湖南省多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二年級上冊10月月考 數(shù)學(xué)試題（含答案）

湖南省多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)

試題

一、單選題（本大題共8小題）

4+i

z----

1.復(fù)數(shù)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.在空間直角坐標(biāo)系中，直線/過點(diǎn)"（1，°'一1）且以*=（234）為方向向量，

"（x/，z）為直線/上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)”的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是（）

%—+1X+1歹_2-1

A.〒丁丁B.〒丁丁

x-1yz+1x-1yz+1

C.~=2=^~D.~^=4=~

3.己知總體劃分為3層，按比例用分層隨機(jī)抽樣法抽樣，各層的樣本量及樣本平均數(shù)

如下表：

分層樣本量樣本平均數(shù)

第一層1055

第二層3075

第三層1090

估計(jì)總體平均數(shù)為（）

A.73B.74C.76D.80

4.設(shè)aeR,直線4：（。+l）x+yT=0/：2x+即一（a+2）=0,貝aa=\?是?/,//12?

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知點(diǎn)（X。/。）為直線x+2y+6=°上任意一點(diǎn)，則J（%+l）2+y；的最小值是

（）

A.百B.2C.^5D.6

6.如圖，在異面直線私”上分別取點(diǎn)48和C。，使4B=2,CD=4,BD=6,且

.?,_<AB,CD>=—

AC±m(xù),AC±n!若3,則線段"C的長為（)

ABm

7.已知圓臺的上、下底面圓周上的點(diǎn)都在同一個球面上，且圓臺的上、下底面半徑分

別為1,3,高為4,則該球的表面積為（）

A.25兀B,30兀C,32兀D.40兀

8.如圖所示，在四棱錐尸一/BC。中，底面“BCD是邊長為2的菱形，

71

PA=3,/ABC=ZBAP=-cos/PAD=—

3,且6,則cos/PBC=(

277277377377

A..〒B.亍C.ITD."M"

二、多選題（本大題共3小題）

9.如圖，在三棱錐/-BCD中，區(qū)尸,G,H分別是棱AB,3C,CD,Q4的中點(diǎn)，”是

EG和9;■的交點(diǎn)，則（）

A.四邊形E尸G”是平行四邊形

B.BDU平面EFGH

C.三棱錐的體積小于三棱錐尸的體積

兩=:你+而+京+而）

10.已知圓M：（x-1）2+/=1與圓N:x2+（.y-2）J4相交于48兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象

限），則（）

A.直線的方程是x_2y=0

B.四點(diǎn)不共圓

C.圓”的過點(diǎn)A的切線方程為3x+4y-8=°

4

cos/AMB=——

D.5

11.已知定義在R上的函數(shù)"x)滿足/(x)=/(2-x)J(l)=2,且g(x)=/(x)-l為奇

函數(shù)，貝U()

A.”x)+/(-x)=2B.，(x+4)-g(x)為定值

*g(4左+l)=l/eZ)口,/(4左+3)=l/eZ)

三、填空題(本大題共3小題)

12.己知直線/==依+2在x軸上的截距為1,則左=.

13.從集合口349｝中任取2個不同的數(shù)分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則得到的

對數(shù)值為整數(shù)的概率是.

14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩

點(diǎn)距離的比為常數(shù)'(2'1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)

M-7,0),3為直線/：4x+3y+ll=0上的動點(diǎn)，尸為圓C:(x-2)?+/=9上的動點(diǎn),則

+

\PAAPB\的最小值為.

四、解答題(本大題共5小題)

直線4經(jīng)過點(diǎn)“加和叱

15.已知直線4的方程為("+4)XF+2=0

⑴若4U,求。的值；

(2)若當(dāng)。變化時，4總過定點(diǎn)c,求MQ.

f(x)=V3sin0>0,閘<工］—,—

16.已知函數(shù)I2J在區(qū)間133」上單調(diào)遞減且

⑴求/(X)的解析式；

f(x)<--

(2)求使2成立的x的取值范圍.

17,已知△NBC的內(nèi)角43,C的對邊分別為a,6,c,且屈sinC=ccos"+c.

⑴求A；

jr

C=-,AABCc片,

⑵若4的面積為213+6,求j

18.如圖，在三棱錐P-/8C中，P4=AB=BC=2,PB=AC=26,PALBC,M,N分別

是棱PB,C4上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且BM=CN.

(1)證明：平面平面尸48.

