廣東省東莞市2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級數(shù)學(xué)模擬試題（11月）含答案

2024年初三模擬考試（11月）

九年級數(shù)學(xué)試卷

（考試用時：120分鐘，滿分120分）

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分.）

1.下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

A.糕n?D

2.用配方法解一元二次方程x2—8x+10=0配方后得到的方程是（)

A.(jc+8)2=54B.(x-8)2=54

C.(x+4)2=6D.(x-4)2=6

3.拋物線＞=3"-2）2-5的頂點坐標(biāo)是（

A.（々5））B.(2,-5)C.(-2,-5)D.(2,5)

4.下列說法，正確的是（）

A.優(yōu)弧大于劣弧B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對的弧相等D.直徑所對圓周角是直角

5.某種品牌的手機經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由3200元降到了2500元，設(shè)

平均每月降低的百分率為x,根據(jù)題意列出的方程是（）

A.2500(1+x)2=3200B.2500(1-x)2=3200

C.3200(1-x)2=2500D.3200(1+x)2=3200

6.在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會的人數(shù)為（）

A.9人B.10人C.11人D.12人

7.三角形的外心是（）

A.三角形三條高線的交點B.三角形三條中線的交點

C.三角形三條內(nèi)角角平分線的交點D.三角形三邊垂直平分線的交點

8.已知拋物線了=-/+2_￥+4,下列說法正確的是（）

試卷第1頁，共6頁

A.圖象與x軸有唯一交點B.圖象的頂點坐標(biāo)是0,3）

c.當(dāng)x<i時，>隨x的增大而減小D.圖象的開口向下

9.如圖，四邊形48co內(nèi)接于若48。。=100。，則/￡。的度數(shù)是（）

C.60°D.65°

10.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)V=?w+?^Dy=-m（x-l）2-i（加是常數(shù)，且加wo）

二、填空題（共5小題，每小題3分,共15分.）

11.將拋物線y=-2（尤+3『-1向上平移4個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到的

拋物線的解析式是—.

12.已知（m-1）x^+i-3x+l=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m=_.

13.已知m,n是方程/-x-2=0的兩個根，則代數(shù)式2加。-3m-〃的值是.

14.拋物線y=ox2+6x+c（存0）的部分圖象如圖所示，其與x軸的一個交點坐標(biāo)為（-3,

0）,對稱軸為x=-l,則當(dāng)y<0時，x的取值范圍是.

試卷第2頁，共6頁

15.已知二次函數(shù)V=辦2+樂+。的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：

①〃bc>0,

@a-b+c〈O,

③2“=b,

④4q+2b+c>0,

⑤若點(-2,%)和(-1,%)在該圖象上，則%>為.其中正確的結(jié)論是—(填入

正確結(jié)論的序號).

三、解答題(一)：本大題共3小題，每小題7分，共21分.

16.解方程：2X2-3X=1-2X.

17.已知二次函數(shù)y=/+Z>x+c的圖象經(jīng)過(0,-3),(1,0)

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.

⑵將二次函數(shù)寫成y=+k的形式，并求出頂點坐標(biāo).

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△N8C的三個頂點坐標(biāo)分別為/(1,4),2(4,2),C(3,5)

⑴請畫出△44。，使△44G與A/BC關(guān)于原點成中心對稱，并寫出點4,4,。的坐標(biāo).

⑵求△44G的面積？

試卷第3頁，共6頁

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.已知關(guān)于x的一元二次方程尤2+2（m+l）x+w2-1=0.

（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)加的取值范圍；

（2）若方程兩實數(shù)根分別為不，x2,且滿足（再72）2=16-2占匕，求實數(shù)加的值.

20.如圖，是。。直徑，弦CDL/3于點E,過點C作。3的垂線，交48的延長線于

⑴求證：AC=CG；

（2）若CD=EG=8,求。。的半徑.

21.一個批發(fā)商銷售成本為20元/千克的某產(chǎn)品，根據(jù)物價部門規(guī)定：該產(chǎn)品每千克售價不

得超過90元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)的售量y（千克）與售價x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系,

對應(yīng)關(guān)系如下表：

售價x（元/千克）???50607080???

