備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)真題題源解密專題14全等三角形（6類重點(diǎn)考向）含答案及解析

專題14全等三角形目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一三角形的面積?考向二三角形的內(nèi)角和?考向三全等三角形的判定與性質(zhì)?考向四全等三角形的應(yīng)用?考向五角平分線的性質(zhì)與判定?考向六線段的垂直平分線的性質(zhì)最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.理解全等三角形的概念，能識(shí)別全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角；2.掌握基本事實(shí)：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等；3.掌握基本事實(shí)：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；4.掌握基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；5.證明定理：兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等；6.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理．該板塊內(nèi)容重在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10~15分，預(yù)計(jì)各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查三角形中位線、內(nèi)外角性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，這部分知識(shí)需要學(xué)生扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)，并且會(huì)靈活運(yùn)用。在解答題中會(huì)出現(xiàn)三角形全等的判定和性質(zhì),這部分知識(shí)主要考查基礎(chǔ)。?考向一三角形的面積1．（2022?桂林）如圖，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則△ABC的面積是（）A． B．1+ C．2 D．2+2．（2022?遂寧）如圖，D、E、F分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，其中BC＝8，BC邊上的高為6，且DE∥BC，則△DEF面積的最大值為（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2023?臺(tái)州）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上（點(diǎn)C在點(diǎn)A，D之間），分別以AD，BC為邊向同側(cè)作等邊三角形ADE與等邊三角形CBF，邊長分別為a，b，CF與DE交于點(diǎn)H，延長AE，BF交于點(diǎn)G，AG長為c．（1）若四邊形EHFG的周長與△CDH的周長相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為；（2）若四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為．?考向二三角形的內(nèi)角和4．（2023?聊城）如圖，分別過△ABC的頂點(diǎn)A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．65° B．75° C．85° D．95°5．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，若DE∥BC，F(xiàn)G∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，則∠C＝°．?考向三全等三角形的判定與性質(zhì)解題技巧/易錯(cuò)易混1.從判定兩個(gè)三角形全等的方法可知，要判定兩個(gè)三角形全等，需要知道這兩個(gè)三角形分別有三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)元素是邊）對(duì)應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準(zhǔn)確地確定要補(bǔ)充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個(gè)三角形全等的思路.2.若題中沒有全等的三角形，則可根據(jù)題中條件合理地添加輔助線，如運(yùn)用作高法、倍長中線法、截長補(bǔ)短法、分解圖形法等來解決運(yùn)動(dòng)、拼接、旋轉(zhuǎn)等探究性題目．6．（2023?涼山州）如圖，點(diǎn)E、點(diǎn)F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個(gè)條件，不能證明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE7．（2023?呼和浩特）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，，點(diǎn)P為AC邊上的中點(diǎn)，PM交AB的延長線于點(diǎn)M，PN交BC的延長線于點(diǎn)N，且PM⊥PN．若BM＝1，則△PMN的面積為（）A．13 B． C．8 D．8．（2022?泰安）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接EO并延長交AD于點(diǎn)F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列結(jié)論：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四邊形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ABC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．17．（2022?大慶）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且正方形ABCD的周長是△BEF周長的2倍．連接DE，DF分別與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，N，給出如下幾個(gè)結(jié)論：①若AE＝2，CF＝3，則EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，則MN＝4；④若＝2，BE＝3，則EF＝4．其中正確結(jié)論的序號(hào)為．?考向四全等三角形的應(yīng)用解題技巧/易錯(cuò)易混一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．8．（2022?揚(yáng)州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△ABC，提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC9．（2023?雄縣一模）為測量一池塘兩端A，B之間的距離，兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)了以下兩種不同的方案．方案Ⅰ：如圖，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接AO并延長到點(diǎn)C，連接BO并延長到點(diǎn)D，并使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，最后測出DC的長即可；方案Ⅱ：如圖，先確定直線AB，過點(diǎn)B作直線BE⊥AB，在直線BE上找可以直接到達(dá)點(diǎn)A的一點(diǎn)D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點(diǎn)C，最后測量BC的長即可．下列說法正確的是（）A．Ⅰ，Ⅱ都不可行 B．Ⅰ，Ⅱ都可行 C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行10．（2022?百色）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動(dòng)小組實(shí)地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．（1）求證：△ABC≌△CDA；（2）求草坪造型的面積．?考向五角平分線的性質(zhì)與判定11．（2022?鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點(diǎn)D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+212．（2022?北京）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝1．13．（2023?