云南省麗江市古城二中2025屆高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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云南省麗江市古城二中2025屆高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)是定義域為的偶函數(shù),且在單調(diào)遞增,,則()A. B.C. D.2.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.3.設(shè)集合,集合,則=()A. B. C. D.R4.函數(shù)的最小正周期是,則其圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)的一條對稱軸是()A. B. C. D.5.已知集合的所有三個元素的子集記為.記為集合中的最大元素,則()A. B. C. D.6.在中,角、、的對邊分別為、、,若,,,則()A. B. C. D.7.函數(shù)(或)的圖象大致是()A. B. C. D.8.已知,則()A. B. C. D.29.某設(shè)備使用年限x(年)與所支出的維修費用y(萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別為,,,,由最小二乘法得到回歸直線方程為,若計劃維修費用超過15萬元將該設(shè)備報廢,則該設(shè)備的使用年限為()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年10.已知等比數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.11.已知點P在橢圓τ:=1(a>b>0)上,點P在第一象限,點P關(guān)于原點O的對稱點為A,點P關(guān)于x軸的對稱點為Q,設(shè),直線AD與橢圓τ的另一個交點為B,若PA⊥PB,則橢圓τ的離心率e=()A. B. C. D.12.下列結(jié)論中正確的個數(shù)是()①已知函數(shù)是一次函數(shù),若數(shù)列通項公式為,則該數(shù)列是等差數(shù)列;②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等,則;③在中,“”是“”的必要不充分條件;④若,則的最大值為2.A.1 B.2 C.3 D.0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,為正實數(shù),且,則的最小值為________________.14.工人在安裝一個正六邊形零件時,需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊,但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________.15.在平面直角坐標(biāo)系中,若函數(shù)在處的切線與圓存在公共點,則實數(shù)的取值范圍為_____.16.設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,底面是矩形,,,分別是,的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)設(shè),求三棱錐的體積.18.(12分)一酒企為擴大生產(chǎn)規(guī)模,決定新建一個底面為長方形的室內(nèi)發(fā)酵館,發(fā)酵館內(nèi)有一個無蓋長方體發(fā)酵池,其底面為長方形(如圖所示),其中.結(jié)合現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模,設(shè)定修建的發(fā)酵池容積為450米,深2米.若池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元,發(fā)酵池造價總費用不超過65400元(1)求發(fā)酵池邊長的范圍;(2)在建發(fā)酵館時,發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道(為常數(shù)).問:發(fā)酵池的邊長如何設(shè)計,可使得發(fā)酵館占地面積最小.19.(12分)在中,角的對邊分別為,且滿足.(Ⅰ)求角的大??;(Ⅱ)若的面積為,,求和的值.20.(12分)有甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司底薪元,送餐員每單制成元;乙公司無底薪,單以內(nèi)(含單)的部分送餐員每單抽成元,超過單的部分送餐員每單抽成元.現(xiàn)從這兩家公司各隨機選取一名送餐員,分別記錄其天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)分布表:送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)101510105(1)從記錄甲公司的天送餐單數(shù)中隨機抽取天,求這天的送餐單數(shù)都不小于單的概率;(2)假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同,將頻率視為概率,回答下列兩個問題:①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望;②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘?說明你的理由.21.(12分)已知A是拋物線E:y2=2px(p>0)上的一點,以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x=1于M,N兩點.(1)若|MN|=2,求拋物線E的方程;(2)若0<p<1,拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點為P,Q,點G為PQ的中點,O為坐標(biāo)原點,求直線OG斜率的取值范圍.22.(10分)的內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)求;(2)若,點為邊的中點,且,求的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),比較即可.【詳解】解:顯然,所以是定義域為的偶函數(shù),且在單調(diào)遞增,所以故選:C【點睛】本題考查對數(shù)的運算及偶函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性,可排除D;求得及,由導(dǎo)函數(shù)符號可判斷在上單調(diào)遞增,即可排除AC選項.【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù),故排除D.又,易知當(dāng)時,;又當(dāng)時,,故在上單調(diào)遞增,所以,綜上,時,,即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,故排除A,C.故選:B【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系,屬于中檔題.3、D【解析】試題分析:由題,,,選D考點:集合的運算4、D【解析】

