《高考數(shù)學(xué)壓軸題通法訓(xùn)練•高分必刷系列》專題25計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布（全題型壓軸題）含答案及解析

專題25計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布（選填壓軸題）（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①排列、組合 1②二項(xiàng)式定理 2③概率綜合 4④隨機(jī)變量及其分布列 8①排列、組合1．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）中國(guó)飲食文化歷史悠久，博大精深，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中最具特色的部分之一，其內(nèi)涵十分豐富，根據(jù)義務(wù)教育課程方案，勞動(dòng)課正式成為中小學(xué)一門獨(dú)立的課程，“食育”進(jìn)入校園.李老師計(jì)劃在實(shí)驗(yàn)小學(xué)開(kāi)展一個(gè)關(guān)于“飲食民俗”的講座，講座內(nèi)容包括日常食俗，節(jié)日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6個(gè)方面.根據(jù)安排，講座分為三次，每次介紹兩個(gè)食俗內(nèi)容（不分先后次序），則節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的概率為（

）A． B． C． D．2．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考三模）廈門市博物館由廈門博物館主館、鄭成功紀(jì)念館、廈門經(jīng)濟(jì)特區(qū)紀(jì)念館、廈門市文化遺產(chǎn)保護(hù)中心、破獄斗爭(zhēng)陳列館、陳化成紀(jì)念館、陳勝元故居七個(gè)館區(qū)組成.甲、乙兩名同學(xué)各自選取一個(gè)館區(qū)參觀且所選館區(qū)互不相同，若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭(zhēng)陳列館至少有一個(gè)被選，則不同的參觀方案有（

）A．22種 B．20種 C．12種 D．10種3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預(yù)測(cè)）“第二課堂”是哈九中多樣化課程的典型代表，旨在進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的人文底蘊(yùn)和科學(xué)精神，為繼續(xù)滿足同學(xué)們不同興趣愛(ài)好，美育中心精心準(zhǔn)備了大家非常喜愛(ài)的中華文化傳承系列的第二課堂活動(dòng)課：陶藝，拓印，扎染，創(chuàng)意陶盆，壁掛，剪紙六個(gè)項(xiàng)目供同學(xué)們選學(xué)，每位同學(xué)選擇1個(gè)項(xiàng)目.則甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有（

）A．135種 B．720種 C．1080種 D．1800種4．（2023·江西南昌·統(tǒng)考二模）中國(guó)燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品．燈籠綜合了繪畫、剪紙、紙?jiān)⒋炭p等工藝，與中國(guó)人的生活息息相連．燈籠成了中國(guó)人喜慶的象征．經(jīng)過(guò)歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、花梨木紗燈、恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚簟⒓槿缫獾鯚舾饕粋€(gè)隨機(jī)掛成一排，則有且僅有一種類型的燈籠相鄰的概率為（

）A． B．C． D．5．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．安排甲、乙、丙、丁4名航天員到空間站開(kāi)展工作，每個(gè)艙至少安排1人，若甲、乙兩人不能在同一個(gè)艙開(kāi)展工作，則不同的安排方案共有（

）A．36種 B．18種 C．24種 D．30種6．（2023·遼寧盤錦·盤錦市高級(jí)中學(xué)校考一模）有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，錯(cuò)誤的是（

）A．任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種B．全體站成一排，男生互不相鄰有1440種C．全體站成一排，女生必須站在一起有144種D．全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種．7．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？级＃┡R近春節(jié)，某校書(shū)法愛(ài)好小組書(shū)寫了若干副春聯(lián)，準(zhǔn)備贈(zèng)送給四戶孤寡老人．春聯(lián)分為長(zhǎng)聯(lián)和短聯(lián)兩種，無(wú)論是長(zhǎng)聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相同．經(jīng)過(guò)調(diào)查，四戶老人各戶需要1副長(zhǎng)聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶各要2副短聯(lián)．書(shū)法愛(ài)好小組按要求選出11副春聯(lián)，則不同的贈(zèng)送方法種數(shù)為．8．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）某數(shù)學(xué)興趣小組的5名學(xué)生負(fù)責(zé)講述“宋元數(shù)學(xué)四大家”——秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰的故事，每名學(xué)生只講一個(gè)數(shù)學(xué)家的故事，每個(gè)數(shù)學(xué)家的故事都有學(xué)生講述，則不同的分配方案有種．②二項(xiàng)式定理1．（2023·廣東揭陽(yáng)·惠來(lái)縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則等于（

）A．45 B．84 C．120 D．1652．（多選）（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）在的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為1，則（

）A． B．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C．展開(kāi)式中的系數(shù)為160 D．展開(kāi)式中無(wú)理項(xiàng)的系數(shù)之和為3．（多選）（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）若，，則（

）A．B．C．D．4．（多選）（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎囗?xiàng)式，則（