綿陽）如圖，在⊙O中，點(diǎn)A，B，C，D為圓周的四等分點(diǎn)，AE為切線，連接ED．并延長交⊙O于點(diǎn)F，連接BF交AC于點(diǎn)G．（1）求證：AD平分∠CAE；（2）求證：△ADE≌△ABG；（3）若AE＝3，AG＝3GC，求cos∠CBF的值．?考向六線段的垂直平分線的性質(zhì)14．（2022?湖北）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．115．（2022?青海）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，∠BAE＝10°，則∠C的度數(shù)是．1．（2023?北京）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，連接DE．設(shè)AB＝a，BC＝b，DE＝c，給出下面三個(gè)結(jié)論：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．（2022?西寧）如圖，∠MON＝60°，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B；分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧在∠MON的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，畫射線OP；連接AB，AP，BP，過點(diǎn)P作PE⊥OM于點(diǎn)E，PF⊥ON于點(diǎn)F．則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．△AOB是等邊三角形 B．PE＝PF C．△PAE≌△PBF D．四邊形OAPB是菱形3．（2021?陜西）如圖，AB、BC、CD、DE是四根長度均為5cm的火柴棒，點(diǎn)A、C、E共線．若AC＝6cm，CD⊥BC，則線段CE的長度是（）A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm4．（2023?青龍縣三模）要得知某一池塘兩端A，B的距離，發(fā)現(xiàn)其無法直接測量，兩同學(xué)提供了如下間接測量方案．方案Ⅰ：如圖1，先過點(diǎn)B作BF⊥AB，再在BF上取C，D兩點(diǎn)，使BC＝CD，接著過點(diǎn)D作BD的垂線DE，交AC的延長線于點(diǎn)E，則測量DE的長即可；方案Ⅱ：如圖2，過點(diǎn)B作BD⊥AB，再由點(diǎn)D觀測，用測角儀在AB的延長線上取一點(diǎn)C，使∠BDC＝∠BDA，則測量BC的長即可．對(duì)于方案Ⅰ、Ⅱ，說法正確的是（）A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行5．（2022?宜昌）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N．作直線MN，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，則△ABD的周長為（）A．25 B．22 C．19 D．186．（2023?遼寧）如圖，線段AB＝8，點(diǎn)C是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段BD，連接CD，在AB的上方作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，∠E＝30°，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接AF，當(dāng)AF最小時(shí)，△BCD的面積為．7．（2022?宜賓）《數(shù)書九章》是中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為S＝．現(xiàn)有周長為18的三角形的三邊長滿足a：b：c＝4：3：2，則用以上給出的公式求得這個(gè)三角形的面積為．8．（2023?成都）如圖，已知△ABC≌△DEF，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若BC＝8，CE＝5，則CF的長為．9．（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD．過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長度為．10．（2022?深圳）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，連接CE，以CE為底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE邊上的一點(diǎn)，連接BD和BF，且∠FBD＝45°，則AF長為．11．（2023?衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．下面四個(gè)條件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）請(qǐng)選擇其中的三個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF（寫出一種情況即可）．（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．12．（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)E．求證：CE＝AB．13．（2023?聊城）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．（1）求證：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4時(shí)，求△AED的面積．14．（2022?黃石）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且點(diǎn)D在線段BC上，連CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度數(shù)．15．（2022?柳州）如圖，點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個(gè)條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號(hào)）（只需選一個(gè)條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的結(jié)論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．16．（2022?資陽）如圖，在△ABC中（AB＜BC），過點(diǎn)C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，連接DE、DB．（1）求證：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面積．17．（2022?長沙）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為B，D．（1）求證：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四邊形ABCD的面積．18．（2022?北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD，DC，延長DC到點(diǎn)E，使得CE＝DC．（1）如圖1，延長BC到點(diǎn)F，使得CF＝BC，連接AF，EF．若AF⊥EF，求證：BD⊥AF；（2）連接AE，交BD的延長線于點(diǎn)H，連接CH，依題意補(bǔ)全圖2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示線段CD與CH的數(shù)量關(guān)系，并證明．19．（2022?濰坊）【情境再現(xiàn)】甲、乙兩個(gè)含45°角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上的高的垂足O處．將甲繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接AG，BH，如圖③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通過證明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．請(qǐng)你證明：AG＝BH．【遷移應(yīng)用】延長GA分別交HO，HB所在直線于點(diǎn)P，D，如圖④，猜想并證明DG與BH的位置關(guān)系．【拓展延伸】小亮將圖②中的甲、乙換成含30°角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接HB，AG，如圖⑥所示，其他條件不變，請(qǐng)你猜想并證明AG與BH的數(shù)量關(guān)系．20．（2021?柳州）如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)C，從點(diǎn)C不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B，連接AC并延長到點(diǎn)D，使CD＝CA，連接BC并延長到點(diǎn)E，使CE＝CB，連接DE，那么量出DE的長就是A、B的距離，為什么？請(qǐng)結(jié)合解題過程，完成本題的證明．證明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴．21．（2023?銅仁市四模）王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合．（1）求證：△ADC≌△CEB；（2）求兩堵木墻之間的距離．22．（2023?廣州）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，則點(diǎn)E到直線AD的距離為．

