《高考數(shù)學(xué)壓軸題通法訓(xùn)練•高分必刷系列》專題19立體幾何與空間向量（選填壓軸題）含答案及解析

專題19立體幾何與空間向量（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①空間幾何體表面積和體積 1②外接球問題 3③內(nèi)切球問題 5④動點問題 6①空間幾何體表面積和體積1．（2023·山西運城·山西省運城中學(xué)校校考二模）風(fēng)箏又稱為“紙鳶”，由中國古代勞動人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時期，相傳墨翟以木頭制成木鳥，研制三年而成，是人類最早的風(fēng)箏起源.如圖，是某高一年上級學(xué)生制作的一個風(fēng)箏模型的多面體為的中點，四邊形為矩形，且，當時，多面體的體積為（

）

A． B． C． D．2．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）“辛普森（Simpson）公式”給出了求幾何體體積的一種估算方法：幾何體的體積V等于其上底面的面積S、中截面（過高的中點且平行于底面的截面）的面積的4倍、下底面的面積之和乘以高h的六分之一，即.我們把所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體稱為擬柱體.在這兩個平行平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側(cè)面.中國古代名詞“芻童”（原來是草堆的意思）就是指上下底面皆為矩形的擬柱體.已知某“芻童”尺寸如圖所示，且體積為，則它的高為（

）

A． B． C． D．43．（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實驗中學(xué)?？既＃┛萍际且粋€國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號（如圖1）是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．2022年5月，“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀錄，彰顯了中國的實力．“極目一號”Ⅲ型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的表面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．4．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京故宮博物院的一件明代宣德年間產(chǎn)的瓷器．該盤盤口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齊．通體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不勝收．仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺和圓柱的組合體，其口徑為15.5cm，足徑為9.2cm，頂部到底部的高為4.1cm，底部圓柱高為0.7cm，則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側(cè)面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：π的值取3，）

A． B． C． D．5．（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知四面體中，，則該四面體體積的最大值為．6．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正三棱柱所有頂點都在球O上，若球O的體積為，則該正三棱柱體積的最大值為.7．（2023·海南·海南華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測）三棱錐中，平面，，若，，則該三棱錐體積的最大值為；8．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓柱外接球的表面積為，則該圓柱表面積的最大值為.②外接球問題1．（2023·江西南昌·南昌市八一中學(xué)?？既＃┮阎睦忮F的底面是矩形，高為，，，，，則四棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）如圖，邊長為的正方形ABCD所在平面與矩形ABEF所在的平面垂直，，N為AF的中點，，則三棱錐外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）點是圓柱上底面圓周上一動點，是圓柱下底面圓的內(nèi)接三角形，已知在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，三棱錐的體積最大值為，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2023·海南·海南中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，三棱錐中，的面積為8，則三棱錐外接球的表面積的最小值為（

）

A． B． C． D．5．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正三角形中，、分別為邊、的中點，其中，把沿著翻折至的位置，則當四棱錐的體積最大時，四棱錐外接球的表面積為.

6．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正三角形ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點，其中，把沿著DE翻折至的位置，得到四棱錐，則當四棱錐的體積最大時，四棱錐外接球的球心到平面的距離為.

7．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測）在三棱錐中，為等邊三角形，平面，若，則三棱錐外接球的表面積的最小值為.8．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知三棱錐中，Q為BC中點，，側(cè)面底面，則過點Q的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為．9．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）在長方體中中，，AD＝2，M是棱的中點，過點B，M，的平面交棱AD于點N，點P為線段上一動點，則三棱錐外接球表面積的最小值為．③內(nèi)切球問題1．（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）已知三棱柱中，，，平面垂直平面，，若該三棱柱存在體積為的內(nèi)切球，則三棱錐體積為（

）A． B．4 C．2 D．2．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）將一個半徑為2的球削成一個體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為（

）A． B．C． D．3．（2023春·江西贛州·高一江西省龍南中學(xué)?？计谀┮阎拿骟w的棱長為12，先在正四面體內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及正四面體的三個側(cè)面都相切，則球的體積為（

）A． B． C． D．4．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義：與圓錐的底面和各母線均相切的球，稱為圓錐的內(nèi)切球，此圓錐稱為球的外切圓錐．已知某圓錐的內(nèi)切球半徑等于1，則該圓錐體積的最小值為（

）A． B． C． D．5．（多選）（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期末）已知半徑為1的球內(nèi)切于半徑為，高為的一個圓錐（球與圓錐的側(cè)面、底面都相切），則下列說法正確的是（

