廣西欽州市2025屆高三年級(jí)上冊(cè)10月摸底考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

廣西欽州市2025屆高三上學(xué)期10月摸底考試數(shù)學(xué)試卷。

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若集合4={制式>2},B={y[2<y<3},貝)

A.4riB=0B.XCl5=AC.AU5=BD.AUB=A

2.曲線y=|x3+1在點(diǎn)(—3,—8)處的切線斜率為()

A.9B.5C.-8D.10

3.若向量南=(2,5),AC=(m,m+1),且4B,C三點(diǎn)共線，則zn=()

2233

A.—~B.-C.—-D."

4.在四棱錐P-ABCO中，“BC〃AD”是"BC〃平面PAD”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.(cosj+isin^)(cos^+isin^)=()

A.1B.iC.-1D.-i

6.已知雙曲線。蓋一卷=1的左、右焦點(diǎn)分別為％，&，P為C右支上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q為線段嗎的

中點(diǎn)，T為線段Q%上一點(diǎn)，且|Q7|=|0Q|,則|%T|=（）

A.3B.①C,4D.5

7.定義在R上的奇函數(shù)/（%）在（0,+8）上單調(diào)遞增，且/'（§=（）,則不等式碧W0的解集為（）

A.（―避，一4U（A/2,+co）B.（―oo,-A/2）U[―^,0）U，，餡）

C.（-艱，—,U｛0｝U（",+8）D.（—8,—泥）u[-4,。]U?，避）

8.若數(shù)列｛斯｝、｛4｝滿足的=。2=1，bn=an+1-n+1,bn+1-an-n+3,則數(shù)列｛an+的前5。項(xiàng)和

為（）

A.2500B,2525C,2550D,3000

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.廣西壯族自治區(qū)有7個(gè)市區(qū)的面積大于1.3萬平有千米，這7個(gè)市區(qū)為南寧市（22100平方千米）、柳州市

（18596平方千米），桂林市（27800平方千米），百色市（36300平方千米），河池市（33500平方千米），來賓

市（13411平方千米），崇左市（17332平方千米），這7個(gè)市區(qū)的面積構(gòu)成一組數(shù)據(jù)，則（）

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A.這組數(shù)據(jù)的極差為22889平方千米

B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)對(duì)應(yīng)的市區(qū)為桂林市

C.這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)對(duì)應(yīng)的市區(qū)為柳州市

D.這組數(shù)據(jù)中，大于1.8萬平方千米的頻率為搟

10.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀

與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正

四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為全故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為2兀-3義￡=兀如圖，在正方體

力BCD—AiBiCiDi中，AB=國貝1|()

A.在四面體48CD1中，點(diǎn)4的曲率為曾

B.在四面體ABC2中，點(diǎn)。1的曲率大于今

C.四面體ABC外外接球的表面積為12兀

D.四面體ABC%內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為m+4爐+3.

11.已知函數(shù)/(%)=|sin2x|+cos4x,貝(J()

A.f。)的最大值為搟

77

BJO)的最小正周期為萬

C.曲線y=/(*)關(guān)于直線x=華也GZ)軸對(duì)稱

q

D.當(dāng)久G[0,用時(shí),函數(shù)g(x)=16/0)-17有9個(gè)零點(diǎn)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.lg|+lg|=.

13.(x+y)(x-y)6的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，/黃項(xiàng)的系數(shù)為

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14.兩條都與y軸平行的直線之間的距離為6,它們與拋物線儼=4乂和圓（乂+4）2+*=4分別交于點(diǎn)a,B

和C,D,則|4B|?|C0|的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(13分)在AABC中，a,b,c分別是內(nèi)角力，B,C的對(duì)邊，且a2+爐=+c?,bcsinA=sinC.

(1)求C；

（2）求c的最小值.

16.（15分）在六面體486—4出。1。1中，44i_L平面4BCD,AAJ/BBJ/CCJ/DDr,且底面4BCD為菱

（1）證明：BD，平面4。。遇2.

7

（2）若44i=CCi=夕/.BAD=60°,AB==2,求平面4+1。山1與平面4BCD所成二面角的正弦值.

1

17.（15分）已知函數(shù)/'（久）=ax--+\nx.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若/（X）存在最大值，且最大值小于0,求a的取值范圍.

18.（17分）甲、乙兩個(gè)口袋都裝有3個(gè)小球（1個(gè)黑球和2個(gè)白球）.現(xiàn)從甲、乙口袋中各取1個(gè)小球交換放入

另外一個(gè)口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），交換小球九次后，甲口袋中

恰有2個(gè)黑球的概率為外，恰有1個(gè)黑球的概率為

⑴求Pl，Q1；

（2）求P2,Q2；

⑶求數(shù)列4｝的通項(xiàng)公式，并證明卻=i|%-||＜六.

19.（17分）若一個(gè)橢圓的焦距為質(zhì)數(shù)，且離心率的倒數(shù)也為質(zhì)數(shù)，則稱這樣的橢圓為“質(zhì)樸橢圓”.

（1）證明:橢圓笑+告=1為"質(zhì)樸橢圓”.

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(2)是否存在實(shí)數(shù)小，使得橢圓第+3=1(0<小<36)為“質(zhì)樸橢圓”？若存在，求根的值；若不存在,

說明理由.

(3)設(shè)斜率為2的直線I經(jīng)過橢圓C卷+噲=1(0<6<3)的右焦點(diǎn)，且與C交于4B兩點(diǎn)，明=署，試問

C是否為“質(zhì)樸橢圓”，說明你的理由.