銷售量V（千克）???100908070???

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該批發(fā)商若想獲得4000元的利潤，應(yīng)將售價定為多少元？

（3）該產(chǎn)品每千克售價為多少元時，批發(fā)商獲得的利潤w（元）最大？此時的最大利潤為

多少元？

五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27

分.

22.思維啟迪：（1）如圖1,A,B兩點分別位于一個池塘的兩端，小亮想用繩子測量A,B

間的距離，但繩子不夠長，聰明的小亮想出一個辦法：先在地上取一個可以直接到達(dá)B點

的點C,連接BC,取BC的中點P（點P可以直接到達(dá)A點），利用工具過點C作CDIIAB

交AP的延長線于點D,此時測得CD=200米，那么A,B間的距離是米.

試卷第4頁，共6頁

思維探索：（2）在aABC和4ADE中，AC=BC,AE=DE,且AE<AC,ZACB=NAED=

90°,將4ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，把點E在AC邊上時4ADE的位置作為起始位置

（此時點B和點D位于AC的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a,連接BD,點P是線段BD的中點，

連接PC,PE.

①如圖2,當(dāng)4ADE在起始位置時，猜想：PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是；

②如圖3,當(dāng)a=90。時，點D落在AB邊上，請判斷PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并

證明你的結(jié)論；

③當(dāng)a=150。時，若BC=3,DE=L請直接寫出PCz的值.

23.九（1）班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問題，他們經(jīng)歷了實踐一應(yīng)用

——探究的過程

（1）實踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道進(jìn)行測量，測得隧道的

路面寬為10米，隧道頂部最高處距地面6.25米，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖1所示

的直角坐標(biāo)系，請你求出拋物線的解析式

（2）應(yīng)用：按規(guī)定機動車輛通過隧道時，車頂部與隧道頂部在豎起方向上的高度差至少為

0.5米，為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3米，最高3.5米的兩輛車居中并列行駛（不

考慮兩車之間的空隙）？

（3）探究：該課題學(xué)習(xí)小組為進(jìn)一步探究拋物線的有關(guān)知識，他們借助上述拋物線模型，

提出了以下兩個問題，請予解答：

①如圖2,在拋物線內(nèi)作矩形N5CD,使頂點C、。落在拋物線上，頂點/、8落在x軸上,

設(shè)矩形N3C。的周長為為/,求/的最大值

②如圖3,過原點作一條直線y=x,交拋物線于M,交拋物線的對稱軸于N,尸為直線。河

上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點0,問在直線0M上是否存在點尸，使以點

P、N、0為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出點尸的坐標(biāo)，若不存在，請說

明理由

試卷第5頁，共6頁

試卷第6頁，共6頁

1.B

【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義、中心對稱圖形的定義；平面內(nèi)，一個圖形沿一條直

線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，就叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖形

繞著某個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對

稱圖形.據(jù)此進(jìn)行逐項分析，即可作答.

【詳解】解：A、這個圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故該選項是錯誤的；

B、這個圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故該選項是正確的；

C、這個圖形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故該選項是錯誤的；

D、這個圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故該選項是錯誤的；

故選：B

2.D

【分析】本題主要考查了一元二次方程的配方法.把常數(shù)項移到等式右邊后，利用完全平方

公式配方得到結(jié)果，即可做出判斷.

【詳解】解：x2-8x+10=0,

移項得：x2-8x=-10,

配方得：X2-8X+16=-10+16,

整理得：（》-4）2=6,

故選：D.

3.B

【分析】本題考查了根據(jù)二次函數(shù)頂點式求拋物線的頂點坐標(biāo)等知識，二次函數(shù)

了=。（工-獷+左的頂點坐標(biāo)為伍,左），據(jù)此即可求解.

【詳解】解：拋物線y=3（x-2）2-5的頂點坐標(biāo)是（2,-5）.