⑵設(shè)BM=t,則當(dāng)/為何值時，兒儀的長度最?。?/p>

(3)當(dāng)兒W的長度最小時，求平面4W與平面的夾角的余弦值.

E:x2-2mx+y2-—m=0z/in\,,

19.已知圓2，點(diǎn)“(1，”關(guān)于直線/：＞=辦+6的對稱點(diǎn)為

8(-2,3)

(1)求/的方程；

(2)討論/與圓￡的位置關(guān)系；

(3)若/與圓￡相交于M，N兩點(diǎn)，圓心E到/的距離為后，圓C的圓心在線段九加上,

且圓C與圓E相切，切點(diǎn)在劣弧MN上,求圓C的半徑的最大值.

參考答案

1.【答案】D

z=i±lz=^*=（4+i）（T）=l-41

【詳解】由i可得KF,

故對應(yīng)的點(diǎn)為（L4）,位于第四象限，

故選：D

2.【答案】A

【詳解】由方向向量得而〃*，又因?yàn)椋?=（xT，％z+i）,

x-1_V_z+l

所以〒_§一丁.

故選：A.

3.【答案】B

10x55+30x75+10x90?

--------------------二74

【詳解】依題意，估計(jì)總體平均數(shù)為10+30+10

故選：B

4.【答案】A

［詳解］因?yàn)橹本€’1：（〃+l）x+y—1=°,，2：2x+ay—（〃+2）=0,

當(dāng)q=］時，乙：2x+y_l=0,/2：2x+）_3=0,止匕時（//4,即〃=］可以推出4//4,

當(dāng)4/兒時，（。+1）。=2,解得。=1或-2,

又Q=—2時，A：x-y+l=0,Z2:x-y=0此時（"W所以乙//4推不出Q=］,

所以“。=1”是“4//4”的充分不必要條件，

故選：A.

5.【答案】C

【詳解】：點(diǎn)G。'打）為直線x+2j+6=0上任意一點(diǎn)，

又J（%+1）的幾何意義為直線上的點(diǎn)到（T，°）的距離，

5=后

故最小值為（T'°）到直線的距離，即最小值為HF

故選：C.

6.【答案】C

【詳解】如圖，過C作〃//8,過3作于連接BH,HD,

因?yàn)?C_L/，所以/C_LC77,又NC_L〃，nC\CH=C%C"u面

所以4CL面CD”,又DHu面CDH,所以/C_LZW,

又易知ACIIBH,所以BHLDH,

又（麗麗話，所以在△OTO中，S=1第=2同=4,

-2|CH|-|C￡>|cosZ//CD=4+16-2x2x4xcos-=12

在Rt△出血中，BD=6,即|=24所以忸叫2引叫2ToM2=3672=24,

又AC/IBH,AB11CH,所以|/3=忸，|=2加，

ABm

故選：C.

7.【答案】D

【詳解】如圖:

設(shè)oq=x,貝|002=4-龍

?.?圓臺的上、下底面圓周上的點(diǎn)都在同一個球面上

貝ljr=A/32+12=VlO

.?.表面積：S=4兀/=40兀

故選：D

8.【答案】D

【詳解】如圖連接/c,

則PC=4C一/尸=+/。一力P

|PC|=sJ(AB+AD-APy=^|28|2+|AD|2+|15|2+2AB-AD-2ABAP-2AD-AP

jr1

\AB\=2,|PN|=3,/ABC=ZBAP=cos,ZPAD=-

由題可知

.|ZB|2=|ZD|2=4,|AP|2=9,

2ABAD=2網(wǎng)J西.cos/BAD=2x2x2x-4

2萬N=2畫網(wǎng)COS/PAD=2X2X3XL6

2疝萬=2所網(wǎng)cos/PAD=2x2x3xg=2

.|PC|=74+4+9-4-6-2=V5

PB2=AB2+AP2-2AB-AP-cosZPAB=4+9-2x2x3x-=J

在“BP中，2

.-.PB=4J

PB2+BC2-PC27+4-5377

,cosNPBC=

在APBC中2PBBC2x77x2-14

故選：D.