）A． B．圓錐的體積與表面積之比為定值C．圓錐表面積的最小值是 D．當圓錐的表面積最小時，圓錐的頂角為60°6．（2023春·貴州黔西·高二?？茧A段練習(xí)）正三棱錐的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為.7．（2023春·四川成都·高一四川省成都列五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為.8．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，有一半徑為單位長度的球內(nèi)切于圓錐，則當圓錐的側(cè)面積取到最小值時，它的高為．

9．（2023春·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，該三棱柱存在體積為的內(nèi)切球，為的中點，為棱上的動點，當直線、與平面成角相等時，，此時四面體的外接球表面積為.

④動點問題1．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）圓錐的底面半徑為，母線長為，是圓錐的軸截面，是的中點，為底面圓周上的一個動點（異于、兩點），則下列說法正確的是（

）A．存在點，使得 B．存在點，使得C．三棱錐體積最大值為 D．三棱錐體積最大值為2．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，分別為棱的中點，為線段上一個動點，則下列說法不正確的是（

）

A．存在點，使直線平面B．存在點，使平面平面C．三棱錐的體積為定值D．平面截正方體所得截面的最大面積為3．（2023·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知正方體的棱長為1，分別是棱，的中點．若點為側(cè)面正方形內(nèi)（含邊界）的動點，且平面，則與側(cè)面所成角的正切值最大為（

）

A．2 B．1 C． D．4．（多選）（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，平面，是棱上的一個動點，則（

）

A．直線與直線是異面直線B．周長的最小值為C．存在點使得平面平面D．點到平面的最大距離為5．（多選）（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體中，點為的中點，點，分別為線段，上的動點，則（

）A． B．平面可能經(jīng)過頂點C．的最小值為 D．的最大值為6．（多選）（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┤鐖D，在直三棱柱中，，，點是上的動點，點是上的動點，則（

）

A．//平面 B．與不垂直C．存在點、，使得 D．的最小值是7．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第一中學(xué)校考三模）如圖，在四棱柱中，平面，，，，為棱上一動點，過直線的平面分別與棱，交于點，，則下列結(jié)論正確的是．對于任意的點，都有對于任意的點，四邊不可能為平行四邊形當時，存在點，使得為等腰直角三角形存在點，使得直線平面8．（2023·北京大興·?？既＃┤鐖D，在正方體，中，，分別為線段，上的動點.給出下列四個結(jié)論:

①存在點，存在點，滿足∥平面；②任意點，存在點，滿足∥平面；③任意點，存在點，滿足；④任意點，存在點，滿足.其中所有正確結(jié)論的序號是.9．（2023·北京海淀·一模）如圖，在棱長為的正方體中，為對角線上一點，為對角線上的兩個動點，且線段的長度為.(1)當為對角線的中點且時，則三棱錐的體積是；（2）當三棱錐的體積為時，則．

專題19立體幾何與空間向量（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①空間幾何體表面積和體積 1②外接球問題 7③內(nèi)切球問題 15④動點問題 23①空間幾何體表面積和體積1．（2023·山西運城·山西省運城中學(xué)校?？级＃╋L(fēng)箏又稱為“紙鳶”，由中國古代勞動人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時期，相傳墨翟以木頭制成木鳥，研制三年而成，是人類最早的風(fēng)箏起源.如圖，是某高一年上級學(xué)生制作的一個風(fēng)箏模型的多面體為的中點，四邊形為矩形，且，當時，多面體的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】在中，因為且為的中點，所以，又因為，且，平面，所以平面，在中，因為且，所以，所以，且，因為四邊形為矩形，可得，又因為，且平面，所以平面，因為，所以平面，又因為平面，所以，設(shè)，在直角中，可得，在直角中，可得，因為，所以，即，解得，所以多面體的體積為：.故選：B.

2．（2023·福建寧德·校考模擬預(yù)測）“辛普森（Simpson）公式”給出了求幾何體體積的一種估算方法：幾何體的體積V等于其上底面的面積S、中截面（過高的中點且平行于底面的截面）的面積的4倍、下底面的面積之和乘以高h的六分之一，即.我們把所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體稱為擬柱體.在這兩個平行平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側(cè)面.中國古代名詞“芻童”（原來是草堆的意思）就是指上下底面皆為矩形的擬柱體.已知某“芻童”尺寸如圖所示，且體積為，則它的高為（

）

A． B． C． D．4【答案】D【詳解】上底面，下底面，所以中截面是過高的中點，且平行于底面的截面，其中分別是對應(yīng)棱上的中點，如圖所示，根據(jù)中位線定理得，，所以，，解得，故選：D.