由三角函數(shù)的周期可得,由函數(shù)圖像的變換可得,平移后得到函數(shù)解析式為,再求其對稱軸方程即可.【詳解】解:函數(shù)的最小正周期是,則函數(shù),經(jīng)過平移后得到函數(shù)解析式為,由,得,當(dāng)時,.故選D.【點睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換,屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】

分類討論,分別求出最大元素為3,4,5,6的三個元素子集的個數(shù),即可得解.【詳解】集合含有個元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素為的集合有個;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;所以.故選:.【點睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問題,其本質(zhì)在于弄清計數(shù)原理,分類討論,分別求解.6、B【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得,可得出,然后利用余弦定理求出的值,最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】,即,即,,,得,,.由余弦定理得,由正弦定理,因此,.故選:B.【點睛】本題考查三角形中角的正弦值的計算,考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應(yīng)用,考查運算求解能力,屬于中等題.7、A【解析】

確定函數(shù)的奇偶性,排除兩個選項,再求時的函數(shù)值,再排除一個,得正確選項.【詳解】分析知,函數(shù)(或)為偶函數(shù),所以圖象關(guān)于軸對稱,排除B,C,當(dāng)時,,排除D,故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,解題時可通過研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等,研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負,以及函數(shù)值的變化趨勢,排除錯誤選項,得正確結(jié)論.8、B【解析】

結(jié)合求得的值,由此化簡所求表達式,求得表達式的值.【詳解】由,以及,解得..故選:B【點睛】本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值,考查二倍角公式,屬于中檔題.9、D【解析】

根據(jù)樣本中心點在回歸直線上,求出,求解,即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上,,由,估計第年維修費用超過15萬元.故選:D.【點睛】本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.11、C【解析】

設(shè),則,,,設(shè),根據(jù)化簡得到,得到答案.【詳解】設(shè),則,,,則,設(shè),則,兩式相減得到:,,,即,,,故,即,故,故.故選:.【點睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.12、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義,線面關(guān)系,余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可;【詳解】解:①已知函數(shù)是一次函數(shù),若數(shù)列的通項公式為,可得為一次項系數(shù)),則該數(shù)列是等差數(shù)列,故①正確;②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等,則與可以相交或平行,故②錯誤;③在中,,而余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,故“”可得“”,由“”可得“”,故“”是“”的充要條件,故③錯誤;④若,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故④正確;綜上可得正確的有①④共2個;故選:B【點睛】本題考查命題的真假判斷,主要是正弦定理的運用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),考查運算能力和推理能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由,為正實數(shù),且,可知,于是,可得,再利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】解:,為正實數(shù),且,可知,,.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.的最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)應(yīng)用,恰當(dāng)變形是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.14、60【解析】分析:首先將選定第一個釘,總共有6種方法,假設(shè)選定1號,之后分析第二步,第三步等,按照分類加法計數(shù)原理,可以求得共有10種方法,利用分步乘法計數(shù)原理,求得總共有種方法.詳解:根據(jù)題意,第一個可以從6個釘里任意選一個,共有6種選擇方法,并且是機會相等的,若第一個選1號釘?shù)臅r候,第二個可以選3,4,5號釘,依次選下去,可以得到共有10種方法,所以總共有種方法,故答案是60.點睛:該題考查的是有關(guān)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,在解題的過程中,需要逐個的將對應(yīng)的過程寫出來,所以利用列舉法將對應(yīng)的結(jié)果列出,而對于第一個選哪個是機會均等的,從而用乘法運算得到結(jié)果.15、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得函數(shù)在處的切線,再根據(jù)切線與圓存在公共點,利用圓心到直線的距離滿足的條件列式求解即可.【詳解】解:由條件得到又所以函數(shù)在處的切線為,即圓方程整理可得:即有圓心且所以圓心到直線的距離,即.解得或,故答案為:.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程的問題,同時也考查了根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解參數(shù)范圍的問題,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)漸近線得到,,計算得到離心率.【詳解】,一條漸近線方程為:,故,,.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,意在考查學(xué)生的計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)取中點,連,,根據(jù)平行四邊形,可得,進而證得平面平面,利用面面垂直的性質(zhì),得平面,又由,即可得到平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,利用等積法,即可求解.【詳解】(Ⅰ)取中點,連,,由,可得,可得是平行四邊形,則,又平面,∴平面平面,∵平面,平面,∴平面平面,∵,是中點,則,而平面平面,而,∴平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,得.【點睛】本題主要考查了空間中線面位置關(guān)系的判定與證明,以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積,其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理,以及合理利用“等體積法”求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與論證能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)(2)當(dāng)時,,米時,發(fā)酵館的占地面積最??;當(dāng)時,時,發(fā)酵館的占地面積最??;當(dāng)時,米時,發(fā)酵館的占地面積最小.【解析】