）A． B．C． D．5．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.6．（2023·全國(guó)·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若，則．7．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在的展開(kāi)式中，按的升冪排列的第三項(xiàng)為.8．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃┱归_(kāi)式中的系數(shù)是.9．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）若為一組從小到大排列的數(shù)1，2，3，5，6，8的第六十百分位數(shù)，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為.10．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┮阎?xiàng)式的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則．③概率綜合1．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）立德中學(xué)有甲?乙兩家餐廳，如果趙同學(xué)上一天去甲餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概率為0.6，如果上一天去乙餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概率為0.8，已知趙同學(xué)第一天去甲餐廳用午餐的概率為0.5.(1)求趙同學(xué)第二天去乙餐廳用午餐的概率；(2)設(shè)趙同學(xué)第去甲餐廳用午餐的概率為，判斷與的大小，并求.2．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某重點(diǎn)大學(xué)為了解準(zhǔn)備保研或者考研的本科生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間，隨機(jī)抽取了名這類大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將收集到的課余學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：）整理后得到如下表格：課余學(xué)習(xí)時(shí)間人數(shù)(1)估計(jì)這名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)；(2)根據(jù)分層抽樣的方法從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在和，這兩組中抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，求抽到的人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在的概率．3．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）2018年12月8日，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭成功發(fā)射嫦娥四號(hào)探測(cè)器，開(kāi)啟了月球探測(cè)的新旅程．為了解廣大市民是否實(shí)時(shí)關(guān)注了這一事件，隨機(jī)選取了部分年齡在20歲到70歲之間的市民作為一個(gè)樣本，將此樣本按年齡，，，，分為5組，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求圖中實(shí)數(shù)a的值，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)中市民年齡的眾數(shù)；(2)為進(jìn)一步調(diào)查市民在日常生活中是否關(guān)注國(guó)家航天技術(shù)發(fā)展的情況，現(xiàn)按照分層抽樣的方法從，，三組中抽取了6人，再?gòu)倪@6人中任意抽取2人來(lái)講述自己所了解的中國(guó)航天的發(fā)展歷程，求這2人中至少有1人的年齡位于之間的概率．4．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？既＃┠硨W(xué)校有兩個(gè)餐廳為學(xué)生提供午餐與晩餐服務(wù)，甲、乙兩位學(xué)生每天午餐和晩餐都在學(xué)校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晩餐）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天為了吸引學(xué)生就餐，餐廳推出就餐抽獎(jiǎng)活動(dòng)，獲獎(jiǎng)的概率為，而餐廳推出就餐送貼紙活動(dòng)，每次就餐送一張.假設(shè)甲、乙選擇餐廳就餐相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)分別估計(jì)一天中甲午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的概率，乙午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的概率；(2)記為學(xué)生乙在一天中獲得貼紙的數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)餐廳推出活動(dòng)當(dāng)天學(xué)生甲就參加了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，已知如果學(xué)生甲抽中獎(jiǎng)品，則第二天午餐再次去餐廳就餐的概率為，如果學(xué)生甲并沒(méi)有抽中獎(jiǎng)品，第二天午餐依然在餐廳就餐的概率為，若餐廳推出活動(dòng)的第二天學(xué)生甲午餐去餐廳就餐的概率是，求.5．（2023·北京·北京八十中?？寄M預(yù)測(cè)）為了弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的美育教育，某校開(kāi)展了為期5天的傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)，從第1天至第5天依次開(kāi)展“書(shū)畫”、“古琴”、“漢服”、“戲曲”、“面塑”共5項(xiàng)傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)，每名學(xué)生至少選擇其中一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，為了解該校上述活動(dòng)的開(kāi)展情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機(jī)選取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如表：傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)第1天第2天第3天第4天第5天書(shū)畫古琴漢服戲曲面塑高一體驗(yàn)人數(shù)8045552045高二體驗(yàn)人數(shù)4060608040高三體驗(yàn)人數(shù)1550407530(1)從樣本中隨機(jī)選取1名學(xué)生，求這名學(xué)生體驗(yàn)戲曲活動(dòng)的概率；(2)利用頻率估計(jì)概率，從高一、高二、高三年級(jí)中各隨機(jī)選取1名學(xué)生，設(shè)這三名學(xué)生中參加戲曲體驗(yàn)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)為了解不同年級(jí)學(xué)生對(duì)各項(xiàng)傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)的喜愛(ài)程度，現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機(jī)選取名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)這3名學(xué)生均選擇了第天傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)的概率為，當(dāng)取得最大值時(shí)，寫出的值，及對(duì)應(yīng)的值．（直接寫出答案即可）6．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）中日圍棋擂臺(tái)賽是由中國(guó)圍棋隊(duì)與日本圍棋隊(duì)各派若干名棋手，以擂臺(tái)制形式舉行的圍棋團(tuán)體賽.這是中國(guó)和國(guó)外開(kāi)設(shè)的最早的圍棋對(duì)抗賽，由中國(guó)圍棋協(xié)會(huì)、日本棋院和中國(guó)《新體育》雜志社聯(lián)合舉辦，日本電器公司（NEC）贊助，因此也稱NEC杯中日圍棋擂臺(tái)賽.該賽事從1984年開(kāi)始至1996年停辦，共進(jìn)行了11屆，結(jié)果中國(guó)隊(duì)以7比4的總比分獲勝.該賽事對(duì)中國(guó)圍棋甚至世界圍棋發(fā)展產(chǎn)生了很大影響，被認(rèn)為是現(xiàn)代圍棋最成功的比賽之一.中日圍棋擂臺(tái)賽由中日雙方各派同樣數(shù)量的若干名棋手組成隊(duì)伍，兩隊(duì)各設(shè)一名主帥，采用打擂臺(tái)的形式，決出最后的勝負(fù).比賽事先排定棋手的上場(chǎng)順序（主帥最后上場(chǎng)），按順序?qū)?，勝者坐擂，?fù)方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帥”被擊敗為止.設(shè)中、日兩國(guó)圍棋隊(duì)各有名隊(duì)員，按事先排好的順序進(jìn)行擂臺(tái)賽，中國(guó)隊(duì)的名隊(duì)員按出場(chǎng)的先后順序記為；日本隊(duì)的名隊(duì)員按出場(chǎng)的先后順序記為.