3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實驗中學(xué)?？既＃┛萍际且粋€國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號（如圖1）是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．2022年5月，“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀錄，彰顯了中國的實力．“極目一號”Ⅲ型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的表面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為，而圓臺一個底面的半徑為，圓臺的母線長為，則，，，，所以．故選：A．4．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京故宮博物院的一件明代宣德年間產(chǎn)的瓷器．該盤盤口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齊．通體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不勝收．仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺和圓柱的組合體，其口徑為15.5cm，足徑為9.2cm，頂部到底部的高為4.1cm，底部圓柱高為0.7cm，則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側(cè)面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：π的值取3，）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】方法1：設(shè)該圓臺的母線長為l，高為h，兩底面圓的半徑分別為R，r（其中），則，，，所以，故圓臺部分的側(cè)面積為．

故選：D方法2（估算法）：若按底面直徑為15.5cm，高為3.4cm的圓柱估算圓臺部分的側(cè)面積得，易知圓臺的側(cè)面積應(yīng)大于所估算的圓柱的側(cè)面積，故此仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側(cè)面積大于，對照各選項可知只有D符合．故選：D5．（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知四面體中，，則該四面體體積的最大值為．【答案】/【詳解】取的中點，連接，因為，所以，，當平面時，該四面體體積取得最大值，最大值為.故答案為：.

6．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知正三棱柱所有頂點都在球O上，若球O的體積為，則該正三棱柱體積的最大值為.【答案】8【詳解】設(shè)正三棱柱的上，下底面的中心分別為，連接，根據(jù)對稱性可得，線段的中點即為正三棱柱的外接球的球心，線段為該外接球的半徑，設(shè)，由已知，所以，即，設(shè)正三棱柱的底面邊長為，設(shè)線段的中點為，則，，在中，，所以，，又的面積，所以正三棱柱的體積，設(shè)，則，，所以，，所以，令，可得或，舍去，所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，取最大值，最大值為，所以當時，三棱柱的體積最大，最大體積為.故答案為：.

7．（2023·海南·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）三棱錐中，平面，，若，，則該三棱錐體積的最大值為；【答案】【詳解】如圖所示，因為平面，即為三棱錐的高，設(shè)為，又因為平面，所以，在直角中，由，可得，因為，且，可得，所以三棱錐的體積為：，當且僅當時，即時，三棱錐的體積取得最大值，最大值為.故答案為：.8．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓柱外接球的表面積為，則該圓柱表面積的最大值為.【答案】【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為、高為，球的半徑為，由題知，，解得，由圓柱的軸截面知，，如圖

所以該圓柱的表面積為，設(shè)，所以，其中，所以當即時，.故答案為：②外接球問題1．（2023·江西南昌·南昌市八一中學(xué)校考三模）已知四棱錐的底面是矩形，高為，，，，，則四棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，在矩形中，連接對角線，記，則點為矩形的外接圓圓心，取的中點，連接，記的外接圓圓心為，易知，且共線.因為，平面，所以平面，所以平面，平面，，，平面，所以平面，所以，所以，易得，所以由正弦定理得的外接圓半徑為，即.過作平面，且，連接，由平面，可知，則四邊形為矩形，所以，則平面.根據(jù)球的性質(zhì)，可得點為四棱錐的外接球的球心，因為，所以四棱錐的外接球的表面積為.

故選：C2．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）如圖，邊長為的正方形ABCD所在平面與矩形ABEF所在的平面垂直，，N為AF的中點，，則三棱錐外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】由可知，，，可求，，，因為平面平面ABEF，平面平面，又，平面，所以平面ABEF，平面ABEF，所以，由，，得，又，同理可得得，又，所以，所以.所以MC為外接球直徑，在Rt△MBC中，即，故外接球表面積為．故選：A．3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）點是圓柱上底面圓周上一動點，是圓柱下底面圓的內(nèi)接三角形，已知在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，三棱錐的體積最大值為，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在中，由余弦定理可得，即，當且僅當時，等號成立，所以，，設(shè)圓柱的高為，則，

因為三棱錐的體積的最大值為，則，所以，，圓柱底面圓半徑，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則該三棱錐的外接球和圓柱的外接球為同一個球，則，因此，三棱錐外接球的表面積為.故選：B.4．（2023·海南·海南中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，三棱錐中，的面積為8，則三棱錐外接球的表面積的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】取中點，連接，設(shè)，依題意，由于是斜邊的中線，故，同理，故，于是為三棱錐外接球的球心，設(shè)該外接球半徑為，即，由勾股定理，，由，由基本不等式，，即，當時，取得最小值，于是外接球的表面積的最小值為.故選：A

5．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正三角形中，、分別為邊、的中點，其中，把沿著翻折至的位置，則當四棱錐的體積最大時，四棱錐外接球的表面積為.

