河南省信陽市2024-2025學(xué)年高二年級上冊11月期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

*2024年11月13日

2024-2025學(xué)年普通高中高二上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。考生作答時，將答案答在答題卡上，

在本試卷上答題無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將本人的姓名、準(zhǔn)考證號等考生信息填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)

考證號填涂在相應(yīng)位置。

2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；非選擇

題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。

4.保持卡面清潔，不折疊，不破損。

第I卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知向量a=（2,1,2）,Z?=（m-2,m,5）,若a_L6,則相等于（）

A.-4B.-2C.2D.4

2.已知A（l,—2）,3（2,1）,C（0,-l）,經(jīng)過點C作直線/,若直線/與線段A8沒有公共點，則直線/的傾

斜角的取值范圍為（）

一c兀

A.B.0,—

丐4

3.已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2.用計算器產(chǎn)生1?5之間的隨機數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機數(shù)1時，表

示設(shè)備一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2,由于有3臺設(shè)備，所以每3個隨機數(shù)為一組，代表3臺設(shè)備一年內(nèi)

需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機數(shù)如下：

412451312533224344151254424142

435414335132123233314232353442

據(jù)此估計一年內(nèi)這3臺設(shè)備都不需要維修的概率為（）

A.0.4B.0.45C.0.55D.0.6

4.口袋中裝有質(zhì)地和大小相同的6個小球，小球上面分別標(biāo)有數(shù)字1,1,2,2,3,3,從中任取兩個小球，

則兩個小球上的數(shù)字之和大于4的概率為（）

1231

B.-D.——

35515

5.曲線C：（V+y2—I].8（/+力+15=0的周長為（）

A.307rB,4^271C.6071D.12^271

6.某大學(xué)選拔新生進(jìn)“籃球”“舞蹈”“美術(shù)”三個社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計，新生通過考核選拔進(jìn)入這三個社團(tuán)

成功與否相互獨立.假設(shè)某新生通過考核選拔進(jìn)入“籃球”“舞蹈”“美術(shù)”三個社團(tuán)的概率依次為工，如

2

17

n,已知三個社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為一，至少進(jìn)入一個社團(tuán)的概率為一，則（）

189

11212111

A.m=—,n=—B.m=—,n=—C.m=—,n=—D.m=—,n=—

33323332

7.在長方體ABC?！狝gGA中，AG與平面AB。所成的角為a，AC1與4與所成的角為夕，則下列

關(guān)系一定成立的是（）

A.a>J3B.a+）3=90°C.a+J3>90°D.a+/3<90°

8.已知圓C：x2+y2-2x-4y-4^0,尸為直線/：x+y+2=0上一點，過點P作圓C的兩條切線，切

點分別為A和8,當(dāng)四邊形出CB的面積最小時，直線A8的方程為（）

A.5x+5y+3=0B.5x-5y+3=0C.5%+5y-3=0D.5x-5y-3=0

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設(shè)事件4="第一次出現(xiàn)2點"，B="第二次的

點數(shù)小于5"，C="兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”,D="兩次點數(shù)之和為9”,則下列說法正確的有（）

A.A與8不互斥且相互獨立B.A與?；コ馇也幌嗷オ毩?/p>

C.8與?；コ馇也幌嗷オ毩.A與C不互斥且相互獨立

10.已知圓。：x~+y~=4與圓C：x~+_y~—2.x+4y+4=0相父于A,B兩點，直線/：x~2y+5=0,

點尸為直線/上一動點，過尸作圓。的切線尸M,PN（M,N為切點），則下列說法正確的有（）

4d5

A.直線AB的方程為x—2y+4=0B.線段的長為天一

C.直線MN過定點D.\PM\的最小值是1

11.在三棱錐PABC中，PC_L平面ABC,PC=AB=3,平面ABC內(nèi)動點D的軌跡是集合

M={MD4|=2|DB|}.已知且在棱A8所在直線上，i=l,2,則（）

A.動點D的軌跡是圓B.平面PCD,1平面PCD2

三棱錐體積的最大值為三棱錐外接球的半徑不是定值

C.PABC3D.P-DXD2C

第n卷

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知空間內(nèi)A,B,C,。四點共面，且任意三點不共線，若尸為該平面外一點，PA=-PB-xPC--PD,

33

貝口=.