假設(shè)勝的概率為（為常數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，若每個(gè)隊(duì)員實(shí)力相當(dāng)，求中國(guó)隊(duì)有四名隊(duì)員被淘汰且最后戰(zhàn)勝日本隊(duì)的概率；(2)記中國(guó)隊(duì)被淘汰人且中國(guó)隊(duì)獲得擂臺(tái)賽勝利的概率為，求的表達(dá)式；(3)寫出中國(guó)隊(duì)獲得擂臺(tái)賽勝利的概率的表達(dá)式（不用說(shuō)明理由）.7．（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2023年中央一號(hào)文件指出，民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺(tái)準(zhǔn)備為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)品開(kāi)設(shè)直播帶貨專場(chǎng).直播前，此平臺(tái)用不同的單價(jià)試銷，并在購(gòu)買的顧客中進(jìn)行體驗(yàn)調(diào)查問(wèn)卷.為了回饋100名熱心參與問(wèn)卷的顧客，此平臺(tái)決定在直播中專門為他們?cè)O(shè)置兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每次抽獎(jiǎng)都是由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這100名顧客中抽取20名顧客，抽中顧客會(huì)有禮品贈(zèng)送，若直播時(shí)這100名顧客都在線，記兩次抽中的顧客總?cè)藬?shù)為X（不重復(fù)計(jì)數(shù)）.(1)若甲是這100名顧客中的一人，求甲被抽中的概率；(2)求使取得最大值的整數(shù).④隨機(jī)變量及其分布列1．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）適量的運(yùn)動(dòng)有助于增強(qiáng)自身體質(zhì)，加快體內(nèi)新陳代謝，有利于抵御疾?。成鐓^(qū)組織社區(qū)居民參加有獎(jiǎng)投籃比賽，已知小李每次在罰球點(diǎn)投進(jìn)的概率都為．(1)若每次投籃相互獨(dú)立，小李在罰球點(diǎn)連續(xù)投籃6次，恰好投進(jìn)4次的概率為，求的最大值點(diǎn)；(2)現(xiàn)有兩種投籃比賽規(guī)則，規(guī)則一：在罰球點(diǎn)連續(xù)投籃6次，每投進(jìn)一次，獎(jiǎng)勵(lì)兩盒雞蛋，每次投籃相互獨(dú)立，每次在罰球點(diǎn)投進(jìn)的概率都以（1）中確定的作為p的值；規(guī)則二：連續(xù)投籃3次，每投進(jìn)一次，獎(jiǎng)勵(lì)四盒雞蛋．第一次在罰球點(diǎn)投籃，投進(jìn)的概率以（1）中確定的作為p的值，若前次投進(jìn)，則下一次投籃位置不變，投進(jìn)概率也不變，若前次未投進(jìn)，則下次投籃要后退1米，投進(jìn)概率變?yōu)樯洗瓮哆M(jìn)概率的一半．請(qǐng)分析小李應(yīng)選哪種比賽規(guī)則對(duì)自己更有利．2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）小李從家出發(fā)步行前往公司上班，公司要求不晚于8點(diǎn)整到達(dá)，否則視為遲到.小李上班路上需要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，每個(gè)路口遇到紅燈的概率均為，且相互獨(dú)立.已知每遇到紅燈的平均等候時(shí)長(zhǎng)皆為1分鐘，若沒(méi)有遇到任何紅燈則小李僅需10分鐘即可到達(dá)公司.求：(1)要保證不遲到的概率高于90%，小李最晚在幾點(diǎn)幾分從家出發(fā)；(2)若小李連續(xù)兩天7點(diǎn)48分從家出發(fā)，則恰有一天遲到的概率；(3)小李上班路上的平均時(shí)長(zhǎng).3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）近年來(lái)，購(gòu)買盲盒成為當(dāng)下年輕人的潮流之一，為了引導(dǎo)青少年正確消費(fèi)，國(guó)家市場(chǎng)監(jiān)管總局提出，盲盒經(jīng)營(yíng)行為應(yīng)規(guī)范指引，經(jīng)營(yíng)者不能變相誘導(dǎo)消費(fèi)．盲盒最吸引人的地方，是因?yàn)楹凶由蠜](méi)有標(biāo)注，只有打開(kāi)才會(huì)知道自己買到了什么，這種不確定性的背后就是概率．幾何分布是概率論中非常重要的一個(gè)概率模型，可描述如下：在獨(dú)立的伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)中，若所考慮事件首次出現(xiàn)，則試驗(yàn)停止，此時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)服從幾何分布，事件發(fā)生的概率即為幾何分布的參數(shù)，記作．幾何分布有如下性質(zhì)：分布列為，，期望．現(xiàn)有甲文具店推出四種款式不同、單價(jià)相同的文具盲盒，數(shù)量足夠多，購(gòu)買規(guī)則及概率規(guī)定如下：每次購(gòu)買一個(gè)，且買到任意一種款式的文具盲盒是等可能的．(1)現(xiàn)小嘉欲到甲文具店購(gòu)買文具盲盒．①求他第二次購(gòu)買的文具盲盒的款式與第一次購(gòu)買的不同的概率；②設(shè)他首次買到兩種不同款式的文具盲盒時(shí)所需要的購(gòu)買次數(shù)為，求的期望；(2)若甲文具店的文具盲盒的單價(jià)為12元，乙文具店出售與甲文具店款式相同的非盲盒文具且單價(jià)為18元．小興為了買齊這四種款式的文具，他應(yīng)選擇去哪家文具店購(gòu)買更省錢，并說(shuō)明理由．4．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作（強(qiáng)基計(jì)劃）的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^(guò)程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報(bào)考大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中.(1)若，分別求出該考生報(bào)考兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更有希望進(jìn)入大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍.5．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某乒乓球隊(duì)訓(xùn)練教官為了檢驗(yàn)學(xué)員某項(xiàng)技能的水平，隨機(jī)抽取100名學(xué)員進(jìn)行測(cè)試，并根據(jù)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計(jì)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)（精確到0.1）；(2)若采用分層抽樣的方法從評(píng)價(jià)指標(biāo)在和內(nèi)的學(xué)員中隨機(jī)抽取12名，再?gòu)倪@12名學(xué)員中隨機(jī)抽取5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)在內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．6．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考三模）為了“讓廣大青少年充分認(rèn)識(shí)到毒品的危害性，切實(shí)提升青少年識(shí)毒防毒拒毒意識(shí)”，我市組織開(kāi)展青少年禁毒知識(shí)競(jìng)賽，團(tuán)員小明每天自覺(jué)登錄“禁毒知識(shí)競(jìng)賽APP”，參加各種學(xué)習(xí)活動(dòng)，同時(shí)熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)匹配四人進(jìn)行比賽，每題回答正確得20分，第1個(gè)達(dá)到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結(jié)束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應(yīng)名次，從而得到相應(yīng)的學(xué)習(xí)積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2?3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2?3?4名的得1分；后18局是無(wú)效局，無(wú)論獲得什么名次，均不能獲得學(xué)習(xí)積分.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，小明每天在第1局四人賽中獲得3分?2分?1分的概率分別為，，，在第2局四人賽中獲得2分?1分的概率分別為，.(1)設(shè)小明每天獲得的得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若小明每天賽完20局，設(shè)小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為，每局是否贏得比賽相互獨(dú)立，請(qǐng)問(wèn)在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？7．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）2021年5月11日，第七次全國(guó)人口普查結(jié)果顯示，中國(guó)65歲及以上人口為19064萬(wàn)人，占總?cè)丝诘模S著出生率和死亡率的下降，我國(guó)人口老齡化趨勢(shì)日益加劇，與老年群體相關(guān)的疾病負(fù)擔(dān)問(wèn)題越來(lái)越受到社會(huì)關(guān)注，虛弱作為疾病前期的亞健康狀態(tài)，多發(fā)于65歲以上人群.虛弱指數(shù)量表（frailtyin—dex，F(xiàn)I，取值范圍是）可以用來(lái)判定老年人是否虛弱，若FI分，則定義為“虛弱”.某研究團(tuán)隊(duì)隨機(jī)調(diào)查了某地1170名男性與1300名女性65歲及以上老年人的身體狀況，并采用虛弱指數(shù)量表分析后得出虛弱指數(shù)頻數(shù)分布表如下：FI