9.【答案】ABD

【詳解】對于A中，在三棱錐中，EGG，"分別是棱的中點(diǎn),

EF//AC,EF^-ACHG11AC,HG=-AC

可得2且2,

所以EF//HG,EF=HG,所以四邊形EFG"是平行四邊形，所以A正確；

對于B中，在△8CO中，因?yàn)?G分別為8C,CD的中點(diǎn)，可得FG//BD,

又因?yàn)?Z)<Z平面EFG”,尸Gu平面所以3。//平面EFG〃，

所以B正確；

對于C中，設(shè)點(diǎn)H到平面BCD的距離為h,

因?yàn)榉础?5么。的中點(diǎn)，可得EH//BD,

又因?yàn)槠矫?cO,8Du平面2cO,所以￡"http://平面BCD,

所以點(diǎn)E到平面3co的距離也為h,

===

-、，^B-DHG^H-BDGZ^ABDG-^E-BDFT^BDF'

因?yàn)?,3,

又因?yàn)镋G分別為8C,CD的中點(diǎn)，可得FG//BD,所以其加二邑的，

所以PB-DHG=?E-BDF,所以三棱錐8-OHG的體積等于E-BD尸的體積，所以C錯誤;

對于D中，因?yàn)樗倪呅熙臛”是平行四邊形，

FM=-（FE+FG）=-［（FB+BE）+（FC+CG）］

可得22

=1［（SE+CG）+（F§+FC）］=1［|（A4+CD）+（ra+FC）］

因?yàn)辂?-記，所以麗+記=0,

II--------?----------?---------?---------?II---------*--------,--------->I---------?---------

^--[-(^+CD)+(F5+FC)]=--[-(^+^+FC+C￡>)+-(ra+FC)]

11—-—?1

=--[-(FA+FD)+-(FB+定)]=」何+而+京+而)

4'所以D正確.

故選：ABD.

10.【答案】AC

【詳解】對于選項(xiàng)A,因?yàn)閳AM：(x-1)2+/=1與圓N:f+3_2)2=4,兩圓方程相

減得至IJx-2y=°,即直線43的方程是x-2y=0,所以選項(xiàng)A正確，

,8

x=—

I5

卜=°]v=-A(--)

對于選項(xiàng)B,由x-2y=0和(x-l)2+/=i,解得[了=0或產(chǎn)一《，即1，7，

8(0,0),

又M(l,0),N(0,2),所以MN中點(diǎn)為“5」)，貝產(chǎn)一回一1~,又|河叫=石，

所以P到4",5N四點(diǎn)距離相等，即4M,8,N四共圓，所以選項(xiàng)B錯誤，

4

k=3_，

^84"r_]_3

對于選項(xiàng)C,由選項(xiàng)B知(5,5,所以5,得到圓M的過點(diǎn)A的切線方

43,8、

V——=——(X——)

程為545\

整理得至I]3x+4y-8=°,所以選項(xiàng)c正確，

i,|_愴4164—

對于選項(xiàng)D,因?yàn)镽“25+255,網(wǎng)=|照=1,

2T時_l+l-y3

cos/AMB

在中，由余弦定理得2|M4|-MB\25

所以選項(xiàng)D錯誤,

故選：AC.

11.【答案】ABC

【詳解】?.?/(x)=/(2-x),則/(x+l)=/(I),則/(x)關(guān)于直線尤=1對稱,

...g(x)=/(x)-l為奇函數(shù)，則g(-x)=-g(x),即-x)-l=-/(x)+l,則

/(-%)+/(%)=2；故A選項(xiàng)正確；

?.?/(f)+/(x)=2,...f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱,即"0)=1,

由〃x)=/(2-x)可得〃-x)+“2+x)=0,

則"2+無)+“尤)=2,即“4+x)+“2+x)=2,

則〃4+x)=/(x),可知4為函數(shù)/(x)的周期，

,/(x+4)-g(x)=/(x+4)-“x)+l="x)―/(x)+l=l為定值，故B選項(xiàng)正確;

g(4^1)=/(4^1)-l=/(l)-l=l(^Z)；故c選項(xiàng)正確;

“4后+3)="3)=/(1)=2*1(左0,故口選項(xiàng)錯誤；

故選：ABC

12.【答案】-2

JY"---2

【詳解】因?yàn)橹本€/f=履+2,令>=°,得到一k,

一2二1

由題有k,解得人=-2,

故答案為：-2.

]_

13.【答案】6

【詳解】從集合2349｝中任取2個不同的數(shù)共有g(shù)=12種取法；

作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則得到的對數(shù)值為整數(shù)的情況有：log24>log39；共2

種，

尸="

???概率126

故答案為：6

14.【答案】9

\PA\_

【詳解】令陽=3]即,則\PD\~.

