,解得x>

令尸(x)<0,解得0<x<\fb,

則/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為［VF,+00),單調(diào)遞減區(qū)間為(o,VF)；

f(X)在％=傷處的極小值為/(死)=”也，無極大值.

(2)當bW0,r(x)>0恒成立，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故/O)在區(qū)間(1,e2］內(nèi)至多只有一個零點；

當b>0時，由(1)得/⑺在(0,+8)上最小值為〃yF)=號2

1<Vb<e2

若/(久)在區(qū)間(l,e2］內(nèi)恰有兩個零點，則需滿足，，整理得

I/(e2)>0

5.(23-24高三上?廣東深圳?階段練習)己知/(x)=ax-In無,aeR.

(1)討論/(x)的單調(diào)性和極值；

(2)若xe(0,e]時，f(￡)W3有解,求a的取值范圍.

【答案】(1)見解析

(2)(-oo,e2]

【分析】(1)首先求函數(shù)的導數(shù)，尸(K)=平,0>0),討論aW0和a>0兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性和

極值；

(2)首先不等式參變分離為a<|+等，在xe(0,e]時有解，再構(gòu)造函數(shù)g(x)=：+等，xe(0,e],轉(zhuǎn)化為

利用導數(shù)求函數(shù)的最大值.

【詳解】(1)f'(x)-a-^=笠30>0),

當aW0時，/(x)<0恒成立，函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，無極值；

當a>0時，令f'(x)=0,得x=

/'0)<o,得o<x</函數(shù)在區(qū)間(o,￡)上單調(diào)遞減，

尸(x)>0,得￡>[,函數(shù)在區(qū)間弓,+8)上單調(diào)遞增，

當X.函數(shù)取得極小值fQ=1+lna,

綜上可知，aWO時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+8),無增區(qū)間，無極值；

a〉0時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是+8),單調(diào)遞減區(qū)間(0,￡),極小值1+lna,無極大值.

(2)由題意可知，ax—Inx<3,%€(0同時有解，

則在％W(0,e]時有解,即Q4(2+電，,x6(0,e],

xx\xx7max

設g(%)=1xE(0,e],

，/、3,l-lnx-2-lnx

g(x)=—+==r^，

令g，(x)=0,得x-

當0<%<己時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)的最大值為g(3=e2,即a。2,

所以實數(shù)a的取值范圍是(-8,e2].

考點四、由極值求參數(shù)

典例引典

1.(24-25高三下?重慶?階段練習)若函數(shù)/⑺=(ax2+6)1在久=1時有極小值—2e,則尤=()

A.-2B.-3C.—QD.—1

【答案】B

【分析】先求出了'(%),再根據(jù)極值的定義列等式求出。和b,然后檢驗此時/(%)在％=1時是否有極小值，即

可確定a和b的值，進而得到ab.

【詳解】尸(%)=(ax2+2ax+h)ex,因為/(%)在％=1時有極小值—2e,

-/⑴=°gn常螳:二〉解得｛建

所以/⑴=-2」即

此時/''(X)=(x2+2x—3)e*=(x+3)(x—l)ex,

x<—3或x>1時，/(x)>0,-3<%<1時，尸(x)<0,

f(x)在x=1時有極小值成立，所以a=l,b=-3,ab=-3.

故選：B.

2.(2024?重慶?模擬預測)若函數(shù)/(久)=/一乂+a也久有極值，則實數(shù)a的取值范圍是()

A?(咽B.(琨)C,(-oo,!)D.(-co,l]

【答案】C

【分析】求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，依題意可得尸(久)在(0,+8)上有變號零點，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到

△>0,解得即可.

【詳解】函數(shù)/'(無)=一久+alnx的定義域為(0,+8),且/(x)=2x-1+￡=之子蛆，

因為函數(shù)/(x)有極值，所以/(%)在(0,+8)上有變號零點，

即2——%+a=0在(0,+8)上有解(若有兩個解，則兩個解不能相等)，

因為二次函數(shù)y=2x2-x+a的對稱軸為x=%開口向上，

所以只需△=(—1)2—8a>0,解得a<%即實數(shù)a的取值范圍是(一8譚).

故選：C

即時檢測

1.(2024.重慶.模擬預測)已知/(X)=ex+aln(l-x)

(1)若/(x)在x=0處的切線平行于x軸，求a的值；

(2)若/"(>)存在極值點，求a的取值范圍.

【答案】(l)a=1

(2)0<a<1

【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)已知條件有尸(0)=0,解方程即可求出a；

(2)根據(jù)條件有尸(x)在Xe(-8,1)上至少有一個變號零點，即a=ex(l-x)(x<1)至少有一解，構(gòu)造函

數(shù)g(x)=e?l-x)(%<1),對g(x)求導，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)最值，進而即得.

【詳解】(1)因為/(X)=e*+aln(l-％)(x<1),所以r(x)=e*-2(x<1),

1-X

根據(jù)題意有尸(0)=0,即?。一。=0,解得a=1,

檢驗，此時/(0)=1,切線為y=l,平行與無軸，故a=1符合題意.