男41157910179女417463162258(1)根據(jù)所調(diào)查的65歲及以上老年人的虛弱指數(shù)頻數(shù)分布表作出65歲及以上老年人虛弱與性別的列聯(lián)表，并分析能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為老年人身體虛弱與性別有關(guān)？非虛弱虛弱總計(jì)男1170女1300總計(jì)(2)以頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該地區(qū)隨機(jī)調(diào)查兩位男性65歲以上老年人，這兩位老人中身體虛弱的人數(shù)為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列、期望與方差？附表及公式：，．

0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

專題25計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布（選填壓軸題）（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①排列、組合 1②二項(xiàng)式定理 4③概率綜合 8④隨機(jī)變量及其分布列 16①排列、組合1．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）中國(guó)飲食文化歷史悠久，博大精深，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中最具特色的部分之一，其內(nèi)涵十分豐富，根據(jù)義務(wù)教育課程方案，勞動(dòng)課正式成為中小學(xué)一門獨(dú)立的課程，“食育”進(jìn)入校園.李老師計(jì)劃在實(shí)驗(yàn)小學(xué)開(kāi)展一個(gè)關(guān)于“飲食民俗”的講座，講座內(nèi)容包括日常食俗，節(jié)日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6個(gè)方面.根據(jù)安排，講座分為三次，每次介紹兩個(gè)食俗內(nèi)容（不分先后次序），則節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】講座分為三次，每次介紹兩個(gè)食俗內(nèi)容（不分先后次序）,一共有種不同的安排方法，其中節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗有一個(gè)和節(jié)日食俗安排在第二次講座的有種，節(jié)日食俗安排在第二次講座，日常食俗與祭祀食俗都不和節(jié)日食俗安排在第二次講座且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有種，故節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有種，故所求概率為.故選：B2．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃B門市博物館由廈門博物館主館、鄭成功紀(jì)念館、廈門經(jīng)濟(jì)特區(qū)紀(jì)念館、廈門市文化遺產(chǎn)保護(hù)中心、破獄斗爭(zhēng)陳列館、陳化成紀(jì)念館、陳勝元故居七個(gè)館區(qū)組成.甲、乙兩名同學(xué)各自選取一個(gè)館區(qū)參觀且所選館區(qū)互不相同，若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭(zhēng)陳列館至少有一個(gè)被選，則不同的參觀方案有（

）A．22種 B．20種 C．12種 D．10種【答案】A【詳解】若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭(zhēng)陳列館選一個(gè)：種，若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭(zhēng)陳列館選二個(gè)：種，故若鄭成功紀(jì)念館和破獄斗爭(zhēng)陳列館至少有一個(gè)被選，則不同的參觀方案有種方案.故選：A.3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預(yù)測(cè)）“第二課堂”是哈九中多樣化課程的典型代表，旨在進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的人文底蘊(yùn)和科學(xué)精神，為繼續(xù)滿足同學(xué)們不同興趣愛(ài)好，美育中心精心準(zhǔn)備了大家非常喜愛(ài)的中華文化傳承系列的第二課堂活動(dòng)課：陶藝，拓印，扎染，創(chuàng)意陶盆，壁掛，剪紙六個(gè)項(xiàng)目供同學(xué)們選學(xué)，每位同學(xué)選擇1個(gè)項(xiàng)目.則甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有（

）A．135種 B．720種 C．1080種 D．1800種【答案】C【詳解】恰有2名學(xué)生選課相同，第一步，先將選課相同的2名學(xué)生選出，有種可能；第二步，從6個(gè)項(xiàng)目中選出3個(gè)排好，有.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，方法有；4名學(xué)生所選的課全不相同的方法有.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有.故選：C.4．（2023·江西南昌·統(tǒng)考二模）中國(guó)燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品．燈籠綜合了繪畫、剪紙、紙?jiān)⒋炭p等工藝，與中國(guó)人的生活息息相連．燈籠成了中國(guó)人喜慶的象征．經(jīng)過(guò)歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、花梨木紗燈、恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚?、吉祥如意吊燈各一個(gè)隨機(jī)掛成一排，則有且僅有一種類型的燈籠相鄰的概率為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)紅木宮燈、檀木宮燈為；楠木紗燈、花梨木紗燈為；恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚?、吉祥如意吊燈為．先求僅相鄰的種數(shù)，把看作一個(gè)元素，當(dāng)排在首尾時(shí)，不同的排法有種；當(dāng)排在五個(gè)位置中第二、第四位時(shí)，不同的排法有種；當(dāng)排在第三個(gè)位置時(shí)，不同的排法有種，故僅相鄰共有種排法，同理得僅相鄰，僅相鄰的情況，也都有種排法，所以有且僅有一種類型燈籠相鄰的概率為．故選：A.5．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．安排甲、乙、丙、丁4名航天員到空間站開(kāi)展工作，每個(gè)艙至少安排1人，若甲、乙兩人不能在同一個(gè)艙開(kāi)展工作，則不同的安排方案共有（

）A．36種 B．18種 C．24種 D．30種【答案】D【詳解】先將甲乙兩人分別安排到兩個(gè)不同艙中，有種安排方法.后分兩種方法安排丙、丁，第一種安排丙、丁到第三個(gè)艙中，有1種方法；第二種先安排丙、丁中的一人到第三個(gè)艙中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的艙中，有種方法.則不同的安排方案共有種.故選：D6．（2023·遼寧盤錦·盤錦市高級(jí)中學(xué)?？家荒＃┯?名男生，4名女生，在下列不同條件下，錯(cuò)誤的是（