故選：B

4.D

【分析】此題主要考查了圓的有關(guān)概念，熟練掌握相關(guān)概念是解決此題的關(guān)鍵.根據(jù)圓的有

關(guān)概念進(jìn)行逐項辨析即可得解.

【詳解】A、同圓或等圓中，優(yōu)弧一定大于劣弧，故該選項錯誤；

B、平分弦的直徑，當(dāng)被平分的弦是直徑時，直徑不垂直于弦，故該選項錯誤；

C、同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故該選項錯誤；

答案第1頁，共15頁

D、直徑所對圓周角是直角，故該選項正確；

故選：D.

5.C

【分析】本題考查了一元二次方程的增長率問題，根據(jù)每部售價由3200元降到了2500元,

設(shè)平均每月降低的百分率為x,列式3200(1-才=2500,即可作答.

【詳解】解：???某種品牌的手機經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由3200元降到了

2500元，設(shè)平均每月降低的百分率為尤，

3200(1-x)2=2500

故選：C

6.C

【分析】設(shè)參加酒會的人數(shù)為X人，每人碰杯次數(shù)為三次，如果一共碰杯55次，列出一

元二次方程，解之即可得出答案.

【詳解】設(shè)參加酒會的人數(shù)為x人，依題可得：

—X(x-1)=55,

2

化簡得：x2-x-110=0,

解得：肛=11,x?=-10(舍去)，

故答案為C

【點睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程.

7.D

【分析】本題考查了三角形外心的概念，三角形的外心指三角形三邊垂直平分線的交點，掌

握三角形外心的概念是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形外心的概念選擇即可.

【詳解】解：因為三角形的外心指三角形三邊垂直平分線的交點，

故選：D.

8.D

【分析】根據(jù)一元二次方程--+2》+4=0根的個數(shù)、化為頂點式求出頂點坐標(biāo)、拋物線的

對稱軸和開口方向等知識，即可得到答案.

【詳解】解：A.對于拋物線＞=-f+2》+4,

答案第2頁，共15頁

當(dāng)y=°時，-/+2x+4=0,

VA=22-4X(-1)X4=20>0,

.??-/+2彳+4=0有兩個不相等的實數(shù)根，即拋物線y=-f+2x+4與x軸有兩個交點，故選

項錯誤，不合題意；

B.y——x?+2x+4=—(x—1)~+5,

???拋物線^=-尤2+2苫+4的頂點是(1,5),故選項錯誤，不符合題意；

C.丁y=-x2+2x+4=-(x-1)+5,

???拋物線y=-x2+2x+4的對稱軸為x=1,

a--1<0,

拋物線開口向下，

.?.當(dāng)x<i時，》隨》的增大而增大，

故選項錯誤，不符合題意；

D.對于拋物線了=-x?+2x+4,a=-l<0,則圖象的開口向下，故選項正確，符合題

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程-f+2x+4=0根的個

數(shù)、化為頂點式求出頂點坐標(biāo)、拋物線的對稱軸和開口方向等知識，是解題的關(guān)鍵.

9.A

【分析】本題考查院內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，先根據(jù)圓周角定理得到

NBAD=；NBOD,然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和鄰補角的定義得到ZDCE=ZA解題即

可.

【詳解】解：■:NBOD=100。,

ABAD=-ABOD=-xlOO°=5O°,

22

又???四邊形NB。內(nèi)接于

.-.ZBCD+ZA=ISO°,

又?；2BCD+ZDCE=180°,

ZDCE=ZA=50°,

答案第3頁，共15頁

故選A.

10.B

【分析】由一次函數(shù)經(jīng)過的象限判斷加的符號，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可求

解.

【詳解】解：人.由＞=-加得對稱軸為直線X=l,與圖象不符，故不符合題意；

8.由了=加工+〃7的圖象得機＜0,；.一加＞0,拋物線的開口向上，對稱軸在＞軸右側(cè)，頂點在

第四象限，與圖象相符合，故符合題意；

C.由y=wx+加的圖象得機＞o,，一根＜0,拋物線的開口應(yīng)向下，與圖象不符，故不符合

題意；

口.由丁=-機(》-1)2-1得對稱軸為直線工=：1,與圖象不符，故不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，掌握二者的性質(zhì)解題的關(guān)鍵.