【答案】【詳解】設(shè)分別是的中點，則三點共線，且，設(shè)等邊三角形的外接圓圓心為，半徑為，由正弦定理得，，設(shè)等腰梯形的外接圓圓心為，半徑為，，所以，解得，故與重合，，依題意可知，當四棱錐的體積最大時，平面平面.設(shè)得四棱錐外接球的半徑為，則，所以外接球的半徑為.故答案為：.

6．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正三角形ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點，其中，把沿著DE翻折至的位置，得到四棱錐，則當四棱錐的體積最大時，四棱錐外接球的球心到平面的距離為.

【答案】/【詳解】

由題意可知，當平面平面時，四棱錐的體積最大，如圖所示，取的中點，連接，則，又平面平面，平面，所以平面.則的外接圓的圓心位于且靠近點的三等分點處，設(shè)的中點為，連接，則，所以為四邊形的外接圓的圓心，過作平面的垂線，過作平面的垂線，則兩垂線的交點即為四棱錐的外接球的球心，連接，則四邊形為矩形，所以，連接，在中，.設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，則.連接，，，，，連接，則，所以外接圓的圓心在上，令其半徑為，在中，，所以，即，解得，設(shè)四棱錐外接球的球心到平面的距離為，所以，即，解得，故四棱錐外接球的球心到平面的距離為.故答案為：7．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測）在三棱錐中，為等邊三角形，平面，若，則三棱錐外接球的表面積的最小值為.【答案】/【詳解】設(shè)，則，取正三角形的外心為，設(shè)四面體的外接球球心為，連接，則平面，又平面，則，則平面截球所得截面為大圓，又，則又底面外接圓的半徑，所以三棱錐外接球的半徑.當時，有最小值，所以三棱錐外接球的表面積的最小值為.

故答案為：8．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知三棱錐中，Q為BC中點，，側(cè)面底面，則過點Q的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為．【答案】【詳解】連接,由,可知：和是等邊三角形,設(shè)三棱錐外接球的球心為,所以球心到平面和平面的射影是和的中心,，是等邊三角形,為中點,所以,又因為側(cè)面底面,側(cè)面底面，側(cè)面，所以底面,而底面,因此,所以是矩形,應(yīng)為和是邊長為4的等邊三角形,所以兩個等邊三角形的高,在矩形中,，連接,所以,設(shè)過點的平面為,當時,此時所得截面的面積最小,該截面為圓形,可得,因此圓的半徑為,所以此時面積為,當點在以為圓心的大圓上時,此時截面的面積最大,面積為:,所以截面的面積范圍為.故答案為：.

9．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）在長方體中中，，AD＝2，M是棱的中點，過點B，M，的平面交棱AD于點N，點P為線段上一動點，則三棱錐外接球表面積的最小值為．【答案】【詳解】設(shè)三棱錐外接球球心為，半徑為R，則在過直角斜邊的中點與平面垂直的直線上，且滿足.以D為原點，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)球心，，又，設(shè)，，則，由，得，則，由，，可得，又，所以當時，取最小值，最小值為，所以三棱錐外接球表面積的最小值為.故答案為：.③內(nèi)切球問題1．（2023春·江蘇淮安·高二校考階段練習(xí)）已知三棱柱中，，，平面垂直平面，，若該三棱柱存在體積為的內(nèi)切球，則三棱錐體積為（

）A． B．4 C．2 D．【答案】B【詳解】設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，所以，因為，，所以，，且，平面，所以平面，所以三棱柱為直三棱柱，即側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長為2，做交于點，連接，因為平面垂直平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，因為平面，平面，所以，，平面，所以平面，而平面，所以，設(shè)，可得，解得，又，解得，或，可得，則三棱錐體積為.故選：B.