(1)設(shè)米,總費用為,解即可得解;(2)結(jié)合(1)可得占地面積結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分類討論即可求得最值.【詳解】(1)由題意知:矩形面積米,設(shè)米,則米,由題意知:,得,設(shè)總費用為,則,解得:,又,故,所以發(fā)酵池邊長的范圍是不小于15米,且不超過25米;(2)設(shè)發(fā)酵館的占地面積為由(1)知:,①時,,在上遞增,則,即米時,發(fā)酵館的占地面積最小;②時,,在上遞減,則,即米時,發(fā)酵館的占地面積最??;③時,時,,遞減;時,遞增,因此,即時,發(fā)酵館的占地面積最??;綜上所述:當(dāng)時,,米時,發(fā)酵館的占地面積最?。划?dāng)時,時,發(fā)酵館的占地面積最?。划?dāng)時,米時,發(fā)酵館的占地面積最小.【點睛】此題考查函數(shù)模型的應(yīng)用,關(guān)鍵在于根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)亟⒛P?,利用函?shù)性質(zhì)討論最值取得的情況.19、(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】

(Ⅰ)運用正弦定理和二角和的正弦公式,化簡,即可求出角的大小;(Ⅱ)通過面積公式和,可以求出,這樣用余弦定理可以求出,用余弦定理求出,根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系,可以求出,這樣可以求出,最后利用二角差的余弦公式求出的值.【詳解】(Ⅰ)由正弦定理可知:,已知,所以,,所以有.(Ⅱ),由余弦定理可知:,,.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、面積公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系,考查了運算能力.20、(1);(2)①分布列見解析,;②小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【解析】

(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件,可得(A)的值.(2)①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為,可得當(dāng)時,,以此類推可得:當(dāng)時,當(dāng)時,的值.當(dāng)時,的值,同理可得:當(dāng)時,.的所有可能取值.可得的分布列及其數(shù)學(xué)期望.②依題意,甲公司送餐員日平均送餐單數(shù).可得甲公司送餐員日平均工資,與乙數(shù)學(xué)期望比較即可得出.【詳解】解:(1)由表知,50天送餐單數(shù)中有30天的送餐單數(shù)不小于40單,記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件,則.(2)①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為,日工資為元,則當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以的分布列為228234240247254.②依題意,甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為,所以甲公司送餐員的日平均工資為元,因為,所以小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【點睛】本題考查了隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、古典概率計算公式、組合計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.21、(1).(2)【解析】

(1)設(shè)A的坐標(biāo)為A(x0,y0),由題意可得圓心C的坐標(biāo),求出C

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