11.y=-2(x+5)2+3

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)二次函數(shù)的圖象的平移法則：左加右減，上

加下減即可得出答案，熟練掌握二次函數(shù)的平移法則是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：將拋物線y=-2(x+3『-l向上平移4個單位長度，再向左平移2個單位長度,

得到的拋物線的解析式是＞=—2(x+3+2)—1+4=—2(x+5)+3,即y=—2(x+5)+3,

故答案為：y=-2(x+5『+3.

12.-1

【詳解】?.?方程加+i-3x+l=0是關(guān)于x的一元二次方程，

,加一1#0,

解得：m=—\.

故答案為T.

13.3

【分析】由m,n是方程x2?x-2=0的兩個根知m+n=l,m2-m=2,代入到原式=2(m2-m)-

(m+n)計算可得.

【詳解】解：丁!!!，n是方程x2-X-2=0的兩個根，

???m+n=1,m2-m=2，

答案第4頁，共15頁

則原式=2(m2-m)-(m+n)

=2x2-1

=4-1

=3,

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，Xi，X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的兩根

,bC

n日寸，Xi+x=--,,X1X=—

2a2a'

14.-3<x<l

【分析】根據(jù)拋物線與X軸的一個交點坐標(biāo)和對稱軸，由拋物線的對稱性可求拋物線與X軸

的另一個交點，再根據(jù)拋物線的增減性可求當(dāng)y<0時，X的取值范圍.

【詳解】解：,??拋物線y=o%2+6x+c(。0)與x軸的一個交點為(-3,0),對稱軸為工=

-1,

.?.拋物線與x軸的另一個交點為(1,0),

由圖象可知，當(dāng)y<0時，x的取值范圍是

故答案為：

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合能力，熟練掌握并靈活運用是解題的關(guān)

鍵.

15.②④##④②

【分析】由圖象可先判斷。、b、c的符號，可判斷①；由x=-l時函數(shù)的圖象在x軸下方

可判斷②；由對稱軸方程可判斷③；由對稱性可知當(dāng)x=2時，函數(shù)值大于0,可判斷④;

結(jié)合二次函數(shù)的對稱性可判斷⑤；可得出答案.

【詳解】解：.??二次函數(shù)開口向下，且與>軸的交點在x軸上方，

/.(2<0,c>0,

?.?對稱軸為X=1,

._±=1

2a'

b=-2a>0,

abc<0,

故①、③都不正確；

,當(dāng)x=T時，y<0,

答案第5頁，共15頁

ci—Z?+c<0,

故②正確；

由拋物線的對稱性可知拋物線與X軸的另一交點在2和3之間，

??.當(dāng)x=2時，歹>。，

4。+2b+。>0,

故④正確；

???拋物線開口向下，對稱軸為X=l,

.,.當(dāng)x<i時，y隨x的增大而增大，

-2<--,

3

必<為，

故⑤不正確；

綜上可知正確的為②④，

故答案為：②④.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、

增減性，注意數(shù)形結(jié)合.

【分析】整理后利用因式分解法求解即可.

【詳解】原方程整理得：2/-x-l=0,

因式分解得：(2x+l)(x7)=0,

???2%+1=0或工一1=0,

11

X]—-9%2=I.

【點睛】本題考查了解一元二次方程一因式分解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平

方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法.

17.(l)j?=x2+2x-3

(2)y=(x+l)2-4,頂點坐標(biāo)為

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求出函數(shù)解析

式是解題關(guān)鍵.

答案第6頁，共15頁

(1)將點(o,-3),(l,o)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)利用配方法將二次函數(shù)解析式化為頂點式，即可得到頂點坐標(biāo).