2．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）將一個半徑為2的球削成一個體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則圓錐的高為，所以圓錐的體積，令（），則，所以，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以當，即時，圓錐的體積最大，此時圓錐的高為，母線長為，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，圓錐的截面如圖所示,則，，，因為∽，所以，，解得,故選：D3．（2023春·江西贛州·高一江西省龍南中學(xué)?？计谀┮阎拿骟w的棱長為12，先在正四面體內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及正四面體的三個側(cè)面都相切，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】

如圖，正四面體，設(shè)點是底面的中心，點是的中點，連接.則由已知可得，平面，球心在線段上，球切平面的切點在線段上，分別設(shè)為.則易知，，設(shè)球的半徑分別為.因為，根據(jù)重心定理可知，.，，，，.由可得，，即，解得，，所以.由可得，，即，解得，所以，球的體積為.故選：A.4．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義：與圓錐的底面和各母線均相切的球，稱為圓錐的內(nèi)切球，此圓錐稱為球的外切圓錐．已知某圓錐的內(nèi)切球半徑等于1，則該圓錐體積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，作出該幾何體的軸截面得到如圖所示的平面圖形，

設(shè)該圓錐的內(nèi)切球球心為，底面圓的圓心為點，底面半徑為，高為，法一：由等面積法可得：，化簡得：，又：，∴，當且僅當，即時取等號．法二：如圖：，∴，∴，∵，∴，∴，當且僅當，即時取等號．故選：C．5．（多選）（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期末）已知半徑為1的球內(nèi)切于半徑為，高為的一個圓錐（球與圓錐的側(cè)面、底面都相切），則下列說法正確的是（

）A． B．圓錐的體積與表面積之比為定值C．圓錐表面積的最小值是 D．當圓錐的表面積最小時，圓錐的頂角為60°【答案】BC【詳解】如圖所示，圓錐的高，底面半徑，母線，，，，∽，，，，，得，所以，A選項錯誤；圓錐的體積，圓錐的表面積，圓錐的體積與表面積之比為，為定值，B選項正確；，，當且僅當，即時等號成立，圓錐的表面積，則時圓錐表面積有最小值，C選項正確；當圓錐的表面積最小時，，，，，圓錐的頂角不是60°，D選項錯誤.故選：BC6．（2023春·貴州黔西·高二?？茧A段練習(xí)）正三棱錐的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為.【答案】【詳解】由題意，正三棱錐可補形稱正方體，如下圖：

則三棱錐的外接球為正方體的外接球，設(shè)正方體的棱長為，則外接球半徑，在正三棱錐中，，易知為等邊三角形，由勾股定理可得：，則其面積，故正三棱錐的表面積，其體積，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，則.故答案為：.7．（2023春·四川成都·高一四川省成都列五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為.【答案】【詳解】如圖，作出該圓錐與其內(nèi)切球的軸截面圖形，

設(shè)該內(nèi)切球的球心為，內(nèi)切球的半徑為，為切點，所以，，由已知得，，所以，在中，，即，解得，所以，該圓錐的內(nèi)切球表面積為故答案為：.8．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，有一半徑為單位長度的球內(nèi)切于圓錐，則當圓錐的側(cè)面積取到最小值時，它的高為．

【答案】/【詳解】如圖所示，設(shè)，半徑，高，球半徑為單位長度，因為，可得，即，所以，解得，所以側(cè)面積，令，可得，令，可得，解得．當，，單調(diào)遞減；當，，單調(diào)遞減，所以時側(cè)面積有最小值．故答案為：.

9．（2023春·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，該三棱柱存在體積為的內(nèi)切球，為的中點，為棱上的動點，當直線、與平面成角相等時，，此時四面體的外接球表面積為.

【答案】1【詳解】因為直三棱柱的內(nèi)切球的體積為，所以，所以內(nèi)切球的半徑為，所以內(nèi)切圓的半徑為1，則，因為為的中點，為棱上的動點，當直線直線、與平面成角相等時，，又，所以∽，所以，設(shè)，則，解得，所以，，從而，，，所以，即有，所以四點共圓，且圓心為的中點，其半徑為，因為，，，平面，所以平面，如圖，將直三棱柱補成長方體，設(shè)為的中點，連接，取的中點，連接，則中點即為四面體的外接球的球心，

所以四面體的外接球的半徑為，此時四面體的外接球表面積為.故答案為:1，④動點問題1．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）圓錐的底面半徑為，母線長為，是圓錐的軸截面，是的中點，為底面圓周上的一個動點（異于、兩點），則下列說法正確的是（