13.已知事件A與事件B相互獨立，若尸（A）=0.3,P（B）=0.4,則尸（初）=.

14.若直線無一ysin8+2=0與圓f+Q—1J=i只有一個公共點，則1?。=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

已知圓C的圓心在直線x-2y=0上，且與y軸相切于點（0,1）.

（1）求圓C的方程；

（2）若圓C與直線/：%—y+m=0交于A,B兩點,且,求根的值.

從下列兩個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：

?ZACfi=120°；@|AB|=2^.

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.

16.（本小題滿分15分）

某校田徑隊有3名短跑運動員，根據(jù)平時的訓(xùn)練情況統(tǒng)計：甲、乙、丙3名運動員100m跑（互不影響）的

311

成績在13s內(nèi)（稱為合格）的概率分別是一，一，-.若對這3名短跑運動員的100m跑的成績進(jìn)行一次檢

423

測.

（1）3名運動員都合格的概率與3名運動員都不合格的概率分別是多少？

（2）出現(xiàn)幾名運動員合格的概率最大？

17.（本小題滿分15分）

如圖，在三棱錐中，ABLBC,AB=2,BC=20,APfiC為等邊三角形，BP,AP,BC的中

點分別為。，E,O,且49=6。。.

p

(1)證明：平面ABC_L平面P8C.

(2)若P為AC的中點，求點C的平面BEF的距離.

18.(本小題滿分17分)

在梯形ABC。中，AB//CD,ADLCD,尸為AB中點，AB=2AD=2,CD=3,EC=2DE,如

圖，以EF為軸將平面ADEF折起，使得平面石尸，平面8CEF.

(1)若M為EC的中點，證明：Mb〃平面48C；

(2)證明：平面5DE_L平面BCD；

(3)若N是線段OC上一動點，平面8NE與平面夾角的余弦值為逅，求。N的長.

6

19.(本小題滿分17分)

在平面直角坐標(biāo)系尤。V中，圓O為AABC的內(nèi)切圓，其中3(2,-1),C(-l,3).

(1)求圓。的方程及點A的坐標(biāo)；

(2)在直線A0上是否存在異于點A的定點Q,使得對圓0上任意一點P,都有|以|=川尸。］(2為常

數(shù))？若存在，求出點。的坐標(biāo)及力的值；若不存在，請說明理由.

2024-2025學(xué)年普通高中高二上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢

測數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題

1.B

【解析】由〃_Lb,a=(2,l,2),b=(m—2,m,5),得2小一4+相+10=0.解得根=-2.

2.C

【解析】直線的傾斜角為乙7T，直線AC的傾斜角為37r叫，根據(jù)傾斜角定義，故選C.

44

3.C

【解析】由題意可知，代表事件”一年內(nèi)3臺設(shè)備都不需要維修”的數(shù)組有533,224,344,254,424,435,

335,233,232,353,442,共11組.所以一年內(nèi)這3臺設(shè)備都不需要維修的概率為P=—=0.55.

20

4.A

【解析】記兩個標(biāo)有數(shù)字1的小球分別為A,a,兩個標(biāo)有數(shù)字2的小球分別為2,b,兩個標(biāo)有數(shù)字3的小

球分別為C,c.從中任取兩個小球的所有可能結(jié)果有AmAB,Ab,AC,Ac,aB,ab,aC,ac,Bb,BC,

Be,bC,be,Cc,共15種情況，其中滿足兩個小球上的數(shù)字之和大于4的有BC,Be,bC,be,Cc,共5

種情況.所以兩個小球上的數(shù)字之和大于4的概率為P=-=-.

153

5.C

【解析】由(V+y2—1)2—8(f+)2)+15=。，得(-+/—1)2—8(Y+y2—1)+7=0,即

[(X2+/-l)-l][(x2+/-1)-7]=0,即％2+y2=2或/+/=8.所以曲線C表示兩個同心圓，且

這兩個圓的半徑分別為點，20.所以曲線C的周長為2兀義(應(yīng)+20)=6071.