【詳解】(1)解：?二次函數(shù)歹=/+反+。的圖象經(jīng)過(0「3),(1,0),

Jc=-3

??,[l+b+c=(f

|c=—3

'[b=2'

???y=V+2%-3；

(2)解：y=x2+2x-3=x2+2x+l-l-3=(x+l)2-4,

二頂點坐標(biāo)為(T,-4).

18.⑴見解析，4(-1-4),5.(-4,-2),C,(-3,-5)

(2)1

【分析】(1)首先確定A、B、C三點關(guān)于原點。成中心對稱的對稱點，再連接即可;

(2)利用長方形的面積減去周圍多余三角形的面積即可.

【詳解】(1)解：如圖，△/4G即為所求；

1117

(2)解：△4月。]的面積為3x3—3x1—]X2x1—彳x3x2=5.

【點睛】本題主要考查了作圖——中心對稱變換，熟練掌握中心對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

19.(I)w>-1

答案第7頁，共15頁

(2)1

【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：(1)牢記“當(dāng)ANO時,

方程有實數(shù)根”；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合(占-%)2=16-2占馬,找出關(guān)于“的一元二

次方程.

(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式ANO,即可得出關(guān)于心的一元一次不等式，解之即可

得出實數(shù)機的取值范圍；

2

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出再+x2=-2(m+l),%]-x2=m-1,結(jié)合(再-x?)?=16-2%1%2

可得出關(guān)于加的一元二次方程，解之即可得出冽的值，再結(jié)合(1)的結(jié)論即可確定加的

值.

【詳解】(1)解：?.?關(guān)于x的一元二次方程/+2(切+1L+/一1=0有實數(shù)根，

A=[2(機+1)]~—4(加2—1)=8m+820,

解得：m>-L

當(dāng)方程有實數(shù)根時，實數(shù)〃?的取值范圍為網(wǎng)1；

(2)解：?.■方程兩實數(shù)根分別為X1,%,

2

,+Xj=-2(機+1),■x2=m-I.

2

(%)-x2)=16-2x^2,

22

(%1—x2)=(%j+x2)-4x,-x2=16-2X1X2,

+l)]2-4(m2-l)=16-2(m2-l),

整理,得：m2+4m—5-0,

解得：叫=-5,m2=l.

m>-l,

，實數(shù)心的值為1.

20.⑴見解析

(2)5

【分析】(1)根據(jù)垂直定義、三角形內(nèi)角和定理、圓周角定理等知識得到乙4=/G,由等

角對等邊即可得到結(jié)論；

答案第8頁，共15頁

(2)連接OC,設(shè)OO的半徑為八則CM=OC=r,得到/￡=EG=8,

EC=ED=gcD=4,得至！JOE=ZE—CM=8——，在Rt2\O￡C中，由勾股定理得到

222

r=(8-r)+4,解得r=5即可.

【詳解】(1)證明：尸，CG,CDLAB,

ZDEB=ZBFG=90°,

?:/DBE=/GBF,

/D=/G,

NA=ND,

ZA=ZG,

:.AC=CG,

(2)解：如圖，連接OC,

設(shè)OO的半徑為r,則OA=OC=r,

?;CA=CG,CD1AB,CD=EG=8,

AE=EG=8,EC=ED=—CD=4,

2

/.OE=AE—OA=8—/，

在RtAOEC中，OC?=OE2+EC2,

即r=(8一療+不，解得r=5,

的半徑為5.

【點睛】此題考查了勾股定理、垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形

內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握垂徑定理、圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

21.(1)j=-x+150;(2)70；(3)該產(chǎn)品每千克售價為85元時，批發(fā)商獲得的利潤w

(元)最大，此時的最大利潤為4225元.

【分析】(1)根據(jù)圖表中的各數(shù)可得出y與x成一次函數(shù)關(guān)系，從而結(jié)合圖表的數(shù)可得出y

與x的關(guān)系式；

答案第9頁，共15頁

(2)根據(jù)想獲得4000元的利潤，列出方程求解即可；

(3)根據(jù)批發(fā)商獲得的總利潤w(元)=售量/每件利潤可表示出w與x之間的函數(shù)表達(dá)式,

再利用二次函數(shù)的最值可得出利潤最大值.