(2)因為/(%)=ex+aln(l—%)(%<1),所以廣(%)=ex———(%<1),

1-X

因為/(%)存在極值點，所以/'(%)在％G(-8,1)上至少有一個變號零點，

即a=ex(l—x)(x<1)至少有一解，令g(久)=ex(l—x)(x<1),

則g'(%)=—xex(%<1),令gO=0,即—%e*=0,解得%=0,

所以當％6(-8,0)時，g\x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當%G(0,1)時,“(%)<0,g(%)單調(diào)遞減,

所以g(%)max=9(0)=1，又當％1-8時，g(%)—o+,

所以0<a<1.

2.(2024?遼寧?二模)已知函數(shù)/(%)=a/—1(3a+I)/+%,0eR.

⑴討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)的極小值為-|,求實數(shù)a的取值集合.

【答案】(1)答案見解析

(2)a￡｛一品出

【分析】(1)對函數(shù)求導，根據(jù)a的不同范圍，分別求出函數(shù)的單調(diào)性；

(2)結(jié)合(1),由a的不同范圍確定極小值點，列出方程求解即可.

【詳解】(1)/'(%)=3ax2—(3a+l)x+1=(3ax—1)(%—1),

①當a=0時，令/'(%)=—(%—1)=0,x=1,

當%6(一8,1)時，((%)>0,/(%)單調(diào)遞增，

當?shù)?(1,+8)時，尸(%)v0,f(%)單調(diào)遞減;

②當a<0時，令尸(%)=(3ax—1)(%—1)=0,解得％=1或%=^<0,

當冗G(一8總)和(L+8)時，/(%)<0,/(%)單調(diào)遞減；

當久€身,1)時，/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增;

③當a>0時，令廣(%)=(3ax—1)(%—1)=0,解得％=(或%=^>0,

i)當專VI時，即a>削寸，

當工€(-8涓)和(1,+8)時，f(x)>0,/(%)單調(diào)遞增；

當汽6(9，1)時，f'(x)<0,/(%)單調(diào)遞減；

ii)當親>1時，即0<aV：時，

當％e(一8,1)和馬,+8)時，/(%)>0,/(%)單調(diào)遞增；

當％e(1浸)時，/'(%)v°，/O)單調(diào)遞減；

適)當卷=1時，即。=(時，/⑴>o,/(%)在R上單調(diào)遞增；

綜上所述，當a〈o時，/(%)在(-8,；)和(1,+8)單調(diào)遞減，/(%)在(2,1)單調(diào)遞增;

當a=0時，/(%)在(一8,1)單調(diào)遞增，/(久)在(1,+8)單調(diào)遞減；

當a=［時，fO)在R上單調(diào)遞增；

當a>巳時，f(x)在(—8點和(1,+8)單調(diào)遞增，“%)在金1)單調(diào)遞減；

當0<a<：時，f(x)在(-8,1)和舄,+8)時單調(diào)遞增；了⑺在(1,分單調(diào)遞減.

(2)①當a=［時，"X)在R上單調(diào)遞增，無極值；

②當a<0時，f(x)在(一8總和(1,+8)單調(diào)遞減，/(%)在晝,1)單調(diào)遞增；

所以f(%)的極小值為〃專)，

故f忘)=a矗③-i(3a+1)(J2+5=—I，

化簡得，(：-12)(：+3)=0,解得a=V或a=V(舍去)；

③當a>1時，f(x)在(—%表)和(1,+8)單調(diào)遞增，f(x)在屏,1)單調(diào)遞減，

所以"X)的極小值為/(I),

故f(1)=a--(3a+1)+1=—弓，解得a--符合題意；

④當0<a<［時，/0)在(一8,1)和舄,+8)時單調(diào)遞增；f(x)在(1,專)單調(diào)遞減，

所以“X)得極小值為/總，

故f導=。㈢3+1)(勺2+'=一|,解得&=七或。=-1(舍去).

故實數(shù)a

3.(22-23高三上?全國?階段練習)己知函數(shù)/(*)=爐+ax2-1在x=-1時取得極值.

(1)求/(久)的解析式；

(2)若函數(shù)y=/(x)-4有一個零點，求實數(shù)4的取值范圍.

【答案】(1)/0)=/+|%2一1

(2)(-00,-1)U(一1，+8)

【分析】(1)由已知可得尸(-1)=3-2a=0,可得出關(guān)于實數(shù)a的方程，解出a的值，即可得出函數(shù)f(x)的

解析式；

(2)分析可知，直線y=4與函數(shù)/(x)的圖象有1個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)

合可得出實數(shù)4的取值范圍.

【詳解】(1)因為/(%)=/+一1,則/(%)=3/+2a%,

由題意可得f(-1)=3—2a=0,解得a=|,

所以/(汽)=7+1/—1,此時，f'(x)=3%2+3%,

經(jīng)檢驗可知，函數(shù)/(%)在%=-1處取得極值，

因此/(久)=%3+1%2—1；

(2)問題等價于/(第)=a有一個的實數(shù)根，求a的范圍，

由((%)=3%2+3%>0,得x<—1或%>0,

由/'(%)=3/+3%V0,得-1<%VO,所以f(%)在(-8,-1)、(0,+8)上單調(diào)遞增,

在(-1,0)上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)的極大值為f(-l)=-i,

極小值為/(0)=-1,如下圖所示：

由圖可知，當2>—［或2<—1時，直線y=4與函數(shù)/(￡)的圖象有1個交點,

因此，實數(shù)2的取值范圍是(一8,-1)U+8).

4.(23-24高三上?遼寧丹東