6.A

1

m=—

【解析】依題意,解得4J

17

7.D

【解析】因為CC1，平面ABCD,所以NC]AC=a.易知NGA3]=，，則sina=CJ,cos/3=^-,

sin￡="G.因為CG，與。的大小關(guān)系不確定，所以無法確定sina,sin夕的大小關(guān)系，則a,夕的

大小不確定，A錯誤.因為sina=C9,cos夕="白=更￡^^—〉,所以sina＜cos/7=sin

AqAC,ACXACX

（90?！?）.因為a,夕均為銳角，所以90。一萬也是銳角，則々＜90。—/，即。+尸＜90。.

8.A

【解析】由/+/—2%一4y—4=0=（無一1?+（丁一2）2=9,得圓C的圓心C（l,2）,半徑r=3.因為

\AP\=^\PCf-\ACf=s]\PCf-9，所以四邊形PACB的面積S=2x^\AP\-\AC\=3^\PCf-9.所以當(dāng)

x-y+l=0

|PC|最小時,5也最小，此時，PCL.故尸C的方程為y—2=x—l,即x—y+l=0.聯(lián)立,

x+y+2=0

313.所以直線AB的方程為—1）+（—；—2]（y—2）=9,

解得％=__,y=__,即P

222

化簡，得5x+5y+3=0.

二、選擇題

9.ABD

【解析】因為A與B可能同時發(fā)生，所以它們不互斥，且兩者發(fā)生的概率互不影響，所以A與8不互斥且

相互獨立，A正確.因為當(dāng)A發(fā)生時，兩次點數(shù)之和不超過8,所以。不可能發(fā)生，即A與。不可能同時發(fā)

生.所以A與?；コ?又因為A不發(fā)生時，。有可能發(fā)生，所以A發(fā)生與否影響。發(fā)生的概率.所以A與。

不相互獨立，B正確.同理可得，B與。也不相互獨立.因為8與D可能同時發(fā)生（如第一次拋出5點，第

二次拋出4點），所以它們不互斥，C錯誤.顯然A與C可能同時發(fā)生，所以兩者不互斥.因為A發(fā)生與否都

有尸（c）=g,所以A與。相互獨立，D正確.

10.BCD

+V2—A

【解析】聯(lián)立1。，兩式相減，得x—2y—4=0即為直線AB的方程，A錯誤.聯(lián)立

x2+y--2x+4y+4=0

8

x——公

x2+y2=4尤=°或＜

,用＜56,則|AB|=——,B正確.設(shè)加（七,另），N值,%）,

x2+y2-2x+4y+4=0[y=-2

因為M,N為圓0的切點，所以直線PM的方程為XX]+?1=4,直線PN的方程為x%+y%=4.設(shè)

P（x0,y0},貝4"十%M=4,所以直線MN的方程為5+%丁=4.又因為％—2%+5=0,所以

5OX2+%%=4

4

x=——

2x+y=05

（2x+y）y0-5x-4=0.由<得，即直線MN過定點C正確.因為

-5x-4=0

|0-0+5|

PM2+OM2=PO2,所以當(dāng)|/網(wǎng)最小時，|「。|最小，且|PO|的最小值為=石，所以此時

|PM|=75^4=1,D正確.

11.ABC

【解析】對于A,在平面ABC內(nèi)，以點3為坐標(biāo)原點，54方向為無軸正方向建立如圖1所示的平面直角

坐標(biāo)系，則3（0,0）,A（3,0）.設(shè)￡＞（羽y）,貝可￡＞時=必+/,口不=（%一3『+/.又12Ml=2Q@,

所以（x—3）2+寸=4（必+力，即（九+行+/=4,則點。的軌跡是以（_1,0）為圓心，2為半徑的圓,

A正確.

圖1

對于B,由A的分析可知，22為圓的直徑，又點c在圓上，所以cp?如圖2,因為PC,平面

ABC,CD】u平面ABC,所以PC_LC￡>i.又尸CCD2=C，所以CR_L.平面PCZJ?又u平面PCR,

所以平面PC2，平面PCZ＞2,B正確.

圖2

對于C,點尸到平面ABC的距離確定了，A3的長度確定了，所以當(dāng)點C到直線A2的距離最大時，三棱錐

PABC的體積最大.顯然點C到直線AB的距離的最大值為2,此時三棱錐PABC的體積

%-板=g|PC|x；忸|x2=（x3x3x2=3,C正確.