50左+6=100

【詳解】(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為了=h+6(左片0),根據(jù)題意得:

60左+6=90

故y與x的函數(shù)關(guān)系式為v=f+150；

(2)根據(jù)題意得：(-x+150)(x-20)=4000,解得占=70,x2=100>90(不合題意，舍

去)，

故該批發(fā)商若想獲得4000元的利潤，應(yīng)將售價定為70元；

22

(3)w與x的函數(shù)關(guān)系式為：w=(-x+150)(%-20)=-x+170%-3000=-(x-85)+4225,

v-1<0,

.,.當(dāng)x=85時，w值最大，w最大值是4225,

該產(chǎn)品每千克售價為85元時，批發(fā)商獲得的利潤w(元)最大，此時的最大利潤為4225

元.

22.(1)200；(2)①PC=PE,PC1PE；②PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC=

PE,PC1PE,見解析；③PC占1°彳代.

【分析】(1)由CDIIAB,可得NC=NB,根據(jù)ZAPB=NDPC即可證明4ABP三4DCP,即可

得AB=CD,即可解題.

(2)①延長EP交BC于F,易證4FBP三AEDP(SAS)可得aEFC是等腰直角三角形，即

可證明PC=PE,PC1PE.

②作BFIIDE,交EP延長線于點F,連接CE、CF,易證4FBP三AEDP(SAS),結(jié)合已知

得BF=DE=AE,再證明△FBCmZ\EAC(SAS),可得△EFC是等腰直角三角形，即可證明

PC=PE,PC1PE.

③作BFIIDE,交EP延長線于點F,連接CE、CF,過E點作EH1AC交CA延長線于H點,

由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，NCAE=150。，DE與BC所成夾角的銳角為30。，得NFBC=NEAC,同②

可證可得PC=PE,PC1PE,再由己知解三角形得，EC2=CH2+HE2=10+36，即可求出

答案第10頁，共15頁

PC2=-EC2=10+3^

22

【詳解】(1)解：???CDIIAB,.?ZC=NB,

在4ABP和4DCP中，

'BP=CP

<AAPB=NDPC,

NB=NC

???△ABP^ADCP(SAS),

.?.DC=AB.

???AB=200米.

.?.CD=200米，

故答案為200.

(2)①PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC=PE,PC1PE.

理由如下：如解圖1,延長EP交BC于F,

同(1)理，可知.,.△FBPmAEDP(AAS),

??.PF=PE,BF=DE,

又???AC=BC,AE=DE,

???FC=EC,

又?.?z_ACB=90°,

??.△EFC是等腰直角三角形，

?；EP=FP,

??.PC=PE,PC1PE.

②PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC=PE,PC1PE.

理由如下：如解圖2,作BFIIDE,交EP延長線于點F,連接CE、CF,

同①理，可知4FBPmAEDP(SAS),

???BF=DE,PE=PF」跖，

2

vDE=AE,

???BF=AE,

???當(dāng)a=90。時,ZEAC=9O°,

.-.EDHAC,EAIIBC

答案第H頁，共15頁

vFBIIAC,4FBC=90,

.-.ZCBF=ZCAE,

SAFBC和4EAC中，

BF=AE

<ZCBE=ZCAE,

BC=AC

.-.△FBC^AEAC(SAS),

??.CF=CE,ZFCB=ZECA,

vzACB=90°,

.?ZFCE=9O。，

??.△FCE是等腰直角三角形，

???EP=FP,

.-.CP1EP,CP=EP」跖.

2

③如解圖3,作BFIIDE,交EP延長線于點F,連接CE、CF,過E點作EH1AC交CA延

長線于H點，

當(dāng)a=150。時，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，ZCAE=15O°,DE與BC所成夾角的銳角為30。，

.-.ZFBC=ZEAC=a=150°

同②可得△FBPwZkEDP(SAS),

同②4FCE是等腰直角三角形，CP1EP,CP=EP=^C￡,

在Rt^AHE中，ZEAH=3O°,