）A．任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種B．全體站成一排，男生互不相鄰有1440種C．全體站成一排，女生必須站在一起有144種D．全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種．【答案】C【詳解】對(duì)于A：任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有種，故A正確；對(duì)于B：先排女生，將4名女生全排列，有種方法，再安排男生，由于男生互不相鄰，可以在女生之間及首尾空出的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生，有種方法，故共有種方法，故B正確．對(duì)于C：將女生看成一個(gè)整體，考慮女生之間的順序，有種情況，再將女生的整體與3名男生在一起進(jìn)行全排列，有種情況，故共有種方法，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D：若甲站在排尾則有種排法，若甲不站在排尾則有種排法，故有種排法，故D正確；故選：C.7．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？级＃┡R近春節(jié)，某校書(shū)法愛(ài)好小組書(shū)寫了若干副春聯(lián)，準(zhǔn)備贈(zèng)送給四戶孤寡老人．春聯(lián)分為長(zhǎng)聯(lián)和短聯(lián)兩種，無(wú)論是長(zhǎng)聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相同．經(jīng)過(guò)調(diào)查，四戶老人各戶需要1副長(zhǎng)聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶各要2副短聯(lián)．書(shū)法愛(ài)好小組按要求選出11副春聯(lián)，則不同的贈(zèng)送方法種數(shù)為．【答案】15120【詳解】4副長(zhǎng)聯(lián)內(nèi)容不同，贈(zèng)送方法有種；從剩余的7副短聯(lián)中選出1副贈(zèng)送給乙戶老人，有種方法，再將剩余的6副短聯(lián)平均分為3組，最后將這3組贈(zèng)送給三戶老人，方法種數(shù)為．所以所求方法種數(shù)為．故答案為：.8．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）某數(shù)學(xué)興趣小組的5名學(xué)生負(fù)責(zé)講述“宋元數(shù)學(xué)四大家”——秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰的故事，每名學(xué)生只講一個(gè)數(shù)學(xué)家的故事，每個(gè)數(shù)學(xué)家的故事都有學(xué)生講述，則不同的分配方案有種．【答案】240【詳解】先把5名學(xué)生分成人數(shù)為的四組,共有種分法,再把四組學(xué)生分給宋元數(shù)學(xué)四大家講述則有種分法,所以分配方案有種.故答案為:240.②二項(xiàng)式定理1．（2023·廣東揭陽(yáng)·惠來(lái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，則等于（

）A．45 B．84 C．120 D．165【答案】D【詳解】依題意，.故選：D2．（多選）（2023·遼寧撫順·校考模擬預(yù)測(cè)）在的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為1，則（

）A． B．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C．展開(kāi)式中的系數(shù)為160 D．展開(kāi)式中無(wú)理項(xiàng)的系數(shù)之和為【答案】BC【詳解】根據(jù)題意令，得的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為，則，A錯(cuò)誤；則，又的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，B正確；含的項(xiàng)為，其系數(shù)為160，C正確；展開(kāi)式中無(wú)理項(xiàng)的系數(shù)之和為，D錯(cuò)誤.故選：BC.3．（多選）（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）若，，則（