對于D,因為平面PC。，平面PC。?，平面兩兩相互垂直，所以可以將三棱錐P-。。2c補成直

四棱柱，易知直四棱柱的外接球即三棱錐P-。。2c的外接球，直四棱柱的外接球直徑等于

+|CD『+|°3「.因為=9，|。。『+|。￡>2|2=|口。2「=16,所以三棱錐尸—DQ2c外接球

的半徑是定值D錯誤.

2

三、填空題

1

12.—

3

【解析】由*—X—工=1,解得％

333

13.0.28

【解析】因為事件A與事件8相互獨立，所以事件.與事件2相互獨立.因為尸（A）=0.3,尸（5）=04,

所以=l—0.3=0.7.所以尸（初）=尸（彳）尸（3）=0.7*0.4=0.28.

,377

14.土二一

7

【解析】圓半徑r=1,圓心（0,1）到直線尤―ysin。+2=0的距離為d=W"：.因為直線與圓只有一

Vl+sin20

個公共點，所以d=r，即忸生1=1,解得sin￡=a.所以tan6=土地.

Jl+si/e47

四、解答題

15.

（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為C（Q,Z?）,半徑為八

由圓。的圓心在直線x—2y=0上，得a=2b.

因為圓C與y軸相切于點（0,1）,所以Z?=l,a=2,則尸=|a—0]=2.

所以圓C的圓心坐標(biāo)為（2,1）,則圓C的方程為（％—2）2+（y—1）2=4.

（2）如果選擇條件①：ZACB=nO°,m|C4|=|CB|=2,

|2-1+/司

所以圓心C到直線/的距離d==1.解得加=V2-1或zn=-\/2-1.

如果選擇條件②：|AB|=26,而|CM=|CB|=2,

所以圓心C到直線/的距離d=JCA/—包］=1,則d=巴1+時=1.解得加=J5—1或/=-、歷—1.

V112^TZT

3

16.設(shè)甲、乙、丙3名運動員100機跑合格分別為事件A,B,C,顯然A,B,C相互獨立，且P（A）="

P"）=；，P（C）J，P（A）=l^=j,P（B）=l-P（B）=i,P（C）=1-P（C）=|.

設(shè)恰有左名運動員合格的概率為6（左=0,1,2,3）.

（1）3名運動員都合格的概率為

3111

^=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=-x-x-=-.

3名運動員都不合格的概率為

^=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=ix1x|=1.

（2）2名運動員合格的概率為

=P（AJBC+ABC+ABC）=P（A）P（JB）P（C）+P（A）P（B）P（C）+P（A）P（JB）P（C）

3123111115

=—X—X——|——X—X--I——X—X—=——.

42342342312

1名運動員合格的概率為

-W13

88

因為

128812

所以出現(xiàn)2名運動員合格的概率最大.

17.

（1）因為AP3C為等邊三角形，D,O分別是BP,BC的中點，且5c=20,所以DO=3D=J5,

AD=6DO=R.

又AB=2,所以=">2,即至，班）.

又因為ABL5C,且BCBD=B,所以AB,平面P8C

又ABu平面ABC,所以平面ABC_L平面P8C.

(2)連接尸O,則PPO_L3C.由(1)可知，平面ABC_L平面PBC.

所以POJ_平面ABC.

因為尸為AC的中點，所以點C到平面BEF的距離等于點A到平面BEF的距離.

在直角AA5C中，可知5歹=生=‘8+2?=后,

22

ApO^2

在直角AABP中，可知5E=——=----------=6

22

因為EF是AACP的中位線，

在z“PC272r-

所以EF==----=72,

22

AfiEF的面積S、BEF=3*6xJ3—

設(shè)點A到平面BEF的距離為d,則三棱錐ABEF的體積VA_BEF=—d.

又A4B尸的面積S^BF=；x2x夜=J5,點E到平面A3F的距離為華=乎，

所以三棱錐EABF的體積/MF=Jx0x亞=1

323

山河百俎,2715

由----=—，得d=---------.

635

所以點C到平面8EF的距離為獨5.

5

18.

(1)由EC=2Z>E,CD=3,得EC=2,DE=1.因為M為EC的中點，尸為AB中點，AB=2,所

以MC=FB=1,且MC〃EB.所以四邊形尸為平行四邊形.所以

而仁平面ABC,3Cu平面A8C,所以叱〃平面A8C.

(2)因為平面ADEF_L平面BCER平面ADEFQ平面5CEF=石尸，

DEYEF,所以。石，平面