）A．存在點，使得 B．存在點，使得C．三棱錐體積最大值為 D．三棱錐體積最大值為【答案】C【詳解】根據(jù)題意可知，如下圖所示：

對于A，因為圓是直徑，所以，假設(shè)存在點，使得，又因為，、平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為、都是圓錐的母線，即，所以不成立，所以不存在點，使得，即A錯誤；對于B，因為是的中點，是的中點，所以，若存在點，使得，所以，這與矛盾，所以B錯誤；對于C，易知三棱錐的高為，所以當?shù)酌娣e最大時，其體積最大，又因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，即三棱錐的體積，即三棱錐的體積的最大值為，所以，C正確；對于D，因為、分別為、的中點，則，即三棱錐體積最大值為，所以，D錯誤.故選：C.2．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，分別為棱的中點，為線段上一個動點，則下列說法不正確的是（

）

A．存在點，使直線平面B．存在點，使平面平面C．三棱錐的體積為定值D．平面截正方體所得截面的最大面積為【答案】B【詳解】對于A項，如圖所示，取的中點H、I，連接HI交于G點，此時，由正方體的性質(zhì)可得，，平面，所以平面，故A正確；

對于B項，如圖所示，連接，為側(cè)面的中心，則面與面和面分別交于線PG、DH，若存在G點使平面平面，則，又，則四邊形為平行四邊形，即，而，此時應(yīng)在延長線上，故B錯誤；對于C項，隨著G移動但G到面的距離始終不變即，故是定值，即C正確；

對于D項，若點靠C遠，如圖一所示，過G作，即截面為四邊形，當截面在正方體底面上的投影面積越大，其面積就越大，如下圖，

顯然當在底面的投影為點時，截面為四邊形面積最大，此時為側(cè)面的中心，最大值為，

若靠C近時（圖二），G作，延長交、延長線于M、H，連接MK、交，于，則截面為六邊形，當截面在正方體底面上的投影面積越大，其面積就越大，如下圖，六邊形在正方體底面的投影為六邊形，設(shè)所以，當時，取得最大值.

設(shè)則當在底面的投影為點時，截面為四邊形面積最大，當為中點時取得最大值，最大值為，，D正確.故選：B.3．（2023·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知正方體的棱長為1，分別是棱，的中點．若點為側(cè)面正方形內(nèi)（含邊界）的動點，且平面，則與側(cè)面所成角的正切值最大為（

）

A．2 B．1 C． D．【答案】D【詳解】取的中點，連接、、、、，如圖所示：

在正方體中，且，因為、分別是棱、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，同理可證平面，，平面，所以平面平面，平面，若，則平面，平面，所以，點在側(cè)面內(nèi)的軌跡為線段，因為平面，所以與側(cè)面所成的角為，在，，所以，所以與側(cè)面所成角的正切值為，在中，，所以，所以點到邊的距離為，即的最小值為，所以與側(cè)面所成角的正切值的最大值為，故選：D.4．（多選）（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，平面，是棱上的一個動點，則（

）

A．直線與直線是異面直線B．周長的最小值為C．存在點使得平面平面D．點到平面的最大距離為【答案】ACD【詳解】選項A：不管點移動到上的哪個位置，直線與直線均不相交，也不平行，所以A正確;選項B：周長的為，要使周長最小，

即最小，即為面和面的展開圖中的長，所以，所以，所以B錯誤；選項C：由圖易知，二面角為銳二面角，二面角為鈍二面角，在點從到移動的過程中，二面角由銳角變成了鈍角，所以，在棱上必然存在點使得平面平面，C正確；選項D：要使點到平面的距離最大，即當二面角為時，此時到的距離即為所求距離的最大值，過作的垂線，

因為面面，面，面面，面，所以面，即為點到平面的距離，也是到的距離，又因為，，，所以點到平面的距離為，所以D正確.故選：ACD5．（多選）（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體中，點為的中點，點，分別為線段，上的動點，則（

）A． B．平面可能經(jīng)過頂點C．的最小值為 D．的最大值為【答案】ACD【詳解】建立空間直角坐標系，如圖所示：則,0,,,0,,,1,,,1,,,1,,,0,,,0,,，1，，,1,，設(shè),,，則,,，,；設(shè),0,，則,0,,,，所以，1，，，，，，所以，即，A正確；因為,1,,,,，設(shè)平面的一個法向量為