主題四平面幾何專題14全等三角形全等三角形的性質(zhì)1.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；2.全等三角形的周長相等，面積相等；3.全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．三角形全等的判定定理1.邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；2.邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；3.角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；4.角角邊定理：有兩角和它們所對(duì)的任意一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）；5.對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．判定兩個(gè)三角形全等的思路1.已知兩邊2.已知一邊、一角3.已知兩角?？既饶Ｐ推揭颇Ｐ蛯?duì)稱模型旋轉(zhuǎn)模型一線三垂直模型一線三等角模型綜合模型1.平移＋旋轉(zhuǎn)模型：2.平移＋對(duì)稱模型：角平分線1.角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸．2.性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．如圖，已知平分，，，則．2.判定：角的內(nèi)部，與角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．如圖，已知，，則平分．全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．作輔助線構(gòu)造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．

專題14全等三角形目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一三角形的面積?考向二三角形的內(nèi)角和?考向三全等三角形的判定與性質(zhì)?考向四全等三角形的應(yīng)用?考向五角平分線的性質(zhì)與判定?考向六線段的垂直平分線的性質(zhì)最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.理解全等三角形的概念，能識(shí)別全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角；2.掌握基本事實(shí)：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等；3.掌握基本事實(shí)：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；4.掌握基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；5.證明定理：兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等；6.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理．該板塊內(nèi)容重在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10~15分，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查三角形中位線、內(nèi)外角性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，這部分知識(shí)需要學(xué)生扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)，并且會(huì)靈活運(yùn)用。在解答題中會(huì)出現(xiàn)三角形全等的判定和性質(zhì),這部分知識(shí)主要考查基礎(chǔ)。?考向一三角形的面積1．（2022?桂林）如圖，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則△ABC的面積是（）A． B．1+ C．2 D．2+【思路點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，先證明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再證明AD＝BD，計(jì)算AE和BC的長，根據(jù)三角形的面積公式可解答．【規(guī)范解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，∵∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，∴∠DAB＝22.5°，∴∠B＝∠DAB，∴AD＝BD＝2，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴DE＝CE，∴AE＝CD＝，∴△ABC的面積＝?BC?AE＝××（2+2）＝2+．故選：D．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟知掌握等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．（2022?遂寧）如圖，D、E、F分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，其中BC＝8，BC邊上的高為6，且DE∥BC，則△DEF面積的最大值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，交DE于點(diǎn)N，則AN⊥DE，設(shè)AN＝a，根據(jù)DE∥BC，證出△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比得到DE＝a，列出△DEF面積S的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)配方法求最值即可．【規(guī)范解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，交DE于點(diǎn)N，則AN⊥DE，設(shè)AN＝a，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝a，∴△DEF面積S＝×DE×MN＝×a?（6﹣a）＝﹣a2+4a＝﹣（a﹣3）2+6，∴當(dāng)a＝3時(shí)，S有最大值，最大值為6．故選：A．【真題點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積，平行線的性質(zhì)，列出△DEF面積S的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)配方法求最值是解題的關(guān)鍵．3．（2023?臺(tái)州）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上（點(diǎn)C在點(diǎn)A，D之間），分別以AD，BC為邊向同側(cè)作等邊三角形ADE與等邊三角形CBF，邊長分別為a，b，CF與DE交于點(diǎn)H，延長AE，BF交于點(diǎn)G，AG長為c．（1）若四邊形EHFG的周長與△CDH的周長相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為5a+5b＝7c；（2）若四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為a2+b2＝c2．【思路點(diǎn)撥】（1）由△ADE和△CBF是等邊三角形，可得△CDH和△ABG是等邊三角形，DE∥BG，CF∥AG，即知EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，根據(jù)四邊形EHFG的周長與△CDH的周長相等，有2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），故5a+5b＝7c；（2）由S四邊形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，可得S△ABG＝S△BCF+S△ADE，即c2＝a2+b2，從而可得a2+b2＝c2．