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參考答案

1.D

2.2

3.5

4.C

5.B

6.C

7.0

8.C

9.ACD

1Q.ABD

11.5C

12.-1

13.0；-5

1/11280

9

15.解：⑴

222c，+C

H^/a+b=ab+c,所以cosC="2^b~"=p

TT

因?yàn)閏e(O,TT),所以c=p

(2)

因?yàn)閎csinA=sinC,

由正弦定理可知abc=c,

所以ab=1,

由a2+報(bào)=a。+c2,

得?2—a2+b2—ab>2ab—ab—ab-1,

則c>1,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，等號(hào)成立.

所以c的最小值為1.

16.1?：(1)

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因?yàn)樗倪呅?BCD為菱形，所以4c1BD.

又初1平面ABCD,BDu平面ABCD,所以訓(xùn)1BD.

因?yàn)?&C2C=A,AAltACu平面ACCA

所以BD1平面ACCMi.

(2)

由題意得BD=2,AC=28.

以菱形2BCD的中心0為坐標(biāo)原點(diǎn)，0B,反的方向分別為久，y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。孫z,如

圖所示，

則4(0,-居4(1,0,2),G(0,居

所以AiBi=(1,,BiCi=(―1，V^,

設(shè)平面力iBiCWi的法向量為再=(x,y,z),

.可=0今,+①—|z=0

則船

令得可

?nJ=0—%+y/3y+|-z=0z=2,=(3,0,2).

易知平面ABC。的一個(gè)法向量為汨=(0,0,1),

則cos〈正，咐=嵩言-2_—28

戶X]

所以平面4道停1。1與平面4BCD所成二面角的正弦值為

17.解：(1)

顯然a力0,/(%)的定義域?yàn)?0,+8),求導(dǎo)得/(%)=a+§=藝/^

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)>0/(尤)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

11

當(dāng)aV0時(shí)，由/'(%)>0,得0<%<-令/'(%)<0,得無>-

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則;■(%)在(o，T上單調(diào)遞增，在T，+8)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)a〉0時(shí)，/0)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+8)；

當(dāng)a<0時(shí)，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,-6，單調(diào)遞減區(qū)間是(4+8).

(2)

由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)a<。時(shí)，存在最大值，且最大值為/(—》=—1—十―ln(—a).,

設(shè)g(a)=-1一，In(-a),求導(dǎo)得g'(a)=2一三=與合〉°，函數(shù)g(a)在(一8,0)上單調(diào)遞增,

又g(-l)=0,則由g(a)<0,得a<-1,

所以a的取值范圍為(一8,-1).

18.解：(1)

第1次換球后甲口袋中有2個(gè)黑球，即從甲口袋取出的為白球且從乙口袋取出的為黑球，則pi="U

第1次換球后甲口袋中有1個(gè)黑球，即從甲、乙口袋取出的同為白球或同為黑球，得41="|+界?永

(2)

若第2次換球后甲口袋中有2個(gè)黑球，

則當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有1個(gè)黑球時(shí)，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，

當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有2個(gè)黑球時(shí)，第2次甲、乙口袋同取白球，

匚匚221,152,2116

^rUp2=qiX-x-+P1x-=-x-+-x-=-.

若第2次換球后甲口袋中有1個(gè)黑球，

則當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有0個(gè)黑球時(shí)，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，

當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有1個(gè)黑球時(shí)，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球，

當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有2個(gè)黑球時(shí)，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球，

2211、249

所以02=(1-Qi-pi)x-+q1x^-x-+-x-J+p1x-=—.

⑶

第71(7122)次換球后，甲口袋中的黑球個(gè)數(shù)為1的情形有：

①若第九-1次換球后甲口袋中有2個(gè)黑球，則第n次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；

②若第九—1次換球后甲口袋中有1個(gè)黑球，則第n次甲、乙口袋同取黑球或同取白球；

③若第九-1次換球后甲口袋中有0個(gè)黑球，則第n次甲口袋取白球且乙口袋取黑球.

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xxx

所以必=Pn-1X|+Qn-1(^|-+||)+(l-pn_i-Qn_i)X^=~^qn_1.

設(shè)q九+/1=-1(Qn-l+刃(九>2),

則q九=一竿入一射九_(tái)1，貝卜學(xué)入=奈得a=一"|.

又Ql—M—奈所以數(shù)列｛*—|｝是以—1為首項(xiàng)，［為公比的等比數(shù)列

所以q「l=一息一/1,即發(fā)=1一急一能1

nQ2111

Zi=1%一耳=芯x(1+§+頁+…+^9

19.解：(1)

由已知橢圓黑+哈=1,

22554

即a=字b—3#，

則C=3-廿=再-54=J|=|

所以焦距2c=3,離心率e=?=，即｝=5,

所以該橢圓的焦距為質(zhì)數(shù)，離心率的倒數(shù)也為質(zhì)數(shù),

即橢圓為“質(zhì)樸橢圓”；

%2年

(2)—+—=l(0<m<36)

橢圓的焦距為2聲前，離心率e=/1一券=望手,

若存在實(shí)數(shù)如使得橢圓||+比=1(。(m<36)為“質(zhì)樸橢圓”，

36m

則2,36-生均為質(zhì)數(shù)，

又0<2回二而<12,所以2回二碗=2,3,5,7,11,

即736_m=1,9，

則存