由題意可得圓C：(x-2)2+r=9是關(guān)于點(diǎn)A,。的阿波羅尼斯圓，且4=3,

3=3=+L

設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為則m小—3-〃)2,

9加+79n49—9m2—9n2

x2+y2------x---y=-----------

整理得448

由題意得該圓的方程為C:(X-2)2+/=9,即X2+./_4X=5

9m+7.

-----=4

4

4

22m=x

49-9m-9n5\

所以I8，解得1"=。

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為。（L°）,所以E+3閘=3即+3|「唯3|叫

4+11

當(dāng)801/時，此時最小，最小值為732+42

因此當(dāng)8"/時，％+3閥的值最小為3x3=9,

故答案為：9

V5

⑵2

5|0,-

【詳解】（1）直線’2經(jīng)過點(diǎn)和va，所以

』-0

2

k=^—r

a。+4

10—

所以直線,2的斜率為2，因?yàn)橹本€4的斜率為丁，2

a+4

-----------X-1

所以a，解得〃=—2或。=4

（2）直線4的方程為（a+4）L=°可以改寫為a（x-y）+4x+2^0

x-y=0］

4尤+2=0,解得》=發(fā)一5,

由

/C

所以4總過定點(diǎn)22

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，

+(-「。)2=?

\AC\=

f(x)=V3sin|x+—|

16.【答案】(1)I6>

Ikji-,2kji--(kG)

⑵L12”Z)

714兀

［詳解］(1).??/G)=6sin(0x+e)在區(qū)間3」上單調(diào)遞減,

瓜f

且

解得0=1

=V3

71兀兀

一+（p=—,（p=一

，由“五點(diǎn)法”可知326

.-./(%)=V3sin^x+j

<A/6

百sinx+2

（2）由（1）可知~~~T

_V|

/.sinx+—<

I6~~~T

2kn--<x+—<2.而_；（左￡Z）

46

2kjt-口^<x<2kn--(keZ)

解得1212V7

2kn-^^-,2kn--(A-eZ)

1212v7

?,X的取值范圍是-

兀

17.【答案】（1）3

(2)4

【詳解】(1)由G"sinC=°c°s4+0,得至uGsin"sinC=sinCcos'+sinC,

又CE(0,兀)，sinCwO,得至|jGsinZ=cos/+l,即GsinZ-cosZ=l,

71715兀

2sin(Z--)=1sin(J--)=—又北（0,兀），所以一片（一］不）,

所以6,得到62,

,兀兀,兀

A——4二一

所以66,解得3

715兀

⑵因?yàn)?；A=-B=T

(1)知3,所以412,

.5兀

csin——

csinB

b7=--------=____12__V2csin—

b12

由正弦定理sin/sin5sinC,得到

.57r.77r.,TC兀、V21V2V3V2+V6b=Sc

sin—=sin—=sin(—+—)=----x—d------x=-----------

又12124322224所以2

S=-bcsmA^-x^^-C"W=26+6

又A/BC的面積為26+6,所以222

整理得到/=16,解得c=4.

18.【答案】（1）證明見解析

(27=夜時，皿的長度最小

V3

(3)3

［詳解］(］)由于尸N=48=2,尸8=20,,P/_L48,

又PA1BC,=平面ABC,

所以尸/，平面A8C,

又因?yàn)槭?u平面尸N8,所以平面/2C_L平面尸N8.

(2)作MD//PA交AB于D,連接。N,

由于P/_L平面4BC,故Affl_L平面4BC,AGVu平面48C,故M)_LACV,

BD=DM=—BM——t

BM=t,故22,

CN=t,故/"=2行又易知zU3C是等腰直角三角形,

由余弦定理可得DN2=AD2+AN2-2AD-ANcos45°

=+^V2-/J-V22一字)(2亞一)=#一2"+4

故W='MD。+DN。=J--2"+4=《《一⑸+2

故當(dāng)》=應(yīng)時，此時九W的最小值為力.

⑶由于N3=8C=2,/C=2下，故N2_L3C,

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以8c,8/所在的直線分別為x和y軸，

以過點(diǎn)3垂直與平面N8C的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

當(dāng)年應(yīng)時，河，"分別為9,/0的中點(diǎn),

則4（0,2,0）,8（0,0,0）C