【規(guī)范解答】解：（1）∵△ADE和△CBF是等邊三角形，∴∠A＝∠ADE＝∠B＝∠BCF＝60°，∴△CDH和△ABG是等邊三角形，DE∥BG，CF∥AG，∴四邊形EHFG是平行四邊形，AB＝AG＝BG＝c，CH＝DH＝CD＝AD+BC﹣AB＝a+b﹣c，∴EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，∵四邊形EHFG的周長與△CDH的周長相等，∴2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），整理得：5a+5b＝7c，故答案為：5a+5b＝7c；（2）∵S四邊形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，∴S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH＝S△CDH，∴S△ABG＝S△BCF+S△ADE，∵△ABG，△ADE和△CBF是等邊三角形，∴c2＝a2+b2，∴c2＝a2+b2，故答案為：a2+b2＝c2．【真題點(diǎn)撥】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含a，b，c的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長度．?考向二三角形的內(nèi)角和4．（2023?聊城）如圖，分別過△ABC的頂點(diǎn)A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．65° B．75° C．85° D．95°【思路點(diǎn)撥】由平行線的性質(zhì)可求∠ADC得度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解．【規(guī)范解答】解：∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠EBC＝80°，∵∠CAD+∠ADC+∠ACB＝180°，∠CAD＝25°，∴∠ACB＝180°﹣25°﹣80°＝75°，故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，若DE∥BC，F(xiàn)G∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，則∠C＝55°．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：∵DE∥BC，∠BDE＝120°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，∵FG∥AC，∠DFG＝115°，∴∠A＝180°﹣115°＝65°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝55°，故答案為：55．【真題點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是正確解答的前提．?考向三全等三角形的判定與性質(zhì)解題技巧/易錯(cuò)易混1.從判定兩個(gè)三角形全等的方法可知，要判定兩個(gè)三角形全等，需要知道這兩個(gè)三角形分別有三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)元素是邊）對(duì)應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準(zhǔn)確地確定要補(bǔ)充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個(gè)三角形全等的思路.2.若題中沒有全等的三角形，則可根據(jù)題中條件合理地添加輔助線，如運(yùn)用作高法、倍長中線法、截長補(bǔ)短法、分解圖形法等來解決運(yùn)動(dòng)、拼接、旋轉(zhuǎn)等探究性題目．6．（2023?涼山州）如圖，點(diǎn)E、點(diǎn)F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個(gè)條件，不能證明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE【思路點(diǎn)撥】根據(jù)BE＝CF求出BF＝CE，再根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行分析即可．【規(guī)范解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∴當(dāng)∠A＝∠D時(shí)，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合題意；當(dāng)∠AFB＝∠DEC時(shí)，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合題意；當(dāng)AB＝DC時(shí)，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合題意；當(dāng)AF＝DE時(shí)，無法證明△ABF≌△DCE，故D符合題意；故選：D．【真題點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．7．（2023?呼和浩特）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，，點(diǎn)P為AC邊上的中點(diǎn)，PM交AB的延長線于點(diǎn)M，PN交BC的延長線于點(diǎn)N，且PM⊥PN．若BM＝1，則△PMN的面積為（）A．13 B． C．8 D．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意，連接BP，然后先證明△BMP≌△CNP，從而CN＝BP＝1，又由等腰Rt△ABC可得BC＝4，從而在Rt△MBN中可以求得MN，又MP＝NP，從而可得MN的值，進(jìn)而可以得解．【規(guī)范解答】解：如圖連接BP．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵AB＝BC，點(diǎn)P為AC邊上的中點(diǎn)，∴BP⊥AC，∠CBP＝∠ABP＝∠ABC＝45°，∠BCA＝45°，BP＝CP＝AC＝2．∴∠MBP＝∠NCP＝180°﹣45°＝135°．∵BP⊥AC，PM⊥PN，∴∠BPM+∠MPC＝90°，∠CPN+∠MPC＝90°．∴∠BPM＝∠CPN．又BP＝CP，∠MBP＝∠NCP，∴△BMP≌△CNP（ASA）．∴BM＝CN＝1，MP＝NP．在Rt△BPC中，BC＝＝4．∴在Rt△MBN中，MN＝＝＝．又在Rt△MPN中，MP＝NP，∴MP2+NP2＝MN2．∴MP＝NP＝．∴S△PMN＝MP?NP＝．故選：D．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．8．（2022?泰安）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接EO并延長交AD于點(diǎn)F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列結(jié)論：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四邊形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ABC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【思路點(diǎn)撥】通過判定△ABE為等邊三角形求得∠BAE＝60°，利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠EAC＝30°，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷④．【規(guī)范解答】解：∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BC＝2BE＝2CE，又∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝∠BEA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，即AB⊥AC，故①正確；在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，∴∠CAD＝∠ACB，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AB⊥AC，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴AE＝CE，∴平行四邊形AECF是菱形，故③正確；∴AC⊥EF，在Rt△COE中，∠ACE＝30°，∴OE＝CE＝BC＝AD，故②正確；在平行四邊形ABCD中，OA＝OC，又∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴S△BOE＝S△BOC＝S△ABC，故④正確；正確的結(jié)論由4個(gè)，故選：A．【真題點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．7．（2022?大慶）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且正方形ABCD的周長是△BEF周長的2倍．