）A．B．C．D．【答案】AC【詳解】令得：，所以選項(xiàng)A正確；令得：，所以，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)椋赃x項(xiàng)C正確；，兩邊對(duì)求導(dǎo)得：，令得：，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.4．（多選）（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）已知多項(xiàng)式，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】因?yàn)椋恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，得，，所以，故A正確；令得，令，得，所以，故B不正確；，故C不正確；由兩邊對(duì)求導(dǎo)得，，令，得，所以，故D正確.故選：AD5．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.【答案】【詳解】令，得的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，解得，則，其中展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），令，解得，展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)為，展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：6．（2023·全國(guó)·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若，則．【答案】【詳解】由題意，中含的項(xiàng)為；含的項(xiàng)為；含的項(xiàng)為；含的項(xiàng)為；含的項(xiàng)為；故.故答案為：7．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在的展開(kāi)式中，按的升冪排列的第三項(xiàng)為.【答案】【詳解】易知，展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)等，故所求的項(xiàng)為項(xiàng)．整個(gè)式子中項(xiàng)可由，的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)、一次項(xiàng)與一次項(xiàng)、二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)相乘得到，其中展開(kāi)式的通項(xiàng)為（），展開(kāi)式的通項(xiàng)為（）；故所求為．故答案為：．8．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校校考二模）展開(kāi)式中的系數(shù)是.【答案】【詳解】，的通項(xiàng)公式為，，所以展開(kāi)式中的系數(shù)是.故答案為：.9．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）若為一組從小到大排列的數(shù)1，2，3，5，6，8的第六十百分位數(shù)，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為.【答案】【詳解】由，得，于是展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：10．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┮阎?xiàng)式的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則．【答案】2【詳解】表示有5個(gè)因式相乘，來(lái)源如下：有1個(gè)提供，有3個(gè)提供，有1個(gè)提供常數(shù)，此時(shí)系數(shù)是，即，解得：故答案為：.③概率綜合1．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）立德中學(xué)有甲?乙兩家餐廳，如果趙同學(xué)上一天去甲餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概率為0.6，如果上一天去乙餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概率為0.8，已知趙同學(xué)第一天去甲餐廳用午餐的概率為0.5.(1)求趙同學(xué)第二天去乙餐廳用午餐的概率；(2)設(shè)趙同學(xué)第去甲餐廳用午餐的概率為，判斷與的大小，并求.【答案】(1)0.3(2)；．【詳解】（1）因?yàn)橼w同學(xué)第一天去甲餐廳用午餐的概率為0.5，,那么他去乙餐廳用午餐的概率也為0.5，則他第二天去乙餐廳用午餐的概率為；（2）由已知，，，，即，因此，，又，∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比是，∴，從而．2．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某重點(diǎn)大學(xué)為了解準(zhǔn)備保研或者考研的本科生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間，隨機(jī)抽取了名這類大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將收集到的課余學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：）整理后得到如下表格：課余學(xué)習(xí)時(shí)間人數(shù)(1)估計(jì)這名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)；(2)根據(jù)分層抽樣的方法從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在和，這兩組中抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，求抽到的人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在的概率．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，這名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)位于之間，則中位數(shù)為.（2）由題意知：從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在這一組抽取人，分別記為，從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在這一組抽取人，分別記為；從這人中隨機(jī)抽取人，所有的基本事件為：，共個(gè)基本事件；其中“抽到的人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在”包含的基本事件為：，共個(gè)基本事件；抽到的人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在的概率.3．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）2018年12月8日，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭成功發(fā)射嫦娥四號(hào)探測(cè)器，開(kāi)啟了月球探測(cè)的新旅程．為了解廣大市民是否實(shí)時(shí)關(guān)注了這一事件，隨機(jī)選取了部分年齡在20歲到70歲之間的市民作為一個(gè)樣本，將此樣本按年齡，，，，分為5組，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求圖中實(shí)數(shù)a的值，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)中市民年齡的眾數(shù)；(2)為進(jìn)一步調(diào)查市民在日常生活中是否關(guān)注國(guó)家航天技術(shù)發(fā)展的情況，現(xiàn)按照分層抽樣的方法從，，三組中抽取了6人，再?gòu)倪@6人中任意抽取2人來(lái)講述自己所了解的中國(guó)航天的發(fā)展歷程，求這2人中至少有1人的年齡位于之間的概率．【答案】(1)，(2)【詳解】（1），得，由圖知：年齡位于這一組頻率為0.35，此時(shí)頻率最大，所以，眾數(shù)為.（2）由題可得，后三組，，的人數(shù)比例為，∴從后三組抽取的6人中有3人的年齡位于之間，分別記為，，；2人的年齡位于之間，分別記為，；1人的年齡位于之間，記為，從6人中任意抽取2人有：,，共15種不同的方法.則2人中至少有1人的年齡位于之間有如下情況：，，，，，，，，，共有9種不同的情況，則2人中至少有1人的年齡位于之間的概率為．4．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考三模）某學(xué)校有兩個(gè)餐廳為學(xué)生提供午餐與晩餐服務(wù)，甲、乙兩位學(xué)生每天午餐和晩餐都在學(xué)校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晩餐）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天為了吸引學(xué)生就餐，餐廳推出就餐抽獎(jiǎng)活動(dòng)，獲獎(jiǎng)的概率為，而餐廳推出就餐送貼紙活動(dòng)，每次就餐送一張.假設(shè)甲、乙選擇餐廳就餐相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)分別估計(jì)一天中甲午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的概率，乙午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的概率；(2)記為學(xué)生乙在一天中獲得貼紙的數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)餐廳推出活動(dòng)當(dāng)天學(xué)生甲就參加了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，已知如果學(xué)生甲抽中獎(jiǎng)品，則第二天午餐再次去餐廳就餐的概率為，如果學(xué)生甲并沒(méi)有抽中獎(jiǎng)品，第二天午餐依然在餐廳就餐的概率為，若餐廳推出活動(dòng)的第二天學(xué)生甲午餐去餐廳就餐的概率是，求.