高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)第三章3.2.1《函數(shù)的單調(diào)性》課件(21張PPT)

3.2.1函數(shù)的單調(diào)性24681012141618202224

108642-20θ/oCt/h某市一天24小時(shí)的氣溫變化圖y＝f(x)，x∈[0，24]請(qǐng)問(wèn)氣溫在哪段時(shí)間內(nèi)是逐漸升高的或下降的?一、探究概念——直觀感知“形”問(wèn)題探究：(1)對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果在區(qū)間D上,當(dāng)x=1時(shí),y=1,當(dāng)x=2時(shí),y=3,

那么y是否隨著x的增大而增大？xy21013一、探究概念——具體感知“數(shù)”問(wèn)題探究：(2)對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果在區(qū)間D上,當(dāng)x=1,2,3,4時(shí),對(duì)應(yīng)地y=1,2,3,5,

那么y是否隨著x的增大而增大？xy134201235問(wèn)題探究：(3)對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果在區(qū)間D上,當(dāng)x1<x2<x3<……<xn時(shí),對(duì)應(yīng)地y1<y2<y3<……<yn,

那么y是否隨著x的增大而增大？若x取無(wú)數(shù)個(gè)值呢？x應(yīng)該取區(qū)間D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)xy0xny1y2y3ynx2x1x3任意性文字語(yǔ)言:當(dāng)x≥0時(shí)，y隨x的增大而增大；x增大y增大x0123………f(x)=x2………圖形語(yǔ)言:圖象從左到右是逐漸f(x1)<f(x2).

x1,x2∈[0,+∞),當(dāng)x1<x2時(shí),都有符號(hào)語(yǔ)言:x1x2f(x1)f(x2)上升的；有序性同區(qū)間性任意性二、深度學(xué)習(xí)——精確刻畫(huà)“性質(zhì)”0149

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I:

如果那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.

特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱(chēng)它是增函數(shù).

x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

如果

x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.

特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱(chēng)它是減函數(shù).f(x1)f(x2)x10x2xyf(x1)f(x2)x10x2xy同區(qū)間性有序性任意性問(wèn)題探究：函數(shù)f(x)=

在定義域上的單調(diào)性？單調(diào)區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞)注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間一般不能取并集，應(yīng)該用“和”或“,”連接f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減f(x)在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上單調(diào)遞減f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減√×函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(1)定義：

x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，

作差法即x1-x2<0(2)等價(jià)結(jié)論：

x1,x2∈D，當(dāng)x1≠x2時(shí)，

等價(jià)于[x1-x2][f(x1)-f(x2)]>0

等價(jià)于三、深化應(yīng)用——思路靈感

f(x1)-f(x2)<0x1-x2與

f(x1)-f(x2)同號(hào)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減(1)定義：

x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，

作差法即x1-x2<0

f(x1)-f(x2)>0(2)等價(jià)結(jié)論：

x1,x2∈D，當(dāng)x1≠x2時(shí)，x1-x2與

f(x1)-f(x2)異號(hào)

等價(jià)于[x1-x2][f(x1)-f(x2)]<0

等價(jià)于在(,0)上單調(diào)遞減請(qǐng)問(wèn)氣溫在哪段時(shí)間內(nèi)是逐漸升高的或下降的?[x1-x2][f(x1)-f(x2)]<0D.(3)對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果在區(qū)間D上,當(dāng)x1<x2<x3<……<xn時(shí),x1,x2∈[0,+∞),當(dāng)x1<x2時(shí),都有函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減的是()數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模課本第79頁(yè)練習(xí)的第2、3題；在(,0)上單調(diào)遞減∴k(x1-x2)<0，注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間一般不能取并集，∴函數(shù)f(x)=kx+b(k>0)是R上的增函數(shù).如果x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，當(dāng)原函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，作差后可以考慮配方，便于判斷符號(hào)；(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,6]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.∴函數(shù)是(0,+∞)上的減函數(shù).∴，即y1<y2證明:x1,x2∈R且x1<x2一、探究概念——直觀感知“形”在(,0)上單調(diào)遞減(1)對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果在區(qū)間D上,當(dāng)x=1時(shí),y=1,當(dāng)x=2時(shí),y=3,證明:

x1,x2∈R且x1<x2又k>0，∵x1<x2

，例1.根據(jù)定義證明函數(shù)f(x)=kx+b(k>0)是R上的增函數(shù).∴函數(shù)f(x)=kx+b(k>0)是R上的增函數(shù).取值作差變形定號(hào)結(jié)論∴x1-x2<0∴k(x1-x2)<0，(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2)∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).f(x1)-f(x2)=∴當(dāng)k>0時(shí)，f(x)=kx+b是R上的增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，f(x)=kx+b是R上的減函數(shù).作差法三、深化應(yīng)用——嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范為了定號(hào)，所以因式分解證明:定義域?yàn)?0,+∞)，

V1,V2∈(0,+∞)且V1<V2取值作差變形定號(hào)結(jié)論∴V2-V1>0，∴p1-p2>0，即p1>p2.

例2.物理學(xué)中的玻意耳定律(k為正常數(shù))告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.試對(duì)此用函數(shù)的單調(diào)性證明.∵V1<V2

，又k>0，∵V1,V2∈(0,+∞)，∴V1V2>0,∴函數(shù)

是(0,+∞)上的減函數(shù).即當(dāng)體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)

p將增大.徹底因式分解數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算∵x1,x2∈(1,+∞)，證明:

x1,x2∈(1,+∞)且x1<x2∴x1>1,x2>1，∴x1x2>1,x1x2-1>0又x1<x2

，取值例3.根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.∴，即y1<y2∴函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.作差變形定號(hào)結(jié)論∴x1-x2<0，常用的變形技巧：

(1)因式分解：當(dāng)原函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)，通常作差變形后進(jìn)行因式分解；(2)通分：當(dāng)原函數(shù)是分式函數(shù)時(shí)，作差后往往進(jìn)行通分，然后對(duì)分子進(jìn)行因式分解；(3)配方：當(dāng)原函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，作差后可以考慮配方，便于判斷符號(hào)；(4)分子有理化：當(dāng)原函數(shù)是根式函數(shù)時(shí)，作差后往往考慮分子有理化；(5)分離常數(shù)法：當(dāng)原函數(shù)是分式函數(shù)時(shí)，可以考慮分離常數(shù)后再作差，例如.因式分解出x1-x2或x2-x1變式訓(xùn)練：一題多解、一題多變、多題一解、多題歸一(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,6]上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

；已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+1)x+3.(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[3,+∞)，則實(shí)數(shù)a的值為

；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

；{a|a≤1或a≥5｝(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,6]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.a=2注意體會(huì)兩者的細(xì)微差別:f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[3,+∞)；f(x)在區(qū)間[3,+∞)上單調(diào)遞增.{a|a≤2｝{a|1<a<5｝a+1a+1a+1a+1對(duì)稱(chēng)軸x=a+1四、拓展延伸——步步生漣漪1.如圖是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象，則函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

，單調(diào)遞減區(qū)間是

．[-5,-2]，(1,3](-2,1]，(3,5]五、鞏固提升——優(yōu)化思維2.若

x1,x2∈(1,2)且x1≠x2時(shí)，則以下式子可以說(shuō)明函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減的是()

A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)-f(x2)>0

C.

[x1-x2][f(x1)-f(x2)]<0

D.C本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？1.知識(shí)層面：①單調(diào)性的定義②利用定義法證明單調(diào)性利用圖象法觀察單調(diào)性2.數(shù)學(xué)思想：3.學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、分