連接DE，DF分別與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，N，給出如下幾個(gè)結(jié)論：①若AE＝2，CF＝3，則EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，則MN＝4；④若＝2，BE＝3，則EF＝4．其中正確結(jié)論的序號(hào)為②．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件可得EF＝AE+FC，即可判斷①，進(jìn)而推出∠EDF＝45°，判斷②正確，作DG⊥EF于點(diǎn)G，連接GM，GN，證明△GMN是直角三角形，結(jié)合勾股定理驗(yàn)證③，證明∠BEF＝∠MNG＝30°，即可判斷④．【規(guī)范解答】解：∵正方形ABCD的周長是△BEF周長的2倍，∴BE+BF+EF＝AB+BC，∴EF＝AE+FC，若AE＝2，CF＝3，則EF＝2+3＝5，故①錯(cuò)誤；如圖，在BA的延長線上取點(diǎn)H，使得AH＝CF，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠HAD＝∠FCD＝90°，在△AHD和△CFD中，，∴△AHD≌△CFD（SAS），∴∠CDF＝∠ADH，HD＝DF，∠H＝∠DFC，又∵EF＝AE+CF，∴EF＝AE+AH＝EH，在△DEH和△DEF中，，∴△DEH≌△DEF（SSS），∴∠HDE＝∠FDE，∠H＝∠EFD，∠HED＝∠FED，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADH+∠ADF＝∠HDF＝90°∴∠EDF＝∠HDE＝45°，∵∠H＝∠DFC＝∠DFE，∠EMN＝∠HED+∠EAM＝45°+∠DEF，∴∠EFN+∠EMN＝∠DFC+45°+∠DEF＝∠DFE+∠EDF+∠DEF＝180°，則∠EFN+∠EMN＝180°，故②正確；如圖，作DG⊥EF于點(diǎn)G，連接GM，GN，在△AED和△GED中，，∴△AED≌△GED（AAS），同理，△GDF≌△CDF（AAS），∴AG＝DG＝CF，∠ADE＝∠GDE，∠GDF＝∠CDF，∴點(diǎn)A，G關(guān)于DE對(duì)稱軸，C，G關(guān)于DF對(duì)稱，∴GM＝AM，GN＝CN，∠EGM＝∠EAM＝45°，∠NGF＝∠NCF＝45°，∴∠MGN＝90°，即△GMN是直角三角形，若AM＝2，CN＝3，∴GM＝2，GN＝3，在Rt△GMN中，MN＝＝，故③錯(cuò)誤；∵M(jìn)G＝AM，且＝2，BE＝3，在Rt△GMN中，sin∠MNG＝＝＝，∴∠MNG＝30°，∵∠EFN+∠EMN＝180°，∠EMN+∠AME＝180°，且∠CFN＝∠EFN，∴∠AME＝∠CFN，∴2∠AME＝2∠CFN，即∠AMG＝∠CFG，∴∠GMN＝∠BFE，∴∠BEF＝∠MNG＝30°，∴cos∠BEF＝cos∠MNG＝＝，∴EF＝2，故④錯(cuò)誤，綜上，正確結(jié)論的序號(hào)為②，故答案為：②．【真題點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，題目有一定綜合性，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．?考向四全等三角形的應(yīng)用解題技巧/易錯(cuò)易混一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．8．（2022?揚(yáng)州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△ABC，提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC【思路點(diǎn)撥】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【規(guī)范解答】解：A．利用三角形三邊對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；B．利用三角形兩邊、且夾角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；C．AB，AC，∠B，無法確定三角形的形狀，故此選項(xiàng)符合題意；D．根據(jù)∠A，∠B，BC，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【真題點(diǎn)撥】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．9．（2023?雄縣一模）為測量一池塘兩端A，B之間的距離，兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)了以下兩種不同的方案．方案Ⅰ：如圖，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接AO并延長到點(diǎn)C，連接BO并延長到點(diǎn)D，并使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，最后測出DC的長即可；方案Ⅱ：如圖，先確定直線AB，過點(diǎn)B作直線BE⊥AB，在直線BE上找可以直接到達(dá)點(diǎn)A的一點(diǎn)D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點(diǎn)C，最后測量BC的長即可．下列說法正確的是（）A．Ⅰ，Ⅱ都不可行 B．Ⅰ，Ⅱ都可行 C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的判定方法和等腰三角形三線合一性質(zhì)求解即可．【規(guī)范解答】解：方案Ⅰ：∵CO＝AO，DO＝BO，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB＝CD，∴Ⅰ可行；方案Ⅱ：∵DC＝DA，∴△ACD是等腰三角形，∵BE⊥AB，∴AB＝BC，∴Ⅱ可行，綜上所述，Ⅰ，Ⅱ都可行．故選：B．【真題點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定方法和等腰三角形三線合一性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2022?百色）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動(dòng)小組實(shí)地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．（1）求證：△ABC≌△CDA；（2）求草坪造型的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）利用全等三角形的判定方法，結(jié)合三邊關(guān)系得出答案；（2）直接利用全等三角形的性質(zhì)以及直角三角形中30度所對(duì)邊與斜邊的關(guān)系的得出對(duì)應(yīng)邊長，進(jìn)而得出答案．【規(guī)范解答】（1）證明：在△ABC和△CDA中，∵，∴△ABC≌△CDA（SSS）；（2）解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵AB＝2米，∠B＝30°，∴AE＝1米，∴S△ABC＝×3×1＝（平方米），則S△CDA＝（平方米），∴草坪造型的面積為：2×＝3（平方米）．【真題點(diǎn)撥】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．?考向五角平分線的性質(zhì)與判定11．（2022?鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點(diǎn)D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH＝EC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADE的度數(shù)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DE的長度，再證明OD＝DE，即可求出OD的長．【規(guī)范解答】解：過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，如圖所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022?北京）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝1．【思路點(diǎn)撥】過D點(diǎn)作DH⊥AC于H點(diǎn)，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DH＝1，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．【規(guī)范解答】解：過D點(diǎn)作DH⊥AC于H點(diǎn)，如圖，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案為：1．【真題點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．13．（2023?綿陽）如圖，在⊙O中，點(diǎn)A，B，C，D為圓周的四等分點(diǎn)，AE為切線，連接ED．并延長交⊙O于點(diǎn)F，連接BF交AC于點(diǎn)G．（1）求證：AD平分∠CAE；（2）求證：△ADE≌△ABG；（3）若AE＝3，AG＝3GC，求cos∠CBF的值．