【答案】(1)0.3，0.4(2)，分布列見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）設(shè)事件C為“一天中甲員工午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐”，事件D為“乙員工午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐”，因?yàn)?00個(gè)工作日中甲員工午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的天數(shù)為30，乙員工午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的天數(shù)為40，所以.（2）由題意知，可以取的值為：0，1，2，，，故的分布為：.（3）設(shè)表示事件“去餐廳就餐獲獎(jiǎng)”，表示事件“學(xué)生甲午餐去餐廳就餐”，由題知，，，，，則，解得.即如果學(xué)生甲并沒(méi)有抽中獎(jiǎng)品，第二天午餐依然在餐廳就餐的概率.5．（2023·北京·北京八十中?？寄M預(yù)測(cè)）為了弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的美育教育，某校開(kāi)展了為期5天的傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)，從第1天至第5天依次開(kāi)展“書(shū)畫”、“古琴”、“漢服”、“戲曲”、“面塑”共5項(xiàng)傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)，每名學(xué)生至少選擇其中一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，為了解該校上述活動(dòng)的開(kāi)展情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機(jī)選取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如表：傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)第1天第2天第3天第4天第5天書(shū)畫古琴漢服戲曲面塑高一體驗(yàn)人數(shù)8045552045高二體驗(yàn)人數(shù)4060608040高三體驗(yàn)人數(shù)1550407530(1)從樣本中隨機(jī)選取1名學(xué)生，求這名學(xué)生體驗(yàn)戲曲活動(dòng)的概率；(2)利用頻率估計(jì)概率，從高一、高二、高三年級(jí)中各隨機(jī)選取1名學(xué)生，設(shè)這三名學(xué)生中參加戲曲體驗(yàn)的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)為了解不同年級(jí)學(xué)生對(duì)各項(xiàng)傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)的喜愛(ài)程度，現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機(jī)選取名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)這3名學(xué)生均選擇了第天傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)的概率為，當(dāng)取得最大值時(shí)，寫出的值，及對(duì)應(yīng)的值．（直接寫出答案即可）【答案】(1)(2)分布列答案見(jiàn)解析，(3)【詳解】（1）解：由題意知，樣本中學(xué)生共有人，其中體驗(yàn)戲曲活動(dòng)的學(xué)生共人，設(shè)事件為“從樣本學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，這名學(xué)生體驗(yàn)戲曲活動(dòng)”，故所求概率為.（2）解：從高一、高二、高三年級(jí)的體驗(yàn)學(xué)生中各隨機(jī)選取1名學(xué)生，抽取的高一年級(jí)體驗(yàn)的學(xué)生參加戲曲體驗(yàn)的概率為，抽取的高一年級(jí)體驗(yàn)的學(xué)生參加戲曲體驗(yàn)的概率為，抽取的高一年級(jí)體驗(yàn)的學(xué)生參加戲曲體驗(yàn)的概率為，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，所以，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：因此，.（3）解：由題可知，，，，，，故，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，.6．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）中日圍棋擂臺(tái)賽是由中國(guó)圍棋隊(duì)與日本圍棋隊(duì)各派若干名棋手，以擂臺(tái)制形式舉行的圍棋團(tuán)體賽.這是中國(guó)和國(guó)外開(kāi)設(shè)的最早的圍棋對(duì)抗賽，由中國(guó)圍棋協(xié)會(huì)、日本棋院和中國(guó)《新體育》雜志社聯(lián)合舉辦，日本電器公司（NEC）贊助，因此也稱NEC杯中日圍棋擂臺(tái)賽.該賽事從1984年開(kāi)始至1996年停辦，共進(jìn)行了11屆，結(jié)果中國(guó)隊(duì)以7比4的總比分獲勝.該賽事對(duì)中國(guó)圍棋甚至世界圍棋發(fā)展產(chǎn)生了很大影響，被認(rèn)為是現(xiàn)代圍棋最成功的比賽之一.中日圍棋擂臺(tái)賽由中日雙方各派同樣數(shù)量的若干名棋手組成隊(duì)伍，兩隊(duì)各設(shè)一名主帥，采用打擂臺(tái)的形式，決出最后的勝負(fù).比賽事先排定棋手的上場(chǎng)順序（主帥最后上場(chǎng)），按順序?qū)?，勝者坐擂，?fù)方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帥”被擊敗為止.設(shè)中、日兩國(guó)圍棋隊(duì)各有名隊(duì)員，按事先排好的順序進(jìn)行擂臺(tái)賽，中國(guó)隊(duì)的名隊(duì)員按出場(chǎng)的先后順序記為；日本隊(duì)的名隊(duì)員按出場(chǎng)的先后順序記為.假設(shè)勝的概率為（為常數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，若每個(gè)隊(duì)員實(shí)力相當(dāng)，求中國(guó)隊(duì)有四名隊(duì)員被淘汰且最后戰(zhàn)勝日本隊(duì)的概率；(2)記中國(guó)隊(duì)被淘汰人且中國(guó)隊(duì)獲得擂臺(tái)賽勝利的概率為，求的表達(dá)式；(3)寫出中國(guó)隊(duì)獲得擂臺(tái)賽勝利的概率的表達(dá)式（不用說(shuō)明理由）.【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）方法一：由于每個(gè)隊(duì)員實(shí)力相當(dāng)，則每場(chǎng)比賽勝的概率均為，列舉出中國(guó)隊(duì)的出場(chǎng)且獲得勝利的所有對(duì)陣形式，共分五種情況：①負(fù)于，只有一種情況，獲勝的概率為；②負(fù)于，此前共淘汰4人，及，共進(jìn)行4場(chǎng)比賽，而日本隊(duì)負(fù)1場(chǎng)，有種情況，獲勝的概率為；③負(fù)于，此前共進(jìn)行5場(chǎng)比賽，日本隊(duì)負(fù)2場(chǎng)，共有種情況，獲勝的概率為；④負(fù)于，此前共進(jìn)行6場(chǎng)比賽，日本隊(duì)負(fù)3場(chǎng)，共有種情況，獲勝的概率為；⑤負(fù)于，此前共進(jìn)行7場(chǎng)比賽，日本隊(duì)負(fù)4場(chǎng)，共有種情況，獲勝的概率為，這五種情況是互斥的，所以所求事件的概率為：.方法二：由于兩隊(duì)的實(shí)力相當(dāng)，則可認(rèn)為與（）比賽時(shí)，獲勝的概率為，而每進(jìn)行一場(chǎng)比賽淘汰一人，中國(guó)隊(duì)的出場(chǎng)且獲得勝利，就有9人被淘汰，則共進(jìn)行了9場(chǎng)比賽，且最后一場(chǎng)是中國(guó)隊(duì)勝，在此之前的8場(chǎng)比賽中，中國(guó)隊(duì)必勝4場(chǎng)，負(fù)4場(chǎng)（若勝5場(chǎng)，則不必出場(chǎng)），所以所求事件的概率為.（2）中國(guó)隊(duì)被淘汰人且中國(guó)隊(duì)獲得擂臺(tái)賽勝利，則共進(jìn)行了場(chǎng)比賽，前場(chǎng)比賽中，中國(guó)隊(duì)被淘汰了人，負(fù)了場(chǎng)，所以.（3）中國(guó)隊(duì)獲得擂臺(tái)賽勝利的事件是勝的個(gè)互斥事件的和，由（2）知，勝的概率為，所以中國(guó)隊(duì)獲得擂臺(tái)賽勝利的概率.7．（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2023年中央一號(hào)文件指出，民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺(tái)準(zhǔn)備為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)品開(kāi)設(shè)直播帶貨專場(chǎng).直播前，此平臺(tái)用不同的單價(jià)試銷，并在購(gòu)買的顧客中進(jìn)行體驗(yàn)調(diào)查問(wèn)卷.