【思路點(diǎn)撥】（1）利用圓周四等分點(diǎn)得到∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝45°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠CAE＝90°，所以∠DAE＝45°，從而可判斷AD平分∠CAE；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明∠ADE＝∠ABF，則可利用“SAS”判斷△ADE≌△ABG；（3）過G點(diǎn)GH⊥BC于H點(diǎn)，如圖，先利用△ADE≌△ABG得到AG＝AE＝3，所以CG＝1，AC＝4，再根據(jù)圓周角定理得到∠ABC＝90°，則可計(jì)算出BC＝2，接著CH＝GH＝，所以BH＝，然后利用勾股定理計(jì)算出BG＝，于是根據(jù)余弦的定義可計(jì)算出cos∠CBF的值．【規(guī)范解答】（1）證明：∵點(diǎn)A，B，C，D為圓周的四等分點(diǎn)，∴＝，AC為直徑，∴∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝45°，∵AE為切線，∴AC⊥AE，∴∠CAE＝90°，∴∠DAE＝45°，∴AD平分∠CAE；（2）證明：∵∠ABF+∠ADF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，∴∠ADE＝∠ABF，在△ADE和△ABG中，，∴△ADE≌△ABG（SAS）；（3）解：過G點(diǎn)GH⊥BC于H點(diǎn)，如圖，∵△ADE≌△ABG，∴AG＝AE＝3，∴AG＝3CG，∴CG＝1，AC＝4，∵AC為直徑，∴∠ABC＝90°，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AC＝2，在Rt△CGH中，CH＝GH＝CG＝，∴BH＝BC﹣CH＝2﹣＝，在Rt△BGH中，BG＝＝＝，∴cos∠HBG＝＝＝，即cos∠CBF的值為．【真題點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)和解直角三角形．?考向六線段的垂直平分線的性質(zhì)14．（2022?湖北）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意分別證明各個(gè)結(jié)論來判斷即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四邊形AECF是菱形，故①結(jié)論正確；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②結(jié)論正確；∵S四邊形AECF＝CF?CD＝AC?OE×2＝AC?EF，故③結(jié)論不正確；若AF平分∠BAC，則∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④結(jié)論正確；故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查長方形的綜合題，熟練掌握長方形的性質(zhì)，基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．（2022?青海）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，∠BAE＝10°，則∠C的度數(shù)是40°．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE＝EC，從而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：∵ED是AC的垂直平分線，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案為：40°．【真題點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2023?北京）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，連接DE．設(shè)AB＝a，BC＝b，DE＝c，給出下面三個(gè)結(jié)論：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)直角三角形的斜邊大于任一直角邊即可；②在三角形中，兩邊之和大于第三邊，據(jù)此可解答；③將c用a和b表示出來，再進(jìn)行比較．【規(guī)范解答】解：①過點(diǎn)D作DF∥AC，交AE于點(diǎn)F；過點(diǎn)B作BG⊥FD，交FD于點(diǎn)G．∵DF∥AC，AC⊥AE，∴DF⊥AE．又∵BG⊥FD，∴BG∥AE，∴四邊形ABGF為矩形．同理可得，四邊形BCDG也為矩形．∴FD＝FG+GD＝a+b．∴在Rt△EFD中，斜邊c＞直角邊a+b．故①正確．②∵△EAB≌△BCD，∴AE＝BC＝b，∴在Rt△EAB中，BE＝＝．∵AB+AE＞BE，∴a+b＞．故②正確．③∵△EAB≌△BCD，∴∠AEB＝∠CBD，又∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CBD+∠ABE＝90°，∴∠EBD＝90°．∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE＝45°，∴BE＝＝c?sin45°＝c．∴c＝．∵＝2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a2+b2），∴＞，∴＞c．故③正確．故選：D．【真題點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的性質(zhì)．雖然是選擇題，但計(jì)算量不小，比較繁瑣，需要細(xì)心、耐心．2．（2022?西寧）如圖，∠MON＝60°，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B；分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧在∠MON的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，畫射線OP；連接AB，AP，BP，過點(diǎn)P作PE⊥OM于點(diǎn)E，PF⊥ON于點(diǎn)F．則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．△AOB是等邊三角形 B．PE＝PF C．△PAE≌△PBF D．四邊形OAPB是菱形【思路點(diǎn)撥】利用等邊三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，和菱形的判定定理對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B，∴OA＝OB，∵∠MON＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴A的結(jié)論正確，不符合題意；∵分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧在∠MON的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，∴PA＝PB，在△OPA和△OPB中，，∴△OPA≌△OPB（SSS），∴∠POA＝∠POB．∵PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE＝PF．∴B的結(jié)論正確，不符合題意；∵PE⊥OM，PF⊥ON，∴∠PEA＝∠PFB＝90°．在Rt△PAE和Rt△PBF中，，∴Rt△PAE≌Rt△PBF（HL）．∴C的結(jié)論正確，不符合題意；由作圖過程可知：OB與PB不一定相等，∴四邊形OAPB是菱形不成立，∴D的結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意，故選：D．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，基本作圖和菱形的判定定理，利用基本作圖的過程得出線段相等的條件是解題的關(guān)鍵．3．（2021?陜西）如圖，AB、BC、CD、DE是四根長度均為5cm的火柴棒，點(diǎn)A、C、E共線．若AC＝6cm，CD⊥BC，則線段CE的長度是（）A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm【思路點(diǎn)撥】過B作BM⊥AC于M，過D作DN⊥CE于N，由等腰三角形的性質(zhì)得到AM＝CM＝3，CN＝EN，根據(jù)全等三角形判定證得△BCM≌△CDN，得到BM＝CN，在Rt△BCM中，根據(jù)勾股定理求出BM＝4，進(jìn)而求出．【規(guī)范解答】解：由題意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，過B作BM⊥AC于M，過D作DN⊥CE于N，則∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，∴∠CBM＝∠DCN，在△BCM和△CDN中，，∴△BCM≌△CDN（AAS），∴BM＝CN，在Rt△BCM中，∵BC＝5cm，CM＝3cm，∴BM＝＝＝4（cm），∴CN＝4cm，∴CE＝2CN＝2×4＝8（cm），故選：D．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線，證得△BCM≌△CDN是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023?青龍縣三模）要得知某一池塘兩端A，B的距離，發(fā)現(xiàn)其無法直接測量，兩同學(xué)提供了如下間接測量方案．方案Ⅰ：如圖1，先過點(diǎn)B作BF⊥AB，再在BF上取C，D兩點(diǎn)，使BC＝CD，接著過點(diǎn)D作BD的垂線DE，交AC的延長線于點(diǎn)E，則測量DE的長即可；方案Ⅱ：如圖2，過點(diǎn)B作BD⊥AB，再由點(diǎn)D觀測，用測角儀在AB的延長線上取一點(diǎn)C，使∠BDC＝∠BDA，則測量BC的長即可．對(duì)于方案Ⅰ、Ⅱ，說法正確的是（）A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行【思路點(diǎn)撥】在兩個(gè)圖中分別根據(jù)全等三角形的判定方法證明三角形全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【規(guī)范解答】解：∵AB⊥BF，∴∠ABC＝90°，∵DE⊥BF，∴∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED，故方案Ⅰ可行；∵BD⊥AB，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（ASA），∴AB＝BC，故方案Ⅱ可行；綜上可知，方案Ⅰ和Ⅱ都可行，故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．（2022?宜昌）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N．作直線MN，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，則△ABD的周長為（）A．25 B．22 C．19 D．18【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，從而可以求得△ABD的周長．【規(guī)范解答】解：由題意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周長是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周長是19，故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的周長，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．6．（2023?遼寧）如圖，線段AB＝8，點(diǎn)C是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段BD，連接CD，在AB的上方作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，∠E＝30°，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接AF，當(dāng)AF最小時(shí)，△BCD的面積為．【思路點(diǎn)撥】連接CF，證明ACF為直角三角形，根據(jù)勾股定理列出AF2＝CF2+AC2，設(shè)BC＝x，則AC＝8﹣x，建立關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，求出x＝2時(shí)，AF最小，再求出頂角是120°的三角形BCD的面積即可．【規(guī)范解答】解：連接CF，則CF＝DF＝EF，∵∠EDC＝90°﹣∠E＝60°，∴∠FCD＝60°．∵∠DCB＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠FCB＝∠FCD+∠DCB＝60°+30°＝90°，∴△ACF是直角三角形．設(shè)BC＝x，則AC＝8﹣x，BC＝BD＝x，CD＝CF＝x，由勾股定理得：AF＝＝＝2．當(dāng)x＝2時(shí)，AF有最小值．∴BC＝BD＝2，∠CBD＝120°，∴S△BCD＝×2×2×＝．故答案為：．【真題點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)背景下的二次函數(shù)最值問題，頂角為120°的等腰三角形面積的計(jì)算，建立二次函數(shù)關(guān)系式是本題的突破口．7．（2022?宜賓）《數(shù)書九章》是中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為S＝．現(xiàn)有周長為18的三角形的三邊長滿足a：b：c＝4：3：2，則用以上給出的公式求得這個(gè)三角形的面積為3．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意先求出a、b、c，再代入公式進(jìn)行計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)a：b：c＝4：3：2，設(shè)a＝4k，b＝3k，c＝2k，則4k+3k+2k＝18，解得：k＝2，∴a＝4k＝4×2＝8，b＝3k＝3×2＝6，c＝2k＝2×2＝4，∴S＝＝＝3，故答案為：3．【真題點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的熟練掌握．8．（2023?成都）如圖，已知△ABC≌△DEF，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若BC＝8，CE＝5，則CF的長為3．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到EF＝BC＝8，計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝8，∴EF＝8，∵EC＝5，∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．故答案為：3．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．9．（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD．過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長度為3．【思路點(diǎn)撥】先證明△ABE≌△CAF（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，進(jìn)一步可得EF的長．【規(guī)范解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠FAC＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE，AE＝CF，∵BE＝4，CF＝1，∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，故答案為：3．【真題點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022?深圳）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，連接CE，以CE為底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE邊上的一點(diǎn)，連接BD和BF，且∠FBD＝45°，則AF長為．【思路點(diǎn)撥】將線段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段HD，連接BH，利用SAS證明△EDH≌△CDB，得EH＝CB＝5，∠BGH＝∠BDH＝90°，從而得出HE∥DC∥AB，則△ABF∽△EHF，即可解決問題．【規(guī)范解答】解：將線段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段HD，連接BH，延長HE交BC于G，∴△BDH是等腰直角三角形，∴∠HBD＝45°，∵∠FBD＝45°，∴點(diǎn)B、F、H共線，又∵△EDC是等腰直角三角形，∴HD＝BD，∠EDH＝∠CDB，ED＝CD，∴△EDH≌△CDB（SAS），∴EH＝CB＝5，∠DHE＝∠CBD，∴∠BGH＝∠BDH＝90°，∴HE∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴，∵AE＝2，∴，∴AF＝，故答案為：．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2023?衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．下面四個(gè)條件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）請(qǐng)選擇其中的三個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF（寫出一種情況即可）．（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)兩三角形全等的判定定理，選擇合適的條件即可．（2）根據(jù)（1）中所選條件，進(jìn)行證明即可．【規(guī)范解答】解：（1）由題知，選擇的三個(gè)條件是：①②③；或者選擇的三個(gè)條件是：①③④．