為了回饋100名熱心參與問(wèn)卷的顧客，此平臺(tái)決定在直播中專門為他們?cè)O(shè)置兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每次抽獎(jiǎng)都是由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這100名顧客中抽取20名顧客，抽中顧客會(huì)有禮品贈(zèng)送，若直播時(shí)這100名顧客都在線，記兩次抽中的顧客總?cè)藬?shù)為X（不重復(fù)計(jì)數(shù)）.(1)若甲是這100名顧客中的一人，求甲被抽中的概率；(2)求使取得最大值的整數(shù).【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)事件A：“顧客甲第一次抽中”，事件B：“顧客甲第二次抽中”，因?yàn)锳與B是相互獨(dú)立事件，所以與相互獨(dú)立，由于，故，所以甲被抽中的概率；（2）“由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這100名顧客中抽取20名顧客，抽取兩次”所包含的基本事件總數(shù)為，當(dāng)時(shí)，兩次都中獎(jiǎng)的人數(shù)為，只在第一次中獎(jiǎng)的顧客人數(shù)為，只在第二次中獎(jiǎng)的顧客人數(shù)也為，由乘法原理知：事件所包含的基本事件數(shù)為，，，由可得：，整理得：，化簡(jiǎn)得：，則有，整理得，解得，即，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，所以取到最大值時(shí)，.④隨機(jī)變量及其分布列1．（2023·遼寧撫順·校考模擬預(yù)測(cè)）適量的運(yùn)動(dòng)有助于增強(qiáng)自身體質(zhì)，加快體內(nèi)新陳代謝，有利于抵御疾?。成鐓^(qū)組織社區(qū)居民參加有獎(jiǎng)投籃比賽，已知小李每次在罰球點(diǎn)投進(jìn)的概率都為．(1)若每次投籃相互獨(dú)立，小李在罰球點(diǎn)連續(xù)投籃6次，恰好投進(jìn)4次的概率為，求的最大值點(diǎn)；(2)現(xiàn)有兩種投籃比賽規(guī)則，規(guī)則一：在罰球點(diǎn)連續(xù)投籃6次，每投進(jìn)一次，獎(jiǎng)勵(lì)兩盒雞蛋，每次投籃相互獨(dú)立，每次在罰球點(diǎn)投進(jìn)的概率都以（1）中確定的作為p的值；規(guī)則二：連續(xù)投籃3次，每投進(jìn)一次，獎(jiǎng)勵(lì)四盒雞蛋．第一次在罰球點(diǎn)投籃，投進(jìn)的概率以（1）中確定的作為p的值，若前次投進(jìn)，則下一次投籃位置不變，投進(jìn)概率也不變，若前次未投進(jìn)，則下次投籃要后退1米，投進(jìn)概率變?yōu)樯洗瓮哆M(jìn)概率的一半．請(qǐng)分析小李應(yīng)選哪種比賽規(guī)則對(duì)自己更有利．【答案】(1)最大值點(diǎn)(2)小李應(yīng)選規(guī)則一參加比賽．【詳解】（1）由題意得則，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以的最大值點(diǎn)．（2）若選規(guī)則一，記X為小李投進(jìn)的次數(shù)，則X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6．則，則，記Y為小李所得雞蛋的盒數(shù)，則，．若選規(guī)則二，記Z為小李投進(jìn)的次數(shù)，則Z的所有可能取值為0，1，2，3．記小李第k次投進(jìn)為事件，未投進(jìn)為事件，所以投進(jìn)0次對(duì)應(yīng)事件為，其概率為；投進(jìn)1次對(duì)應(yīng)事件為，其概率；投進(jìn)2次對(duì)應(yīng)事件為，其概率．投進(jìn)3次對(duì)應(yīng)事件為，其概率，所以Z的分布列為Z0123P所以；記L為小李所得雞蛋的盒數(shù)，則，，因?yàn)?，所以小李?yīng)選規(guī)則一參加比賽．2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）小李從家出發(fā)步行前往公司上班，公司要求不晚于8點(diǎn)整到達(dá)，否則視為遲到.小李上班路上需要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，每個(gè)路口遇到紅燈的概率均為，且相互獨(dú)立.已知每遇到紅燈的平均等候時(shí)長(zhǎng)皆為1分鐘，若沒(méi)有遇到任何紅燈則小李僅需10分鐘即可到達(dá)公司.求：(1)要保證不遲到的概率高于90%，小李最晚在幾點(diǎn)幾分從家出發(fā)；(2)若小李連續(xù)兩天7點(diǎn)48分從家出發(fā)，則恰有一天遲到的概率；(3)小李上班路上的平均時(shí)長(zhǎng).【答案】(1)7點(diǎn)47分(2)(3)12【詳解】（1）根據(jù)題意可知若7點(diǎn)46分出門，則一定不會(huì)遲到；若7點(diǎn)47分出門，僅當(dāng)遇到4個(gè)紅燈時(shí)才會(huì)遲到，則遲到的概率為，不遲到的概率為，若7點(diǎn)48分出門，則遇到3個(gè)或4個(gè)紅燈會(huì)遲到，遲到的概率為，遲到的概率為，所以若保證不遲到的概率高于90%，小李最晚在7點(diǎn)47分從家出發(fā).（2）由（1）可知，小李7點(diǎn)48分從家出發(fā)遲到的概率為，不遲到的概率為，所以若兩天都是7點(diǎn)48分出發(fā)，則恰有一天遲到的概率為.（3）方法1：根據(jù)題意可知小李每天上班時(shí)長(zhǎng)可能得取值為，11，12，13，14（分鐘），則，，，的分布列為所以上班路平均時(shí)長(zhǎng)為（分鐘）.方法2：設(shè)小李每天上班時(shí)長(zhǎng)，11，12，13，14（分鐘），易知遇到的紅燈個(gè)數(shù)，1，2，3，4服從，所以，所以（分鐘）.3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）近年來(lái)，購(gòu)買盲盒成為當(dāng)下年輕人的潮流之一，為了引導(dǎo)青少年正確消費(fèi)，國(guó)家市場(chǎng)監(jiān)管總局提出，盲盒經(jīng)營(yíng)行為應(yīng)規(guī)范指引，經(jīng)營(yíng)者不能變相誘導(dǎo)消費(fèi)．盲盒最吸引人的地方，是因?yàn)楹凶由蠜](méi)有標(biāo)注，只有打開(kāi)才會(huì)知道自己買到了什么，這種不確定性的背后就是概率．幾何分布是概率論中非常重要的一個(gè)概率模型，可描述如下：在獨(dú)立的伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)中，若所考慮事件首次出現(xiàn)，則試驗(yàn)停止，此時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)服從幾何分布，事件發(fā)生的概率即為幾何分布的參數(shù)，記作．幾何分布有如下性質(zhì)：分布列為，，期望．現(xiàn)有甲文具店推出四種款式不同、單價(jià)相同的文具盲盒，數(shù)量足夠多，購(gòu)買規(guī)則及概率規(guī)定如下：每次購(gòu)買一個(gè)，且買到任意一種款式的文具盲盒是等可能的．(1)現(xiàn)小嘉欲到甲文具店購(gòu)買文具盲盒．①求他第二次購(gòu)買的文具盲盒的款式與第一次購(gòu)買的不同的概率；②設(shè)他首次買到兩種不同款式的文具盲盒時(shí)所需要的購(gòu)買次數(shù)為，求的期望；(2)若甲文具店的文具盲盒的單價(jià)為12元，乙文具店出售與甲文具店款式相同的非盲盒文具且單價(jià)為18元．小興為了買齊這四種款式的文具，他應(yīng)選擇去哪家文具店購(gòu)買更省錢，并說(shuō)明理由．【答案】(1)①；②(2)應(yīng)該去乙店購(gòu)買非盲盒文具，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）①由題意可知，當(dāng)?shù)谝淮钨?gòu)買的文具盲盒已經(jīng)確定時(shí)，第二次只需買到其余的三種文具盲盒的任意一款即可，所以；②設(shè)從第一次購(gòu)買文具后直到購(gòu)買到兩種不同款式的文具盲盒所需要的購(gòu)買次數(shù)為，則由題意可知，又，所以.（2）由題意，在乙店買齊全部文具盲盒所花費(fèi)的費(fèi)用為元，設(shè)從甲店買齊四種文具盲盒所需要的購(gòu)買次數(shù)為，從第一次購(gòu)買到種不同款式的文具開(kāi)始，到第一次購(gòu)買到種不同款式的文具盲盒所需要的購(gòu)買次數(shù)為隨機(jī)變量，則，其中，而，所以，所以在甲店買齊全部文具盲盒所需費(fèi)用的期望為，所以應(yīng)該去乙店購(gòu)買非盲盒文具．4．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作（強(qiáng)基計(jì)劃）的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，校考過(guò)程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報(bào)考大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中.(1)若，分別求出該考生報(bào)考兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更有希望進(jìn)入大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍.【答案】(1)報(bào)考大學(xué)恰好有一門筆試科目?jī)?yōu)秀概率為；報(bào)考大學(xué)恰好有一門筆試科目?jī)?yōu)秀概率為(2)【詳解】（1）設(shè)該考生報(bào)考大學(xué)恰好有一門筆試科目?jī)?yōu)秀為事件，則；該考生報(bào)考大學(xué)恰好有一門筆試科目?jī)?yōu)秀為事件，則.（2）該考生報(bào)考大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為，則，；該考生報(bào)考大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目