證明：（2）當(dāng)選擇①②③時(shí)，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．當(dāng)選擇①③④時(shí)，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【真題點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的證明，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．12．（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)E．求證：CE＝AB．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)余角的性質(zhì)證得∠A＝∠DCE，然后根據(jù)AAS即可證得△ABC≌△CED，據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得．【規(guī)范解答】證明：∵DC⊥AC于點(diǎn)C，∴∠ACB+∠DCB＝90°∵∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠A＝90°∴∠A＝∠DCE∵DE⊥BC于點(diǎn)E，∴∠E＝90°∴∠B＝∠E．在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS）．∴AB＝CE．【真題點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明線段相等的基本思路是證明三角形全等．13．（2023?聊城）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．（1）求證：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4時(shí)，求△AED的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）利用AAS證明∴△ABE≌△ECD，即可證明結(jié)論；（2）先證明△AED為等邊三角形，可得AE＝AD＝ED＝4，過A點(diǎn)作AF⊥ED于F，利用等邊三角形的性質(zhì)可得EF＝2，再根據(jù)勾股定理求得AF的長，利用三角形的面積公式可求解．【規(guī)范解答】（1）證明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AED+∠CED，∴∠BAE＝∠CED，在△ABE和△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA；（2）解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，∴△AED為等邊三角形，∴AE＝AD＝ED＝4，過A點(diǎn)作AF⊥ED于F，∴EF＝ED＝2，∴AF＝，∴S△AED＝ED?AF＝．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)的綜合運(yùn)用，證明△ABE≌△ECD是解題的關(guān)鍵．14．（2022?黃石）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且點(diǎn)D在線段BC上，連CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）可利用SAS證明結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求解∠AEC的度數(shù)，進(jìn)而可求可求解【規(guī)范解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．15．（2022?柳州）如圖，點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個(gè)條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號(hào)）①（只需選一個(gè)條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是SSS（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的結(jié)論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)SSS即可證明△ABC≌△DEF，即可解決問題；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠EDF，再根據(jù)平行線的判定即可解決問題．【規(guī)范解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三個(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF，選取的條件為①，判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是SSS．故答案為：①，SSS；（答案不唯一）．（2）證明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．【真題點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定和全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．16．（2022?資陽）如圖，在△ABC中（AB＜BC），過點(diǎn)C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，連接DE、DB．（1）求證：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等證明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，設(shè)BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合題意的x的值為2，則BC＝5，再根據(jù)勾股定理求出DE的長，即可求出△BCD的面積．【規(guī)范解答】（1）證明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，設(shè)BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合題意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，∴S△BCD＝BC?DE＝×5×4＝10，∴△BCD的面積為10．【真題點(diǎn)撥】此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程的解法等知識(shí)與方法，證明三角形全等以及根據(jù)勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．17．（2022?長沙）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為B，D．（1）求證：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四邊形ABCD的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根據(jù)CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS可得△ABC≌△ADC；（2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，求出S△ABC＝AB?BC＝6，即可得四邊形ABCD的面積是12．【規(guī)范解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B＝90°＝∠D，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）；（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC＝AB?BC＝×4×3＝6，∴S△ADC＝6，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，答：四邊形ABCD的面積是12．【真題點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理．18．（2022?北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD，DC，延長DC到點(diǎn)E，使得CE＝DC．（1）如圖1，延長BC到點(diǎn)F，使得CF＝BC，連接AF，EF．若AF⊥EF，求證：BD⊥AF；（2）連接AE，交BD的延長線于點(diǎn)H，連接CH，依題意補(bǔ)全圖2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示線段CD與CH的數(shù)量關(guān)系，并證明．【思路點(diǎn)撥】（1）證明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠DBC＝∠